Chapitr 7 : ls courants élctriqus 7.1 Intnsité t dnsité d courant Ls courants élctriqus sont produits par l déplacmnt ds porturs d chargs. L courant élctriqu dans un fil st un msur d la quantité d charg qui pass n un point par unité d tmps. L intnsité I n un point M du fil st la quantité d chargs mobils qui pass n M pndant un scond : I dq L unité d l intnsité st l Coulomb par scond, applé Ampèr.
7.2 Définition d la dnsité d courant On chrch ici à décrir un écoulmnt d chargs par xmpl à travrs un fil conductur d sction donné S. On va considérr la quantité d chargs qui pass, qui s écoul, par unité d tmps à travrs un ptit surfac ds t définir un dnsité d courant J Considérons un fil parcouru par un courant. L intnsité d courant I st la quantité d charg dq qui pass par la sction S du fil pndant un scond. I dq dq I A travrs ds, il pass pndant un charg d(dq) noté d 2 Q=dI : c st l intnsité d courant di = d( dq / )
On définit l vctur dnsité d courant L intnsité total I du courant passant dans l fil d sction S st donc : J par I di J. ds J. ds S c st l flux d J à travrs la surfac orinté S. 7.3 Exprssion d la dnsité d courant Considérons d abord l cas simpl où touts ls particuls mobils ont la mêm charg +q t la mêm vitss v La charg d 2 Q qui travrs la surfac ds pndant un tmps dépnd à la fois d la vitss ds particuls, d lur nombr n par unité d volum t d l orintation d v par rapport à ds
v dl ds q Pndant, ls chargs parcournt d l v.. Clls qui travrsront ds sont donc touts clls contnus dans un cylindr d longuurdl t d sction ds. L volum d c cylindr st donc : d ds. dl ds. dl cosq où q st l angl (, S ) v d
Dans d il y a n.d particuls, donc la charg qui travrs ds pndant st : 2 d Q nd q nq dsdl nq ds. v Or l produit nq n st autr qu la dnsité volumiqu d chargs mobils r m donc : di d dq 2 d Q rm v ds. r m v ds J. ds Il s nsuit qu la dnsité d courant J s xprim très simplmnt n fonction d r m t v par la rlation : J r v Si il y a plusiurs typs d porturs d chargs d dnsité d chargs r i t d vitsss v i J r i m v i i
7.4 Cas du conductur métalliqu Dans un métal, il y a n i élctrons mobils par unité d volum animés d différnts vitsss v i (agitation thrmiqu). On a : i n i n t J i n v i i i n v i i Si on pos u n i n v On put écrir ncor J avc (r m =-n) i i vctur vitss moyn ds élctrons, nu qui st bin d la form J r m v Mais ici la vitss st un vitss moynn.
Si l conductur st n équilibr élctrostatiqu, la distribution ds vitsss st isotrop ; ls élctrons vont à très grand vitss, d l ordr d 10-5 m/s, mais touts cs vitsss sont orintés au hasard dans touts ls dirctions t lur moynn vctorills u 0, J = 0 il n y a pas d courant dans l conductur n équilibr élctrostatiqu. u 0 marqu un écart à l équilibr t rprésnt un vitss d nsmbl, un vitss moynn d ntraînmnt ds élctrons qui corrspond à un courant élctriqu dans l conductur. Ctt vitss moynn st baucoup plus faibl qu la vitss du à l agitation thrmiqu, comm l montr l calcul suivant. v u u 0 donc J = 0 u 0 donc J 0 J
7.5 Loi d Ohm 7.5.1. Champ élctriqu dans un conductur Contrairmnt au cas d l équilibr élctrostatiqu l champ élctriqu E n st pas nul, dans l conductur, puisqu c st lui qui ntraîn ls élctrons pour formr un courant élctriqu. Tout s pass comm si l élctron était soumis à la forc élctrostatiqu : à un forc d frottmnt visquux : qe kv E ( k 0) proportionnll t opposé à la vitss, résultant ds intractions «microscopiqu» (t donc régis par la mécaniqu quantiqu) ntr ls élctrons librs t ls ions du résau métalliqu d où : E kv ma
En fait ma par suit E st toujours négligabl, donc k r J E kv kj r J r E 0 k Ladnsité d courant J st proportionnll au champ élctriqu E dans un conductur. 1 On not qu st la résistivité t st applé la conductivité du métal. Ag Cu Al résistivité (SI) 1,6 10-8 1,7 10-8 2,8 10-8 Conductivité (SI) 0,62 10 8 0,59 10 8 0,35 10 8
7 5 2 Loi d Ohm pour un conductur cylindriqu st uniform dans l fil, E J l st aussi E Un sction droit du fil st un équipotntill (surfac orthogonal aux ligns d champ). La différnc d potntil ntr dux sctions, ou dux points A t B du fil st : B A B E. dm A (prnons AB dans l sns d J, A > B ) Orintons l fil suivant l ax Ox, donc dm dxu x dans l mêm sns qu l vctur J J,c st-à-dir u x. On a E E x ux, avc E x >0 J En posant l = x B x A t E = E x il vint : A B E. dm E x x 0 B A x El B J l A I l S J
O v dm = dx u x M M - E J A B u x l=ab x Notons = A B la différnc d potntil ntr ls dux points du fil, on obtint : I st la résistanc du fil 1 l S r l S (r résistivité)
7.5.3. Enrgi élctriqu dans un conductur : Loi d Joul. Pour établir la loi d Ohm on néglig mass d l - st assz faibl donc : ma dvant E, n fft la forcs 0 D un point d vu énrgétiqu : L travail du champ élctriqu st égal au travail résistant ds forcs d frottmnts, ou ncor on néglig l énrgi cinétiqu ds - dvant l rst. Il y a donc transformation intégral d l énrgi élctriqu n chalur par l mécanism ds frottmnts. Pndant l - l élctron parcours dl v dans l champ E Sa variation d énrgi élctrostatiqu : dw q d
d E dm E dx 0 x l déplacmnt L sign provint d E=-grad d > 0 : l - rmont l champ potntils croissants ( A > B ). dw qd E dx st négatif, donc s déplac vrs ls E dx E dx 0 L énrgi élctrostatiqu ds - diminu, ll st prdu t récupéré par l conductur sous form d chalur. Dans un conductur tous ls - prdnt la mêm énrgi x x
ndw avc l x r S l dw. E t r B 0 x A nb d' 0 x dx r Sl E dx vx 0 t J J r 0 v x x v x dw t r v x S E x x x J S I I B A B A B A En posant 0 A B Donc l conductur récupèr ctt puissanc P t la libèr sous form d chalur. dwt dwj 0 Loi d Joul ntré dwj P I sorti I 2
8. Ls circuits à courant continu 8.1. ésistancs n séri t n Parallèl 8.1.1. n séri Mêm courant dans chaqu résistanc 1 2 3 1 2 3 D après la loi d Ohm: 1=I.1 ; 2=I.2 ; 3=I.3. Consrvation d énrgi =1+2+3 =I.1+I.2+I.3 = I.(1+2+3)=I.
8.1.2. n parallèls Il y a consrvation d la charg L courant st divisé 1 2 3 I1 I2 I3 I Ls tnsions 1=2=3= I 1 1 I 2 I 2 I 3 3 1 2 3 1 1 1 1 2 1 3
3=400 W I I1 1= 500 W Pour ls résistancs n parallèls: I2 =12 2=700 W 1 p 1 1 1 2 1 2 1 700.500 291W 700 500 2 TOT 291 400 691W 3 p I TOT 12 691 17,4 ma
8.2 Forc élctromotric (fm) t tnsion aux borns Un objt (pil) qui transform u typ d énrgi qulconqu (chimiqu, mécaniqu ou luminus) n énrgi élctriqu st un sourc d forc élctromotric (fm) On appll f..m. E la différnc d potntil ntr ls borns quand il n y a pas d courant. Quand un sourc débit du courant la ddp < E : => il xist un résistanc intrn r. Par x pour la pil: r a E b Si il n y a pas d courant alors ab = E Si il y a d courant alors la tnsion a-b = ab = E - Ir
On néglig la résistanc intrn d la pil 12 I 17 ma a 400 W b 290 W c 690 L coté + d la pil () st au potntil plus élvé. La charg s déplac: a L pot. n vari pas d a b L pot. d I Chut d tnsion 12 d ba = -6.8 b c Un autr chut d tnsion d bc = - 5.2 c d L pot. n vari pas 6.8 5.2 a b c d d La tnsion d = 12; On pass du pot. L plus faibl au pot. L plus élvé d 12 d+ba+cd=0
8.3 Loi d Kirchhoff Dans l x précédnt nous avons utilisé la loi d Ohm pour détrminr l intnsité du courant dans l circuit, mais crtains circuits sont très complxs. On utilisra 2 lois conçus par Kirchhoff (1824-1887) au miliu du 19 siècl qui xprimnt la consrvation d l énrgi t la consrvation d la charg. 8.3.1. 1r loi, la loi ds nœuds Et basé sur l princip d la consrvation d la charg Ls chargs qui ntrnt dans un nœud doivnt n sortir La somm ds courants qui ntrnt dans un nœud = à la somm ds courants qui n sortnt I1 I4 I2 I3 I5 I1+I2+I3 = I4+I5 => S Ii = 0
8.3.2. 2èm loi, la loi ds maills Ell st basé sur l princip d la consrvation d énrgi. Dans un circuit, la somm algébriqu ds variations d potntil l long d n import qul parcours frmé doit êtr = 0 Dans c circuit, il y a 2 maills
8.3.2. La fm n séri t n parallèl Pour plusiurs fm n séri: la tnsion total st la somm algébriqu. ca = c-a = cb + ba = - 12 + 20 = 8v a b c - + + - 20 12 Il faut qu 1 = 2, sinon l courant circul d un pil vrs l autr. 1 C branchmnt st utilisé pour augmntr l courant 2
a I2 I1 I3 30 W 1 b 40 W 1 W 2 h E = 45 v c d 30 W Calculr I1, I2, I3 On choisi I3 quittant la sourc I2 rntr dans la sourc t I1? Il nous faut 3 équations (3 inconnus) g f E = 80 v 1 W 3 Au point a: I3 = I1 + I2
Loi ds maills maill 1. 30 W cd 45 ac I3. 40 1 ha Augmntation d tnsion a c I 1 car h a La somm : 30I 41I 45 0 ha cd ac 0 1 3 maill 3 a h d f g a I1. 30 I2. 20 I2 80 0 ha I 1. 30 dh 0 d I 2. 20 f I 2.1 gf 80
Nous avons donc ls 3 équations I 3 I1 I2 30I I I 1 41I 3 45 0 I3 1.1 0.73. 1 30 I2. 20 I2 80 0 I2 3.8 1.4.. I 1 1 dans 1 I I I 0. 87A 1 2 3 I2 2. 6A I 3 1. 7A Donc n réalité l courant I1 st n sns invrs
8.4 Circuit C S1 a S2 - + C b Au départ S2 rst ouvrt, on frm S1: - l courant s déplac, ls quittnt la born négativ d la pil, travrsnt la résistanc t s accumulnt sur la plaqu sup. du condnsatur. ls chargs + font la mêm chos d l autr coté.
A msur qu la charg s accumul dans l condnsatur l intnsité du courant diminu jusqu à c qu finalmnt la tnsion aux borns du condnsatur = fm d la pil. Pour établir la form mathématiqu d la charg du condnsatur Q n fonction du tmps, on utilis l princip d consrvation d l énrgi (loi ds maills) La fm. d la pil = chuts d tnsion ntr ls borns d la résistanc (I) t ntr ls armaturs du condnsatur (Q/C) E I Q C
inclut la résistanc t la résistanc intrn d la pil, Q la charg d du condnsatur, C la capacité du condnsatur, Q t I sont ds variabls, E, t C sont ds constants. E dq Q C Q dq C E C dq Q C E 1 C ln t Q CE k C Constant d intégration: à t=0 Q=0 ln CE
ln t Q t Q CE ln CE ln1 C C C E t Q C 1 1 Q CE CE t C CE 0,63CE Q C 2C 3C t
La quantité C st la constant d tmps du circuit. Ell rprésnt l tmps nécssair pour qu l condnsatur 1 attign 1 ou 63% d sa charg total. C constitu un msur d la vitss à laqull l condnsatur accumul ds chargs. Intnsité I On put détrminr l intnsité du courant I n fonction d t n dérivant Q E Q I dq E t C E 0,37 C t
Décharg du condnsatur La loi ds maills nous donn: O dq Q dq 1 C Constant d intégration: Q C S1 ouvrt S2 frmé 0 I dq Q ln à t=0 Q=Q0 Q Q C C t C k k ln Q 0 ln Q ln t Q C 0 ln Q Q 0 t C
Q Q 0 t C Q Q 0 0,37Q 0 C t D mêm pour l courant I dq Q0 C t C
8.4 Circuit C Inductanc d un bobin Quand un courant variabl travrs un bobin, il y produit un flux magnétiqu variabl, lqul donn naissanc à un fm induit. L flux magnétiqu F (qui travrs la bobin) st proportionnl à l intnsité I du courant t l cof. d proportionnalité st l inductanc propr L: F L I La fm induit E qui apparaît dans la bobin d inductanc L st: E N dφ L di
Circuit L a b + - Loi ds maills L di I L di I I 0 di I I 1 t t 0 L 1 L ln I t L (Constant d tmps)
I 0,63I Imax max T=L/ t On déplac l intrruptur (on rtir la pil) I di di I 0 L I ln t I L I L I I 0 I 0 t t 0 0