Uiversité Paris VII - Agrégatio de Mathématiques Fraçois Delarue) MÉTHODE DE MONTE-CARLO Ce texte vise à préseter l utilisatio de la méthode de Mote-Carlo das le calcul du prix d ue optio. 1. Positio du problème Le juste prix d ue optio d achat ou de vete s exprime comme l espérace d ue variable aléatoire de loi coue. Se pose de fait e pratique la questio du calcul explicite de cette quatité. Ue stratégie aturelle, bie que peu pertiete das le cadre d u marché costitué d u seul actif, cosiste à recourir à la méthode de Mote-Carlo. Comme expliqué e fi de texte, cette approche pred tout so ses lorsque l optio est costruite à partir d u paier d actifs de type CAC 40. La méthode de Mote-Carlo, utilisée pour le calcul umérique d itégrales, repose essetiellemet sur les pricipes fodametaux de la loi des grads ombres et du Théorème Cetral Limite. E comparaio des méthodes umériques, cette approche compte deux atouts majeurs : 1) La régularité de la foctio à itégrer affecte pas la qualité de l approximatio. 2) La dimesio de l espace sur lequel évolue la foctio ifluece que de faço relativemet limitée la qualité de l approximatio. D u poit de vue iformatique, l aalyse de la qualité de l approximatio est idissociable du coût algorithmique de la méthode : s attarder sur l u sas cosidérer l autre est dépourvu de ses. Nous tâcheros de fait d aalyser ces deux quatités au cours du texte. 2. Fodemets de la méthode de Mote-Carlo La méthode de Mote-Carlo vise à iterpréter ue itégrale comme ue espérace mathématique d ue v.a. sur u espace de probabilité adéquat. Par exemple, ue itégrale de la forme : [0,1] d fx)dx, f état itégrable, peut s iterpréter comme EfU), où U est u vecteur de d-v.a.i.id de loi uiforme sur [0, 1]. Das ce cotexte, la loi des grads des ombres assure que pour ue suite U ) 1 de v.a.i.id de loi uiforme sur [0, 1] d : 1 P p.s., fu i ) E fu) ). Plus gééralemet, ue itégrale de la forme : R d gx)fx)dx, correctemet défiie, avec f desité sur R d, peut s écrire sous la forme EgX)), où X désige u v.a. dot la loi admet f pour desité par rapport à la mesure de Lebesgue sur R d. Là ecore, la loi des grads ombres assure, que pour ue suite X ) 1 de v.a.i.id de même loi que X : P p.s., G = 1 gx i ) E gx) ). Motivatios. Les questios pratiques sot les suivates : 1
1) Sous quelles coditios est-il possible de mettre e place la méthode de Mote-Carlo? 2) Peut-o avoir ue idée de la vitesse de covergece et du coût algorithmique? 3) Commet choisir de la meilleure faço possible la loi de X? 3. Coût Algorithmique et Vitesse de Covergece 3.1. Simulatio. D u poit de vue pratique, il est écessaire de pouvoir simuler iformatiquemet la loi de X afi de procéder à u tirage d u grad échatillo de même loi que X et de calculer ue réalisatio γ de l estimateur G. Bie etedu, la réalisatio γ fourit l approximatio recherchée de l espérace théorique EgX)). Le coût de la simulatio de vecteurs aléatoires idépedats de même loi que X est de l ordre de Od). De même, le calcul de la moyee empirique de rag est lui aussi de l ordre de Od). Le coût algorithmique de la méthode de Mote-Carlo est doc de l ordre de Od). 3.2. Théorème Cetral Limite. E repreat les otatios précédetes, ous supposos e supplémet que la variable aléatoire gx) est de carré itégrable. De fait, ous pouvos oter : σ 2 = VgX)). L erreur, de ature aléatoire, etre l estimateur et l espérace est doée par : ε = E gx) ) 1 gx1 ) +... + gx ) ). Le Théorème Cetral Limite ous assure que, pour u tirage x 1,..., x ) doé, l esemble : [ 1 gx i ) 1, 960 σ, 1 gx i ) + 1, 960 σ ], est u itervalle de cofiace asymptotique de EgX)) de iveau de cofiace 0,95. La vitesse de covergece est doc de l ordre de pour u coût algorithmique de Od) : cela σ sigifie que, pour u algorithme comptat opératios élémetaires, la précisio est de l ordre de d σ. O e déduit les poits suivats : 1) La méthode de Mote-Carlo est sas itérêt pour le calcul d itégrales e petite dimesio ou d itégrales de foctios régulières. 2) Il est crucial de miimiser la variace σ. Si l itégrale admet plusieurs écritures de type EgX)), o aura tout itérêt à choisir la forme assurat la plus faible variace. La variace σ 2 est doée par Vσ) = Eg 2 X)) EgX))) 2. L objectif état de détermier ue estimatio de E gx) ), supposée icoue, il paraît vraisemblable que le calcul explicite de la variace soit, das les cas pertiets, impossible. La stratégie est alors de remplacer la variace par l estimateur sas biais, appelé variace empirique, et doé par : 2, Γ 2 = 1 1 ) 2. gxi ) G Le lemme de Slutsky permet d établir que, pour u tirage x 1,..., x ) doé, coduisat à ue réalisatio otée g de G et ue réalisatio otée γ de Γ, l esemble : [ g 1, 960 γ, g + 1, 960 γ ], est u itervalle de cofiace asymptotique de EgX)) de iveau de cofiace 0,95. 2 k=1
4. Prix d ue optio européee sur u actif fiacier Nous commeços par ous familiariser avec la méthode de Mote-Carlo avec quelques calculs d itégrales de dimesio 1. Das cette perspective, ous ous focalisos sur le calcul pratique du prix d ue optio liée à u marché costitué d ue seule actio. Nous seros e mesure de proposer à la fi du texte ue extesio au cas d u paier d actifs. Etat doé u marché fiacier costitué d ue actio de cours S t ) t 0 et d ue éparge de taux d itérêt mathématique ρ, ue optio d achat call e aglais) de prix d exercice K et d échéace T est u cotrat coclu à l istat 0, au terme duquel so acquéreur détiet le droit, mais o l obligatio, d acheter u ombre M fixé d actios à l istat T et au prix K préalablemet choisis, et ce quel que soit le prix de l actif S T à l istat T. De la même faço qu il existe des optios d achat, il existe des optios de vete put e aglais). Das ce cas, le déteteur de l optio peut, s il le souhaite, vedre et o plus acheter) ue actio à la date d échéace T et au prix d exercice K, et ce quel que soit le cours S T de l actio à l istat T. Le modèle de Black-Scholes coduit à établir pour les prix C de l optio d achat et P de l optio de vete les relatios suivates : E S 0 exp σ T N 1 2 σ2 T ) + K exp ρt )), N suivat ue loi N 0, 1). E K exp ρt ) S 0 exp σ T N 12 σ2 T )) +, Propositio 1. Les prix C et P peuvet se calculer de la faço suivate. État doées les foctios : alors, x R, Φx) = 2π) 1/2 x exp t 2 /2)dt, d 1 x) = T 1/2 σ 1[ lk 1 x) + ρ + σ 2 /2)T ] d 2 x) = d 1 x) σt 1/2 S 0 Φ d 1 S 0 )) K exp ρt )Φd 2 S 0 )), K exp ρt )Φ d 2 S 0 )) S 0 Φ d 1 S 0 )), où Φ désige la foctio de répartitio de la loi ormale cetrée réduite. La Propositio 1 fourit ue méthode de calcul umérique du prix de l optio d achat et de vete et de fait u moye de vérificatio de la méthode de Mote-Carlo. Il est par exemple possible de programmer ue foctio optio1 permettat de détermier e foctio de σ, T, K, ρ et S 0 les prix Black et Scholes de l optio d achat et de l optio de vete. Voici quelques valeurs avec lesquelles travailler : 1) S 0 = 15. 2) T = 1/2. 3) ρ = l1, 03). 3
5. Premier calcul de type Mote-Carlo De otre côté, ous avos écrit deux foctios call et put permettat : 1) De calculer, pour u 1 doé ue réalisatio de la moyee empirique associée aux prix C et P. 2) De calculer la variace empirique associée à cette réalisatio. 3) De revoyer u itervalle de cofiace au iveau 0,95 pour les prix C et P. 4) De doer le temps écessaire au calcul. Avec K = 20 et σ = 0.2 puis σ = 0.5, ous avos obteu les résultats suivats les résultats sot de la forme valeur théorique, temps de simulatio, estimatio,variace, itervalle), les paramètres de la foctio doet tout d abord la taille de l échatillo, puis sot ordoées comme das la Propositio 1 : Première série. -->[P,C]=blscholes10000,0.2,0.5,20,log1.03),15)! 0.0248242 0. 0.0254728 0.2279236 0.0210055 0.0299401!! 4.7314098 0. 4.7569755 2.0647223 4.7165069 4.7974441! -->[P,C]=blscholes10000,0.2,0.5,20,log1.03),20)! 1.2719723 0.01 1.2737212 1.9203858 1.2360816 1.3113608!! 0.9785578 0.01 0.9821467 1.4263642 0.9541900 1.0101035! -->[P,C]=blscholes10000,0.2,0.5,20,log1.03),25)! 5.3532204 0. 5.3527727 3.4732757 5.2846965 5.4208489!! 0.0598060 0.01 0.0627034 0.3353658 0.0561302 0.0692766! Deuxième série. -->[P,C]=blscholes10000,0.5,0.5,20,log1.03),15)! 0.7606462 0.01 0.7322648 2.3673635 0.6858644 0.7786651!! 5.4672318 0. 5.4235467 3.9137702 5.3468368 5.5002566! -->[P,C]=blscholes10000,0.5,0.5,20,log1.03),20)! 2.9348542 0.01 2.7958513 5.0014674 2.6978225 2.89388!! 2.6414398 0.01 2.690484 3.2887037 2.6260254 2.7549426! -->[P,C]=blscholes10000,0.5,0.5,20,log1.03),25)! 6.4567477 0.01 6.4324984 7.9631893 6.2764199 6.5885769! 4
! 1.1633332 0.01 1.1340899 2.2408692 1.0901689 1.1780109! Nous costatos des variatios sigificatives de la variace das chacue des séries et etre les deux séries. 6. Pricipal gééral de la réductio de variace Nous avos vu das le troisième paragraphe que la méthode de Mote-Carlo s avérait d autat plus performate que la variace de la variable sous-jacete était petite. Ceci ous pousse à evisager plusieurs techiques, plus ou mois géérales, afi de réduire la variace des estimateurs utilisés. L idée pricipale est la suivate. Imagios que ous souhaitios détermier ue itégrale pouvat se mettre sous la forme EgX)), ous cherchos alors ue variable aléatoire Y facilemet simulable et ue foctio h, de sorte que : E gx) ) = E hy ) ), avec VhY )) < VgX)). Attetio, il e faut pas oublier que le chagemet de la variable aléatoire sous-jacete etraîe ue modificatio du coût de l algorithme. U faible gai de précisio etraîat ue augmetatio démesurée du coût de l algorithme est sas itérêt! Nous présetos das la suite du texte quelques méthodes de réducatio de la variace. 7. Variables de Cotrôle La techique dite de variables de cotrôle vise à écrire la quatité EgX)) sous la forme : pour ue foctio h telle que : E gx) ) = E gx) hx) ) + E hx) ), 1) E hx) ) soit calculable de faço explicite. 2) V fx) hx) ) < V fx) ). Il reste à savoir si le coût de l algorithme sera ou o profodémet modifié par cette opératio. Voici u exemple fodé sur la propositio suivate : Propositio 2. Les Prix P et C sot liés par la relatio : C S 0 exp ρt )K. Au regard des exemples de la Partie 6, la Propositio 2 permet de réduire la variace du calcul de C ou celle du calcul de P e se fodat sur le calcul préalable de l ue de ces deux quatités. 8. Méthode dite d échatilloage préféretiel Pricipe. Cosidéros le cas d ue espérace de la forme EgX)), avec X de loi absolumet cotiue par rapport à la mesure de Lebesgue sur R d, de desité otée f. Das ces coditios, il est possible, pour ue ouvelle desité f sur R d, strictemet positive sur le support de f, d écrire l espérace à estimer sous la forme : E gx) ) gx)fx) = fx)dx. fx) Ceci sigifie que l o vise à écrire : E gx) ) = E gy )fy )), fy ) pour ue variable aléatoire Y admettat f pour desité sur R d. Si la variable aléatoire Y est aisémet simulable, il est evisageable d utiliser l estimateur traditioel de gy )fy )/ fy ), cos- 5
-truit à partir d u échatillo de loi Y. L idéal serait d obteir fialemet que : ) fy )gy ) g 2 x)f 2 x) V = dx EgX)) ) 2 < VgX)), fy ) fx) pour peu que le coût de l algorithme reste raisoable e comparaiso de la précisio apportée. Das ces coditios, le cas idéal serait doée pour g > 0 par : fx) = gx)fx) EgX)), qui aulerait la variace du ouvel estimateur. Mais, u tel cas est irréaliste : o e coaît pas EgX))! Néamois, l idée est là : choisir f aussi proche que possible de la foctio fg et ormaliser. Exemple 1. Nous savos que le prix d u call est doé par la relatio : S 0 exp σ2 2 T ) E exp σ T N ) ) + S0 1 σ2 K exp ρt + 2 T ). Supposos que K = S 0 exp ρt σ2 2 T ). Alors, le prix du call est rameé à : S 0 exp σ2 2 T )E exp σ T N ) + 1). Nous avos doc à estimer ue quatité de la forme = E expβn) 1 ) +, pour u réel β > 0. Nous savos que pour x proche de 0, expβx) 1 est proche de βx. Ceci ous pousse à écrire sous la forme : = E expβn) 1 ) + ) + x 2 ) dx = expβx) 1 exp R + 2 2π ) + expβx) 1 = βx exp x2 ) dx βx 2 2π = R + R + expβ y) 1 ) + y exp y 2 ) dy 2 2π = E où Y désige ue v.a. de loi expoetielle de paramètre 0,5. ) + expβ Y ) 1 ), 2π Y Exemple 2. La méthode se gééralise au cas où l égalité K = S 0 exp ρt σ2 2 T ) est plus vérifiée à l aide de la propositio suivate : Propositio 3. E otat : k = S0 1 σ 2 T K exp ρt + 2 )), β = σ T, le prix C peut s écrire : S 0 exp σ2 2 T ) ) + ) + expβ Y ) k + exp β Y ) k E ), 2π Y où Y suit ue loi expoetielle de paramètre 1/2. 6
9. Dimesio supérieure : prix d ue optio sur u paier d actifs Ce derier paragraphe illustre l utilisatio de la méthode de Mote-Carlo e dimesio d > 1 à travers le calcul umérique d ue formule de prix d optio sur u paier d actifs typiquemet CAC 40 ou autres). 9.1. Prix des Optios. Das la pratique, les marchés fiaciers sot costitués de plusieurs actifs risqués. Par exemple, le CAC 40 regroupe les cotatios des quarate plus grosses etreprises fraçaises. Das ce cotexte, il est evisageable d acheter ue optio sur u paier d actifs, c est-à-dire sur ue combiaiso d actios côtées sur le marché. Le cours de chacue des actios est modélisé par u processus S i t) t 0, i variat de 1 à d d = 40 si le paier cosidéré coïcide avec les valeurs du CAC 40). La valeur du paier à l istat T s écrit comme ue combiaiso des variables ST i ) 1 i d. Quitte à reormaliser la combiaiso, il est possible de supposer qu elle s écrit comme u barycetre : d d X = α i ST i, avec α i = 1. La questio se pose du juste prix d ue optio d achat ou de vete) sur le paier. Le pricipe est le même que précédemmet : par exemple, l acheteur de l optio d achat détiet le droit d acheter la combiaiso α 1,..., α d ) d actios i.e. α 1 actios de type 1, α 2 actios de type 2 et aisi de suite) au prix d exercice K et à la date d échéace T. Das ce cadre, ous admettos que le prix est de la forme exp ρt )E[X K) + ], où P désige ue probabilité équivalete à la probabilité du marché. La loi de S 1,..., S d ) sous P est ue loi log-ormale de matrice de covariace otée σ 2 σ 2 est doc ue matrice symétrique positive de taille d et σ sa racie carrée symétrique positive, appelée matrice de volatilité). Cocrètemet, S 1,..., S d ) S i 0 expρt 1 2 σ i, 2 T T 1/2 σ i,, Z ) ) 1 i d, où Z N d 0, I d ) et pour tout i {1,..., d}, σ i, désige le vecteur de R d formé par la i ème lige de σ. Les quatités S i 0 ) 1 i d désiget les cours iitiaux. Nous obteos fialemet e suivat u raisoemet aalogue pour le put) : d E α i S0 i exp σ i, 2 T + T 1/2 σ i,, Z ) + K exp ρt )), 2 E K exp ρt ) d α i S0 i exp σ i, 2 T + T 1/2 σ i,, Z )) +. 2 Il est maiteat impossible de recourir comme e dimesio 1 à ue formule fermée, de sorte que la méthode de Mote-Carlo est particulièremet pertiete. Das la suite, o suppose que d = 3 et que la matrice σ est doée par : 1 0.2 0.2 0.2 1.3 0.5 0.2 0.5 1.3 O choisit T = 0.5, K = 20, ρ = 0.05, α = 1/2, 1/4, 1/4), s 0 = 15, 15, 15). Voici u exemple de résultat obteu pour C et = 10000 ordoé de la faço suivate : temps de calcul, moyee empirique, variace empirique, itervalle de cofiace). 7
-->blscholesd10000) as =!.16 1.3242559 24.48308.8443875 1.8041242! 9.2. Réductio de la Variace. E établissat, comme das la Propositio 2, ue relatio de parité etre les prix C et P, il serait possible de mettre e place ue méthode de variables de cotrôle comme das la Sectio 7. Ue autre méthode cosiste à remarquer que le calcul de C coduit à estimer ue quatité de la forme : d ) + ) E β i exph i ) K O evisage comparer cette quatité avec la suivate : ) E β exp d ) β + i β Hi) K, avec la covetio β = d β i. Das otre cas, β i = α i S0 i exp σ i, 2 2 T ), H i = T 1/2 σ i,, Z = T 1/2 σz) i, et K = K exp ρt ). Remarquos que la quatité ) peut être calculée directemet avec la formule de Black et Scholes : E β exp d ) β + i β Hi) K = E β exp σβ 1,..., β d ) t T 1/2 N ) ) + K, N N 0, 1) β = ΓΦd 1 Γ)) K Φd 2 Γ)), où Γ = β exp2β 2 ) 1 σβ 1,..., β d ) t 2 T ) σ das les défiitios de d1 et de d2 deviet das ce cotexte σβ 1,..., β d ) t /β, les valeurs de K, T et ρ restat ichagées). Il reste alors à calculer à l aide d ue méthode de Mote-Carlo la quatité : d E β i exph i ) K ) + d β i β exp β Hi) K ) ) +. Voici u résultat de cette approche mêmes valeurs que précédemmet) : -->blscholesd210000) as =!.22 1.2506945 17.700894.9037570 1.597632! Fi de Texte. 8
10. Suggestios de Développemet 1) Das la Sectio 3, le cadidat pourra rappeler le lemme de Slutsky et détailler le cas échéat la costructio de l itervalle de cofiace. 2) Toujours das la Sectio 3, le cadidat pourra expliquer les déductios 1) et 2). 3) Das la Sectio 4, le cadidat pourra démotrer la Propositio 1 et/ou mettre e place la foctio optio1 metioée par le texte. Il expliquera e quoi les calculs de C et P par cette approche fourisset u bo moye de vérificatio de la méthode de Mote-Carlo. 4) Das la Sectio 5, le cadidat pourra commeter les résultats proposés das le texte. Das ce cotexte, il veillera à expliquer les fluctuatios observées de la variace empirique. 5) Das la Sectio 7, le cadidat pourra démotrer la Propositio 2 et mettre e place ue méthode de variables de cotrôle. Das ce cotexte, il veillera à comparer ses résultats à ceux de la Sectio 6 et pourra commeter cette affirmatio souvet etedue : il est bo de commecer par calculer P pour calculer C. 6) Das la Sectio 8, le cadidat pourra mettre e place iformatiquemet l Exemple 1 ou démotrer la Propositio 3 et mettre e place l Exemple 2. Das le premier cas, le cadidat pourra comparer ses résultas à ceux obteus par la méthode de la Sectio 6 quitte à devoir reprogrammer celle-ci). Das le secod cas, le cadidat veillera à comparer ses résulats à ceux doés das la Sectio 6. 7) Das la Sectio 9, le cadidat pourra mettre e place ue méthode de Mote-Carlo à partir des expressios de P et C, puis l ue des deux méthodes de réductio de variace. Il veillera alors à comparer les différets résultats obteus. 9