Solutions entropiques des lois de conservation scalaires unidimensionnelles

Soluions enropiques des lois de conservaion scalaires unidimensionnelles Version corrigée du 3 décembre 2008 Nicolas BONNOTTE Amaury FRESLON Suje proposé par Olivier GLASS Mémoire de maîrise 2008 Première année de la FIMFA École normale supérieure, PARIS

TABLE DES MATIÈRES 1. INTRODUCTION 2 2. MÉTHODE DES CARACTÉRISTIQUES 3 2.1. Cas général............................................. 3 2.2. Applicaion aux lois de conservaions........................ 4 2.3. Applicaion aux équaions d Hamilon Jacobi................. 5 3. ÉQUATIONS DE CONSERVATION 7 3.1. Soluion régulière e caracérisiques........................ 7 3.2. Soluions faibles......................................... 10 4. ÉQUATIONS D HAMILTON JACOBI 17 4.1. Calcul des variaions..................................... 18 4.2. Équaions d Hamilon.................................... 18 4.3. Transformée de Legendre................................. 19 4.4. Formule de Lax Hopf..................................... 21 4.5. Reour sur la résoluion locale.............................. 26 4.6. Semiconcavié e unicié.................................. 27 5. RETOUR SUR LES LOIS DE CONSERVATION 32 5.1. Résoluion de la loi de conservaion scalaire.................. 33 5.2. Quelques propriéés de la formule de Hopf Lax............... 34 5.3. La formule de Lax Oleinik................................. 35 5.4. Condiion d enropie..................................... 36 5.5. Un exemple imporan : le problème de Riemann.............. 37 5.6. Décroissance en norme infinie............................. 39 REMARQUE CONCERNANT LES NOTATIONS Afin d évier d alourdir inuilemen les équaions, on omera presque sysémaiquemen, lorsqu aucune ambigüié n exise, les variables. Ainsi, on pourra noer simplemen u au lieu de u(x(s, (s. Le gradien de f : R n R sera noé Df. Si f dépend de variables scalaires a, b... on noera a f, b f... ou simplemen f a, f b... les dérivées parielles. Si f dépend de plusieurs variables vecorielles a, b... on noera D a f, D b f... les différenielles parielles. De la même manière, la différenielle de v : R n R p sera noé Dv. 1

1. INTRODUCTION Supposons que nous voulions éudier, dans un milieu donné, l évoluion d une quanié physique elle que la masse ou la charge élécrique. Noons ρ la densié volumique de cee quanié e j son couran volumique. En faisan un bilan dans un élémen de volume, on obien l équaion suivane : ρ + div j = 0. Cee équaion es fondamenale par exemple en mécanique des fluides, où ρ représene la densié du fluide. Elle inervien égalemen dans des problèmes de dynamiques de foules ou pour déerminer le comporemen d animaux. Plus généralemen, on appelle loi de conservaion scalaire oue équaion aux dérivées parielles de la forme : u + div A(u, x = 0 dans R n ]0,+ [, u = g pour = 0. Nous allons ici nous resreindre à des lois de conservaion sur R ]0,+ [, en supposan de plus que A, désormais à valeurs réelles, ne dépend que de u. Ainsi, la divergence devien une simple dérivée par rappor à x. Voici donc l équaion aux dérivée parielles que nous nous proposons d éudier : u + f (u x = 0 sur R ]0,+ [, u = g pour = 0. où u = u(x, es l inconnue, à valeurs réelles, e où f : R R es régulière, au moins C 1 il pourra cependan arriver que l on impose f de classe C 2. On appelle f la foncion de flux. L équaion es ici présenée sous la forme d un «problème de Cauchy» unidimensionnel, puisque nous avons une équaion e une condiion iniiale. Nore objecif es de donner sur les évenuelles soluions des condiions suffisammen fores pour qu il exise une e une seule soluion qui les remplisse. Nous obiendron au passage une formule explicie pour la soluion en quesion. Mais avan cela, il nous fau développer une méhode fondamenale dans le domaine des équaions aux dérivées parielles. 2

2. MÉTHODE DES CARACTÉRISTIQUES La méhode des caracérisiques es une echnique à la fois simple e élégane qui perme d obenir des informaions sur les soluions d une équaion aux dérivées parielles du premier ordre e même parfois de la résoudre expliciemen. C es donc un ouil fondamenal, que nous uiliserons à plusieurs reprises par la suie. 2.1. Cas général. On s inéresse aux soluions u = u(x de l équaion aux dérivées parielles F(Du,u, x = 0 dans U, u = g sur U, (2.a avec U un ouver de R n. On supposera que F = F(p, z, x e g = g (x son indéfinimen différeniables. Si x 1 es un poin de U, il es possible de relier x 1 à un poin x 0 de la fronière par un chemin x = x(s. En déerminan quelles équaions son alors vérifiées par u(x si u es une soluion, il doi êre possible de calculer u(x 1 à parir de la connaissance de u(x 0 = g (x 0 e des variaions de u, si besoin es en jouan sur le chemin x(s. x 1 x 0 U Considérons u une soluion e x(s un chemin dans U paran de x 0 U. Pour chercher ces variaions, on pose : x = x(s, p = Du(x(s, z = u(x(s. 3

Si l on dérive la deuxième e la roisième ligne par rappor à s, on obien : ṗ = D 2 u ẋ, ż = Du ẋ. D un aure côé puisque F(Du,u, x = 0, en différenian par rappor à x, on a : D p F D 2 u + ( z FDu + D x F = 0. Pour simplifier, on peu imposer ẋ = D p F(p, z, x, e alors on obien le sysème : ẋ = D p F ṗ = ( z F p D x F ż = D p F p. (2.b 2.2. Applicaion aux lois de conservaions. Cee méhode peu êre uilisée avec profi pour les lois de conservaions scalaires, qui peuven s écrire : u + f (uu x = 0 sur R ]0,+ [, (2.c u = g pour = 0. Dans ce cas, x = (x, e les équaions (2.b donnen s = e : ẋ = f (u ż = 0. En conséquence, puisque z = u(x(s es consan, on a le résula suivan : PROPOSITION 2.1. Si u es une soluion de (2.c, alors u es consane égale à g (x 0 le long de la demi-droie x = x 0 + f (g (x 0. Exemple. Ce résula perme de résoudre l équaion : ρ + v x ρ = 0, où ρ représene par exemple une densié de charge, e où v es consane. Si ρ 0 es la répariion des charges au emps = 0, on a ρ(x, = ρ(x 0 + v, = ρ 0 (x 0, c es-à-dire : ρ = ρ 0 (x v. La figure I donne l allure de la soluion dans le cas où ρ 0 (x = exp( x 2 : il y a propagaion de la gaussienne à la viesse v. 4

ρ x FIG. I Soluion de ρ + v x ρ = 0, lorsque ρ 0 (x = exp( x 2 2.3. Applicaion aux équaions d Hamilon Jacobi. La méhode des caracérisiques peu aussi êre uilisée pour résoudre les équaions d Hamilon Jacobi : u + H(D x u = 0 sur R n ]0,+ [, u = g sur R n (2.d 0}, e ce au moins au voisinage de R n 0}. Ici, H = H(p e g = g (x son fixés, u = u(x, es l inconnue. Nous éudierons plus en déail ces équaions au paragraphe 4, qui leur es consacré. Pour ces équaions, le sysème (2.b obenu par la méhode des caracérisiques donne aussi s = e ẋ = DH, ṗ = 0, ż = DH p H. Par conséquen, puisque p es consan, les caracérisiques son encore une fois des droies. En inégran la première équaion, on obien : x = x 0 + DH. En inégran ensuie la dernière équaion, il vien : z = g (x 0 + (DH p H. Enfin, puisque u(x,0 = g (x e que p es consan, on a : p = Dg. 5

Ceci nous perme de résoudre l équaion d Hamilon Jacobi (2.d au voisinage de R n 0}. En effe ces foncions x, p e z peuven êre vues comme foncions du emps e du poin d origine x 0, c es-à-dire x = x(x 0,, p = p(x 0, e z = z(x 0,. Le lemme suivan monre que de plus (x 0, (x(x 0,, es bijecive au voisinage de R n 0} : on pourra donc voir x 0 comme une foncion de x e de, en suivan l usage venan de la physique qui consise à confondre variable e foncion. LEMME 2.2. Quel que soi x 0 R n, il exise ε > 0, V e W deux voisinages de x 0 dans R n els que pour ou y V, < ε, il exise un unique y 0 W el que y = x(,y 0. Démonsraion. Puisque x = x 0 + DH, on a D x0 x(x 0,0 = 1, donc D x0 x es inversible en (x 0,0. Le héorème d inversion locale appliqué à (x 0, (x(,x 0, perme de conclure. Nous obenons donc finalemen le résula suivan : PROPOSITION 2.3. En posan p = p(x, = Dg (x 0, la foncion u(x, = g (x 0 + [DH(p p H(p] es soluion de l équaion d Hamilon Jacobi au voisinage de R n 0}. Démonsraion. On a x 0 = x DH, donc ẋ 0 = DH D 2 H (D 2 g ẋ 0, e par suie, u = Dg ẋ 0 + DH p H + [D 2 H (D 2 g ẋ 0 ] p = x 0 p + DH p H (DH + ẋ 0 p = H(p. Il ne rese plus qu à monrer que p = D x u. Mais on a : donc par conséquen : D x x 0 = 1 D 2 H (D 2 g D x x 0 D x u = Dg D x x 0 + [D 2 H (D 2 g D x x 0 ] p = Dx 0 p + (1 D x x 0 p = p 6

3. ÉQUATIONS DE CONSERVATION Rappelons qu une équaion de conservaion scalaire unidimensionnelle es une équaion de la forme : u + f (u x = 0 sur R ]0,+ [, u = g pour = 0, (3.a où u = u(x, es l inconnue e où f : R R es régulière. 3.1. Soluion régulière e caracérisiques. Recherche d une soluion régulière. Nore première quesion es de savoir si le problème (3.a adme en général au moins une soluion régulière. Nous supposerons ici que f es de classe C 2 e que g es de classe C 1. La façon la plus naurelle d aborder ce problème es d éudier les propriéés d une évenuelle soluion, ce que nous allons faire en employan la méhode des caracérisiques. Soi x 0 R, alors si (x, = (x(s, (s es un chemin dans R [0,+ [ paran de (x 0,0, e si z(s = u(x(s, (s, le sysème (2.b, obenu grâce à cee méhode, donne ici : ẋ = f (u ṫ = 1 ż = 0, c es-à-dire x(s = x 0 + s f (g (x 0 (s = s z(s = g (x 0 Donc u es consane sur les demi-droies de pene f (g (x 0 quel que soi x 0 R. Nous venons ainsi de prouver ceci : PROPOSITION 3.1. Les caracérisiques d une loi de conservaion scalaire unidimensionnelle son oujours des demi-droies sur lesquelles les soluions son consanes, e la caracérisique issue de x 0 es donnée par : x = x 0 + f (g (x 0 Nous voyons alors survenir un problème : les caracérisiques risquen de se couper. Or si elles se coupen, u ne peu êre définie au poin d inersecion car elle devrai prendre en ce poin deux valeurs disinces, g ne pouvan prendre 7

la même valeur à la base des deux demi-droies car alors elles auraien même pene e ne se couperaien pas. Pour voir un peu plus précisémen ce qui se passe, nous pouvons uiliser nos résulas pour donner une équaion foncionnelle vérifiée par u. Pour ce faire, prenons x 0 R e x = x( un paramérage de la caracérisique issue de x 0. Alors u(x, es consane égale à g (x 0 sur cee demi-droie. D aure par, on connai expliciemen le paramérage x = x 0 + f (g (x 0, on a donc : On en dédui donc que x 0 = x f (g (x 0 = x f (u(x,. u = g (x f (u. Inversemen, si on suppose que u vérifie l équaion foncionnelle précédene, on rouve : u + f (uu x = [u + f (uu x ]f (ug (x f (u, ce qui donne en regroupan les ermes : (1 + f (ug (x f (u(u + f (uu x = 0. On en dédui donc le résula suivan : PROPOSITION 3.2. Si u : U [0,ε[ R de classe C 1 vérifie : u = g (x f (u, (3.b alors pour que u soi soluion de : il suffi que : u + f (u x = 0 sur U [0,ε[, u = g pour = 0, x U, [0,ε[,1 + f (ug (x f (u 0. (3.c Pour ou x, ce faceur es non nul pour assez pei : il es donc peu-êre possible de rouver une soluion régulière qui convien au moins au voisinage de R 0}. C es ce que nous allons voir mainenan. 8

Résoluion locale. Ce que nous venons de voir monre qu il n y a pas en général de soluion régulière globale à l équaion. Avan d envisager une aure approche du problème, nous pouvons ou de même irer des résulas précédens une propriéé d exisence locale de soluion. Cherchons une soluion définie sur un voisinage V d un cerain y 0 pendan une coure période de emps. Il suffi pour qu une elle soluion exise que les caracérisiques définies précédemmen ne se coupen pas. En effe, elles déermineron alors la valeur de u en chaque poin de V [0,ε[. Nous devons donc regarder l applicaion ψ : (x 0, (x 0 + f (g (x 0, e ener de l inverser sur un voisinage de (y 0,0. Pour cela, il nous fau calculer sa différenielle au poin (y 0,0 en vue d appliquer le héorème d inversion locale. Or on a : ( 1 f (g (y 0 Dψ(y 0,0 = 0 1 e donc Dψ es inversible en (y 0,0. Par le héorème d inversion locale, x 0 peu êre vu comme une foncion de x e de définie sur un voisinage V [0,ε[ de (y 0,0, c es-à-dire x 0 = x 0 (x,. On peu donc poser u(x, = g (x 0 (x,, e cee foncion es alors de classe C 1. De plus, on a : u(x, = g (x 0 = g (x f (g (x 0 = g (x f (u e l équaion foncionnelle (3.b es par conséquen bien saisfaie. De plus, la condiion (3.c es vérifée, car on consae que de Dψ = 1 + f (ug (x f (u ce qui es nécessairemen non nul sur V [0,ε[ puisque ψ y es inversible. Ajouons qu en ou poin de V [0,ε[, il exise une e une seule caracérisique qui passe par ce poin, e donc la valeur d une évenuelle soluion en ce poin es enièremen déerminée. Par conséquen, la soluion locale du paragraphe précéden es unique : PROPOSITION 3.3. L équaion de conservaion (3.a possède exacemen une soluion de classe C 1 sur un voisinage de R 0}. Mais puisque l on a vu que les caracérisiques pouvaien se couper, il nous fau essayer de rouver d aures soluions globales, moins régulières. 9

3.2. Soluions faibles. Les équaions de conservaions scalaires n admeen donc en général pas de soluions régulières sur R ]0, + [. Cependan, elles corresponden souven à des problèmes physiques, problèmes que la Naure sai «résoudre». Il fau donc éendre le concep de soluion d une équaion aux dérivées parielles : c es ce que nous allons faire mainenan. Remarquons en effe que si v es une foncion indéfinimen dérivable à suppor compac dans R [0,+ [ e que u es une (hypohéique soluion régulière à nore problème, on doi avoir + + =0 Or, en inégran par paries, + + =0 x= x= (u + f (u x v = x = x = (u + f (u x v = 0. x u v + uv =0 g v =0 x f (u x v uv f (uv x x x uv + f (uv x. La réciproque es vraie. En conséquence, on peu énoncer le résula suivan : PROPOSITION 3.4. Une foncion u de classe C 1 elle que u(x,0 = g (x es soluion du problème (3.a si e seulemen si, pour oue foncion v de classe C à suppor compac dans R [0,+ [, on a : uv + f (uv x + g v =0 = 0. (3.d Cependan, cee condiion ne fai pas inervenir les dérivées de u, e peu donc êre vérifiée par une foncion qui serai simplemen dans L. On parle alors de soluion inégrale. x Exisence e unicié pour l équaion de Burgers. Avan de poursuivre, il nous fau êre sûr que nore démarche de généralisaion ai un inérê. Nous allons donc regarder en déails un exemple simple, l équaion de Burgers : ( u + u 2 2 = 0 sur R ]0,+ [, x u = g pour = 0. 10

u=0 u=1 FIG. II Onde de choc : ligne de disconinuié qui se propage Nous allons résoudre cee équaion en prenan pour condiion iniiale g la foncion d Heaviside : 0 si x < 0, g (x = 1 si x > 0. On remarquera que la coninuié de g n es a priori pas une condiion nécessaire à l exisence de soluions faibles. D après la proposiion 3.1, les caracérisiques son des demi-droies oujours de pene 0 ou 1 e l on connaî la valeur des soluions dessus. Cependan, la méhode des caracérisiques ne nous donne aucune informaion pour les poins (x, R ]0, + [ vérifian 0 < x <. Cela n empêche pas de rouver une première soluion, par exemple en posan : 0 si x < /2, u 1 (x, := 1 si x > /2. On vérifie aisémen que u 1 es une soluion inégrale de l équaion. Nous avons représené sur la figure II quelques caracérisiques de l équaion avec les valeurs de u 1. Nous voyons alors apparaîre une onde de choc, c es-à-dire une ligne de disconinuié qui se propage au cours du emps. Touefois, il s avère que nous pouvons rouver d aures soluions inégrales à l équaion de Burgers avec cee donnée iniiale, par exemple : u 2 (x, := 1 si x >, x/ si 0 < x <, 0 si x < 0, 11

u=x/ u=0 u=1 FIG. III Onde de déene : la soluion s éale, sans disconinuié. convien aussi. Pour voir la différence enre ces deux soluions, il nous suffi de réprésener égalemen u 2 (figure III. Nous nous apercevons alors que u 2 n es pas une onde de choc comme u 1. Au lieu d avoir une ligne de disconinuié qui se propage, u 2 s éale à mesure que le emps augmene. C es pourquoi on di que u 2 es onde de déene. Ainsi nous pouvons irer deux conclusions de ce exemple : premièremen, nous avons mainenan des soluions e deuxièmemen, nous en avons plusieurs. Toues ne son pouran pas accepables, e il va nous falloir rouver des crières pour dinsinguer une soluion «physique» parmi oues les soluions inégrales. Condiion de Rankine-Hugonio e condiion d enropie. Nous allons mainenan éudier les propriéés des soluions inégrales. Ces propriéés seron bien sur liées à leurs disconinuiés, don l éude générale es complexe e hors de nore propos. Nous allons donc pluô faire des hypohèses simplificarices. Soi u : R [0,+ [ R elle que u(x,0 = g (x e elle que pour oue foncion v C à suppor compac inclus dans R [0,+ [, on ai : uv + f (uv x + g v =0 = 0. On suppose mainenan que les poins de disconinuiés de u formen une seule courbe de classe C 1, noée Γ, que l on suppose paramérée par une applicaion (x(, de classe C 1. On suppose de plus que u es de classe C 1 12

sur chacun des deux ouvers V d e V g que sépare Γ, e aussi que u adme des limies de chaque côé en ou poin de la courbe, noées u g e u d. Inroduisons quelques noaions. On défini d abord le sau de u à ravers Γ comme éan : [u] = u g u d. On pose de même [f (u] = f (u g f (u d, le sau de f (u. Enfin, on pose : On a alors le résula suivan : σ = ẋ. THÉORÈME 3.5 (Condiion de Rankine Hugonio. En ou poin de Γ, on a : [f (u] = σ[u]. Démonsraion. En uilisan des foncions v C à suppor compac inclus dans V g ou V d, on voi que u + f (u x = 0 sur chacun de ces deux ouvers. On y a donc : div[v(u, f (u] = uv + f (uv + v[u + f (u x ] = uv + f (uv. Par conséquen, la formule de Sokes donne, en prenan le même paramérage de Γ à chaque fois : uv + f (uv x = v(f (u g,u g n dl V g uv + f (uv x = V d Γ Γ v(f (u d,u d n dl avec n la normale à Γ, c es-à-dire n proporionnel à (1, ẋ. Puisque la somme de ces deux inégrales es nulle, e que ce résula es vrai quel que soi v, on obien : [f (u] [u]ẋ = 0 le long de Γ, d où le résula recherché. Cee égalié que doi vérifier une elle soluion u es la condiion de sau de Rankine-Hugonio. Les valeurs de [u], [f (u] e σ peuven bien sur varier le long de la courbe, mais elles doiven oujours vérifier cee condiion. Cependan, cee égalié ne perme donc pas de caracériser une soluion pariculière. Pour obenir une condiion forçan l unicié e permean d obenir la soluion «physique», nous allons nous inspirer d un cas pariculier, 13

l équaion de Burgers, mais que nous allons modifier en rajouan un erme d ordre 2. ( u 2 u + = µu xx. 2 x Ici, µ > 0. On appelle µu xx le erme de diffusion, e le coefficien µ peu par exemple raduire la viscosié en mécanique des fluides. Son ajou n a cependan rien d anodin, car la nouvelle équaion adme des soluions régulières que l on sai calculer expliciemen en foncion du paramère µ. On peu alors monrer que lorsque µ 0, les soluions enden vers des soluions (généralemen disconinues de l équaion sans second membre. Les soluions ainsi aeines peuven a priori avoir un sens physique puisque ce son des limies de soluions physiques pour de rès faible viscosiés. On peu monrer, ce que nous ne ferons pas ici, que ces soluions vérifien de plus la propriéé suivane : PROPOSITION 3.6. Les disconinuiés des soluions de l équaion de Burgers obenues comme limie des soluions de l équaion diffusive son formées des poins d inersecion des carcaérisiques. De plus, les caracérisiques son oujours définies à parir de = 0. Ceci signifie ou d abord que les caracérisiques ne peuven pas «sorir» de la courbe de disconinuié, auremen di si l on remone une caracérisique, c es-à-dire si on la parcour en remonan le emps, on fini par arriver à l insan = 0 sans couper de ligne de disconinuié. Ce résula perme de démonrer la propriéé suivane, qui es donc vérifiée pour les soluions «physiques» : PROPOSITION 3.7. Les soluions de l équaion de Burgers ainsi obenues vérifien les inégaliés de Lax : f (u g > σ > f (u d, Démonsraion. Rappelons ou d abord que les caracérisiques on pour équaion : x = x 0 + f (g (x 0. Regardons mainenan un poin d une ligne de disconinuié d une soluion u, qui es consane égale à g (x 0 sur les caracérisiques, e deux caracérisiques qui se coupen en ce poin. D après ce qui précède, celles-ci son issues de deux abscisses x g 0 < xd 0 e le coefficien direceur de celle de gauche es plus grand que celui de celle de droie, c es-à-dire : f (g (x g 0 > f (g (x d 0. Il suffi pour conclure de remarquer que le coefficien direceur de la angene à la courbe au poin d inersecion doi êre compris enre ces deux valeurs (figure IV, e que g (x g 0 e g (xd 0 son les limies u g e u d de u de chaque côé de la courbe. 14

u=1 u=0 FIG. IV La angene à la courbe es enre les caracérisiques. De nouveau, comme pour la condiion de sau de Rankine-Hugonio, cee égalié doi êre vérifiée en ou poin de la courbe de disconinuié. Les inégaliés de Lax impliquen noammen que : f (u g f (u d. (3.e Cee condiion es appelée condiion d enropie. Nous pouvons remarquer par exemple que l onde de choc que nous avions obenue comme soluion de l équaion de Burgers dans la secion précédene, bien qu elle vérifie la condiion de sau de Rankine-Hugonio, ne vérifie pas la condiion d enropie, c es pourquoi on la qualifie généralemen d onde de choc non-physique. La condiion d enropie donne donc un crière resricif pour le choix des soluions. Nous monrerons qu une version modifiée de cee condiion perme d assurer l unicié de la soluion. Cee condiion d enropie, que nous venons de voir dans le cas pariculier de l équaion de Burgers, peu cependan êre exigée de la par de soluions d aures équaions pour pouvoir qualifier celles-ci d accepables nous venons en effe de voir qu au moins dans le cas de l équaion de Burgers, cee condiion devai êre vérifiée par les soluions «physiques». C es ce que nous ferons désormais. 15

Reour sur l équaion de Burgers. Afin de voir plus précisémen ce qu es une soluion faible accepable, nous allons une nouvelle fois regarder l équaion de Burgers : ( u + u 2 2 = 0 sur R ]0,+ [, x u = g pour = 0, avec la nouvelle condiion iniiale : g (x = 0 si x < 0, 1 si 0 x 1, 0 si x > 1. Nous pouvons combiner les deux exemples vu précédemmen en ajouan une onde de choc à côé de la zone où la soluion forme une déene. Nous obenons alors la soluion suivane pour 0 2 : u(x, = 0 si x < 0, x/ si 0 < x <, 1 si < x < 1 + /2, 0 si x > 1 + /2. Il nous fau mainenan prolonger u pour des emps 2. Supposons que la seconde ligne de disconinuié se poursuive ou en gardan les valeurs u = x/ à gauche e u = 0 à droie, e essayons de déerminer son équaion en respecan la condiion de sau. Remarquons que la condiion au niveau de la disconinuié pour x = 0 coninue d êre vérifiée. Noons (x, = (x(, un paramérage de la seconde disconinuié, on a alors : ( x 2 σ = ẋ. [u] = x [F(u] = 1 2 Écrivons mainenan la condiion de sau de Rankine-Hugonio [F(u] = σ[u] le long de la courbe pour 2 : ẋ = x 2. Nous avons de plus la condiion iniiale x(2 = 2, ce qui perme de résoudre l équaion différenielle pour obenir x = 2. Nous pouvons donc prolonger nore soluion en posan, pour 2 : u(x, = 0 si x < 0, x/ si 0 < x < 2, 0 si x > 2. On vérifie que cee soluion es de classe C 1 sauf sur un ensemble de mesure nulle, e que hors de ce ensemble u + uu x = 0. Par conséquen, c es bien une soluion inégrale. De plus, elle vérifie bien la condiion d enropie. 16

u=x/ u=0 u=0 u=1 FIG. V Soluion de l équaion de Burgers vérifian la condiion d enropie 4. ÉQUATIONS D HAMILTON JACOBI Nous allons mainenan éudier plus en déail les équaions d Hamilon Jacobi, que nous avons inroduies en exemple à la fin de la secion précédene, mais dans un cas un peu plus général en ajouan une dépendance en x e en considéran : u + H(D x u, x = 0 sur R n ]0,+ [, u = g sur R n (4.a 0}, En effe, si l on sai les résoudre, alors en pariculier on saura résoudre w + f (w x = 0 sur R ]0,+ [, w = h pour = 0, avec h une primiive de g. En dérivan par rappor à x, on obien alors wx + f (w x x = 0 sur R ]0,+ [, w x = g pour = 0, ce qui revien exacemen à dire que w x es soluion de l équaion de conservaion scalaire. Nous allons mainenan monrer que sous ceraines hypohèses, une formule semi-explicie en donne une soluion don la dérivée sera soluion de nore problème. 17

4.1. Calcul des variaions. La méhode des caracérisiques vue à la secion 2 perme d obenir le sysème suivan : ẋ = Dp H, (4.b ṗ = D x H. Nous allons mainenan chercher à réobenir ces équaions par une méhode variaionnelle, en paran d un problème différen qui semble n êre en rien lié à nore suje. Soi L = L(q, x une foncion indéfinimen dérivable de R n R n dans R, représenan par exemple un coû lié à la posiion x e la viesse q. On fixe x, y R n e > 0 ; nore problème es alors le suivan : quelle rajecoire paran de x e arrivan en y au emps perme de minimiser le coû oal du raje? Mahémaiquemen parlan, on cherche la rajecoire w : [0, ] R n de classe C 2 elle que w(0 = y e w( = x, e qui minimise Cee foncion I[w] es appelée l acion. I[w] := L(ẇ(s, w(s ds. 0 PROPOSITION 4.1. Si x minimise I, alors x = x(s es soluion de : d ds [ Dq L(ẋ, x ] D x L(ẋ, x = 0. (4.c Démonsraion. Soi v de [0, ] dans R n e de classe C 2 elle que v(0 = v( = 0. On pose alors pour h R, f (h := I[x+hv] I[x]. On a donc f (0 = 0. Or d un aure côé f (0 = D q L v + D x L v ds 0 = [ D q v ] 0 d [ Dq L ] v ds + D x L v ds 0 ds 0 ( = D x L d [ Dq L ] v ds. ds 0 Cee inégrale es donc nulle quel que soi v. Par conséquen, ce qui es enre parenhèses doi êre nul quel que soi s. 4.2. Équaions d Hamilon. On suppose mainenan que L = L(q ne dépend plus de x, e on ajoue l hypohèse qu il exise une foncion q = q(p indéfinimen dérivable elle que, pour 18

ou p R n, q soi l unique soluion de l équaion : p = D q L(q. (4.d Cee condiion n es pas déraisonnable : il suffi que D q L soi injecive e que D 2 ql soi inversible, d après le héorème d inversion globale. On associe alors à L le hamilonien : H(p := p q L(q. (4.e Si x = x(s désigne de nouveau un poin criique de I, on pose : p := D q L(ẋ. (4.f PROPOSITION 4.2. Les foncions x e p ainsi définies formen une soluion de (4.b : ẋ = Dp H, ṗ = 0, e H = H(p es une foncion consane de s. Démonsraion. Le résula (4.c donne la 2 e équaion. Pour obenir la 1 re e puisque ẋ = q(p, il suffi de différencier : D p H = q + p D p q D q L D p q = ẋ. 4.3. Transformée de Legendre. À parir d un lagrangien L, on a pu déerminer un hamilonien el que si x minimise l acion I, alors x e p = D q L(ẋ son soluion des équaions d Hamilon associées. On rappelle que des équaions de cee forme son apparues naurellemen par la méhode des caracérisiques. On cherche mainenan à faire l inverse : à parir du hamilonien, peu-on rouver un lagrangien el que la minimisaion de l acion associée soi équivalene à la résoluion des équaions d Hamilon? Pour définir précédemen, à parir du lagrangien L, le hamilonien H, on avai dû supposer l exisence d une foncion q donnan l unique soluion de l équaion p = D q L(p en foncion de p. Cherchons d abord à nous passer ce cee hypohèse. Soi donc le lagrangien L : R n R. On suppose d une par que L es convexe, donc coninu, e d aure par que L(q q +. q 19

On inrodui alors la ransformée de Legendre de L, définie par : L (p := sup q R n p q L(q }. On remarque que si cee borne supérieure es aeine en q, alors on a p = D q L, e dans ce cas L coïncide avec le hamilonien H défini par (4.e lorsqu on avai supposé l exisence d une foncion donnan q à parir de p. On es donc amené à poser, dans le cas général, H := L. La proposiion suivane monre qu il exise en fai un lien symérique enre H e L e qu il es possible d obenir l un à parir de l aure. PROPOSITION 4.3. Si le lagrangien L = L(q es convexe e el que alors H = H(p es aussi convexe e De plus, L = H. L(q q H(p p +, q +. p Démonsraion. Remarquons ou d abord que la foncion H = L es convexe comme supremum de foncions linéaires. Éudions mainenan H(p en +. Posons pour cela λ > 0 e p 0, alors en prenan q = λ p p on obien : ( H(p λ p L λ p λ p max p L(q. q λ On en dédui que liminf H(p p λ, e donc : H(p p +. p Nous pouvons donc mainenan regarder H. D après la définiion de H, on a H(p + L(q p q pour ous p e q dans R n. Par conséquen, D aure par, H (q = sup p R n L(q sup p R n p q H(p } = H (q. } } } } p q sup p r L(r = sup inf p (q r + L(r. r R n p R n r R n 20

L applicaion q L(q éan convexe, en uilisan le héorème d Hahn Banach géomérique on monre qu il exise s R n el que : En prenan p = s, on obien : r R n, L(r L(q + s (r q. H (q inf r R n s (q r + L(r } L(q, ce qui conclu la preuve. 4.4. Formule de Lax Hopf. Revenons mainenan à nore problème iniial, à savoir la résoluion des équaions d Hamilon Jacobi : u + H(D x u = 0 sur R n ]0,+ [, u = g sur R n 0}, (4.g Lorsque l on s éai donné un lagrangien L, on avai cherché à minimiser l acion I[w] = L(ẇds. Pour prendre en compe la condiion iniiale porée par g, on peu chercher à minimiser L(ẇds + g (w(0. On pose donc : } u(x, := inf g (w(0 + L(ẇ ds w C 1 e w( = x. (4.h 0 On avai supposé H de classe C, convexe e el que H(p p +. p On ajoue mainenan l hypohèse que g : R n R es lipschizienne. Le héorème suivan donne une forme plus agréable à la foncion u définie par (4.h. THÉORÈME 4.4 (Lax Hopf. La foncion u = u(x, définie précédemen vérifie : ( x y } u(x, = min L + g (y. (4.i y R n Démonsraion. Fixons y R n e posons w(s := y + s (y x. On a alors : u(x, g (y + L(ẇ = g (y + L 0 ( x y, 21

donc en prenan l infimum sur y, on obien : ( x y } u(x, inf g (y + L. y R n Prouvons mainenan l aure inégalié. Si w es une foncion de classe C 1 elle que w( = x, par l inégalié de Jensen on a : ( 1 L ẇ(s ds 1 L(ẇ(s ds. 0 0 En posan y = w(0, on obien : d où finalemen ( x y g (y + L g (w(0 + L(ẇ, 0 inf g (y + L y R n ( x y } u(x,. Puisque g es lipschizienne e que H(p quand p, l infimum es p bien un minimum. PROPOSITION 4.5. La foncion u définie précédemen vérifie, pour x R n e 0 s < : ( x y } u(x, = min ( sl + u(y, s. (4.j y R n s Démonsraion. Soi y R n, alors par la formule de Lax Hopf (4.i il exise z R n el que : ( y z u(y, s = sl + g (z. s Mais puisqu on a : x z ( = 1 s x y s + s y z, s en uilisan la convexié de L, on obien : ( x z u(x, L + g (z ( x y ( y z ( sl + s + g (z ( s s x y ( sl + u(y, s. s Par conséquen, u(x, min ( sl y R n 22 ( x y s } + u(y, s.

Pour démonrer l aure inégalié, prenons z R n el que : ( x z u(x, = L + g (z, e posons : y := s ( x + 1 s z. On a alors : x y s = x z = y z, s e, par conséquen, ( x z u(x, = L + g (z ( x y ( y z = ( sl + sl + g (z ( s s x y ( sl + u(y, s. s Donc, e ceci conclu, u(x, min ( sl y R n ( x y s } + u(y, s. Les résulas suivans permeen de démonrer que la foncion u ainsi définie es effecivemen une soluion de (4.a : en effe, elle es lipschizienne (proposiion 4.6, or une foncion lipschizienne es différeniable presque parou (héorème 4.7, dû à Rademacher e si u es différeniable en (x,, alors u + H(D x u = 0 (proposiion 4.8, donc u es bien soluion presque parou. PROPOSITION 4.6. La foncion u définie par la formule de Lax Hopf (4.i es lipschizienne sur R n [0,+ [. De plus u = g pour = 0. Démonsraion. Monrons d abord que u es lipschizienne en x. Fixons pour cela > 0 e x, ˆx R n. Soi y R n el que ( x y u(x, = g (y + L. On a alors : u(ˆx, u(x, = min z R n L g (ˆx x + y g (y C ˆx x ( } ˆx z ( x y + g (z g (y L 23

En échangean les rôles de x e ˆx, on obien u(ˆx, u(x, C ˆx x. Regardons mainenan ce qui se passe par rappor à la variable, après avoir fixé x R n. En prenan y = x dans la formule de Lax Hopf (4.i, on voi que u(x, L(0 + g (x. De plus, en noan C la consane de Lipschiz de g, on a : ( x y } u(x, min g (x C x y + L y R n ( x y } g (x + min C x y + L y R n g (x maxc z L(z}. z Rn Par conséquen, en posan B = B(0,C la boule de cenre 0 e de rayon C, on obien u(x, g (x max max w B z R w z L(z} = g (x max H(p. n p B Cee inégalié implique donc, en posan C := max L(0,max B H}, que u(x, g (x C, e donc u es aussi lipschizienne en. THÉORÈME 4.7 (Rademacher. Une foncion lipschizienne R n R es différeniable presque parou au sens de Lebesgue. Nous admerons ce héorème, qui va bien au-delà de nore propos. PROPOSITION 4.8. Soi u la foncion définie par la formule de Lax Hopf (4.i, alors si u es différeniable en un poin (x, R n ]0,+ [, on a : u (x, + H(D x u(x, = 0. Démonsraion. Nous allons procéder en deux emps pour monrer qu effecivemen on a u (x, + H(D x u(x, = 0. Soi pour commencer q R n e h > 0. En uilisan (4.j, on obien : u(x + hq, + h = min hl y R n ( x + hq y 24 } + u(y, hl(q + u(x,,

donc u(x + hq, + h u(x, L(q. h En faisan endre h vers 0, on obien q D x u(x, + u (x, L(q, cee inégalié éan valable pour ou q R n. On a donc, en écrivan que H = L, u (x, + H(D x u(x, = u (x, + max q R n q Dx u(x, L(q } 0. Prenons mainenan z el que u(x, = L ( x z + g (z. Fixons h > 0, e posons : s = h e y = s x + ( 1 s z. Alors x z = y z s e ( x z u(x, u(y, s L [ + g (z sl ( y z s ] + g (z = ( sl ce qui s écri u(x, u((1 h x + h z, h ( x z L. h Quand h end vers 0, on obien ( x z ( x y Du(x, + u (x, L. Par conséquen, e ceci ermine la preuve, on a : ( x z u (x, + H(D x u(x, = u (x, + max q Dx u(x, L(q } q R ( n x z ( x z u (x, + D x u(x, L 0,, Tou ceci nous perme d obenir enfin la proposiion suivane : PROPOSITION 4.9. La foncion u définie par la formule de Lax Hopf (4.i es presque parou différeniable e soluion de : u + H(D x u = 0 dans R n ]0,+ [, (4.k u = g pour = 0. Démonsraion. La formule de Hopf Lax défini une foncion lipschizienne. Le héorème de Rademacher affirme donc que cee foncion u es différeniable presque parou. Or nous venons de voir qu en ou poin où elle es différeniable, u es soluion de (4.k. La proposiion es ainsi prouvée. 25

4.5. Reour sur la résoluion locale. Lorsqu au ou débu de ce mémoire, nous avions regardé la méhode des caracérisiques, nous avions uilisé celle-ci pour résoudre localemen les équaions d Hamilon Jacobi (secion 2.3. Il paraî donc naurel de se demander si la formule de Lax Hopf prolonge la soluion locale obenue. Rappellons que pour l équaion d Hamilon Jacobi (4.a, on a monré que les caracérisiques son de la forme : x = x 0 + DH(p, avec p = Dg (x 0. Le héorème d inversion local nous avai permis de voir x 0 comme une foncion de x e de au voisinage de R n 0}. On avai monré que : u(x, = g (x 0 + [DH(p p H(p], définissai une soluion sur ce même voisinage. Puisque x = x 0 + DH, on peu aussi écrire : [( x x0 ] u(x, = g (x 0 + p H(p. Pour pouvoir avancer, il nous fau inroduire la noion supplémenaire de sous-différeniabilié. Considérons une foncion convexe Φ : R n R ; on appelle sous-différenielle de Φ en x R n l ensemble D Φ(x = p R n y R n,φ(y Φ(x p (x y }. En uilisan par exemple le héorème d Hahn Banach, on monre que puisque Φ es convexe, D Φ(x. On monre aussi que Φ es différeniable en x si e seulemen si D Φ(x = DΦ(x}. LEMME 4.10. Quels que soien p, q R n, p = DL(q q = DH(p H(p + L(q = p q. Démonsraion. Il suffi de démonrer le résula en remplaçan les différenielles par des sous-différenielles. Or par définiion p D L(q si e seulemen si on a y R n, p q L(q p y L(y, i. e. H(p = p q L(q, e l on démonre un résula similaire en échangean H e L. D après ce lemme, on a donc : ( x x0 ( x x0 L = e, par conséquen, ( x x0 u(x, = g (x 0 + L On a donc le résula suivan : p H(p, = min L y R n 26 ( x y } + g (y.

PROPOSITION 4.11. La foncion régulière obenue par la méhode des caracérisiques e qui résou l équaion d Hamilon Jacobi au voisinage de = 0 coïncide sur son ensemble de définiion avec la soluion obenue par la méhode de Lax Hopf, qui la prolonge donc sur R n [0,+ [. 4.6. Semiconcavié e unicié. Nous venons de prouver que le formule de Hopf Lax donne une soluion de l équaion d Hamilon Jacobi, au sens où dès qu elle es différeniable, elle vérifie l équaion. Il semble donc naurel de s inéresser aux foncions lipschziennes qui résolven cee équaion presque parou en remplissan la condiion iniiale. Cependan, ces soluions lipschiziennes ne son en général pas uniques. Exemple. Considérons le problème suivan : u + u x 2 = 0 sur R ]0,+ [, u = 0 pour = 0. La foncion ideniquemen nulle es clairemen soluion presque parou, e même parou, de ce problème. Cependan, on vérifie sans peine que la foncion : 0 si x, u(x, := x si 0 x, x si x 0. es égalemen soluion du problème presque parou (en fai, elle es soluion parou en dehors des droies d équaion x = 0, x = e x =. Il nous fau donc demander plus à une soluion faible pour assurer son unicié. L objecif es de rouver un crière que seule la soluion définie par la formule de Hopf Lax vérifie parmi les soluions de 4.a. Commençons par une définiion : une foncion ϕ : R n R es die semiconcave s il exise une consane C > 0 elle que : x, z R n, ϕ(x + z 2ϕ(x + ϕ(x z C z 2. Il se rouve que si g es semiconcave, alors la soluion donnée par la formule de Hopf Lax vérifie la propriéé suivane : PROPOSITION 4.12. Si u es la soluion de (4.a définie par la formule de Hopf Lax, e si la condiion aux limies g es semiconcave, alors u es semiconcave en x e ce uniformémen en. 27

Démonsraion. Soi y R n el que u(x, = L ( x y + g (y, on a alors : u(x + z, 2u(x, + u(x z, [ ( x y ] [ ( x y ] [ L + g (y + z 2 L + g (y + L g (y + z 2g (y + g (y z C z 2. ( x y ] + g (y z On verra que cee condiion sur les soluions es presque suffisane pour assurer l unicié. Il es donc inéressan d avoir plusieurs façons d obenir cee semiconcavié en x de u. C es pourquoi nous allons monrer qu il n es pas nécessaire de supposer g semiconcave, à condiion de faire à la place une hypohèse sur le hamilonien H. Pour cela, inroduisons une nouvelle définiion : une foncion convexe K : R n R de classe C 2 es die uniformémen convexe s il exise une consane θ > 0 elle que p,ξ R n, (D 2 H(p ξ ξ θ ξ 2. LEMME 4.13. Si H es uniformémen convexe e si L = H, on a : 1 2 L(q 1 + 1 ( 2 L(q q1 + q 2 2 L + 1 2 8θ q 1 q 2 2. Démonsraion. Il suffi de remarquer que pour ou q, il exise un unique poin p el que L(q = p.q H(p, qui es donné par p = (DH 1 (q. En posan G = (DH 1, on obien L(q = q G(q H(G(q, ce qui donne en différencian DL(q = G(q, donc D 2 L = D(DH 1 = (D 2 H 1. Dire que H es uniformémen convexe es équivalen à dire que D 2 H es défini posiif e que sa plus peie valeur propre es supérieure à θ. Mais alors, l inverse de ce endomorphisme es aussi défini posiif, e sa plus grande valeur propre es inférieure à 1/θ. On a donc : q,ξ R n, (D 2 L(q ξ ξ 1 θ ξ 2, La formule de Taylor Lagrange prise enre q 1+q 2 2 e q 1 puis q 2 donne alors le résula annoncé. PROPOSITION 4.14. Si u es la soluion de (4.a définie par la formule de Hopf Lax, e si le hamilonien H es uniformémen convexe, alors la foncion u es semiconcave en x, e vérifie même : u(x + z, 2u(x, + u(x z, 1 θ z 2. 28

Démonsraion. Soi y R n el que u(x, = L ( x y + g (y, on a alors : u(x + z, 2u(x, + u(x z, [ ( x + z y ] [ L + g (y 2 L 2 2z 2 8θ 1 θ z 2, ( x y ] [ + g (y + L ( x z y ] + g (y Nous allons mainenan prouver que la formule de Hopf Lax défini la seule soluion de (4.a vérifian la condiion suivane : ( C > 0, x, z R n, > 0,u(x + z, 2u(x, + u(x z, C 1 + 1 z 2. (4.l Remarquons que cee inégalié es, d après les deux proposiions précédenes, vérifiée dès que g es semiconcave ou que H es uniformémen convexe. PROPOSITION 4.15. Soien u e v deux soluions lipschiziennes de (4.a vérifian la condiion (4.l, alors u = v presque parou. Démonsraion. 1. Noons C u e C v les consanes de Lipschiz respecivemen de u e v. Posons w = u v, e prenons un poin (x, R n ]0,+ [ où u e v son différeniables. On a alors On pose donc : w (x, = H(D x u(x, + H(D x v(x, = = b(x, := 1 0 1 0 1 On a alors w + b.d x w = 0 presque parou. 0 d ds H[ sd x u(x, + (1 sd x v(x, ] ds DH[sD x u + (1 sd x v] (D x u D x v ds. DH[sD x u(x, + (1 sd x v(x, ] ds. 2. Soi (ρ k une approximaion posiive de l unié en 0 sur R, à suppor inclus dans [ 1/n,1/n]. On pose η k (x, = ρ k (xρ k (, e on défini u k := η k u ainsi que v k := η k v. Ceci enraîne D x u n = η k D x u e D x v n = η k D x v, e donc : D x u k C u e D x v k C v, (4.m 29

e de plus : D x u k D x u e D x v k D x v p.p. quand k +. (4.n De plus, en posan ϕ( = 1/, la condiion (4.l implique que, dès que la convoluion à un sens, par exemple pour s > 2/n : u k (x + z, 2 k u(x, + u k (x z, C(1 + ρ k ϕ( z 2. Mais on a alors : ρ k ϕ( = 1 ρ k (s s ds 1 1 2, n e, par conséquen, ( u k (x + z, 2u k (x, + u k (x z, 2C 1 + 1 z 2. Le même résula éan vrai pour v k, on a donc : ( D 2 u k 2C 1 + 1 ( 1 e D 2 v k 2C 1 + 1 1 (4.o s s 3. On défini mainenan : b k (x, := 1 0 DH[sD x u k (x, + (1 sd x v k (x, ] ds. Puisque w +b D x w = 0 presque parou, on a w +b k D x w = (b k b D x w, oujours presque parou. Si ϕ es une foncion posiive régulière, que nous pourrons fixer ulérieuremen, en muliplian cee dernière égalié par ϕ (w, on obien que, presque parou, ϕ(w + b k Dϕ(w = (b k b Dϕ(w. Puisque l on a : div[ϕ(wb k ] = Dϕ(w b k + ϕ(wdiv b k, on en dédui que : ϕ(w + div[ϕ(wb k ] = ϕ(wdiv b k + (b k b Dϕ(w p.p. 4. Remarquons que : div b k = 1 0 Tr [D 2 H(sD x u k + (1 sd x v k (sd 2 u k + (1 sd 2 v k ] ds 30

e donc, d après (4.m e (4.o, puisque D 2 H es oujours posiive, ( div b k K 1 + 1. (4.p 5. Fixons mainenan x 0 R n e 0 > 0, e posons R := max } DH(p, p C u C v e B( := B(x 0,( 0 R. Enfin, posons : e( = ϕ(w(x, dx. B( Alors, pour presque ou > 0, on a : ė( = ϕ(w R ϕ(w B( B( = div(ϕ(wb k + (ϕ(wdiv b k + (b k b Dϕ(w R B( = ϕ(w(b ε n + R + ϕ(wdiv b k + (b k b Dϕ(w B( B( B( ϕ(w Or, d après (4.m e (4.o e les définiions de b k e R, puisque ϕ es posiive, on a ϕ(w(b ε n + R 0. On en dédui donc que ė( B( B( La majoraion (4.p donne alors ( ė( K 1 + 1 e( + ϕ(wdiv b k + (b k b Dϕ(w B( p.p. (b ε b Dϕ(w p.p.. Le second erme du membre de droie end vers 0 d après (4.n e (4.m qui permeen d appliquer le héorème de convergence dominée. On a donc : ( ė( K 1 + 1 e( pour presque ou 0 < < 0. 6. Pour erminer, fixons d abord 0 < ε < r < e prenons ensuie ϕ(z égal à 0 si z ε(c u + C v e sricemen posiive parou ailleurs. Comme u = v sur R n = 0}, on a : ϕ(w(x,ε = ϕ(u(x,ε v(x,ε = 0. 31

Donc e(ε = 0. Mais d après le lemme de Gronwall, ( r ( e(r e(εexp K 1 + 1 ds = 0, ε s donc nécessairemen ϕ(w es nulle sur B(, ce qui implique w ε(c u + C v, c es-à-dire u v ε(c u C v. Cee inégalié éan valable quelque soi ε > 0, u = v sur B( := B(x 0,R( 0. En pariculier, u(x 0, 0 = v(x 0, 0. THÉORÈME 4.16 (Lax Hopf. Soi H de classe C 2, convexe e el que H(p p + lorsque p. Soi g une foncion lipschizienne ; si g es semiconcave ou que H es uniformémen convexe, alors il exise exacemen une foncion u, appelée soluion faible, elle que : u + H(D x u, x = 0 p.p. sur R n ]0,+ [, u = g pour = 0, e elle que, quels que soien x, z R n e > 0, ( u(x + z, 2u(x, + u(x z, C 1 + 1 z 2. De plus, u es donnée par la formule de Hopf Lax : u(x, = min L y R n ( x y } + g (y. 5. RETOUR SUR LES LOIS DE CONSERVATION Revenons mainenan à nore loi de conservaion scalaire undimensionnelle : u + f (u x = 0 sur R ]0,+ [, (5.a u = g pour = 0, Rappelons que si w es une soluion de l équaion d Hamilon Jacobi associée à cee loi, à savoir : w + f (w x = 0 sur R ]0,+ [, w = h pour = 0, (5.b avec h(x = x 0 g, un calcul simple suggère que u = w x es soluion de l équaion de dépar. 32

Nous venons de voir que, si la foncion f es uniformémen convexe, la formule de Hopf Lax donne l unique soluion faible w des équaions d Hamilon Jacobi, c es-à-dire la seule soluion considérée comme perinene. Il peu paraîre donc raisonnable que w x vérifie à son our des propriéés semblables à celles de w, voire qu elle soi la seule soluion à vérifier ces propriéés. Si c éai le cas, nous aurions alors résolu nore problème qui consisai à rouver une crière d exisence e d unicié d une «bonne» soluion. Nous allons mainenan rendre ou cela un peu plus précis. 5.1. Résoluion de la loi de conservaion scalaire. Nous supposerons désormais, e jusqu à la fin de ce mémoire, que la foncion de flux f es de classe C 2 e es uniformémen convexe, c es-à-dire qu il exise θ > 0 el que f > θ. Nous allons commencer par monrer que la formule de Hopf Lax donne bien, après dérivaion, une soluion du problème (5.a. Rappelons la formule de Hopf Lax : w(x, := min L y R n ( x y } + h(y, où L désigne la ransformée de Legendre f de f. Rappelons égalemen que la foncion w ainsi définie es lipschizienne e par conséquen différeniable presque parou. THÉORÈME 5.1 (Lax Oleinik. La foncion w x es soluion inégrale de l équaion de conservaion scalaire (5.a. Démonsraion. Soi ψ C à suppor compac. On a : + + =0 x= (w + f (w x ψ x = 0. Or, en inégran par parie en emps, il vien que w ψ x = wψ x wψ =0 x x x x = w x ψ + w x ψ =0. De plus, w(x,0 = h(x, donc w x (x,0 = g (x e ainsi : w ψ x = w x ψ + g ψ =0, e donc, par conséquen, x x x x w x ψ + f (w x ψ x + g ψ =0 = 0. x x x 33

5.2. Quelques propriéés de la formule de Hopf Lax. Nous allons mainenan éudier quelques propriéés de la formule de Hopf Lax. Avan oue chose, remarquons que puisque f es uniformémen convexe, f es une bijecion sricemen croissane. On pose donc : G = f 1. La première éape consise à réécrire la formule de Hopf Lax sans uiliser de minimisaion. Pour cela, nous supposerons désormais que g es bornée e sommable. PROPOSITION 5.2. Pour ou > 0, il exise une parie A de R au plus dénombrable elle que pour ou x R\ A, il exise un unique poin y(x, el que : ( x y } ( x y(x, min L + h(y = L + h(y(x,. y R De plus, l applicaion x y(x, es croissane. Démonsraion. 1. Remarquons ou d abord que si p = G(q, on a : } L(q = max qp f (p = qp f (p p R e donc L(q = qg(q f (G(q. Mais alors, on a : L (q = G(q + qg (q f (G(qG (q = G(q, donc L es de classe C 2 e L (q = G (q > 1/θ. Nous voyons alors que L es sricemen convexe, nous savons donc désormais que le minimum donné dans l énoncé es aein en au moins un poin. 2. Fixons, pour > 0, x 1 < x 2. Il exise alors y 1 el que ( x1 y } ( x1 y 1 min L + h(y = L + h(y 1. y R Soi y < y 1, en uilisan la srice convexié de L e la quanié 0 < τ = y 1 y x 2 x 1 + y 1 y < 1, qui perme d écrire x 2 y 1 = τ(x 1 y 1 + (1 τ(x 2 y ainsi que x2 y 1 = τ(x 1 y 1 + (1 τ(x 2 y, x 1 y = (1 τ(x 1 y 1 + τ(x 2 y, 34

on obien l inégalié : Ainsi, pour rouver ( x2 y 1 L + h(y 1 < L min L ( x2 y ( x2 y } + h(y, + h(y. nous n avons besoin de regarder que les y y 1. Définissons mainenan y(x 2, comme éan le plus pei y > y 1 qui aein le minimum. La foncion x y(x, ainsi définie es alors croissane, donc coninue sauf évenuellemen sur un ensemble au plus dénombrable. De plus, en ou poin x où cee foncion es coninue, y(x, es l unique poin donnan le minimum. 5.3. La formule de Lax Oleinik. Nous pouvons mainenan plus aisémen dériver la soluion de Hopf Lax par rappor à x pour obenir une expression plus praique de ce que nous espérons êre la «bonne» soluion de (5.a. PROPOSITION 5.3 (Formule de Lax Oleinik. Soi w(x, la foncion définie par la formule de Hopf Lax. Pour ou > 0 on a pour presque ou x la formule : ( x y(x, w x (x, = G. Démonsraion. Nous savons que : w(x, = min L z R ( x z } + h(z = L ( x y(x, + h(y(x, es différeniable en x presque parou. De plus, x y(x, éan monoone, elle es égalemen différeniable presque parou d après un héorème de Lebesgue. On peu ainsi calculer ( w x = L x y (1 y x + h(y x. Mais si x R es fixé, ( x z z L + h(z aein un minimum en z = y(x,, par conséquen ( x y(z, z L + h(y(z, 35

aein un minimum en z = x, e donc en différenien on obien : ( L x y y x + h(y x = 0. De cela, on infère que : ( w x = L x y = G ( x y. Posons mainenan : ( x y(x, u(x, = w x (x, = G. (5.c C es donc une formule semi-explicie donnan une soluion inégrale de nore loi de conservaion. Nous allons mainenan éablir une propriéé que u es seule à vérifier parmi les soluions, ce qui nous donnera un crière d unicié. 5.4. Condiion d enropie. Dans le cas des équaions d Hamilon Jacobi précédemmen, nous avions uilisé la semiconcavié comme condiion à imposer pour assurer l unicié de la soluion, qui se rouvai êre celle obenue par la formule de Lax Hopf. Nous allons mainenan éablir une condiion similaire pour la foncion u donnée par la formule de Lax Oleinik. Cependan, à cause de la pere de régularié lors de la dérivaion qui perme de passer de w à u = w x, nous n obenons une inégalié que d un seul côé : PROPOSITION 5.4. Soi u la foncion définie par la formule de Lax Oleinik, alors il exise une consane C > 0 elle que : u(x + z, u(x, C z (5.d pour ous > 0 e x, z R avec z > 0. C es cee inégalié que nous appelerons désormais condiion d enropie, e que nous imposerons aux soluions. Une foncion u L (R R + es donc appellée soluion d enropie de (5.a si u es une soluion inégrale vérifian cee condiion d enropie. Démonsraion. Remarquons ou d abord que comme f > θ > 0, on a 0 G < 1/θ, e donc G es croissane e lipschizienne. Noons C sa consane de Lipschiz. On a alors pour z > 0, puisque y es croissane, ( x y(x, G G ( x y(x + z, 36 G ( x + z y(x + z, C z,

c es-à-dire u(x, u(x + z, C z. Remarquons que pour > 0, la foncion x u(x, C x es croissane e possède donc des limies à gauche e à droie. Il en es alors de même pour x u(x,, ces limies vérifian de plus u g (x, u d (x,. Cee inégalié, dans le cas où f es uniformémen convexe, es équivalene à l ancienne noion de condiion d enropie (3.e que nous avions formulée. Nous pouvons mainenan énoncer le résula que nous recherchions : THÉORÈME 5.5 (Oleinik. Soi f uniformémen convexe e régulière e g L. Il exise alors, à un ensemble de mesure nulle près, une unique soluion d enropie à la loi de conservaion scalaire unidimensionnelle : u + f (u x = 0 sur R ]0,+ [, u = g pour = 0, La démonsraion de ce héorème sui le même cheminemen que dans le cas des équaions d Hamilon-Jacobi e nous ne la présenerons donc pas ici. Il fau ou de même noer que cee démonsraion es un peu plus délicae dans la mesure où la formule de Lax Oleinik ne défini pas comme celle de Hopf Lax une foncion différeniable au sens usuel. 5.5. Un exemple imporan : le problème de Riemann. Nous savons donc que si f es uniformémen convexe, il exise une unique soluion d enropie e que celle-ci es donnée par la formule de Lax Oleinik. Cependan, il es difficile de voir à quoi ressemble la foncion que défini cee formule. C es pourquoi nous allons mainenan donner à ire d exemple les soluions d enropie de ceraines lois de conservaion scalaires unidimensionnelles. Il s agi des lois don la foncion de flux f es uniformémen convexe, e don la condiion iniiale es ug si x < 0, g (x = u d si x > 0, 37

u=u1 u=u2 FIG. VI Onde de choc pour le problème de Riemann où les consanes u g e u d son les éas iniaux gauche e à droie du sysème. Un el problème es appelé problème de Riemann. Nous allons disinguer deux cas e donner pour chacun d eux la soluion d enropie. Le héorème précéden assurera alors que la soluion es celle donnée par la formule de Lax Oleinik. THÉORÈME 5.6 (Rankine, Hugonio, Lax. Supposons u g > u d, e posons : σ = f (u g f (u d u g u d. Alors la soluion d enropie du problème de Riemann es : ug si x/ < σ, u(x, = u d si x/ > σ. Démonsraion. La foncion u définie dans l énoncé es clairemen une soluion inégrale du problème (1. De plus, puisque u g > u d, on a pour > 0 fixé e z > 0 : soi u(x + z, u(x, = 0 ; soi u(x + z, u(x, = u d u g < 0 ; e donc n impore quelle consane C > 0 convien pour la condiion d enropie. Nous avons représené ci-dessous cee soluion. Il s agi à nouveau d une onde de choc se déplaçan à viesse consane. Regardons mainenan l aure cas, qui es un peu plus compliqué. 38