TD/TP : Taux d un emprunt (méthode de Newton)

TD/TP : Taux d un emprun (méhode de Newon) 1 On s inéresse à des calculs relaifs à des remboursemens d empruns 1. On noera C 0 la somme emprunée, M la somme remboursée chaque mois (mensualié), le aux mensuel de l emprun e C i la somme resan à rembourser après i mois. Chaque mois, la somme resan à rembourser es augmenée relaivemen au aux d inérê e diminuée d une mensualié, de sore que : C i+1 = C i + C i M = (1 + )C i M On noera N la durée du prê en mois ; on conviendra donc que C N = 0. I. Calcul de M à parir de C 0, e N Quesion 1. Démonrer que : i N, C i = C 0 (1 + ) i M (1 + )i 1 Quesion 2. En déduire que : C 0 (1 + ) N M((1 + ) N 1) = 0 ( ) puis éablir l expression de M en foncion de C 0, e N. Quesion 3. Écrire une foncion mensualie(c0,,n) qui calcule e renvoie la valeur de M associée aux valeurs C 0, e N. 1. Tiré de l aricle «Empruns : mensualiés, inérê, aux, TEG, risque de aux», Claude Danhony, Images des Mahémaiques, CNRS, 2009. hp://alexandre.boisseau.free.fr/prive/www/infopc/pb_newon.pdf

On désire mainenan obenir en foncion de C 0, M e N. On dispose oujours de la relaion ( ) mais on voi ici qu il n es pas possible d exprimer direcemen en foncion des aures valeurs. C es pourquoi on va uiliser une méhode numérique de résoluion d équaion. II. Rappels sur la méhode de Newon On considère une foncion f de classe C 1 sur un inervalle I. On suppose que f s annule en α I e que f ne s annule pas sur I e on cherche à déerminer une valeur approchée de α. On défini pour cela une suie (x n ) par récurrence : on prend x 0 I (assez proche de α, lorsque l on connai une esimaion de α ou un encadremen) ; pour n N, x n+1 es défini comme éan l abscisse du poin d inersecion de l axe des abscisses avec la angene à la courbe représenaive de f au poin d abscisse x n. Quesion 4. Faire un dessin avec une foncion f saisfaisan les condiions données, une valeur de x n quelconque e la consrucion permean d obenir x n+1. Quesion 5. Rappeler l équaion de la angene à la courbe représenaive de f au poin d abscisse a. En déduire l expression de x n+1 en foncion de x n. Quesion 6. Une première applicaion. On considère la foncion f : x x 2 2 e x 0 = 2. Explicier la relaion enre x n+1 e x n. Définir une foncion newon1(n) qui calcule x n. III. Calcul de à parir de C 0, M e N Quesion 7. Pour C 0, M e N donnés, on considère la foncion : f : C 0 (1 + ) N M((1 + ) N 1) Éudier ses variaions sur [0,+ [ e en déduire que l équaion f () = 0 ne possède qu une seule racine sricemen posiive. Quesion 8. On considère la suie ( n ) obenue en appliquan la méhode de Newon à f avec 0 = 0.1. Explicier n+1 en foncion de n. Définir une foncion aux(c0,m,n) qui calcule. Pour cela, on calculera les valeurs successives de la suie ( n ) en prenan comme condiion d arrê n+1 n < 10 5. IV. Travaux praiques Quesion 9. Programmer les foncions mensualie e aux. Quesion 10. Calculer les mensualiés pour C 0 = 150 000, un aux d inérê = 0.004 (c es à dire 0.4% par mois) e une durée de remboursemen de dix ans.

Quesion 11. Calculer le aux d inérê pour C 0 = 150 000, des mensualiés de 700 e une durée de remboursemen de ving ans. Vérifier le résula obenu en uilisan la foncion mensualie. Pour erminer, on revien sur la méhode de Newon en éudian quelques limiaions. Quesion 12. On considère les foncions : f : x xe x g : x x 1 + x 2 (a) Représener la foncion f sur l inervalle [ 1,5]. (b) On applique la méhode de Newon à la foncion f à parir de x 0 = 1.5. Calculer les premières valeurs obenues. Que peu-on conjecurer sur le comporemen de la méhode de Newon dans ce cas? (c) Représener la foncion g sur l inervalle [ 2,2]. (d) On applique la méhode de Newon à la foncion g à parir de 1/ 3. Calculer les premières valeurs obenues. Que peu-on conjecurer sur le comporemen de la méhode de Newon dans ce cas?

Correcions Q 1. Méhode 1 : la suie (C i ) i 0 es une suie arihméico-géomérique. On applique la méhode usuelle : L équaion x = (1 + )x M a pour unique soluion x = M ; Pour i N : C i+1 M = (1 + )C i M M ( = (1 + ) C i M donc la suie (C i M/) es géomérique de raison 1 +. En pariculier : i N, C i M ( = (1 + ) i C 0 M ) e ainsi : i N, C i = M + (1 + M(1 + )n )i C 0 = (1 + ) n C 0 M (1 + )i 1 Méhode 2 : on procède par récurrence. Le résula es vrai pour i = 0. Supposons le résula vrai au rang i, alors : ( C i+1 = (1 + )C i M = (1 + ) C 0 (1 + ) i M (1 + ) )i 1 M = C 0 (1 + ) i+1 M (1 + )i+1 (1 + ) + = C 0 (1 + ) i+1 M (1 + )i+1 1 Le résula es éabli au rang i + 1. Par récurrence, le résula es vrai quel que soi i N. Q 2. La condiion C N = 0 donne alors : ou encore en muliplian par : C N = C 0 (1 + ) N M (1 + )N 1 C 0 (1 + ) N M((1 + ) N 1) = 0 = 0 ) e ainsi : Q 3. M = C 0(1 + ) N (1 + ) N 1 def mensualie(c0,,n): reurn floa(c0**(1+)**n)/((1+)**n-1) x n+2 x n+1 x n Q 4.

Q 5. Équaion de la angene au poin d abscisse a : Au poin d abscisse x n : y = f (a)(x a) + f (a) y = f (x n )(x x n ) + f (x n ) La angene coupe la droie d équaion y = 0 au poin d abscisse x n+1 donc : ou encore : Q 6. La relaion de récurrence s écri ici : 0 = f (x n )(x n+1 x n ) + f (x n ) x n+1 = x n f (x n) f (x n ) x n+1 = x n x2 n 2 2x n = x2 n + 2 2x n def newon1(n): x = 2 for k in range(n): x = floa(x**2+2)/(2*x) reurn x prin newon1(10) 1.41421356237 Q 7. La foncion f es polynomiale e : R, f () = C 0 (1 + ) N +C 0 N (1 + ) N 1 M N (1 + ) N 1 = (1 + ) N 1 (C 0 (1 + N ) +C 0 M N ) Sur R +, f ne s annule qu une seule fois en 0 avec : 0 = M N C 0 C 0 (1 + N ) (noons que l on a bien M N > C 0 ). La foncion f es sricemen décroissane sur [0, 0 ] e sricemen croissane sur [ 0,+ [. Comme f (0) = 0, on a f ( 0 ) < 0 e on a par ailleurs f () + +. 0 0 + f () 0 f ( 0 ) < 0 + La foncion f es coninue e sricemen croissane sur [ 0,+ [. D après le héorème de la bijecion, f réalise une bijecion de [ 0,+ [ sur [f ( 0 ),+ [. Or f ( 0 ) es négaif, donc 0 apparien à [f ( 0 ),+ [ e donc 0 adme un unique anécéden par f. La foncion f s annule une unique fois sur ]0,+ [.

Q 8. L énoncé donne 0 = 0.1 e la relaion de récurrence s écri : n+1 = n f ( n) f ( n ) La condiion d arrê s écri alors f ( n )/f ( n ) < 10 5. Pour simplifier l écriure, on défini les foncions f e f à l inérieur de la foncion aux : def aux(c0,m,n): def f(): reurn floa(c0**(1+)**n-m*((1+)**n-1)) def fprime(): reurn (1+)**(N-1)*(C0**(1+N)+C0-M*N) = 0.1 while abs(f()/fprime())>=1e-5: = -f()/fprime() reurn Voici une version un peu plus efficace : def aux(c0,m,n): def f(): reurn floa(c0**(1+)**n-m*((1+)**n-1)) def fprime(): reurn (1+)**(N-1)*(C0**(1+N)+C0-M*N) = 0.1 Dela_ = f()/fprime() while abs(dela_)>=1e-5: = -Dela_ Dela_ = f()/fprime() reurn Q 10. prin mensualie(150000,0.004,120) 1576.35935235 Q 11. = aux(150000,700,240) prin 0.000961340092126 prin mensualie(150000,,240) 700.169616924 Q 12. Pour simplifier, on défini une méhode de Newon «générale» que l on uilisera en lui donnan à la fois la foncion f e la foncion f :

def newon(f,f_prim,x0,n): x = x0 for k in range(0,n): x = x-f(x)*1.0/f_prim(x) reurn x Premier exemple avec f : x xe x. On défini cee foncion ainsi que sa dérivée (noée f1 ici) : def f(x): reurn x*np.exp(-x) def f1(x): reurn (1-x)*np.exp(-x) Représenaion graphique : x=np.linspace(-1,5,100) pl.plo(x,f(x), b- ) pl.axhline(y=0,color= k ) pl.axvline(x=0,color= k ) Prenons x 0 = 1.5 e calculons x 1,..., x 10 : prin [newon(f,f1,1.5,k) for k in range(1,11)]???? PyhonTeX?? Sur ce exemple la méhode de Newon semble ne pas converger (on peu s en convaincre en représenan graphiquemen la consrucion). Deuxième exemple : def g(x): reurn x*1.0/(1+x**2) def g1(x): reurn (1-x**2)*1.0/(1+x**2)**2 x=np.linspace(-2,2,100) pl.plo(x,g(x), b- ) pl.axhline(y=0,color= k ) pl.axvline(x=0,color= k )?? prin [newon(g,g1,3**(-0.5),k) for k in range(1,11)]?? PyhonTeX?? Sur ce exemple, la méhode de Newon semble êre bloquée sur un cycle périodique qui ne convergera pas vers 0.