éduscol Ressources pour le lycée gééral et techologque Ressources pour le cycle termal gééral et techologque Mesure et certtudes Ces documets peuvet être utlsés et modés lbremet das le cadre des actvtés d'esegemet scolare, hors explotato commercale. Toute reproducto totale ou partelle à d autres s est soumse à ue autorsato préalable du Drecteur gééral de l esegemet scolare. La volato de ces dspostos est passble des sactos édctées à l artcle L.335- du Code la proprété tellectuelle. Ma 0 MENJVA/DGESCO-IGEN eduscol.educato.r/prog
Sommare Itroducto I. Ue vso probablste de l erreur 3 A. La oto d erreur... 3. U exemple pour commecer... 3. Pourquo ue telle varablté des résultats?... 4 3. La oto d erreur... 4 4. Commet trater de la varablté : la «radomsato»... 5 5. Les composates de l erreur... 5 B. L certtude... 8. Noto d certtude-type... 8. Dérets modes d évaluato de l certtude sur ue gradeur... 0 3. Évaluato de type A d ue certtude-type... 0 4. Évaluato de type B d ue certtude-type... 5. Détermato d certtudes de type B... 3 6. Recommadatos pratques... 3 II. Icerttude-type composée 5 A. Icerttude-type composée sur u mesurage... 5 B. Détermato de l certtude-type composée... 5 III. Icerttude élarge 7 A. Noto d certtude élarge... 7. Icerttude élarge... 7. Détermato du acteur d élargssemet k... 7 B. Présetato des résultats... 8. Arrodssage... 8. Présetato des résultats... 9 C. E cocluso... 9 D. U exemple... 0 IV. Aexes Aexe : Les certtudes-types sur le mesurage d ue gradeur... Aexe : La Démarche de recherche des causes... 4 Aexe 3 : Démarche de détermato d ue certtude sur ue gradeur Y... 5 Aexe 4 : U rappel des los de probablté... 6 Aexe 5 : Les recommadatos de détermato d certtude de type B... 8 Aexe 6 : La lo ormale... 30 Aexe 7 : Icerttude composée... 35 Aexe 8 : Icerttude sur l certtude... 36 V. Bblographe 37 Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Ma 0 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
Itroducto «Ue erreur peut dever exacte, selo que celu qu l'a commse s'est trompé ou o.» Perre Dac ; Les pesées - Ed. du Cherche Md 97 Ce documet a pour vocato de préseter la vso probablste de l erreur, développée depus evro tros décees par le Bureau teratoal des pods et mesures BIPM et qu a perms d staller u cosesus teratoal das l'expresso de l'certtude de mesure. Il se veut être ue ressource pour les esegats de sceces physques et de mathématques des lycées. Pour les esegats de sceces physques elle veut doer à compredre les rasos et les mécasmes ms e œuvre derrère les ormules qu sot applquées das les estmatos de mesures de gradeur, par exemple das le programme de premère STL, www.educato.gouv.r/cd55406/mee0403a.html e complétat as les documets déjà parus : Nombres, mesures et certtudes Ispecto géérale Sceces Physques et Chmques http://eduscol.educato.r/pd33-cd46456/ressources-pour-le-college-et-le-lycee.html Pour les esegats de mathématques, elle doera des exemples d utlsato des otos probablstes esegées au lycée, e partculer e lat la oto d erreur à celle de varable aléatore, celle d certtude-type avec celle d écart-type. Outre la écessté d ue coassace partagée sur u sujet qu relève des deux dscples, ce domae du calcul d certtude devrat doer la possblté de travaux commus développés par les esegats de mathématques et de sceces physques. L ambto reste cepedat modeste, otammet das les outls présetés ; ue bblographe proposée e de documet doe des rééreces pour ceux qu souhateraet approodr le sujet, e partculer das l étude de l certtude des mesures obteues à partr de doées corrélées ou apparées ou ecore das le cas de doées obteues e able ombre. Vso probablste : pourquo, alors qu o travalle sur des doées statstques? Essetellemet parce qu o est das ue actvté de modélsato et que l o cherche à passer de quelques observatos à ue caractérstque de l esemble de toutes les observatos possbles, que des doées obteues o va chercher à dure des coassaces sur des varables aléatores, qu à partr d u ombre de doées o va estmer ue coassace sur ue té de possbltés, et e partculer qu o va doer des resegemets sur des modèles cosdérés comme cotus à partr d u ombre d observatos. Il aut garder préset à l esprt cette dée de modèle tout au log de ce documet. Cette brochure est coçue pour pouvor être lue sas être arrêté par des dcultés das des développemets mathématques qu sot revoyés e aexe. O y trouvera égalemet quelques complémets qu peuvet éclarer les chox ats. Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
I. Ue vso probablste de l erreur A. La oto d erreur. U exemple pour commecer O souhate mesurer ue résstace. Le coducteur ohmque dot o souhate mesurer la résstace est braché aux bores d u ohmmètre. O utlse ue premère techque de mesure utlsat «quatre ls» de laso etre le coducteur ohmque et l strumet. Notre strumet commuque avec u ordateur et l o utlse u programme d acqusto de doées. Ce programme eectue 000 mesures m de la résstace R, repère les valeurs m m et m max, dvse l tervalle [ m m ; m max ] e 0 tervalles classes, calcule le ombre de résultats das chaque classe et ache les résultats sous la orme d u dagramme. O obtet les résultats c-dessous : Freq % Freq % 5.6.9 0. 7.5 4.83.3 9.43 6.74 4.04.35 8.53 8.53 8.53 8.53 8.53 M Max Chae 05 M: 8.5797 Ohm Mea: 8.5860 Ohm Max: 8.593 Ohm Std. dev: 96.95 uohm Recommeços la mesure précédete e cogurat otre strumet e ohmmètre «deux ls», ce qu correspod à ue mesure courate de la valeur d ue résstace. O obtet désormas les résultats suvats : Freq % Freq % 3.6. 8.64 6.5 3.67.8 8.70 6. 3.73.4 8.95 8.95 8.95 8.95 8.95 M Max Chae 05 M: 8.94548 Ohm Mea: 8.9467 Ohm Max: 8.94700 Ohm Std. dev: 7.444 uohm Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 3 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
Des questos se poset au vu de ces résultats :. Pourquo ue telle varablté des résultats?. Pourquo ces deux méthodes doet-elles des résultats dérets? 3. Et e, alemet quelle est la mesure de la résstace cherchée? O s état aperçu depus logtemps, otammet e astroome, scece qu possédat les strumets les plus précs, que : pluseurs mesurages d ue même caractérstque doaet souvet des valeurs déretes, la répartto des résultats avat ue «orme e cloche» : «l y a aucu doute que les pettes erreurs ot leu plus souvet que les grades». Toute la problématque de la détermato de la mesure d ue gradeur est là : parm tous ces résultats lequel chosr et commet estmer l erreur qu pourrat être commse?. Pourquo ue telle varablté des résultats? Ue sére de mesures est soumse à des codtos evroemetales qu modet les résultats obteus : la gradeur à mesurer est pas paratemet dée, la largeur d ue table est pas u objet dé, la talle d ue pèce métallque déped de sa posto, la surace d u lqude est pas plae, les codtos evroemetales évoluet température, presso, l strumet de mesure est source d erreur temps de répose, exacttude, sesblté l opérateur e reat jamas la même mesure exactemet das les mêmes codtos atgue, erreurs de parallaxe, eet de mésque das ue ppette Ue mesure comporte e gééral pluseurs opératos dot chacue peut être source de varablté. Il sera mportat de savor dstguer les sources de varablté mportate de celles qu sot églgeables. Précsos quelques termes de vocabulare du domae de la métrologe et qu vot être employés : Mesurage : esemble d opératos ayat pour but de détermer ue valeur d ue gradeur. Mesurade : gradeur partculère soumse à mesurage logueur, masse, testé,. «Valeur vrae» d u mesurade : mesure que l o obtedrat par u mesurage parat. O e la coaît pas et o parle égalemet de «valeur théorque». Gradeur d luece : gradeur qu est pas le mesurade mas qu a u eet sur le résultat du mesurage. 3. La oto d erreur S y est le résultat d u mesurage et y 0 la «valeur vrae» du mesurade, l erreur sur le résultat y est le ombre e y y 0 Ce cocept d erreur est déal et les erreurs e peuvet malheureusemet pas être coues exactemet. Das la problématque qu ous téresse o va chercher à estmer ue valeur y 0 du mesurade, et à quater l erreur commse sur cette estmato. As, la démarche vsée est de ourr, autour du résultat d'u mesurage, u tervalle dot o pusse s'attedre à ce qu'l compree ue racto élevée des valeurs qu pourraet rasoablemet être attrbuées au mesurade. Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 4 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
4. Commet trater de la varablté : la «radomsato» Das les aées 960, das les lvres de sceces physques qu présetaet les «Icerttudes des mesures et calculs approchés», o cherche à dér u majorat des erreurs, et o propose des théorèmes comme «l certtude absolue d ue somme ou d ue dérece est la somme des certtudes absolues». As par exemple, s l erreur sur la dmeso des côtés c d u carré est majorée par mm, l erreur sur les dmesos du pérmètre p de ce même carré est majorée par 4mm. O écrt alors par exemple c mm ± mm et o e dédut que p 48 mm ± 4mm Quelle réalté représetet ces ombres? Ue erreur de 4mm est-elle possble, plausble, probable? C est cette dée qu sous ted la présetato qu va être proposée c-dessous, doat u aperçu du calcul d certtude de mesures tel qu l se pratque aujourd hu e laboratore ou e mleu dustrel. Cepedat, cotraremet à l exemple proposé e troducto, l sera raremet possble d eectuer 000 mesures d ue même gradeur et l va allor trouver u moye de décrre la dstrbuto des valeurs possbles des résultats d u mesurage. U mesurage comporte e gééral pluseurs opératos dot chacue peut être source de varablté. L objet de l étude des erreurs est de pouvor précser cette varablté, et ue aço de le are est d trodure le «hasard», u hasard qu peut résulter de otre gorace Dutarte, Pedor. Ue maère d terpréter les résultats est de passer par ue «radomsato», c'est-à-dre qu o explque la varablté de résultats détermstes l y a pas d aléatore das les mesures comme s ls étaet des réalsatos d ue varable aléatore. Autremet dt, o remplace la oto d erreur accdetelle par celle d certtude aléatore : la varablté de la mesure est pas u «accdet» évtable, mas est hérete au processus de mesurage s celu-c est susammet sesble. Robert, Treer S l o répète le mesurage, o obtet ue sére de valeurs y, y,..., y que l o cosdère comme les valeurs prses par ue varable aléatore Y et ue sére de valeurs e, e,..., e qu sot les erreurs dées sur chacue des observatos ; ces valeurs sot cosdérées comme celles prses par ue varable aléatore E : L erreur de mesure est ue varable aléatore O peut as modélser le mesurage par : Y y 0 + E L hypothèse odametale du tratemet probablste de l erreur est que la varable E obét à ue lo de probablté «be dée». L objet du calcul d certtude sera de détermer : les paramètres de la lo de probablté de E. u tervalle dot o pusse s'attedre à ce qu'l compree ue racto élevée des valeurs qu pourraet rasoablemet être attrbuées au mesurade. 5. Les composates de l erreur O evsage tradtoellemet qu ue erreur possède deux composates, à savor ue composate aléatore et ue composate systématque. a Composate aléatore de l erreur L erreur aléatore Δ provet des varatos temporelles et spatales o prévsbles de gradeurs d luece. Les eets de telles varatos appelés eets aléatores etraîet des varatos pour les observatos répétées du mesurade be que le mesurage sot eectué das des codtos auss costates que possble. Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 5 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
L erreur aléatore est lée aux codtos opératores Be qu l e sot pas possble de compeser l erreur aléatore d u résultat de mesure, elle peut être rédute e augmetat le ombre d observatos. b Composate systématque de l erreur L erreur systématque ε se produt sur u résultat de mesure à partr d u eet recou d ue gradeur d luece ; cet eet, appelé eet systématque, peut être quaté et s l est sgcat par rapport à la précso requse du mesurage, ue correcto est applquée au résultat. S ous repreos l exemple de départ, lors de la deuxème sére de mesures, les ls de laso de l strumet au coducteur ot ue résstace R. Das ces codtos, l strumet e mesure pas R mas R + R. Chaque mesure m est systématquemet plus grade que la valeur de R des ls de m de log et de able secto ot été utlsés. La valeur moyee <m> des N mesures est plus grade de 0,47 ohms que das le cas précédet, passat de 8,586 ohms pour «quatre ls» à 8,946 ohms pour ue méthode «deux ls», cette dérece état due à cette erreur systématque. Les N mesures m restet dspersées autour de <m> caractérsat l erreur aléatore. S o utlse cette méthode à deux ls, ue correcto de 0,47 ohms sera eectuée sur chaque résultat. Re e ous prouve cepedat qu l exste pas d autres erreurs systématques! E gééral, la correcto est ue opérato dcle car elle écesste ue coassace approode du processus de mesure a d deter au meux les causes d erreurs pus d estmer les correctos à apporter. Il exste de ombreuses sources d erreurs systématques, comme par exemple : l eet des gradeurs d luece température, presso,... ; l erreur de justesse des strumets décalage du zéro par exemple, chroomètre mal calbré, ; la posto de l objet mesuré ; la perturbato due à la présece des strumets d observato. Das la pratque, déretes méthodes sot utlsées pour détecter et évaluer ces erreurs, comme par exemple : mesurer la même gradeur avec u strumet déret ; mesurer la même gradeur avec des méthodes déretes ; mesurer ue gradeur étalo cotrôle de la justesse ; mesurer u même mesurade das des laboratores dérets. L erreur systématque peut être cosdérée comme ue erreur «costate» qu aecte chacue des observatos. Le plus souvet o aura seulemet ue majorato de cette erreur «costate». L erreur systématque d u résultat de mesure e peut être rédute e augmetat le ombre d observatos, mas par l applcato d ue correcto. Les correctos état ates le meux possble, l subsste u doute sur la valeur des correctos. Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 6 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
O admet que les varatos de l erreur systématque autour de la correcto eectuée sot aléatores, ce qu permet de supposer que l erreur systématque ε sut ue lo de probablté be dée. O peut llustrer ces otos d erreurs systématque et aléatore par le tr das ue cble : juste, mas pas dèle valeurs cetrées mas dspersées erreurs aléatores dèle, mas pas juste valeurs décetrées mas resserrées erreurs systématques juste, dèle erreurs aléatores et systématques dèle et juste erreurs ables Ce dess est cepedat qu ue vue théorque trompeuse, car e gééral, o e coaît pas la cble, la dsperso ous resege sur les erreurs aléatores, mas la présece d erreur systématque est souvet dcle à déceler. c Modélsato du mesurage O suppose que le résultat d u mesurage a été corrgé pour tous les eets systématques recous comme sgcats et qu o a at tous les eorts pour leur detcato. O dt alors que la méthode de mesure est correcte. O peut doc modélser le mesurage par : Y y 0 + ε + Δ S o mage pouvor are ue té de mesures ce qu revet à cosdérer la dstrbuto de toutes les mesures, l erreur systématque ε sur u mesurage est le décalage etre la «valeur vrae» du mesurade et la moyee théorque de l té de toutes les mesures qu pourraet être eectuées. C est la «moyee qu résulterat d u ombre de mesurages du même mesurade, eectués das des codtos de répétablté, mos ue valeur vrae du mesurade.» VIM 93 ou GUM 08 Comme o le verra plus lo ce résultat est justé e aexe, la moyee est e gééral la melleure estmato de la gradeur mesurée, et l erreur aléatore Δ sur u mesurage représete la dérece etre cette moyee et les résultats obteus. C est le «résultat d u mesurage mos la moyee d u ombre de mesurages du même mesurade, eectués das des codtos de répétablté.» VIM 93 Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 7 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
Le schéma c-dessous e doe ue llustrato : La «valeur vrae» coue y 0 La moyee coue d ue té de mesures y erreur systématque ε sur le mesurage avat correcto erreur aléatore Δ sur cette mesure Ue mesure y Ue hypothèse pragmatque : l y a pas de raso objectve pour que les résultats se répartsset plus d u côté que de l autre de la «valeur vrae» O era l hypothèse das la sute que la méthode de mesure est correcte, ce qu se tradut mathématquemet par : l espérace mathématque des varables ε et Δ est ulle et o a as E Y y0 Doer ue mesure du mesurade va écesster la détermato d ue estmato de l espérace et de l écart type ou plus précsémet de la varace de cette varable Y. B. L certtude Le mot certtude sge doute ; l certtude du résultat d u mesurage relète l mpossblté de coaître exactemet la valeur du mesurade. Das cette vso probablste de l erreur, le cocept d certtude est dé e accord avec cette approche : Icerttude : paramètre, assocé au résultat d u mesurage, qu caractérse la dsperso des valeurs qu pourraet être rasoablemet attrbuées au mesurade.. Noto d certtude-type Nous avos vu que le mesurage peut être modélsé par ue varable aléatore Y d espérace et que l o cherche à caractérser la dsperso des valeurs que peut predre cette varable aléatore. Ue mesure de cette dsperso peut être obteue à partr de l écart-type de la varable aléatore Y. La détermato de l certtude sur le mesurage va être exprmée e octo de l écart-type de la varable aléatore Y. y 0 L écart-type de Y est appelé certtude-type sur le résultat du mesurage. O ote gééralemet uy cette certtude-type sur Y. L essetel de la démarche va cosster à détermer la lo de probablté suve par Y ou par E et à estmer la valeur de l écart-type de Y ou de E. Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 8 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
Das l exemple de la détermato de la résstace, la doée des 000 résultats permet d avor ue boe approxmato de la lo de la varable R o pourrat vérer qu elle est gaussee et s o at l hypothèse qu o a maîtrsé les erreurs systématques, ue estmato de l écart-type doé par le tableur est d evro 00Ω. Cepedat, l est toujours possble d obter ue estmato de la gradeur par u recuel de doées et Y peut dépedre de pluseurs autres varables. Preos u exemple : Avat de lacer la producto e sére, o veut estmer l certtude sur la dmeso d e od de raure de la pèce c-dessous. α d Pour détermer d, o place ue pge de damètre w das la raure et o mesure ue dstace L L d w w O peut motrer que d L + et d est alors ue octo de L, w et α. α ta O peut s arachr du cotrôle de la mesure de α, qu est pas la plus asée. Pour cela o eectue deux séres de mesures dépedates de la logueur L avec deux pges de damètres dérets ; avec la pge de damètre w, o obtet ue logueur L et avec la pge de damètre w, ue logueur L. L L d d Avec la pge de damètre w Avec la pge de damètre w Lw Lw E utlsat la ormule détermée précédemmet, o motre alors que d w w Cette os d est ue octo de,, et w. L L w O vot apparaître ue double dculté, d ue part l accès aux valeurs de d est pas drect et d autre part les doées sur les varables dot déped d e sot pas du même ordre ; pour certaes varables,, L, u mesurage va doer u esemble de doées que l o va pouvor trater statstquemet, alors que pour d autres, comme et w o accédera à des doées proposées par le costructeur. w Be que la problématque reste la même, à savor se doer ue dée de la dstrbuto des valeurs que pred d, évaluer l certtude sur d va demader de comber deux modes d évaluato, l u s appuyat sur ue aalyse statstque et l autre sur ue modélsato probablste. Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 9 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog L
. Dérets modes d évaluato de l certtude sur ue gradeur S o at varer la totalté des gradeurs dot déped le résultat d u mesurage, l certtude-type sur chacue des varables peut être évaluée par des moyes statstques. Cepedat, comme cela est raremet possble e pratque, l certtude-type sur certaes varables peut être estmée par utlsato d u modèle probablste décrvat la lo de propagato de l erreur sur cette varable. S ue gradeur est estmée par des moyes statstques, o dt qu o a ue évaluato de type A de l certtude-type sur cette gradeur. S ue gradeur est estmée par u modèle probablste, o dt qu o a ue évaluato de type B de l certtude-type sur cette gradeur. 3. Évaluato de type A d ue certtude-type O suppose das ce cas que la gradeur est estmée à partr d ue sére statstque o établt par exemple ue sére de 5 mesures de la logueur d ue pèce O otera,,..., u -échatllo de, où représete la varable aléatore assocée à la ème mesure de la gradeur. Les mesures x, x,..., x costtuet u échatllo des valeurs prses par. La varable aléatore a pour espérace celle de et la moyee arthmétque des valeurs x, x,..., x est e gééral ue boe estmato de l espérace E de la varable. O pred doc, e gééral, comme estmato poctuelle de le ombre x dé par : x +... x x Das l exemple du calcul de résstace, o pred 8,586 ohms o réserve le débat sur les chres sgcats pour plus tard comme estmato de la résstace mesurée. Pour ue gradeur estmée à partr de observatos répétées dépedates ce qu sge que les varables sot dépedates, obteues das les mêmes codtos de mesure, x, x,..., x ce qu mplquerat que chaque opérato de mesurage écesste le démotage et le remotage du dspost de mesure!, le ombre s x x est la «melleure» estmato de la varace de otée σ. s représete ue estmato de la dspersoσ des valeurs prses par autour de la moyee E. s est appelé écart-type expérmetal d ue mesure ou écart-type de répétablté. U résultat classque de statstque sur les los d échatlloage motre que la «melleure» estmato sur σ, varace de la moyee de, est s s L écart-type expérmetal de la moyee s moyee. est utlsé comme estmato de l certtude de la Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 0 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
E cocluso : S ue gradeur est estmée à partr de observatos répétées dépedates x, x,, x, alors x x x + x +... + x s l certtude-type ux sur so estmato x est s Il aut be compredre ce que sge ce résultat, c est ue des dcultés souvet recotrée : σ est le paramètre qu caractérse la dsperso des valeurs prses par et caractérse l certtude x +... x sur ue mesure. S o eectue mesures, x est ue moyee parm d autres possbles s o reasat à ouveau mesures, o obtedrat ue autre moyee ; c est u résultat das la populato de l té de moyees possbles. La théore des probabltés motre que la dstrbuto de l esemble des moyees est be mos dspersée la dsperso est dvsée par que l esemble des mesures uques. Cela corme l dée «pragmatque» que l estmato à partr d ue moyee est «melleure» que sur ue mesure seule. Dstrbuto de pour 5 Dstrbuto de Dstrbutos comparées : et Cepedat das la pratque, pour des problèmes de coût, o e pourra eectuer mesures et o aura souvet ue estmato de s, produte das des codtos smlares par u autre opérateur ou à u autre momet que celu de l évaluato de l certtude. O at l hypothèse que les mesures atéreures costtuet ue boe mage de la dsperso des mesures attachées à la procédure employée. La ormule précédete est doc pas applcable. O cosdère alors que l estmato de s reste l écart-type expérmetal d ue mesure. S o s eectue p ouvelles observatos dépedates, alors o predra u x p S ue gradeur est estmée à partr de p observatos répétées dépedates x, x,..., x p et s s est l écart-type expérmetal d ue mesure obteu auparavat à partr de valeurs alors x + x +... + x p l certtude-type ux sur so estmato x est s p p Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
Exemple : O eectue 0 mesures du damètre d u cyldre à l ade d u ped à coulsse et o obtet s 0,08 mm S l o eectue l évaluato de l certtude à partr de ces 0 observatos, l certtude-type reteue sur la moyee de ces 0 observatos sera ux 0, 08 mm 0 S o estme que cette évaluato, 0,08 mm, représete coveablemet l écart-type de la dsperso d ue mesure de ce cyldre autour de sa moyee, o peut predre s 0,08 mm comme l écarttype expérmetal d ue mesure étable à l ade du même type d strumet. C est cette valeur qu sera utlsée pour ue ouvelle mesure. L certtude-type sur ue mesure sera alors ux 0,08 mm L certtude-type sur la moyee de tros mesures ultéreures sera alors ux 0, 08 mm 3 Ue remarque : o vot sur cet exemple l ambgüté qu peut surgr de cette otato ux qu est employée pour désger u écart-type représetat ue certtude-type sur la gradeur, mas qu déped de la procédure utlsée. D où la écessté, comme ous le verros das les exemples tratés de be précser les codtos du mesurage. Repreos l exemple traté de la dmeso e od de raure. O eectue les deux séres de dx mesures de maère dépedate et o obtet, e mm : L 5,36 5,35 5,34 5,35 5,36 5,34 5,35 5,35 5,36 5,34 L 59,7 59,8 59,7 59,7 59,9 59,8 59,8 59,7 59,8 59,9 L écart-type de répétablté obteu sur ue mesure de L est égal à 8,64 x 0 3 mm et celu sur ue mesure de L est égal à 7,888 x 0 3 mm. Pour obter l écart-type reteu sur la moyee des 0 mesures de L, o predrat cette même valeur 8,64x0 3 mm dvsée par 0. 4. Évaluato de type B d ue certtude-type Lorsque l estmato d ue gradeur e peut être obteue à partr d observatos répétées, la varace estmée u x ou l certtude-type ux sot évaluées par u jugemet odé sur des los de probablté supposées a pror. La détermato de la lo de l erreur est lée à la maîtrse du processus de mesure et à l expérece de l opérateur ; elle déped d u esemble d ormatos qu peuvet être : des résultats de mesures atéreures ; l expérece ou la coassace du comportemet et des proprétés des matéraux et strumets utlsés ; de acteurs d luece température, presso,... ; des spéccatos du abrcat ; les doées oures par des certcats d étaloage ou autres ; l certtude assgée à des valeurs de réérece et doée avec ces valeurs. E aexe 4, o trouvera des exemples de los utlsées das les calculs d certtude as que les certtudes-types correspodates. Les los qu sot recotrées le plus souvet sot les los ormales et les los rectagulares ou uormes. Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
La lo ormale ou gaussee détallée e aexe 6 est cetrale das la théore des erreurs. O costate que le plus souvet, la dstrbuto des erreurs aléatores est ormale o e peut pas le motrer mas o peut le vérer par des tests de ormalté, et que même s ce est pas le cas, la dstrbuto des moyees l est gééralemet. Das l exemple des mesures de la résstace, la orme du dagramme peut lasser peser rasoablemet que la dstrbuto de l esemble des valeurs est ormale. La lo rectagulare ou uorme est utlsée souvet e calcul d certtude, lorsqu o e coaît qu ue majorato de l erreur, ce qu est souvet le cas pour les erreurs systématques. As s o peut rasoablemet are l hypothèse que les erreurs se stuet etre deux ombres a et b, la lo rectagulare sur [a, b] elle vaut etre a et b et 0 alleurs est de toutes les los dées sur ce même tervalle [a, b], celle qu a le plus grad écart-type ; pour cela o la omme paros la «lo du pre» e ce ses qu o e mmse pas l écart-type qu caractérse l certtude-type. 5. Détermato d certtudes de type B Le traval va être de chosr, e octo des ormatos recuelles ou des coassaces des processus, la lo de probablté qu lu semble être le meux représetatve du phéomèe étudé. As, s o sat rasoablemet que les valeurs de la gradeur sot comprses etre M d et M + d, le chox de la lo de propagato de etre M d et M + d va décder de l certtude-type reteue : S o suppose que la lo est ormale o predra ux d 3 d S o suppose que la lo est tragulare, o predra ux 6 d S o suppose que la lo est rectagulare o predra ux 3 O remarque sur les résultats précédets que l hypothèse d ue lo tragulare est u bo comproms etre les los ormales et rectagulares. E aexe 5, o trouvera les dspostos qu, sas ormato supplémetare, sot prses das la pratque. 6. Recommadatos pratques a Chox des composates de l certtude Das la pratque l exste de ombreuses sources possbles d certtude das u mesurage, telle que : la déto complète du mesurade ; u échatlloage o représetat ; ue coassace susate ou u mesurage mparat des codtos d evroemet ; u bas dû à l observateur das la lecture des strumets aalogques ; la résoluto de l strumet ; des valeurs exactes des étalos et matéraux de réérece ; des valeurs exactes des costates et paramètres reteus obteus par des sources extéreures par exemple ; des approxmatos das la méthode de calcul des certtudes ou das le processus de mesure. Ces sources e sot pas écessaremet dépedates, et certaes cotrbuet aux varatos etre les observatos répétées du mesurade das des codtos detques. Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 3 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
Il est mportat de e pas compter deux os les mêmes composates de l certtude. S ue composate de l certtude proveat d u eet partculer est obteue par ue évaluato de type B, elle e dot être trodute comme composate dépedate das le calcul de l certtude ale du résultat de mesure que das la lmte où l eet e cotrbue pas à la varablté des observatos répétées. Par exemple, la résoluto d u strumet de mesure, de sesblté adaptée au mesurage, cotrbue à la varablté des observatos répétées, par la précso des résultats obteus. Par cotre ue erreur évetuelle de justesse de cet strumet y cotrbue pas. b Icerttude-type sur ue gradeur Le mesurage d ue gradeur Y peut être modélsé par Y y 0 + E + E +... E où les varables E, E,..., E représetet les déretes composates dépedates de l erreur. U résultat statstque motre que u Y u E + u E +... u E Par exemple : Plaços ous das le cas où Y représete le mesurage d ue pèce das des codtos d evroemet cotrôlées. O suppose qu o eectue ue sére d observatos à l ade d u strumet de mesure et que les composates reteues de l erreur amèet au calcul de : u A, certtude-type détermée statstquemet sur la sére des observatos ; u B certtude-type détermée sur la justesse de l strumet de mesure. Alors l certtude reteue sur la gradeur Y est : Y u A ub u + Das l exemple «od de raure» traté, s les mesures de logueurs sot eectuées à l ade d u ped à coulsse au /00 dot l erreur de justesse maxmale est de 30m, alors l certtude sur ue mesure de L est : u A 0,0086 mm et 0,030 ub mm strumet véré 3 O a alors u L u A + u B 0,00036658 mm et o e dédut que u L 0,090... mm Nous précseros les règles d arrodssage e de documet Remarque : L strumet de mesure est adapté au mesurage, les erreurs attachées à la résoluto de l strumet sot prses e compte das la varablté des résultats des mesures. So l audrat predre e compte l erreur attachée à la résoluto de l strumet de mesure. Pour s e covacre, l sut d mager des mesures prses avec u strumet peu précs comme par exemple u mètre de charpeter ; toutes les valeurs seraet detques et l écart-type de répétablté égal à zéro! Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 4 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
II. Icerttude-type composée Repreos l exemple de la détermato des certtudes sur la dmeso e od de raure proposé Lw Lw page 8 ; o cherche à évaluer l certtude sur d dé par d, d est ue octo w w de L, L, w et w ; l va allor détermer cette certtude e octo des certtudes sur,, et w, c'est-à-dre l écart-type de la varable aléatore modélsat d. L L w C est l objet de ce paragraphe. A. Icerttude-type composée sur u mesurage E gééral pour détermer l certtude de mesure assocée à u résultat, l aut décrre le processus de mesure et détermer le modèle mathématque qu rele la valeur mesurée y du mesurade Y aux déretes gradeurs qu terveet das le processus : Y,,... où les sot des gradeurs mesurées, des correctos d erreurs systématques, des costates physques, des gradeurs d luece estmées,... O coat les los de répartto des erreurs sur chacue des gradeurs et doc l certtude-type ux sur chacue de ces gradeurs. L objet de ce paragraphe est de détermer l écart-type sur la varable Y qu représetera l certtude-type sur Y, appelée certtude-type composée de Y et otée uc y B. Détermato de l certtude-type composée Das le cas gééral, les erreurs état cosdérées comme «pettes» devat les valeurs des gradeurs, o utlse la ormule c-dessous dot o trouvera ue justcato e aexe 7 S Y,,... avec,,... dépedates alors o pred gééralemet u c y x u x où ux est l certtude-type sur x et u c y est l certtude-type composée sur y L expresso c-dessus s écrt égalemet uc y cu x avec c où représete x la valeur de réérece pour chacue des varables ue doée ou ue moyee de doées. La varace composée u y c peut as être cosdérée comme ue somme de termes dot chacu représete la varace estmée de la cotrbuto de chaque varable. Nous verros, das la présetato des résultats, que cette écrture permet de repérer le pods relat de chacu des acteurs terveat das l estmato de l certtude et as predre des décsos quat aux actos à mettre e œuvre pour dmuer cette certtude. Das le cas de l exemple de la détermato de la dmeso d e od de raure, o a vu que Lw Lw d w w Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 5 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog x
O obtet : d w d w c 3, c L w w, L w w d L L w c 5, 3 w w w d L L w et e c 4 3, 44 w w w E preat w 8mm, w mm, pour valeur de L la moyee 5,35mm des 0 valeurs et pour valeur de L la moyee 59,78mm des 0 valeurs. Et par coséquet u c d 3u L + u L + 5,u w + 3,44u w Le calcul explcte de l certtude composée sur d sera eectué e du documet. Remarque : Le cas où les varables e sot maestemet pas dépedates est ettemet plus délcat à trater. C est le cas par exemple lorsqu o déterme à l ade d u même multmètre, testé et dérece de potetel ; l est alors écessare d trodure la covarace etre les couples de varables o dépedates. O pourra alors se reporter au gude ISO sur le calcul d certtude qu proposera des ormules à applquer. Das le cas où les certtudes sot estmées à partr d observatos, u moye de vérer s les varables et Y sot dépedates, sas avor recours au coecet de corrélato, est de comparer les écarts-types de + Y et Y ; lorsque les résultats sot très dérets, o e peut pas cosdérer les varables dépedates. Sur l exemple des séres de mesures de L et L : L 5,36 5,35 5,34 5,35 5,36 5,34 5,35 5,35 5,36 5,34 L 59,7 59,8 59,7 59,7 59,9 59,8 59,8 59,7 59,8 59,9 L + L,53,53,5,5,55,5,53,5,54,53 L L 6,8 6,83 6,83 6,8 6,83 6,84 6,83 6,8 6,8 6,85 O a alors varl L 0,0359 et varl + L 0,03593 O peut remarquer que les deux varaces sot très proches, ce qu cte à peser que les varables L et L sot dépedates ce qu est assez aturel car la détermato des deux dmesos écesste u motage et démotage des pges. p p Remarque : s Y est de la orme Y k... p, u calcul smple des dérvées partelles motre qu à partr de la ormule détermat u c y, o peut écrre ue relato détermat u y l certtude-type composée relatve c e octo des certtudes-types composées relatves y ux u y. O obtet alors : p ux c. x y x Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 6 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
III. Icerttude élarge A. Noto d certtude élarge. Icerttude élarge Rappelos la problématque développée : Das les chaptres précédets, o a modélsé la mesure d ue gradeur Y comme varable aléatore, et o a détermé ue approxmato de l écart-type de cette varable que l o a oté u c y. L teto de départ est de ourr, autour du résultat d'u mesurage, u tervalle dot o pusse s'attedre à ce qu'l cotee ue racto élevée de la dstrbuto des valeurs qu pourraet rasoablemet être attrbuées au mesurade Y. Après l estmato de l écart-type de Y, l reste à estmer la lo de probablté suve par cette varable. Idéalemet, o amerat détermer u ombre k tel que s Y est estmé par y avec ue certtude Uy k uc y, alors o peut armer que : y Uy Y y + Uy avec ue probablté p proche de. Uy otée égalemet U est appelée certtude élarge sur Y. Détermato du acteur d élargssemet k La détermato de k correspod à ce qu o appelle e statstque la détermato d u tervalle de coace à u veau de coace p. Pour obter ce acteur k, l est écessare d avor ue coassace de la lo de probablté de la varable représetée par le résultat de mesure. Das la pratque ous avos au meux qu ue estmato de cette lo et de l écart-type assocé. Y y Cepedat, les proprétés de la lo ormale vor aexe 6 motret que sut uc y approxmatvemet ue lo ormale cetrée rédute dès que l ue des codtos suvates est vérée : u c y est pas domée par ue composate d certtude-type obteue par ue évaluato de type A odée sur quelques observatos, par ue composate d certtude-type obteue par ue évaluato de type B odée sur mos de tros los rectagulares ; les composates de u y c odées sur des los ormales sot sgcatvemet beaucoup plus grades que toute autre composate. Pour de ombreux mesurages pratques das ue large étedue de domaes, les codtos suvates prédomet : l estmato y du mesurade Y est obteue à partr des estmatos d u ombre sgcat de gradeurs d etrée qu peuvet être décrtes par des los de probabltés rasoables telles que des los ormales ou rectagulares ; les certtudes-types u x de ces estmatos, qu peuvet être obteues par des évaluatos de type A ou de type B, cotrbuet de maère comparable à l certtude-type composée uc y du résultat de mesure y ; l approxmato léare supposée par la lo de propagato de l certtude est coveable. Das ces codtos, o peut supposer que la lo de probablté suve par la varable Y est ormale e raso du théorème lmte cetral vor aexe 6 ; et u c y peut être cosdéré comme ue estmato rasoablemet able de l écart-type de cette lo ormale. x Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 7 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
O sat que s ue varable aléatore sut ue lo ormale de moyee m et d écart type σ, alors la probablté que l o at m,96σ m +, 96σ est égale à 0,95. Das la pratque, o pred le plus souvet k ce qu sge que das les codtos décrtes cdessus o peut peser rasoablemet que la procédure suve a plus de 95% de chaces d aboutr à u tervalle coteat eectvemet la «valeur vrae» de Y ou ecore que : l tervalle [ y uc y; y + uc y ] cotet evro 95% des valeurs que l o peut rasoablemet assocer à la gradeur Y. O dt alors que l certtude élarge U veau de coace d evro 95 %. uc y dét u tervalle [ y U y; y + U y ] ayat u Das certas cas o peut predre k 3 et cosdérer qu avec U 3 ayat u veau de coace d evro 99 %. uc y o dét u tervalle S les codtos d expérmetato précsées c-dessus e sot pas vérées, o e peut pas are l hypothèse que la varable Y sut approxmatvemet ue lo ormale. Das ce cas o dot aer la recherche de la lo de Y et recourr à d autres los comme la lo de Studet. B. Présetato des résultats. Arrodssage Les résultats mesurés ou calculés peuvet comporter des chres qu ot pas de ses e regard à l certtude détermée sur la mesure. Il est doc écessare de procéder à u arrodssage du résultat obteu. Les règles à applquer sot doées c-dessous : S l certtude élarge est U, alors o arrodt de aço que l erreur due à l arrodssage sot éreure à /0 de l certtude U reteue ; Le derer chre reteu sut les règles d arrodssage «au plus près» habtuelles. Remarques : Pour coserver ue cohérece, les certtudes serot doées avec au plus deux chres sgcats. Tout arrodssage des certtudes se era, par prudece, par excès. Pour lmter le cumul d erreurs sur les arrods, l arrodssage est eectué sur le résultat al. Pour les calculs termédares o gardera doc des chres qu peuvet être o sgcats. Exemples S y,357 et u c y estmé à 0,3 avec k. Alors U 0,464. L erreur d arrodssage devra alors être éreure à 0,04. O arrodt doc au /00 près. Par coséquet, o predra : y,3 ± 0,47 S y 3,385 et u c y estmé à,89 avec k. Alors U 5,784. L erreur d arrodssage devra alors être éreure à 0,57. O arrodt doc au /0 près. Par coséquet, o predra : y 3,4 ± 5,8 Cepedat, le calcul d certtude, basé sur des estmatos s appue sur des approxmatos coassace des los et des coassaces mparates ature des sources d erreurs. Il est lu-même soums à certtude Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 8 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
O peut estmer que das le cas d ue estmato d ue gradeur comme la moyee de valeurs, le pourcetage d certtude sur l certtude proposée est r vor aexe 8 As l certtude sur l certtude détermée sur la moyee de 0 valeurs est de l ordre de 5%, et celle sur la moyee de 50 valeurs de l ordre de 0%. Ce résultat juste le chox qu a été at das le documet proposé par l Ispecto Géérale de Physque de e coserver qu u seul chre sgcat. O pese souvet que les méthodes d évaluato de type A de l certtude, détermée à partr de doées statstques doet des résultats plus ables que ceux obteus à partr d hypothèses sur les los de probabltés suves par les erreurs supposées. L évaluato c-dessus de l mprécso de l certtude de type A, relatvse ortemet cette asserto!. Présetato des résultats Lorsqu o exprme le résultat d u mesurage et so certtude, l est bo de doer u maxmum d ormatos sur les codtos d obteto des résultats aocés, par exemple : Décrre les méthodes utlsées ; Doer la lste des composates de l certtude et la maère dot elles ot été évaluées ; Préseter l aalyse des résultats de telle aço que ces derers pusset être réutlsés ; Les résultats précserot, au mmum, le acteur d élargssemet et le veau de coace de l tervalle estmé. Par exemple : y 5,34 mm ± 0,046 mm où l certtude exprmée est ue certtude élarge d u acteur k 3. Cette certtude dét u tervalle estmé avor u veau de coace proche de 99 %. C. E cocluso Pour détermer ue certtude sur u mesurage : Chosr ue méthode de mesurage. Modélser le mesurage : Détermer les déretes varables qu etret das le mesurage. Détermer les gradeurs d luece. Détermer la octo mathématque qu le ces varables. Détermer les composates de l erreur sur chacue des varables. Lster les composates aléatores et les composates systématques. Détermer les certtudes-types sur chacue des varables. Estmatos de type A statstques ou de type B probablstes Évetuelle Icerttude type composée sur chaque varable Détermer l certtude type composée sur le mesurage. Détermer le acteur d élargssemet assocé à la lo supposée représeter la répartto des valeurs prses par le mesurade. Doer l certtude élarge sur le mesurage avec ses caractérstques. Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 9 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
D. U exemple Repreos l exemple traté de la dmeso e od de raure. O a les doées suvates : La pge w est ue pge de 8mm. Le certcat d étaloage dque que «l certtude à deux sgmas» est de m. La pge w est ue pge de mm. Le certcat d étaloage dque que «l certtude à deux sgmas» est de m. Les mesures de logueurs sot eectuées à l ade d u ped à coulsse au /00 dot l erreur de justesse maxmale est de 30m. O suppose que la salle de mesure est mateue à ue température régulée de 0 C. la méthode de mesure chose est celle avec deux pges, a de s arachr du cotrôle de la mesure de l agle. la modélsato mathématque est doée par d Lw w Lw w détermos les sources d certtude sur les résultats obteus : certtudes lées aux mapulatos ; certtude de justesse de l apparel de mesure ; certtude sur le damètre des pges ; certtude due à la orme de l objet e parte prse e compte das a ; certtude dues aux codtos evroemetales : stablté de la température, dérece de température etre la pèce et les pges églgée, car able devat a. détermos les valeurs des coecets : d w d w O a : c 3, c L w w, L w w d L L w c 5, 3 w w w d L L w et e c 4 3, 44 w w w E preat w 8, w, pour valeur de L la moyee 5,35 des 0 valeurs et pour valeur de L la moyee 59,78 des 0 valeurs détermos les certtudes sur les quatre varables : L certtude-type sur L a déjà été calculée et elle a pour valeur 0,090 L certtude-type sur L se calcule de même et elle a pour valeur 0,09 avec 0,030 ub mm strumet véré 3 u A 0,00780 mm et L certtude-type sur w, comme sur w est 0,000 mm 0,000 mm représete deux écarts-types Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 0 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
Résumos les résultats das u tableau, les doées sot exprmées e mm : Composates Sources d certtudes u x c c u x Pods relat u L 0,090 3 0,0570 68,% s 9 Observatos répétées 0,0086 u Erreur de justesse du PAC 0,03 / 3 j u L 0,09 0,0384 3% s 9 Observatos répétées 0,00780 u Erreur de justesse du PAC 0,03 / 3 j u w Doée costructeur sgmas 0,00 5, 0,005 0,55% u w Doée costructeur sgmas 0,00 3,44 0,0034 0,5% O a alors u c d 0,0570 D où d 0,069... u c + 0,0384 + 0,005 + 0,0034 Avec u coecet d élargssemet k, o predra U 0,4 mm. 0,00478... Le pods able des certtudes assocées à des varables rectagulares ous permet rasoablemet de are l hypothèse que la varable d sut approxmatvemet ue lo ormale. E cocluso : L certtude sur d élarge d u acteur k vaut 0,4 mm ; cette certtude dét u tervalle estmé avor u veau de coace proche de 95%. Remarque : À la lecture de ce tableau, o peut remarquer la part mportate de l certtude sur les calculs de logueurs ; ue aalyse de l certtude obteue à partr d ue méthode s appuyat sur ue estmato de l agle α permettrat d évaluer la pertece du chox de cette méthode. Remarque : U logcel, développé par Jea-Mare Basa permet d automatser les calculs. Il est dspoble à l adresse : http://jeamare.basa.ree.r/logcel.html Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
IV. Aexes Aexe : Les certtudes-types sur le mesurage d ue gradeur. Mesure sas correcto Dstrbuto des moyees de p mesures σ p σ Dstrbuto des mesures σ Vv m x es ea us u La gradeur est estmée par la moyee x de p mesures m est la moyee de la populato e des mesures est l écart-type de la populato e des mesures V.v est la valeur vrae déale e s est l erreur systématque sur le mesurage ea est l erreur aléatore sur la moyee x des p mesures u a est l certtude-type de l erreur aléatore sur les p mesures u s est l certtude-type de l erreur systématque La melleure estmato de x est x a L certtude type sur la gradeur x est ux dée par u x ua x + us x Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
. Mesure avec correcto Dstrbuto des moyees de p mesures σ p Dstrbuto des mesures σ Vv m x es c ea us u a La gradeur est détermée à partr de la moyee x de p mesures m est la moyee de la populato e des mesures est l écart-type de la populato e des mesures V.v est la valeur vrae déale c est la correcto eectuée sur les mesures e s est l erreur systématque sur le mesurage ea est l erreur aléatore sur la moyee x des p mesures u a est l certtude type de l erreur aléatore sur les p mesures u s est l certtude type de l erreur systématque sur la correcto La melleure estmato de x est x c L certtude type sur la gradeur x est ux dée par u x ua x + us x Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 3 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
Aexe : La Démarche de recherche des causes Les «cq M» Dsperso METHODES Nombre de mesures Durée de la mesure Chox de la méthode Chox de la réérece Chox de l apparel Nombre d opérateurs Correctos MAIN D OEUVRE opérateur Eort de mesure Expérece Formato Parallaxe Iterpolato Vue Température MOYENS apparellage Justesse Fdélté Géométre Résoluto Icerttude d étaloage Température Correctos INCERTITUDES DE MESURES MILIEU evroemet MATIERE produt mesuré Température Hygrométre Presso Vbratos Poussères Magétsme Rayoemets Température État de surace Déormablté Postoemet Géométre Aspect Magétsme Source : Isttut Médterraée de la Qualté Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 4 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
Aexe 3 : Démarche de détermato d ue certtude sur ue gradeur Y Chox de la méthode de mesure Lster : o Les varables dépedates terveat das le calcul du mesurade o o Les gradeurs d luece Les sources d certtude Modélser la octo mathématque qu le les varables Détermer les valeurs prses par o Calculs des x o Doées Applquer des correctos évetuelles aux valeurs prses par o Calculs des x o Doées Observatos répétées Utlsatos de doées atéreures Détermer les certtudes-types u x Estmato à partr de chox de los de probabltés Estmato à partr d ormatos subjectves Relato octoelle mathématque coue : Y,..., Détermato des coecets x Détermer u c Y Relato octoelle dclemet ormalsable ou algorthmque : Recherche expérmetale de l luece de sur Y? Δx ΔY Chosr le veau de coace Détermer le acteur k assocé Détermer U Y et coclure Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 5 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
Aexe 4 : U rappel des los de probablté. Los ormales Ces los sot d ue grade mportace car elles se trouvet être los lmtes de la moyee de varables aléatores das le cas de ombreuses los, lors d observatos répétées de maère dépedate. allure de la desté de m S ue varable sut ue lo ormale de moyee m et d écart-type σ o a alors : Probablté σ m σ 0,68 Probablté σ m σ 0,95 Probablté 3σ m 3σ 0,997 Cette derère égalté dque que quasmet la totalté des doées sot stuées etre 3σ et 3σ. O dt paros que l étedue des valeurs représete 6σ, ce qu permet de doer rapdemet ue estmato de l écart-type e dvsat cette étedue par 6.. Los rectagulares ou los uormes Ue varable sut ue lo uorme sur u tervalle [a, b] s sa octo de desté est dée par x pour a x b et x 0 so b a b a a m σ m m+σ b allure de la desté La moyee de est b+ a et so écart-type est σ b a 3 Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 6 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
Par exemple das l utlsato d u apparel umérque de résoluto 0,0 uté et qu doe,46 comme achage, o at l hypothèse que le résultat réel est avec la même probablté 0 etre,455 et,456, etre,456 et,457,. ou etre,464 et,465. L certtude-type lée à la résoluto de l apparel sera 0,0 3 Ue remarque : cette lo est celle du «pre», c'est-à-dre que pour des valeurs que l o sat comprses etre a et b, c est la lo qu a le plus grad écart-type. 3. Los tragulares Ue varable sut ue lo tragulare sur u tervalle [ a, b ] s sa octo de desté est dée par : 4 x a x pour a x b+ a b a 4 b x x pour b+ a b a ; x b ; x 0 so b a a m σ m m + σ b allure de la desté La moyee de est b+ a et so écart-type est σ b a 6 Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 7 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
Aexe 5 : Les recommadatos de détermato d certtude de type B. Résoluto d ue dcato umérque. S la résoluto d u strumet umérque est d, la valeur du sgal mesuré peut se stuer «avec ue d d égale probablté» à mporte quel edrot de l tervalle allat de à +. Le sgal mesuré sut doc ue lo rectagulare de largeur d O predra doc : ux d 3 Exemple : s u strumet de pesage a u dspost dcateur dot le derer chre sgcat correspod à g, l certtude-type sur la résoluto est u g sot evro 0,9g 3. Hystéréss L dcato d u strumet peut varer selo que les lectures se ot par valeurs crossates ou décrossates. L opérateur prudet ote le ses des lectures successves et at les correctos écessares. Cepedat le ses de l hystéréss est pas toujours décelable oscllatos autour d u pot d équlbre par exemple et o suppose alors que la lo de probablté suve par l hystéréss est ue lo rectagulare. S l étedue des lectures possbles dues à cette cause est δx, alors ux δx 3 3. Arrodssage, calculs à précso lmtée L arrodssage ou la trocature des ombres qu se produt das les réductos automatques de doées par les ordateurs peut auss être source d certtude problème de soustractos de ombres proches par exemple. S ue smulato de doées proches sur les gradeurs d etrées permet de déceler ue varato sur la valeur de sorte, o suppose que cette valeur sut ue lo rectagulare. S δx est la plus pette varato de la gradeur de sorte, alors ux δx 3 4. Icerttude-type sur u strumet véré S le métrologue utlse u strumet véré, ce derer est coorme à ue classe qu est dée par ue lmte ±α. S o suppose que les valeurs achées suvet ue lo rectagulare, o predra alors ux α 3 Cepedat, s l y a des rasos de peser que les valeurs stuées près de 0 sot plus probables que celles stuées près de α ou α o pourra peser que la lo de propagato de l erreur est ormale ou par prudece tragulare ; o predra alors : ux α 3 chox de ormalté ou ux α 6 Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 8 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
5. Icerttude-type sur u strumet étaloé Das le cas d u strumet étaloé, le certcat d étaloage aoce ue certtude U. E at cette valeur U est égale à l certtude-type ux multplée par u acteur d élargssemet k pratque justée e de documet. O predra doc ux U k E prcpe, le acteur d élargssemet devrat être précsé avec l certtude doée par le costructeur. S aucue précso est ate, o supposera que k. Remarque : o suppose e gééral que la détermato de l certtude-type obteue s appue sur ue lo de dstrbuto de l erreur ormale. 6. Icerttude-type due aux eets de la température E métrologe dmesoelle, la température est u acteur d luece de premer ordre. Pour e mmser les eets, ue méthode souvet employée est de comparer le mesurade à u étalo de réérece de même logueur dot o coat la valeur «vrae» à la température de 0 C. La température tervet à dérets veaux : écart de température avec 0 C oté Δt La lo de propagato de l erreur sur des gradeurs sous cotrôle par exemple température das u ba régulé demade ue aalyse e de la ature des régulatos ou ue aalyse statstque pertete. Das u mleu clmatsé, la lo de propagato de l erreur sur l écart à 0 C est e gééral assmlée à ue lo e «dérvée d arcsus». Das ces codtos, o predra : uδt Δt écart de température etre le mesurade et les cales étalos oté δt E gééral, o at l hypothèse que δt sut ue lo ormale et o pred alors δ t uδ t 3 Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 9 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
Aexe 6 : La lo ormale L'établssemet, au début du Ie sècle, de la lo "ormale", dot l'usage est odametal e statstque, s'est at par deux voes : celle, das le cadre de la "théore des erreurs", de la méthode des modres carrés, qu aboutt avec Carl Fredrch Gauss 777-855, et celle des théorèmes lmtes, avec l'éocé d'ue premère verso du théorème lmte cetral par Perre Smo de Laplace 749-87. L'astroome et la géodése sot à l'orge des questos théorques sur la répartto des erreurs de mesure "accdetelles" que l'o peut qualer d'aléatores, dues à l'addto de ombreux acteurs dépedats codtos de la mesure, erreurs de lecture, de vsée..., qu peuvet dure ue erreur das u ses ou das l'autre. L'object est de pouvor aller au delà de la précso d'u strumet, e "combat" pluseurs mesures de la même quatté, de aço à calculer la "melleure estmato" de cette derère. Adre-Mare Legedre 75-833 puble e 805 la méthode cosstat à mmser la somme des carrés des écarts. Idépedammet, Gauss, alors drecteur de l'observatore de Göttge, parvet, das le cadre de l'étude des orbtes plaétares, à cette même méthode des modres carrés, dt-l dès 794 l e coteste la paterté à Legedre, mas e publera qu'e 809. L'orgalté de Gauss est d'établr les les qu exstet etre cette méthode et les los de probablté, aboutssat à la "lo gaussee" : Il rasoe as : Sot ue quatté θ coue, pour laquelle o possède pluseurs mesures x, x,..., x. O cherche à mmser la somme des carrés des écarts θ. E cosdérat cette quatté comme ue octo de θ u smple calcul de dérvée motre que la valeur de θ redat mmale la somme des x +... + x carrés des erreurs est la moyee : x E evsageat la questo d'u pot de vue probablste, o cosdérera que les erreurs e x θ,..., e x θ sot des réalsatos de varables aléatores dépedates E,..., E de même lo cotue de desté, dépedat de la valeur coue θ. Pour θ doé, la probablté d'eectuer des erreurs à la premère mesure etre e et e + de vaut evro e de, et e vertu de l dépedace des mesures, la probablté que les erreurs se stuet etre e et e + de,., e et e + d e est alors, e e. e de de de. O peut alors retourer le rasoemet à la aço de Bayes et se demader, les mesures x,..., x état coues, quelle est la valeur de θ la plus vrasemblable. C'est à dre, quelle est la valeur de θ qu redra maxmale la probablté d'observato des mesures x,..., x réellemet observées doc des erreurs e,..., e Il s'agt de rechercher θ, doc, de sorte que e e, e de de de sot maxmum cette démarche est ommée "maxmum de vrasemblace". x +... + x Sachat que la moyee arthmétque x correspod à la valeur recherchée de θ, Gauss kx e dédut par u calcul algébrque assez smple que la octo est de la orme x Ce. La octo état ue octo de desté, o motre que C et plus gééralemet, o appelle π x m lo ormale de moyee m et d écart-type σ, la lo de desté dée par x e σ σ π x Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 30 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
Exemples de desté de los ormales de moyee et de varace As lorsque, lors de mesures, l'addto de pluseurs acteurs aléatores dépedats et sesblemet équvalets dut des erreurs, celles-c se répartsset selo la lo de Gauss et la moyee arthmétque des mesures ourt l'estmato qu mmse la somme des carrés des erreurs. L'approche de Laplace se stue das la voe des los lmtes. Il motre, que sa "secode lo des erreurs" qu est la lo de gauss présetée précédemmet approche la dstrbuto des moyees arthmétques de erreurs dépedates de même lo. Laplace et Gauss réalset as, au début du Ième sècle, ue sythèse etre l'approche emprque des modres carrés et celle, probablste, des los lmtes. Avec Laplace, la lo ormale s'mpose comme presque uverselle. E eet, même s la dstrbuto dvduelle des erreurs e sut pas ue lo ormale, celle des moyees des erreurs sut approxmatvemet, sous certaes codtos dépedace, los detques, ue lo ormale. Plus précsémet o peut éocer u résultat qu est cetral das la théore des probabltés : Soet des varables aléatores dépedates de même moyee m et d écart type σ. Pour susammet grad, la varable moyee m et d écart-type σ. σ sut approxmatvemet la lo ormale de même Ce qu sge que s les suvet ue lo quelcoque de moyee m et d écart-type σ alors la varable aléatore sut approxmatvemet ue lo ormale. As, o peut schématquemet dre que s o cosdère que l esemble des mesures d ue gradeur est assocé à ue dstrbuto par exemple uorme, alors s à chaque sére de mesures o assoce la moyee de ces mesures, la dstrbuto de l esemble de ces moyees est approxmatvemet ormale. Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 3 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
Deux remarques : S la lo suve par les varables exactemet ormale. est ormale, la lo suve par plus la valeur de est grade, melleure est l approxmato. est E at ce résultat se dédut d u théorème plus gééral de covergece très utlsé das la théore probablste des erreurs, le théorème lmte cetral TLC : Soet des varables aléatores dépedates de même moyee m et d écart type σ., o ote Z σ m Alors pour toute valeur de z, et T ue varable qu sut la lo ormale de moyee ulle et d écart type. P Z < z ted vers P T < z quad ted vers +. m m O dt que la varable Z coverge e lo vers la varable T. σ σ C est ce théorème qu permet de juster ce que l expérmetato permet de costater : das des codtos de mesurages où les certtudes preet des valeurs du même ordre, alors la varable aléatore qu modélse l erreur sut approxmatvemet ue lo ormale. Proprétés de la lo ormale S ue varable sut ue lo ormale de moyee m et d écart-type σ alors o a alors : Probablté σ m σ 0,68 Probablté σ m σ 0,95 Probablté 3σ m 3σ 0,997 Cette derère égalté dque que quasmet la totalté des doées sot stuées etre 3σ et 3σ O dt paros que l étedue des valeurs représete 6σ, ce qu permet de doer ue estmato grossère de l écart-type e dvsat cette étedue par 6. Il va être mportat de pouvor vérer s la lo cosdérée est ormale, c est ce qu est at au travers de «tests de ormalté». Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 3 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
Tests de ormalté Das u test de ormalté o compare la dstrbuto d u échatllo de doées avec la dstrbuto «théorque» attedue sous l hypothèse que cet échatllo correspod à u trage de doées des valeurs prses par ue varable aléatore qu sut ue lo ormale. Le plus smple est graphque drote de Hery, ce qu a pour térêt ue grade smplcté mas pour covéet de mal maîtrser le veau d approxmato. D autres tests peuvet être ms e œuvre comme le test du Kh qu permet de se doer ue règle de décso ou ecore celu de Kolmogorov qu ae le rsque d erreur. O e développera c-dessous que le test de Hery. Le prcpe de la drote de Hery du om d u artlleur qu avat ms au pot cette méthode pour l étude de précso des trs est smple ; l dée état, à l ade d u chagemet de varable, d ajuster les doées avec ue drote, et d utlser la régresso léare selo les modres carrés pour quater la qualté de l'ajustemet d'ue dstrbuto statstque observée avec celle d'ue lo ormale. Pour cela o compare la réquece cumulée des doées jusqu à ue valeur x avec la probablté «théorque» jusqu à cette même valeur. As, s o cosdère ue varable aléatore suvat la lo Nm; σ, sa octo de répartto F est doée, pour tout x IR, par : m x m x m y F x P x P Π t avec t et Π la octo de répartto de la σ σ σ lo ormale cetrée rédute dot les valeurs sot doées das des tables. S o cosdère mateat la sére des doées, l'aalogue de la octo de répartto est la réquece cumulée ; pour ue valeur x de la dstrbuto statstque, o ote y la réquece cumulée crossate. S la lo de la dstrbuto des doées est ormale, les réqueces y cumulées des doées jusqu à ue valeur x dovet correspodre à des probabltés doées par la table de la lo ormale. C'est-à-dre qu s o ote t la valeur, doée par lecture verse de la table de la lo ormale cetrée rédute pour la réquece cumulée y doc telle que y Π t, alors le uage de pots x ; t x m devrat être algé ou tout du mos correctemet ajusté par la drote d équato t que l'o σ omme drote de Hery. Remarque : le tracé de cette drote permet égalemet de doer ue estmato de m et σ. Preos u exemple : U mesurage ourt les 50 doées suvates : x 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5, 5, 5,3 5,4 4 7 9 9 8 6 4 O s terroge sur la ormalté des doées. O complète le tableau par les réqueces, les réqueces cumulées et les valeurs de t assocées, lues das ue table doat la octo de répartto de la lo ormale cetrée rédute. Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 33 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
x 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5, 5, 5,3 5,4 4 7 9 9 8 6 4 Fréqueces 0,04 0,08 0,4 0,8 0,8 0,6 0, 0,08 0,0 Fréqueces cumulées y 0,04 0, 0,6 0,44 0,6 0,78 0,90 0,98 t,75,7 0,64 0,5 0,3 0,77,8,05 Il sut alors de tracer le uage des pots x ; t et de détermer l ajustemet léare par la méthode des modres carrés, par exemple avec l ade d u tableur. La valeur du coecet de corrélato est u dcateur de la qualté de la «ormalté». 3,5 t 5,833x 5,57 y 5,833x - 5,57 R 0,9958,5 R 0,9958 0,5 0-0,54,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5, 5, 5,3 5,4 5,5 - -,5 - Le uage de pots x ; t est approxmatvemet «léare» et le coecet de corrélato est très proche de. O peut accepter le at que les doées sot ssues d ue dstrbuto approxmatvemet ormale. O a 5, 833 σ m et 5, 57 σ d où o dédut que l o peut estmer σ par 0,9 et m par 4,93. Remarque : Il exste u paper dt «gausso-arthmétque» qu permet de cotrôler «au jugé» la ormalté des doées e plaçat drectemet sur u graphque, o pas les pots x ; t mas les pots x ; y. Sa grade smplcté at so térêt et l est ecore employé. Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 34 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
Aexe 7 : Icerttude composée O ote l espérace de chacue des varables et E,...,, ; e gééral ces espéraces e sot pas coues mas estmées par qu peut être ue moyee ou o d observatos. S o ote, o peut estmer par ou par la moyee x,...,, x x x x Y E x y de observatos répétées. Commeços par le cas d ue octo léare de deux varables, k k Y + ; + + + k k k k Y et k k Y + D où + + Y As, s o gééralse au cas d ue octo léare de varables, k k k Y + +... Chacu des coecets est la dérvée partelle de par rapport à la varable, les dérvées secode sot toutes ulles et u développemet de Taylor de au vosage de se rédut à : k Y + et par coséquet, Y,, j j j j j Y +,, j j j j j E E Y Y E + Sot :, cov,, j j j j Y σ σ + Das le cas où les varables sot dépedates et est léare, o a doc,,... Y σ σ et par coséquet c x u y u Remarque : das la pratque o estme µ par x x x x,,... et o remplace la otato par x O écrt alors c x u x y u. Das le cas gééral, les erreurs état cosdérées comme «pettes» devat les varables, o procède à u développemet de Taylor au rag de au vosage de x x x x,,..., ce qu revet à dre qu e u pot, o assmle ue courbe à sa tagete, ue surace à so pla taget. O calcule alors l certtude composée sur y à l ade de la ormule présetée c-dessus. Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 35 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
Aexe 8 : Icerttude sur l certtude S ous repreos le cas de l estmato de type A d ue gradeur, cosdérée comme ue varable aléatore. O a oté,,..., u -échatllo de, où représete la varable aléatore assocée à la ème mesure de la gradeur ; la varable est u estmateur de la moyee de et S est u estmateur de la varace de. O sat alors que gradeur. S est u estmateur de l écart-type de, qu caractérse l certtude sur la Par coséquet, pour estmer ce que représete e pourcetage l certtude sur cette certtude sur, S var S S o déterme le rapport de l écart type de par la moyee de, c'est-à-dre r S E Das u cas gééral, ce rapport est dclemet calculable. Cepedat, s la varable sut ue lo S ormale alors o motre que la varable sut ue lo du χ à degrés de lberté, et o σ motre alors que r O e trouve ue démostrato calculatore mas orgale das le lvre de Joh Taylor As l certtude sur l certtude sur la moyee de 0 valeurs est de l ordre de 5%, et celle sur la moyee de 50 valeurs de l ordre de 0%. Ce résultat juste le chox qu a été at das le documet proposé par l Ispecto Géérale de Physque de e coserver qu u seul chre sgcat. O pese souvet que les méthodes d évaluato de type A de l certtude, détermée à partr de doées statstques doet des résultats plus ables que ceux obteus à partr d hypothèses sur les los de probabltés suves par les erreurs supposées. L évaluato c-dessus de l mprécso de l certtude de type A, relatvse ortemet cette asserto! Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 36 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog
V. Bblographe Gude pour l expresso de l certtude de mesure GUM verso orgale de 995, revue et corrgée e 008, téléchargeable sur le ste du Bureau Iteratoal des Pods et Mesures BIPM à l adresse http://www.bpm.org/r/publcatos/gudes/gum.html Nombres, mesures et certtudes Ispecto géérale Sceces Physques et Chmques. Eduscol http://meda.eduscol.educato.r/le/pc/66/3/ressources_pc_ombres_mesures_certtudes_4466 3.pd Quater l certtude das les mesures aalytques. CITAC, téléchargeable sur le ste du Laboratore Natoal de Métrologe et d Essas LNE à l adresse : http://www.le.r/publcatos/eurachem_gude_certtude_r.pd DUTARTE Phlppe, PIEDNOIR Jea-Lous ; Eseger la statstque au lycée : des ejeux aux méthodes. IREM Uversté Pars 3 LECOLLINET Mchel Evaluato et expresso des certtudes de mesures. CNAM MOREAU Reé. Mesures, erreurs et certtudes e physque chme. La plurdscplarté das les esegemets scetques. Actes du sémare d été 9 au 3 jullet 00 PRIEL Marc, PERRUCHET Chrstophe. Estmer l certtude, mesures, essas. AFNOR ROBERT Claude, TREINER Jacques. Icerttude des mesures de gradeur ; téléchargeable à l adresse : http://www.statstx.r/img/pd/erreurs_et_dsperso.pd TAYLOR Joh. Icerttudes et aalyse des erreurs das les mesures physques. Duod 000 remarque : ce lvre amérca 'est pas totalemet das l approche probablste, l est e parte seulemet coorme à la orme AFNOR Mstère de l éducato atoale, de la jeuesse et de la ve assocatve DGESCO-IGEN Page 37 sur 37 Mathématques Physque-chme Mesure et certtudes http://eduscol.educato.r/prog