Géométrie épipolaire (deux vues) Référeces utiles: Soka et al: sectio 11.5 visio umérique, derière révisio ov. 2008 P. Hébert
Itroductio 1 seule vue e ous permet pas de voir e 3 dimesios (apprécier les distaces) e utilisat deux ou plusieurs vues, o évalue la positio 3D des objets par triagulatio (parallaxe) o obtiet ue vue supplémetaire par l'ajout d'ue caméra ou e déplaçat la même caméra le véritable défi: trouver les poits correspodats das les deux images La géométrie épipolaire est u outil qui ous permettra de faire de la visio stéréo
Géométrie épipolaire tirée ié de orsyth G D. 5 poits das le même pla: P, p, p', O et O'. les droites l et l' sot les droites épipolaires (cojuguées). les poits e et e' sot respectivemet les épipôles gauche et droit. e est e fait O' vu das l'image gauche (voir simulatio). e' est O vu das l'image droite
Remarques les droites épipolaires passet toutes par les épipôles le correspodat d'u poit de l'image gauche das l'image droite est cotrait sur la droite épipolaire pp (hypothèse d'aucue autre "distorsio" que la projectio de perspective) ue seule droite épipolaire i passe par chaque poit des images (sauf aux épipôles) les épipôles sot à l'ifii lorsque les deux plas image sot parallèles
Le problème Soit u poit das ue image, quelle est l'équatio de la droite épipolaire cojuguée (das l'image cojuguée)?
Cas calibré: la matrice essetielle o coaît la trasformatio rigide etre les deux caméras o coaît les poits das les images mais e coordoées caméra plutôt qu'e coordoées image (o utilise les coordoées ormalisées e divisat par z) [ t ( Rp )] ' p = 0 où t : OO', R :matrice de rotatio p p ' : poit image gauche = : poit image droite = [ x y 1 ] t [ x' y' 1] t
La matrice essetielle (suite) le produit vectoriel se représete sous forme matricielle [ ( )] ' t ' t Rp = p [ t ] Rp p x E est la matrice essetielle 3x3 où E déped des paramètres 0 tz t extrisèques seulemet y [ t ] = tz 0 t E est défiie à u facteur d'échelle x x près (rag 2 par [t 0 pès( dep t y t x ]) x p appartiet à la droite Ep ' o a p ' appartiet à la droite E t p t ' p Ep ' t t 0 et p E p = 0 forme: ax + by + c = 0 =
La matrice fodametale O veut coaître la relatio poit-droite épipolaire cojuguée précédete e coordoées pixel plutôt qu'e coordoées caméra O veut traiter esuite le cas où la calibratio 'est pas coue
assez simple fialemet... p = p'= p t K équatio de la droite (projective) épipolaire Kp K' t p p t p '= 0 O utilise p pour idiquer les coord. ormalisées ' O utilise le ' pour l'image de droite EK' 1 p' = 0 K t est l'iverse trasposée de K est la matrice (3x3) des paramètres itrisèques est la matrice fodametale (3x3) K
La matrice fodametale (suite) itègre les paramètres itrisèques et extrisèques de rag 2 tout comme E Remarque: si o arrive à recostruire à partir de poits correspodats alors plus besoi de calibrer i les paramètres itrisèques, i les paramètres extrisèques!
L'algorithme des 8 poits (Loguet-Higgis 81) But: estimer à partir de correspodaces (au mois 8) pricipe: chaque correspodace fourit 1 équatio: u t 11 12 13 u' v 21 22 23 1 31 32 33 1 11 u ' + ' v = 0 1 v ' + 1 [ u v ] u' + v' + = 0 [ uu' uv' u u' v v' v v u' v' ] 0 21 31 u' + 12 22 32 v' + 13 23 33 11 12 13 21 22 23 31 32 33 =
L'algorithme des 8 poits (suite) Comme est calculée à u facteur d'échelle près, o peut fixer 33 =1 ou imposer = 1 (cette derière cotraite est implicite avec l'utilisatio de SVD car les coloes de V sot orthoormales: voir plus bas) au mois 8 poits sot écessaires (si le système 'est pas dégééré) * E réalité, o peut aussi résoudre avec 7 poits e traitat ue cotraite additioelle. système homogèe: AX=0 décompositio SVD: A = UDV t la solutio est la coloe de V correspodat à la plus petite valeur sigulière de A Pour redre sigulière, o remplace la plus petite valeur sigulière (de la décompositio SVD de : =UDV t ) par 0 das D --> D' ' = UD'V t * O évitera de choisir les poits das u même pla de la scèe. Pourquoi? (idice: homographie)
L'algorithme des 8 poits amélioré (Hartley) Problème: l'applicatio de l'algorithme des 8 poits est souvet istable car la matrice A est mal coditioée (produits uv, u, 1 où u et v variet souvet etre 0 et 640 (480) et plus). Solutio simple de précoditioemet: o chage l'origie das chacue des images par le cetroïde des poits appariés. o applique u facteur d'échelle tel que la orme moyee des vecteurs associés aux poits soit uitaire (e fait 2 ). **ces deux opératios sot équivaletes à multiplier les poits de l'image de gauche (et de droite) par ue matrice 3x3 H g (H d ). t O calcule ' puis = H g H d
Le calcul des épipôles Puisqu'u épipôle est toujours sur ue droite épipolaire, la relatio suivate (et la relatio cojuguée) est vérifiée pour tous les poits de l'image: doc p t e'= 0 e' ' = 0 u algorithme: Calculer et sa décompositio SVD telle que = UDV t e' est la coloe de V correspodat à la valeur sigulière 0 e est la coloe de U correspodat à la valeur sigulière 0
Géométrie trifocale: u aperçu Applicatio: visio trioculaire *tirée de orsyth *tirée de Horaud