Problème : matrices semi-magiques

Problème : matrices semi-magiques Fixos N. Ue matrice A M (K) est dite semi-magique lorsque la somme des coefficiets das importe quelle lige ou coloe doe toujours le même résultat. E formule, lorsque : λ K tq i 1,, A i, j λ et j 1,, A i, j λ. Lorsque A est semi-magique, le ombre s de la défiitio est oté s(a). O otera E l esemble des matrices semi-magiques de format. Efi, o otera J la matrice dot tous les coefficiets sot des 1. Remarque: A est magique si e plus la somme des coefficiets sur chacue des deux grades diagoales est aussi égale à s(a). O étudiera pas ce type de matrice das ce problème. Le but du problème est de détermier toutes les matrices semi-magiques. 1. Trouver 2 exemples de matrices semi-magiques de format 3 3. 2. logique : Quelle est la différece etre la formule de la défiitio et : λ K tq i 1,, A i, j λ et λ K tq j 1,, A i, j λ. 3. Motrer que E est u K-espace vectoriel, et que s est liéaire. 4. Doer rg(s). Idicatio: vu so espace d arrivée, il y a que deux possibilités... 5. Soit A M (K). Motrer : A E λ K tq A J λ.j J A Das le cas où A est semi-magique, exprimer le ombre λ de la caractérisatio ci-dessus e foctio de s(a). 6. Motrer que E est stable par produit, et que (A, B) E 2, s(a B) s(a).s(b). 7. Soit A E Gl (K). Motrer que A 1 E et exprimer s(a 1 ) e foctio de s(a). O défiit das la suite p : E E A s(a).j. 8. Motrer que p est ue projectio. Motrer que ker(p) ker(s). Que vaut Im(p)? 9. Motrer que E ker(s) Vect(J). 10. Soit A E. a) Motrer qu il existe ue uique matrice C E telle que : s(c) 0 et A s(a).j + C b) Avec les otatios ci-dessus, exprimer pour tout k N A k e foctio de J et de C k. Idicatio: Que valet J C et C J? 1 2 3 c) Exemple : Pour cet exemple 3. Soit A E dot o doe les coefficiets suivats : A 2. 3 Détermier la matrice C telle que A s(a).j + C, et e déduire les coefficiets maquats de A. 3 1

11. Pour tout A E, o ote φ(a) la matrice de format ( 1) ( 1) obteu e e gardat que les ( 1) premières liges et coloes de A. a) Motrer que φ est u isomorphisme etre ker(s) et M 1 (K). b) E déduire dim(ker(s)), puis dim(e). c) Pour tout (p, q) 1, 2, o ote M p,q la matrice de format telle que (M p,q ) p,q 1 (case (p, q) de la matrice M p,q ), (M p,q ), 1, (M p,q ) p, 1 et (M p,q ),q 1, les autres cases état ulles. Motrer que la famille (J, M 1,1, M 1,2,..., M 1, 1, M 2,1,..., M 1, 1 ) est ue base de E. 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 12. Calculer l iverse de la matrice 0 0 1 0 1. O otera M cette matrice das la suite. 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 13. Pour cette questio, 3. Compléter la matrice suivate pour obteir u élémet de E : 3 4. 5 14. Plus gééralemet, état doés (a, b, c, d, e) R 4, démotrer qu il existe ue uique maière de compléter a b c d pour obteir ue matrice semi-magique et expliquer commet la détermier. e 2

1. Pour e pas se fatiguer : I 3 et O 3. Correctio Matrices semi-magiques 2. La deuxième phrase sigifie que les sommes des coefficiets de chaque lige sot les mêmes, de même que la somme de chaque coloe. Mais la somme des coefficiets d ue lige est pas forcémet la même que celle d ue coloe. 3. 4. Im(s) est u sous-espace vectoriel de K. Il peut être de dimesio 0 ou 1. Or s est pas l applicatio ulle (par exemple s(i ) 1 0), doc so rag est pas 0. Il reste : rg(s) 1 5. " " Supposos que A E. # Calculos le coteu des cases de A J et de J A. Soit (i, j) 1, 2. O a : (A J) i, j A i,k.j k, j A i,k.1 s(a) O trouve de même que (J A) i, j s(a). Posos alors λ s(a). Alors o a aussi (λ.j) s(a). E coclusio, toutes les cases de A.J, J.A et λ.j sot égales, et ce sot des matrices de même format, doc elles sot égales : A.J JA λj. E outre, le ombre λ est autre que s(a). " ". Supposos qu il existe λ K tel que A.J JA λj. Soit (i, j) 1, 2. O a : (J A) i, j (λ.j) i, j λ ce qui doe : A i,k λ i.e. la somme des coefficiets de la ième lige vaut λ. Et (A J) i, j (λ.j) i, j λ ce qui doe : A k, j λ i.e. la somme des coefficiets de la jème coloe vaut λ. E coclusio, toutes les liges et toutes les coloes doet la même somme (λ) doc A E. 6. Soit (A, B) E 2. # Méthode brutale : Motros que A.B E, calculos doc la somme des coefficiets d ue lige et d ue coloe. Soit i 1,. Alors : (A.B) i,k l1 l1 A i,l. l1 A i,l.b l,k A i,l.b l,k B l,k A i,l.s(b) l1 s(b). l1 A i,l 3 (échage de sommes) (A i,l est "costat pour l") s(b) est costat

s(b).s(a) Calcul similaire pour les coloes. Doc A.B E, et s(a.b) s(a).s(b). # Plus subtil : e utilisat la questio précédete : O a d ue part : (A.B).J A.(B.J) associativité A.(s(B).J) car B E, par la questio précédete s(b).a.j "les costates commutet" s(b).s(a).j car A E, par la questio précédete U calcul similaire doe J.(AB) s(a).s(b).j. Alors par la questio précédete, o obtiet que AB E, et que s(ab) s(a).s(b). Remarque: o peut dire que s est u "edomorphisme pour ". 7. O sait que A.J s(a).j. E multipliat à gauche par A 1 : J s(a).a 1.J Comme J 0, o déduit que s(a) 0, et o peut diviser par s(a), obteat de la sorte : De la même maière, o trouve : A 1.J 1 s(a).j J.A 1 1 s(a).j Ce qui sigifie que A 1 E, et que s(a 1 ) 1 s(a). 8. Notos que J E, et que s(j). O saut la vérificatio que p est liéaire, facile. Motros que p 2 p. Soit A E, alors : P 2 (A) p( s(a).j) s(a).p(j) s(a). s(j).j s(a).j p(a) p est liéaire Aisi, A E, p 2 (A) p(a), ce qui sigifie que p 2 p. Comme elle est de plus liéaire, vue la caractérisatio d ue projectio, p est ue projectio. # Calculos le oyau de p Soit A E. Alors : A ker(p) s(a).j 0 s(a) 0 "pseudo-itégrité", car J 0 A ker(s) 4

Aisi, ker(p) ker(s). C est l esemble des matrices telles que la somme des coefficiets das toute lige et toute coloe est ulle. Passos à l image. Maifestemet, Im(p) Vect(J). # Il est pas dur de motrer à la mai l iclusio réciproque. Mais pour le plaisir, utilisos les dimesios. Ça marche, même sas coaître dim(e)! Comme rg(s) 1, par le théorème du rag, dim(ker(s)) dim(e) 1. Dès lors, dim(ker(p)) dim(e) 1. Alors par le théorème du rag, rg(p) 1. Aisi, Im(p) et Vect(J) sot deux espaces vectoriels de même dimesio fiie, iclus l u das l autre : ils sot doc égaux. E coclusio, p est la projectio sur Vect(J) parallèlemet à ker(s). 9. C est le théorème sur les projectios : ker(p) Im(p) E. 10. (a) (uicité) Soiet (C, D) ker(s) 2 tel que A C + s(a) J D + s(a) J. Ue simple soustractio doe C D. # Ue aalyse élémetaire ous coduit à poser C A s(a) J. Posos C A s(a) J. Alors s(c) s(a) s(a).s(j) 0. Doc C ker(s). Et A C + s(a) J est évidet. Remarque: Nous avos doc obteu la décompositio de A das la somme directe ker(s) Vect(J). (b) Notos que C J s(c).j 0 (questio 5). Et de même J C 0. E particulier, C et J commutet, et ous pouvos utiliser la formule de Newto : soit k N, o obtiet : ( A k C + s(a) ) k J k ( ) ( ) j k s(a) j.j.c k j Nous elevos de cette somme tous les termes coteat J.C, il e reste que les termes pour j 0 ou k : j0 ( ) k s(a) A k C k + J Mais ue récurrece facile motre que J k k 1.J (à coditio que k 0), d où : A k C k + s(a)k.j Remarque: Formule amusate, mais bo, il faut quad même calculer C k e pratique. (c) Vue la première lige, s(a) 6. Soit C la matrice telle que A C + s(a) 2 2 2 J. Doc C A 2 2 2 3 2 2 2 1 0 1? 0?. Et la somme des coefficiets de chaque lige ou coloe de C est ulle.?? 3 1 0 1 Soiet a, b, c, d R 4 tel que C a 0 b. O trouve successivemet b 4, a 4, c 3, d 0. c d 3 5

1 0 1 Doc C 4 0 4, puis 3 0 3 1 2 3 A C + 2J 6 2 2 1 2 5 11. (a) liéarité : ijectivité : Soit A ker(φ). Cela sigifie que A ker(s) (e particulier que c est ue matrice de format ), et que (i, j) 1, 1 2, A i, j 0. Pour motrer que A 0, il reste à prouver que (i, j) 1, 1 2, A i, 0, A, j 0, et efi que A, 0. Soit i 1,. La somme des coefficiets de la ième lige est ulle, doc : A i,k 0 doc 1 A i,k + A i, 0 doc 0 + A i, 0 O procède de même pour motrer que pour tout j 1,, A, j 0. Et alors e utilisat le fait que la somme des coefficiets de la derière lige (ou de la derière coloe) aussi est ulle, o obtiet A, 0. Au fial, A est complètemet ulle. Aisi, ker(φ) {0}, et φ est ijective. surjectivité Soit B M 1, 1 (K). Motros qu il existe A ker(s) tel que φ(a) B. # Aalyse : Déjà, pour tout (i, j) 1, 1, ous devos predre A i, j B i, j. Esuite, comme o veut que A ker(s), la somme des coefficiets de chaque lige et chaque coloe doit être ulle. Preos doc pour tout (i, j) 1, 1 2 A i, 1 A i,k 1 B i,k et A, j 1 B,k. Et efi pour la derière case, A, 1 A k, 1 1 l1 B k,l. # sythèse Soit A M (K) la matrice telle que : (i, j) 1, 1 2, A i, j B i, j (i, j) 1, 1 2, A i, 1 B i,k et A, j 1 A, 1 1 l1 B k,l Démotros que A ker(s). Il sera alors évidet que φ(a) B. # Vérificatio facile, il suffit de l écrire... Somme des 1 première liges : Soit i 1, 1, alors : B,k A i,k A i,k + A i, A i,k A i,k 0 Somme des 1 premières coloes : idem derière coloe : A i, B i,l + B i,l 0 l1 } {{ } A i, l1 } {{ } A, 6

derière lige : A, j B k, j } {{ } A, j + B i,l B k, j + B i,l 0 l1 } {{ } A, l1 (u échage de à faire) Aisi la somme des coefficiets de chaque lige et chaque coloe est ulle : A ker(s). Et B φ(a) est clair. Au fiale, φ est u isomorphisme. (b) O déduit que dim(ker(s)) dim(m 1 (K)) ( 1) k. Esuite, dim(e) dim(ker(s) Vect(J)) ( 1) 2 + 1 2 2.( 2). (c) Toutes ces matrices sot das E Il y e a ( 1) 2 1, i.e. dim(e) # Motros que cette famille est libre : Soit (γ, α 1,1,..., α 1, 1 ) K ( 1)2 +1 tel que : γ.j + α i, j M i, j 0 (1) # Stratégie fréquete : o va évaluer e différet poits... efi disos plutôt qu o va regarder différets coefficiets. Nous avos ue matrice ulle : ceci sigifie que chacu de ses coefficiets est ul. Commeços par le coefficiet (, ) : o a J, 1, et pour toutes les autres matrices cocerées, le coefficiet (, ) est ul. Aisi : 0, ( γ.j + 1 L égalité 1 deviet : 1 α i, jm i, j ), deviet juste γ 0. α i, j M i, j 0 (2) Soit esuite (i, j) 1, 1 2. La matrice M i, j est la seule parmi celles cocerées à avoir u coefficiet o ul, lequel vaut 1. Aisi, e regardat le coefficiet (i, j) das l égalité 2, o trouve : α i, j 0. Et fialemet tous les coefficiets sot uls. E coclusio, ous avos là ue famille d élémets de E, libre, et coteat dim(e) élémets : c est ue base de E. 2 1 1 1 1 12. O trouve par Gauss-Jorda 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 13. Passos directemet au cas gééral ci-dessous : 14. Ici, 3. Doc E est de dimesio 2 2 + 1, i.e. 5, et ue base de E est (J, M 1,1, M 1,2, M 2,1, M 2,2 ). Notos-la B. # O peut partir d ue matrice avec les coefficiets a, b, c, d, e comme voulu et voir à quelle coditio elle est das E. Mais o peut aussi partir d ue matrice das E et voir à quelle coditio les 5 coefficiets voulus sot les bos. Nous cherchos à prouver qu il existe ue uique matrice semi-magique A telle que A 1,1 a, A 1,2 b, etc... Soit doc A E. Soiet (x, y, z, t, u) les coordoées de A das B. Doc : 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 A x. 1 1 1 + y. 0 0 0 + z. 0 0 0 + t. 1 0 1 + u. 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 7

Alors : A coviet A 1,1 a A 1,2 b A 2,1 c A 2,2 d A 3,3 e x + y a x + z b x + t c x + u d x + y + z + t + u e O recoaît u système de matrice la matrice M de la questio??. Comme elle est iversible, ceci assure existece et uicité de la solutio. E outre, pour calculer cette solutio, il suffit d utiliser M 1 : Ceci permet d obteir x, y, z, t, u, puis A. x a y b Acoviet M z c t d u e x a y b z M 1 c t d u e 8