Tpe : Conrôle coninu en aphi Filière : MIS Parie d un suje MJ.Berin MIS 4 Mars / Doaine : algèbre linéaire Mos-clefs : arices, applicaions linéaires, valeurs propres, ssèe d équaions linéaires Noaion On noe i resp. Ci la i-èe ligne resp colonne d une arice ou d un déerinan e on noe aibj la cobinaison linéaire obenue en ajouan à la i-èe ligne ulipliée par a la j- èe ligne ulipliée par b. Résoluion Soi un nobre réel e la arice. a Calculer de. On rearque des égaliés de coefficiens, donc une «bonne» sraégie es de faire apparaîre des éros. D. On développe alors par rappor à la preière colonne : D. On peu aussi sousraire à puis à ais aenion à l ordre! e il ne fau surou pas sousraire à is en e à is en, le déerinan obenu n es pas égal au preier puisqu on a ainsi deu lignes opposées. b En déduire les valeurs de pour lesquelles la arice es inversible. a arice es inversible si e seuleen si son déerinan es non nul, si e seuleen ces-à-dire {,, }. Si es inversible calculer son inverse. Plusieurs éhodes son envisageables, les principales son
éhode venan direceen du cours la arice inverse es la ransposée de la arice des cofaceurs, divisée par le déerinan. Inconvénien : il a 9 déerinans à calculer. On écri e la arice idenié I côe à côe e on effecue les êes opéraions sur les lignes des deu arices. Ces-à-dire qu on uliplie à gauche par des arices inversibles P i ; à la k-ièe éape on a P k P k-..p e.. P k P k-..p I. On s arrêe quand P k P k-..p I e on alors - P k P k-..p. celle qu on conseille e va déailler : on regarde l applicaion linéaire associée e on résou le ssèe linéaire associé. On peu se souvenir du calcul de déerinan précéden. vanage annee : le calcul sera direceen uilisable à la quesion suivane. On uilise l équivalence. On résou le ssèe en procédan par la éhode du pivo de Gauss. e ssèe es équivalen à On a alors. Puis en reporan ou en sousraan les deu dernières lignes soi. On obien alors Soi. On a donc e il n a plus qu à lire les coefficiens de la arice inverse
ou si l on préfère. Résoudre, selon les valeurs de, le ssèe. Si n apparien pas à {,, -}, le ssèe es de Craer e il a une soluion unique. On l obien en replaçan, e par leurs valeurs - Si, le ssèe es, il es ipossible. Si -, le ssèe es, il es ipossible car les équaions e son incopaibles. Si, le ssèe es, les équaions e son les êes, sousraan les deu preières on obien puis. Il a une infinié de soluions R. Soi u l applicaion linéaire de R dans R aan pour arice si l on uni R de sa base canonique. 4 Quelle es la diension de keru? En déduire le rang de la arice. Chercher le noau de u, c es chercher les els que.
On en dédui e keru {,,}<,,>. a diension es donc e par le héorèe du rang di u. 5 a Monrer sans calcul que es valeur propre de. On a, arice qui a deu colonnes ideniques, donc es de rang sriceen inférieur à e le noau n es pas rédui au veceur nul, il a un veceur non nul don l iage par u es le veceur nul e es valeur propre. On a vu en b que pour, la arice n es pas inversible e que donc es valeur propre, ais c es pluô un arguen de «calcul déjà fai» que «sans calcul». b Trouver les aures valeurs propres de. Pour obenir les aures valeurs propres, on calcule P le polnôe caracérisique de la arice C C P soi : Il a valeurs propres :, e -. P c a arice es-elle diagonalisable? es valeurs propres son siples donc héorèe du cours la arice es diagonalisable 6 Donner une base de veceurs propres de u e la arice de u dans cee base. Pour obenir une base de veceurs propres il suffi de déeriner un veceur propre pour chacune des valeurs propres : Valeur propre : on résou le ssèe don les soluions son les riples,, -, on peu prendre coe veceur propre f,, -. Valeur propre : on résou le ssèe don les soluions son les riples,,, on peu prendre coe veceur propre f,,. Valeur propre - : on résou le ssèe don les soluions son les riples, -, -, on peu prendre coe veceur propre f, -, -. 4
{ f, f, f } es alors une base de veceurs propres e relaiveen à cee base la arice de u es la arice diagonale. Il es inuile sauf à des fins de vérificaion de faire le calcul de changeen de base. Si on change l ordre des veceurs, la arice change. 5