Corrigé du Bac blac du lycée Prévert. Sessio de javier 015. Durée h. EXERCICE 1 Étude d'ue famille de foctios 6 poits A tout etier aturel o ul o associe la foctio f défiie sur R par f (x)= ex e x +7. O ote C la courbe représetative de f das u repère orthoormal (O; i, j ). Partie A : Étude de la foctio f 1 défiie sur R par f 1 ( x)= ex e x +7 1. a) Démotrez que la courbe C 1 admet deux asymptotes dot o précisera les équatios. Nous devos détermier les limites de f 1 e et +. E : lim e x =0 doc lim f 1 ( x)=0 car de la forme «0 x x 0+7» Doc e C 1 admet ue première asymptote horizotale : la droite d équatio y=0. E +, ous avos ue forme idétermiée «+ +» doc ous factorisos le déomiateur par e x puis simplifios pour lever l'idétermiatio : e x f 1 ( x)= e x (1+7 e x ) = 1+7 e x. Or lim x + e x =0 doc lim x + f 1 ( x)= car de la forme «Doc e + C 1 admet ue deuxième asymptote horizotale : la droite d équatio y=. b) Démotrez que la foctio f 1 est strictemet croissate sur R. f 1 est dérivable sur R comme quotiet de foctios dérivables sur R. Nous utilisos la formule de dérivatio ( u ' v uv ' v )'=u 1+7 0». v f ' 1 (x)= ex (e x +7) e x e x 8 ex =, or pour tout x réel, (e x +7) (e x +7) e x >0 doc, pour tout x réel, f 1 (x)>0. f 1 est strictemet croissate sur R. c) Démotrez que pour tout réel x, 0< f 1 (x)<. f 1 ( x)= ex e x +7 >0 puisque, pour tout x réel, e x >0. e x x e D'autre part la résolutio de < équivaut à e x +7 e x +7 <1 qui équivaut à e x <e x +7 c'est à dire 0<7, ce qui est vrai quelque soit x doc ous avos bie : pour tout réel x, 0< f 1 (x)<. a) Détermiez les coordoées de I 1, itersectio de la droite (d) d'équatio y= et de la courbe C 1 Nous devos résoudre l'équatio e x e x +7 = qui équivaut à e x =e x +1 e x =1 e x =7 d'où x=l(7) d'où les coordoées du poit d'itersectio I 1 (l(7);) b) Détermiez ue équatio de la tagete (T 1 ) à la courbe C 1 au poit I 1 Nous coaissos la forme géérale d'ue tagete à C 1 au poit d'abscisse a : y= f 1 '(a)( x a)+ f 1 (a) ici a=l (7). Calculos f 1 (l(7)) et f ' 1 (l(7)) f 1 (l(7))= el7 e l 7 +7 = 7 7+7 = 8 1 = Page 1 sur 9
8 el 7 8 7 f ' 1 (l7)= (e l 7 +7) = (7+7) = 8 7 1 1 =1 doc ue équatio de la tagete (T 1 ) à la courbe C 1 au poit I 1 est : y=1( x l(7))+ c'est à dire y=x+ l(7). 3. a) Motrez que pour tout réel m ] 0;[, l'équatio f 1 ( x)=m admet ue solutio uique das R. O otera a cette solutio. Le tableau de variatio de f 1 permet de compredre : f 1 est cotiue sur R car dérivable sur R f 1 est strictemet croissate sur R m ] 0;[ doc d'après le corollaire du théorème des valeurs itermédiaires, l'équatio f 1 ( x)=m admet ue uique solutio das R b) Détermiez l'expressio exacte de a e foctio de m. e x O résout e x +7 =m qui équivaut à ex =me x +7 m ( m)e x =7 m e x = 7 m, m ]0;[ doc ( m) 7 m l'expressio est bie strictemet positive.nous appliquos la foctio logarithme pour obteir la ( m) solutio a=l( m) 7 m Partie B : Étude de certaies propriétés de f 1. Matthieu ayat étudié f 1, et ayat affiché sur l'écra de sa calculatrice C 1, C et C 3, voir ci-cotre, fait les cojectures suivates : Quelque soit, etier aturel o ul, les courbes C admettet les mêmes asymptotes Ces courbes semblet toutes passer par le poit A(0; 1 ). Les foctios f semblet être strictemet croissates. Validez les cojectures de Matthieu. Pour les asymptotes, ous repreos la même démarche que pour f 1 Nous devos détermier les limites de f (x)= ex e x +7 e et +, quelque soit etier aturel o ul. E : lim e x =0 doc lim x x Doc e C admet ue asymptote horizotale : la droite d équatio y=0. f (x)=0 car de la forme «0 0+7» E +, ous avos ue forme idétermiée «+ +» doc ous factorisos le déomiateur par ex puis simplifios pour lever l'idétermiatio : e x f (x)= e x (1+7 e x ) = 1+7 e x. Or lim e x =0 doc lim f ( x)= car de la forme «x + x + 1+7 0» Page sur 9
Doc e + C admet ue asymptote horizotale : la droite d équatio y=. Quelque soit, etier aturel o ul, les courbes C admettet les mêmes asymptotes horizotales que C 1 Calculos f (0) quelque soit 1 f (0)= e0 e 0 +7 = 8 =1. Ceci motre que le poit A(0; 1 ) appartiet à toutes les courbes C Dérivatio de f f ' ( x)= ex (e x +7) e x e x 8 ex =, expressio strictemet positive sur R quelque soit 1 (e x +7) (e x +7) Doc les foctios f sot strictemet croissates.. a) Motrez que pour tout etier aturel o ul la courbe C et la droite d'équatio y= ot u uique poit d'itersectio dot o précisera les coordoées. O ote I ce poit. o résout f (x)= e x e x +7 = qui équivaut à e x =e x +1 e x =1 e x =7 d'où x=l(7) x= l(7) d'itersectio I ( l(7) ; ) d'où les coordoées du poit b) Détermiez ue équatio de la tagete (T ) à la courbe C au poit I. Calculos f ( l(7) ) et f ' ( l(7) ) f ( l(7) f ' ( l(7) ) = e l(7) e l(7) +7 = 7 7+7 = ) = 8 e l(7) (e l(7) = +7) 8 7 1 1 = Ue équatio de la tagete (T ) à la courbe C au poit I est doc y=( x l(7) ) +=x l(7)+, c) Matthieu affiche les tagetes (T 1 ), (T ) et (T 3 ) et costate que ces tagetes semblet cocourir e u même poit proche de l'origie O du repère. Motrez que les tagetes (T ) sot cocourates c'est à dire qu'elles se recotret toutes e u même poit. Les tagetes (T ) ot toutes la même ordoée à l origie : elles coupet l'axe des ordoées au poit P(0; l(7)) avec l(7) 0,05 doc P est effectivemet proche de l'origie O du repère Page 3 sur 9
EXERCICE Nombres complexes.forme algébrique. poits Questio 1 Les trois questios suivates sot idépedates Démotrer de deux faços différetes que, quelque soit le ombre complexe z, le ombre (z i)( z+i) est u réel positif. Méthode 1 : e utilisat la propriété du cours suivate : Pour tout Z C : Z Z=X +Y est u réel positif, où Z=X+i Y, X et Y réels. Ici, Z=z i, Z=z+i et (z i)( z+i) = Z Z est bie u réel positif Méthode : o pose z=x +i y et o développe : (z i)( z+i)=(x+i y i)(x i y+i)=x + y y y+1+i( xy+ x+ xy x)=x + y y+1=x +( y 1) Le résultat est bie u ombre réel positif quelque soit z Questio Soit f la foctio défiie sur C par f (z)=z z où z est u ombre complexe de forme algébrique z=x +i y, x et y état deux réels. a. Exprimer e foctio de x et de y la partie réelle et la partie imagiaire de f (z). f (z)=z z=( x+i y) ( x i y)=x +i xy y x+i y= x y x +i( y+ xy) La partie réelle de f (z) est doc x y x et sa partie imagiaire y+ xy= y(1+ x) b. Résoudre das C l'équatio f ( z)= Deux ombres complexes sot égaux si et seulemet si leurs parties réelles sot égales et leurs parties imagiaires sot égales : f (z)= équivaut à { x y x= y(1+ x)=0 ceci équivaut à (S 1 ) { x y x= y=0 ou (S ) { x y x= x= 1 (S 1 ) équivaut à { x x =0 y=0 { ( x+1)(x )=0 qui doe deux solutios réelles z y=0 1 = 1 correspodat à (x= 1; y=0) et z = correspodat à (x=; y=0) {1 y + 1 = (S ) équivaut à {y = 5 x= 1 x= 1 or y est u réel doc y est u ombre positif doc (S ) 'a pas de solutios Coclusio : l'équatio f (z)= a deux solutios réelles z 1 = 1 et z = Questio 3 O cosidère l équatio (E) : z = où z est u ombre complexe. a. Motrer que si le ombre complexe z est solutio de l équatio (E) alors les ombres complexes z et z sot aussi solutios de l équatio (E). Page sur 9
si z = alors ( z) =(z) = doc z est aussi solutio de (E) si z = alors z = or z =(z ) doc (z) = doc z est aussi solutio de (E) b. O cosidère le ombre complexe z 0 =1+i. Motrer que z 0 est solutio de l équatio (E) e calculat z 0 puis z 0. z 0 =(1+i) =1+ i 1= i doc z 0 =( i) =i = doc z 0 est solutio de (E) c. Déduire des deux questios précédetes les trois autres solutios de l équatio (E). Justifiez. O e déduit que z 0 et z 0 sot aussi solutios de (E), aisi que ( z 0 ) doc les quatre solutios de (E) sot 1+i ; 1 i ; 1 i ; 1+i Page 5 sur 9
EXERCICE 3 Étude d'ue suite 5 poits O cosidère la foctio f défiie sur l itervalle [0 ; + [ par f ( x)=5 x+ O a tracé e aexe das u repère orthoormé la courbe C représetative de f aisi que la droite D d équatio y=x. 1. Démotrer que f est croissate sur l itervalle [0 ; + [. f est dérivable sur [0 ; + [. O utilise la formule de dérivatio ( 1 u(x)) (x +) >0 sur [0;+ [. '= (u( x))' (u( x)) avec u(x)=x+ et u' (x)=1 f (x)=0 1 (x +) = Doc la foctio f est strictemet croissate sur [0;+ [.. Résoudre l équatio f ( x)= x sur l itervalle [0 ; + [. O ote α la solutio. O doera la valeur exacte de α puis o e doera ue valeur approchée à 10 O résout das [ 0;+ [ l équatio f ( x)= x : f ( x)= x équivaut à 5 5(x+) x (x+) =x.o réduit au même déomiateur =0 ce qui x+ x+ équivaut à 5 x+10 x x =0 x +3 x+6 =0. Or A =0 A=0 et B 0 x+ x + B Sur [0;+ [, x+>0 doc f ( x)= x équivaut à x +3 x+6=0 O résout cette équatio du secod degré e calculat so discrimiat. Δ=9 6 ( 1)=33>0. 3 33 Les deux solutios réelles sot doc = 3+ 33 et 3 33 La deuxième solutio est égative doc l uique solutio de l équatio f ( x)= x das l itervalle [0;+ [ est α= 3+ 33,37 3. O cosidère la suite (u ) défiie par u 0 =1 et, pour tout etier aturel, u +1 = f (u ). Sur la figure de l'aexe, e utilisat la courbe C et la droite D, placer les poits M 0, M 1 et M d ordoée ulle et d abscisses respectives u 0, u 1 et u. (O laissera les traits de costructio bie visibles sur le graphique) près. Quelles cojectures peut-o faire sur le ses de variatio et la covergece de la suite (u )? Voici la costructio ci-cotre : O peut cojecturer que la suite (u ) est croissate et coverge rapidemet vers α.. a. Démotrer, par récurrece, que, pour tout etier aturel, 0 u u +1 α où α est le réel défii das la questio. Soit la propositio P() : 0 u u +1 α Iitialisatio Pour =0, cette propositio s'écrit 0 u 0 u 1 α or u 0 =1 et u 1 = f (u 0 )=5 1+ =11 3 3,7 O a 0 1 11 3 α : la propositio est vraie au rag 0. Hérédité Supposos la propositio vraie à u rag doé, 0, autremet dit supposos que 0 u u +1 α, motros Page 6 sur 9
qu'alors 0 u +1 u + α. Preuve : O sait d après la questio 1 que la foctio f est strictemet croissate sur [0; + [, cette foctio coserve doc l'ordre sur les positifs : doc si 0 u u +1 α alors f (0) f (u ) f (u +1 ) f (α) or f (0)=3, f (u )=u +1 et f (u +1 )=u +. De plus, α est solutio de l équatio f ( x)= x doc f ( α)=α. O a doc 0 3 u +1 u + α : l'hérédité est vérifiée. Coclusio La propositio est vraie au rag 0 et elle est héréditaire, doc, d'après l'axiome de récurrece, elle est vraie pour tout etier aturel. O a doc démotré que, pour tout etier aturel, 0 u u +1 α b. Peut-o affirmer que la suite (u ) est covergete? O justifiera la répose. D'après ce qui précède la suite (u ) est croissate et majorée par α. Doc, d après le théorème de la covergece mootoe, la suite (u ) est covergete. 5. Pour tout etier aturel, o défiit la suite (S ) par S = k=0 u k = u 0 +u 1 + +u. a. Calculer S 0, S 1 et S. Doer ue valeur approchée des résultats à 10 près. S 0 =u 0 =1 ; S 1 =u 0 +u 1 =1+ 11 3 =1 3,67 ; S =u 0 +u 1 +u =S 1 +u ; u = f (u 1 )= f ( 11 3 ) = 73 17 doc S = 1 3 + 73 17 = 57 51 8,96 b. Écrire e lagage aturel u algorithme qui affiche la somme S pour la valeur de l etier etrée par l utilisateur. O utilisera ue boucle Tat que ou ue boucle Pour Les variables sot les réels U et S et les etiers aturels k et N. Boucle Pour Boucle Tat Que Page 7 sur 9
EXERCICE. Probabilités 5 poits Pour les cadidats 'ayat pas suivi l'eseigemet de spécialité. Des robots se trouvet au cetre de gravité O d u triagle de sommets S, I et X. Chacu se déplace e trois étapes successives de la maière suivate : à chaque étape, il passe par l u des trois sommets S, I ou X puis il rejoit le poit O les robots sot programmés de telle sorte que, lors d ue étape, la probabilité de passer par le sommet S est égale à celle de passer par le sommet X et la probabilité de passer par le sommet S est le double de celle de passer par le sommet I les différetes étapes sot idépedates les ues des autres o e tiet pas compte des passages par O Exemple de trajet complet pour u robot : Départ de O, passage par S, retour e O, passage par X, retour e O, passage par S, retour e O. Ce trajet peut être résumé par S -X - S U seul robot se trouve au poit O. Partie A - U seul robot 1. Démotrer qu à chaque étape, la probabilité que le robot passe par le sommet I est égale à 1 5 Pour chaque étape, l'arbre ci-cotre traduit la situatio décrite par l'éocé : Si l'o ote p la probabilité de passer par le sommet I, alors la probabilité de passer par le sommet S est égale à p aisi que la probabilité de passer par le sommet X. D après la loi des probabilités totales : P (S)+ P (X)+P (I)=1 doc p+ p+ p=1 doc 5 p=1 c'est à dire p= 1 5 =0,. O e déduit que P (S)=P (X)= 5.. O ote E l évéemet : «au cours des trois étapes, le robot passe successivemet par les 3 sommets S, I et X das cet ordre». Démotrer que la probabilité de E est égale à 15. L'arbre ci-cotre idique tous les chemis possibles pour u robot L'évéemet E est réalisé par u seul chemi S I X (e rouge). Les trois étapes état idépedates les ues des autres : P (E)=P (S) P (I) P (X)= 5 1 5 5 = 15. 3. O ote F l évéemet : «au cours des trois étapes, le robot passe exactemet par les 3 sommets S, I et X das u ordre quelcoque». Détermier la probabilité de F. La probabilité de F est la somme des probabilités de parcourir les «chemis» : S-I-X, S-X-I, I-S-X, I-X-S, X-S-I et X-I-S(e vert ) Comme o l a vu à la questio précédete la probabilité de parcourir l u de ces chemis est égale à 5 1 5 5 = 15, doc fialemet P(F)=6 15 = 15 =0,19. Page 8 sur 9
Partie B - Deux robots Deux robots se trouvet au poit O. Leurs déplacemets sot idépedats. Quelle est la probabilité que les deux robots passet successivemet par les sommets S, I et X das cet ordre? Soit E l'évéemet «le robot parcourt le chemi S-I-X». Nous avos vu que P(E)= 15 L'arbre ci-cotre modélise la situatio puisque les déplacemets des deux robots sot idépedats doc la probabilité cherchée est P(E) P(E)=( = 16 1565 Partie C Ue équipe de robots! Des robots se trouvet au poit O, leurs déplacemets état idépedats les us des autres. Quel ombre miimal de robots doit-il y avoir pour que la probabilité de l évéemet : «au mois l u des robots passe successivemet par les sommets S, I et X das cet ordre» soit supérieure ou égale à 0,99? La probabilité qu u robot e passe pas par les sommets S, I et X das cet ordre est d après les questios précédetes : P ( E)=1 15 = 11, doc la probabilité qu aucu des robots e passe par les sommets 15 S, I et X das cet ordre est ( 11 La probabilité qu au mois u robot passe par les sommets S, I et X das cet ordre est doc 1 ( 11. Il faut doc résoudre : 1 ( 11 0,99. Ceci équivaut à ( 11 0,01. O applique la foctio logarithme épérie qui respecte l'ordre sur les ombres strictemet positifs. De plus l(a )= l a pour tout réel a>0 doc l( 11 l 0,01 or 0< 11 15 ( <1 doc l 11 ( <0 doc l 11 l(0,01) l 0,01 équivaut à l ( 11 11,6 Il faut doc au miimum 1 robots pour que la probabilité de l évéemet : «au mois l u des robots passe successivemet par les sommets S, I et X das cet ordre» soit supérieure ou égale à 0,99 Page 9 sur 9