Eocés : Stepha de Bièvre Correctios : Johaes Huebschma Eo7 Limites de suites et de foctios Eercice 1 Pour chacue des suites (u ) das le pla R 2 ci-dessous, placer quelques-us des poits u das le pla et décrire qualitativemet le comportemet de la suite lorsque ted vers l ifii. Étudier esuite la covergece de chacue des suites et détermier la ite le cas échéat. 1. u = ( 4 2 2 +4+3,cos 1 ) 2. u = ( 2 arcta 2 +1,si( π 4 ep( 1 ))) 3. u = (sih, l ) 4. u = (a cos(α),a si(α)), e foctio de a R, a > 0 et α R. [002621] Eercice 2 Étudier l eistece des ites suivates : 1. (,y) (0,0) +y 0 2 y +y 2. 2 3 +yz 2 0 + y 3. (,y) (0,0) (,y) (0,0) 4. (,y) (0,0) ±y 5. (,y,z) (0,0,0) +z 3 2 3 +yz 2 2 y 2 y+yz 2 +2y 2 +3z 2 [001784] Eercice 3 Soit f : R 2 \ {(0,0)} R la foctio défiie par Motrer que et que (,y) (0,0) f (,y) 0 y 0 f (,y) = 2 y 2 2 y 2 + ( y) 2. f (,y) = f (,y) = 0 (1) y 0 0 [001785] Eercice 4 Détermier les ites lorsqu elles eistet : 1. (,y) (0,0) 1
2. (,y) (0,0) (+2y) 3 log(+e 3. y ) (,y) (1,0) 4. (,y) (0,0) 4 +y 3 y 4 +y 2 5. (,y) (0,0) 3 y 4 +y 4 ; 6. (,y) (0,0) ( ) 2 2 y 2 ; 7. (,y) (0,0) 1 cosy y 2 ; 8. (,y) (0,0) si cosy cosh [001787] Eercice 5 Pour chacue des foctios f suivates, étudier l eistece d ue ite e (0,0,0) : 1. f (,y,z) = +y+z ; 2. f (,y,z) = +y 2 y 2 +z 2. [001788] Retrouver cette fiche et d autres eercices de maths sur eo7.emath.fr 2
Idicatio pour l eercice 1 Pour établir ou réfuter l eisteces d ue ite particulière das le pla et pour esuite détermier ue ite pourvu qu elle eiste, utiliser le fait que pour que (,y ) eiste das le pla R 2 il faut et il suffit que chacue des ites et y eiste e tat que ite fiie. Idicatio pour l eercice 2 1. Raisoer à l aide d ue foctio f de la variable telle que + y = f () et 0 f () = 0. 2. Trouver deu courbes das R 3 \ {(,y,z);2 3 + yz 2 = 0} qui tedet vers l origie telle que les ites, calculées le log de ces courbes, eistet mais ot des valeurs distictes. 3. Utiliser le fait que le umérateur et le déomiateur sot toujours positifs et que l ordre du déomiateur est strictemet plus grad que celui du umérateur. 4. Raisoer à l aide d ue foctio h de la variable y telle que 2 y 2 = h(y) et y 0 h(y) = 0. 5. Chercher deu courbes das le domaie de défiitio qui tedet vers l origie telle que les ites, calculées le log de ces courbes, eistet mais ot des valeures distictes. Idicatio pour l eercice 3 Diviser le umérateur et le déomiateur par 2 resp. y 2 pour détermier y 0 f (,y) resp. 0 f (,y). Motrer que, calculée le log d ue autre courbe coveable, (,y) (0,0) f (,y) eiste et e vaut pas zéro. Idicatio pour l eercice 4 1. Réfuter l eistece de la ite à l aide de l étude des ites le log de deu courbes adaptées. 2. Utiliser les coordoées polaires das le pla. 3. Si (,y) (0,y 0 ) h(,y) eiste et est o ul alors f (,y) (,y) ( 0,y 0 ) h(,y) = (,y) ( 0,y 0 ) f (,y) (,y) (0,y 0 ) h(,y). 4. Chercher deu courbes das le domaie de défiitio qui tedet vers l origie telles que les ites, calculées le log de ces courbes, eistet mais ot des valeures distictes. Idicatio pour l eercice 5 1. Raisoer à l aide d ue foctio h des variables et y telle que +y+z = h(,y) et (,y) (0,0) h(,y) = 0. 2. Motrer que, déjà sous la cotraite supplémetaire z = 0, la ite e peut pas eister. 3
Correctio de l eercice 1 Des calculs élémetaires doet 1. u 1 = ( 1 2,cos1), u 2 = ( 16 15,cos 1 2 ),...,u 10 = ( 400 143,cos 1 10 ),... 2. u 1 = ( 1 2 arcta1,si( π 4e )), u 2 = ( 4 5 arcta2,si( π )), 4e 1/2 u 3 = ( 9 10 arcta3,si( π )),...,u 4e 1/3 10 = ( 100 101 arcta(10),si( π )),... 4e 1/10 3. u 1 = (sih1,0), u 2 = (sih2, l2 2 ), u 3 = (sih3, l3 3 ),..., u 10 = (sih10, l10 10 ),... 4. u 1 = a (cos(α),si(α)), u 2 = a 2 (cos(2α),si(2α)), u 3 = a 3 (cos(3α),si(3α)),...,u 10 = a 10 (cos(10α),si(10α)),... Les ites pouvu qu elles eistet se calculet aisi : 1. 4 2 2 +4+3 = 4 1+ 4 + 3 2 = 4, cos(1/) = cos(0) = 1 d où u = ( 4 2 2 + 4 + 3,cos 1 ) = (4,0). 2. 2 2 +1 = 1 = 1, 1+1/ 2 arcta = π/2, 2 arcta = π/2 mais 2 +1 si( π 4 ep( 1 )) eiste pas d où 3. l d où u = 0 tadis que sih eiste pas e tat que ite fiie car sih = + + ( u = sih, l ) 4. (cos(α),si(α)) eiste pas tadis que pour que a eiste il faut et il suffit que a 1 et, s il e est aisi, a = 0 si a < 1 et a = 1 si a = 1. Par coséquet : Pour que u = a (cos(α),si(α)) eiste il faut et il suffit que a < 1, et la ite vaut alors zéro. Correctio de l eercice 2 1. Avec f () = 4, d où y = 4, o obtiet 2 y +y = 2 1 d où 2. =y=z 0 +z 3 2 3 +yz 2 = 2 3 et 0,y=z=0 (,y) (0,0) +y 0 2 y + y +z 3 2 3 +yz 2 = 0. Il s esuit que 2 3 +yz 2 0 + z 3 2 3 + yz 2 4
3. Sur R \ {0}, la foctio f défiie par f () = = 1 2 ted vers + quad ted vers zéro d où eiste pas e tat que ite fiie. 4. D ue part, (,y) (0,0) 2 y 2 = 0. D autre part, vue l idicatio, avec 2 y 2 = h(y), u calcul immédiat doe 0,y=0 Avec h(y) = y 6, l epressio + y (,y) (0,0) (,y) (0,0) 2 + y 2 2 y 2 = y5 + 2y 3 h(y) + (h(y)) 2 y = y5 h(y) h(y) + 2y3 + h(y)y. 4 y 2 y 2 ted doc vers + quad y ted vers zero d où (,y) (0,0) ±y 2 y 2 5. Le log de la demi-droite > 0,y = 0,z = 0, la ite eiste et vaut zéro et le log de la demi-droite = y = z > 0 la ite eiste et vaut 1/3 d où (,y,z) (0,0,0) y + yz 2 + 2y 2 + 3z 2 Correctio de l eercice 3 f (,y) = y 0 y 0 y 2 y 2 + (1 y/) 2 = y 0 y 2 y 0 y 2 + (1 y/) 2 = 0 1 = 0 De même 0 f (,y) = 0 d où (1). D autre part, f (,) = 4 4 = 1 d où 0 f (,) = 1 et (,y) (0,0) f (,y) e peut pas eister. Correctio de l eercice 4 1. (,y) (0,0),y=0 eiste pas d où (,y) (0,0) 2. = r(cosϕ + 2siϕ) 3 d où 27r et (+2y) 3 car (,y) (0,0) r = 0. (+2y)3 ( + 2y) 3 (,y) (0,0) 2 + y 2 = 0 3. (,y) (1,0) 2 + y 2 = 1 0 et (,y) (1,0) log( + e y ) = log2 d où 4. (,y) (0,0) y=2 4 +y 3 y 4 +y 2 = 1 tadis que (,y) (0,0) =0 log( + e y ) (,y) (1,0) 2 + y = log2. 2 4 +y 3 y 4 +y 2 4 + y 3 y (,y) (0,0) 4 + y 2 = 0 d où 5
Correctio de l eercice 5 1. Supposos + y + z 0. Alors d où, avec ous obteos Il s esuit que y(h(,y) y) y( + y) = = y + y + z h(, y) h(, y) h(,y) = ( + y) 4, + y + z = y y ( + y) 3. +y+z=(+y) 4 0,y 0,z 0 + y + z eiste pas, au mois o pas e tat que ite fiie. D autre part, Par coséquet, e peut pas eister. 2. La ite eiste pas car (,y) (0,0) y= 2 e peut pas eister. ±y,z=0 +z 0,y=0 +y+z 0 + y + z = 0. + y + z f (,y,z) = (,y) (0,0) y 1 y Par coséquet, 2 y 2 +z 2 0 f (,y,z) = 2 y 2 +z 2 0 1 y + y 2 y 2 + z 2 6