1 ère S Le plan mun d un repère Ce chaptre fat sute à celu des vecteurs du plan bectf : consolder et compléter les bases de géométre analtque dans le plan de seconde (repérage des ponts dans le plan) I Repère du plan 1 ) Rappels de seconde Un repère du plan est un trplet (, I, J) de ponts non algnés n dt que : est l orgne du repère ; la drote graduée de repère (, I) est l ae des abscsses ; on le note souvent () ; la drote graduée de repère (, J) est l ae des ordonnées ; on le note souvent () n pose I et J Le repère est plutôt noté (,, ) ) Défnton n appelle repère (cartésen) du plan tout trplet,, vecteurs non colnéares du plan 3 ) Dfférents tpes de repère n dstngue 3 tpes de repère (selon le mallage obtenu) : où est un pont fé du plan et et deu Les aes de repère (, ) et (, ) sont appelés les aes du repère n dt que le couple, est une base de l ensemble des vecteurs du plan II Cordonnées d un pont 1 ) Théorème,, est un repère du plan Pour tout pont M du plan, l este un unque couple (, ) de réels tel que M ) Défnton n dt que et sont les coordonnées (cartésennes) de M dans le repère,, : abscsse de M : ordonnée de M Notatons : M ; ou M ou M Remarque : un repère est un trplet ordonné,, consttué d un pont et de deu vecteurs (attenton à l ordre de ces deu vecteurs) L ordre des deu vecteurs est captal quand on écrt l égalté vectorelle qu tradut qu un pont M a pour coordonnées (, ) dans ce repère 3 ) Démonstraton Il este un unque pont P de l ae des abscsses et un unque pont Q de l ae des ordonnées tels que M P Q Q M P Repère quelconque ou repère oblque (repère «penché») La malle est un parallélogramme Repère orthogonal La malle est un rectangle Les aes sont perpendculares en Repère orthonormé La malle est un carré de côté 1 Les aes sont perpendculares en et 1 (pour l unté de longueur chose) 1 P est colnéare à donc l este un unque réel tel que P Q est colnéare à donc l este un unque réel tel que Q n obtent : M
4 ) Eemple 3 3 III Cordonnées d un vecteur 1 ) Théorème,, est un repère du plan Pour tout vecteur u du plan, l este un unque couple (, ) de réels tel que u n parle de décomposton du vecteur u dans la base, ) Défnton n dt que et sont les coordonnées de u dans la base, 3 ) Démonstraton de l ensemble des vecteurs du plan Pour tout vecteur u du plan, l este un unque pont M du plan tel que M u n a vu qu l estat un unque couple (, ) de réels tel que M Donc u u IV Proprétés des coordonnées 1 ) Proprété 1 (égalté de deu vecteurs) Énoncé u (, ) et v', ' sont deu vecteurs quelconques du plan ' u v s et seulement s ' Démonstraton Découle de l uncté des coordonnées d un vecteur dans une base ) Proprété (coordonnées de la somme de deu vecteurs) Énoncé u (, ) et v', ' Le vecteur u Démonstraton v a pour coordonnées ', ' u v ' ' u v ' ' sont deu vecteurs quelconques du plan 3 ) Proprété 3 (coordonnées du produt d un vecteur par un réel) Retenr : u, sgnfe u M Énoncé u (, ) est un vecteur quelconque du plan est un réel quelconque Le vecteur u a pour coordonnées, Démonstraton u u 3 4
4 ) Proprété 4 (coordonnées d un vecteur défn par deu ponts) Énoncé et,, sont deu ponts quelconques du plan Le vecteur a pour coordonnées, Démonstraton 5 ) Proprété 5 (coordonnées du mleu d un segment) Énoncé et,, sont deu ponts quelconques du plan Le mleu I de [] a pour coordonnées, Démonstraton I mleu de [] sgnfe que I I I I Donc I I D où I I V Eemples de présentaton des calculs de coordonnées 1 ) Eemple 1 u ( 1, 7) et v (4, 3) Calculer les coordonnées du vecteur 3u v 3 3 1 4 7 u v 3u v 3 3 7 3 4 u 3u v 7 ; 4 ) Eemple ( 1 ; 4) et (5 ; 6) v Calculer les coordonnées de 5 1 6 6 4 (6 ; ) 3 ) Eemple 3 ( 1 ; 4) et (5 ; 6) Calculer les coordonnées du mleu I de [] I 1 5 4 4 6 10 I I( ; 5) I VI Vecteurs colnéares 1 ) Démonstraton u (, ) et v', ' 5 sont deu vecteurs du plan u et v sont colnéares s et seulement s u kv ou v ku donc s et seulement s le tableau est un tableau de proportonnalté Grâce au produts en cro, on peut formuler ans la proprété : u et v sont colnéares s et seulement s ' ' (on retrouve la proprété énoncée en seconde) ' ' 5 6
n peut encore formuler cette proprété sous la forme : ) Proprété (crtère analtque de colnéarté) u (, ) et v', ' u et v sont colnéares s et seulement s ' ' 0 sont colnéares s et seulement s ' ' 0 Cette proprété regroupe en fat deu proprétés formulées à l ade de «s, alors» (l s agt de deu mplcatons) P : S u et v sont colnéares, alors ' ' 0 Q : S ' ' 0, alors u et v sont colnéares L mplcaton Q est la récproque de l mplcaton P 3 ) Notaton Le réel ' ' est appelé le détermnant du couple de vecteurs u, v dans la base, détermner s deu vecteurs sont colnéares ou non) n note det, coordonnées de u ' u v ' ' ' coordonnées de v (car l sert à ttenton : l ne faut pas confondre cette notaton utlsant deu barres avec celle de la valeur absolue d un réel qu utlse auss deu barres u (, ) et v ', ' ' sont colnéares s et seulement s 0 ' n dt que l on «développe» un détermnant 4 ) Eemples (présentaton des calculs) u (9, 6) et v (6, 4) n calcule 9 6 9 4 6 6 36 36 0 6 4 Donc les vecteurs u et v sont colnéares (on utlse l mplcaton Q) 7 u (, 3) et v (3, 5) n calcule 3 5 3 3 1 0 3 5 Donc les vecteurs u et v ne sont pas colnéares (on utlse la contraposée de l mplcaton P : S ' ' 0, alors u et v ne sont pas colnéares) VII Norme d un vecteur et dstance de deu ponts dans un repère orthonormé du plan 1 ) Formule de la norme d un vecteur Le plan est mun d un repère orthonormé,, u est un vecteur quelconque de coordonnées (, ) n note M le pont du plan tel que M u Q Le quadrlatère PMQ est un rectangle (car les aes du repère sont perpendculares) Donc M P Q (théorème de Pthagore) r P (car 1) et Q (car 1) n en dédut que : M sot M r M u d où M u n retent : u ) Dstance de deu ponts et,, sont deu ponts quelconques du plan dans un repère orthonormé n a P M 8
n retent auss Remarque : En général, 3 ) Eemple ( 1 ; 3) et (3 ; 4) Calculer a b a b Méthode pour les calculs de dstance : commencer par calculer les coordonnées du vecteur 4, 4 0 5 Formulare Coordonnées dans un repère (géométre analtque) Le plan est mun d un repère,, M a pour coordonnées ; dans le repère,, sgnfe que : M u a pour coordonnées ; dans la base, sgnfe que : u et ; ; ; sont deu ponts quelconques de P ou Pour tous vecteurs u (, ) et v', ' u v ' ; ' ku k ; k du plan et pour tout réel k Coordonnées du mleu de [] : I ; ou I I I u (, ) et v', ' n note ' ' sont colnéares s et seulement s ' ' 0 ' ' (détermnant des vecteurs u et v ) S le repère,, est orthonormé c est-à-dre et 1 (pour l unté de longueur chose) 9 10
Mse en applcaton Rappel sur les parallélogrammes Comment démontrer qu un quadrlatère CD est un parallélogramme dans un repère Dans le plan mun d un repère, on donne quatre ponts,, C, D par leurs coordonnées n demande de démontrer que CD est un parallélogramme Il a pluseurs méthodes possbles Le tableau c-dessous propose un blan des dfférentes méthodes possbles, avec un commentare pour chacune d elles 1 Les graphques - Placer le repère (l orgne, les vecteurs, les noms des vecteurs) Inutle de mettre les flèches «de drecton» sur les aes n le mettat en e car les repères étaent notés (, I, J) - Placer les ponts (pontllés parallèles au aes et valeurs sur les aes) - Coder - Ecrre les hpothèses : les coordonnées de tous les ponts dovent fgurer sur une seule lgne sot en vertcal sot en horzontal (parenthèses vertcales ou horzontales) L écart angulare entre les aes est agu, obtus ou drot En pratque, on prend un angle agu n démontre que : Commentare P 1 () // (CD) = CD CD non crosé long, à évter Pas de flèches au bout des aes P P 3 () // (CD) (C) // (D) = CD C = D P 4 DC long, à évter long, à évter fasable unquement s le repère est orthonormé (car l faut pouvor calculer des longueurs) court, souvent la melleur méthode P 5 [C] et [D] ont le même mleu fasable, mas n est en général pas la méthode la plus hable Pas de flèches au bout des aes 11 1
Calcul de détermnant : attenton au sgnes u (1, ) et v ( 4, 3) Pas de flèches au bout des aes 1 4 det u, v 13 4 3 8 3 Les parenthèses autour du 4 sont oblgatores (snon, l écrture n a pas de sens) () et () sont les aes du repère Les barres de coordonnées, de détermnant et les racnes carrées à la règle règle 3 Les rasonnements Détermner s deu vecteurs sont colnéares ou non La présentaton des calculs Calculs de coordonnées - Les lettres en ndces Pour un pont : désgnera touours l abscsse de ; désgnera touours l ordonnée de Pour un vecteur u : u désgnera touours la premère coordonnée de u ; u désgnera touours la deuème coordonnée de u Notaton ndcelle : la lettre dot être placée plus pette en bas de la lgne Ne pas écrre 3u v 7 ; 4 - Présentaton en vertcal (avec une barre) ou en sstème (suvant les cas) Passer d une égalté vectorelle au coordonnées Une égalté vectorelle se tradut par deu égaltés numérques que l on présente en sstème Rédacton-tpe : «L égalté (1) est successvement équvalente à» «L égalté (1) donne successvement» n présente les sstèmes les uns en dessous des autres Logque (mplcaton) : R : «mplque» Récproque de l mplcaton R : S : «mplque» ttenton : R est vrae n entraîne pas S vrae Contraposée de l mplcaton R : T : «(non ) mplque (non )» R est vrae entraîne T vrae Caractérsaton analtque de colnéarté ou condton nécessare et suffsante (CNS) de la colnéarté de deu vecteurs n dra CNS de colnéarté 4 Descartes L nventon des coordonnées et de la géométre analtque 5 Utlsaton d un repère aulare 13 14