Mathématque physque 1 et 2 Flère - Mathématques Physque mathématque 1: Mécanque Flère - Physque Bacheler en Scences et Ingénere Norbert Poncn 2008
Mathématque physque 1 et 2, np2008 2 1 Informatons générales Ttulares : Norbert Poncn et Mourad Ammar Contact : Toute queston relatve au cours peut être adressée par emal à norbert.poncn@un. lu ou à mourad.ammar@un.lu Leçons par semestre : 90 Crédts ECTS : 7 en flère mathématques, 6 en flère physque Langue d ensegnement : Franças Type d ensegnement : Cours magstral et travaux drgés Évaluaton : Examen écrt (examen oral, s le nombre d étudants en permet l organsaton pratque) Nveau : Semestre 1 Compétences et contenu : Le cours de Mécanque est auss ben un cours de Mathématques applquées qu un cours de Physque théorque. Outre l assmlaton de cette formaton de base à la Physque, les objectfs à attendre sont les suvants. Apprendre à maîtrser les compléments aux autres cours de Mathématques, ensegnés à partr d un pont de vue ntutf et magé. Se famlarser avec l utlsaton pratque de l outllage mathématque abstrat. S nter à la modélsaton mathématque. Intérorser des concepts mathématques généraux construts graduellement à partr de stuatons concrètes. Partcper actvement à un ensegnement notamment grâce aux applcatons proposées. Parte 1 1. Introducton mathématque à la Mécanque 2. Cnématque du pont 3. Dynamque du pont (référentels nertaux et non-nertaux) 4. Intégrales premères, dagramme du potentel, plan de phase 5. Problèmes classques tels que partcules chargées dans un champ électromagnétque, mouvements planétares, marées, satelltes, pendule de Foucault,...
Mathématque physque 1 et 2, np2008 3 Parte 2 1. Cnématque et Statque du solde 2. Dynamque des systèmes de ponts et des soldes, tenseur d nerte, ellpsoïde d nerte 3. Problèmes classques tels que problème de Lagrange-Posson, mouvements de la Terre, boule de bllard,... Support : Notes de cours Préparaton des cours : Il est recommandé aux étudants de préparer les thèmes de chaque séance avant le cours y relatf, en lsant attentvement la parte correspondante des notes de cours.
Chaptre 1 Introducton mathématque à la Mécanque Sauf menton explcte du contrare, nous nous placerons dans l espace vectorel réel trdmensonnel E des vecteurs de l espace ambant (dans lequel une unté de longueur a été chose). 1 Algèbre vectorelle 1.1 Produt scalare Défnton 1. On appelle norme u ou module u d un vecteur u E, la longueur de ce vecteur. Les proprétés d une norme sont ben connues et ne seront pas rappelées. Défnton 2. Soent u, v E. S ces vecteurs sont tous les deux non nuls, leur produt scalare u. v est défn par u. v = uvcosθ R, où θ désgne l angle formé par les deux vecteurs. S l un au mons des vecteurs est nul, leur produt scalare est nul. Notons qu c θ peut être n mporte lequel des deux angles (ou même des quatre, s l on tent compte des sgnes) defns par u et v. On sat que ce produt scalare est une forme blnéare symétrque défne postve: Proposton 1. Soent u, v, u, v E et c R. Le produt scalare est à valeurs réelles u. v R, 5
Cnématque du pont; np2008 6 blnéare ( et symétrque u. ( c u ). v = c ( u. v) ) c v = c ( u. v ), v. u = u. v et défn postf ( u) 2 := u. u = uu = u 2 > 0, u 0. et que Il est clar que u. v = 0 u v (1) u = 1 ( u) 2 = 1. Ans, le trplet de vecteurs ( e 1, e 2, e 3 ) est une base othonormée (BON) s et seulement s e. e j = 0, j et e. e j = 1, = j. Le symbole de Kronecker δ j défn par { 0, s j δ j =, 1, s = j rend les calculs plus élégants et les écrtures plus compactes. Ans, ( e 1, e 2, e 3 ) est une BON s et seulement s e. e j = δ j,, j. On obtent alors faclement l expresson du produt scalare et de la norme dans une BON. Nous désgnerons les composantes d un vecteur u dans une base donnée systématquement par (u 1,u 2,u 3 ) R 3. S la base est ( e 1, e 2, e 3 ), cec sgnfe que Donc u = u e. u. v = ( u e ). ( j v j e j ) = j u v j ( e. e j ) = j u v j δ j = u v, où nous avons utlsé la blnéarté du produt scalare et le caractère orthonormé de la base. Comme la norme s exprme moyennant le produt scalare, u 2 = ( u) 2, on en dédut de sute l expresson de la norme dans une BON.
Cnématque du pont; np2008 7 Proposton 2. Dans toute BON, et u. v = u v (2) u = (u ) 2. (3) Remarque 1. Sauf menton explcte du contrare, toutes les bases consdérées dans la sute seront des BON. 1.2 Produt vectorel Les notons de base drecte (drote, postve) et de base ndrecte (gauche, negatve) sont supposées connues. Défnton 3. Soent u, v E. S ces vecteurs ne sont pas colnéares, le produt vectorel u v de u par v a la drecton orthogonale au "plan" défn par u et v, est de module u v = u v snθ > 0 (θ: angle formé par u et v) et son sens est tel que le trèdre ( u, v, u v) sot drect. S u et v sont colnéares, leur produt vectorel est nul. On remarquera que u v = 0 u et v sont colnéares, (4) résultat qu on comparera à (1), le produt vectorel u v est orthogonal à chacun des deux facteurs u et v, dans la défnton du module u v on peut supprmer la valeur absolue, s l on convent de chosr θ ]0,π[, le module u v coïncde avec l are du parallélogramme construt sur u et v, le sens de u v peut être détermné à l ade de la règle du tre-bouchon, s l on change l orentaton de l espace,.e. s l on appelle drectes (respectvement ndrectes) les précédentes bases ndrectes (respectvement drectes), le produt vectorel change de sgne.
Cnématque du pont; np2008 8 Le produt vectorel changeant de sgne, s l orentaton de l espace change, l ne s agt que d un pseudo-vecteur ou vecteur axal. Par opposton, un vecteur ordnare est parfos appelé vecteur polare. Rappelons que le produt vectorel est une multplcaton blnéare et antsymétrque: Proposton 3. Soent u, v, u, v E et c R. Le produt vectorel est à valeurs "vectorelles" u v "E", blnéare ( et u ( ) c u v = c ( u v) ) c v = c ( u v ) et antsymétrque v u = u v. Sot à présent une base orthonormée drecte (BOND) ( e 1, e 2, e 3 ). On vérfe asément que e 1 e 1 = 0 e 1 e 2 = e 3 e 1 e 3 = e 2 e 2 e 1 = e 3 e 2 e 2 = 0 e 2 e 3 = e 1 e 3 e 1 = e 2 e 3 e 2 = e 1 e 3 e 3 = 0. On notera que dans les résultats e 1 e 2 = e 3, e 2 e 3 = e 1, e 3 e 1 = e 2 les ndces apparassent dans l ordre naturel. Les neuf relatons c-dessus peuvent être condensées en une seule, grâce au symbole de Lev-Cvta ε jk (, j,k varant comme toujours dans {1,2,3}) défn par 0, s deux au mons des ndces, j,k sont égaux, ε jk = 1, s les ndces, j,k apparassent dans l ordre naturel, 1, snon. On vérfe que les neuf égaltés se résument alors par e e j = ε jk e k,, j. (5) k
Cnématque du pont; np2008 9 Cec étant, l expresson du produt vectorel dans une BOND s obtent comme sut, les notatons étant les notatons habtuelles. u v = j u v j ( e e j ) = jk ε jk u v j e k = k ( j ε jk u v j ) ek = (u 2 v 3 u 3 v 2 ) e 1 + (u 3 v 1 u 1 v 3 ) e 2 + (u 1 v 2 u 2 v 1 ) e 3. Les tros composantes dans une BOND du produt vectorel s obtennent donc à partr des composantes des deux facteurs ( ) u1 u 2 u 3, v 1 v 2 v 3 en bffant dans ce tableau successvement les tros colonnes et en prenant les détermnants restants précédés des sgnes +,,+ respectvement. Proposton 4. Dans toute BOND, u v = ε jk u v j e k. (6) jk Remarque 2. Sauf menton explcte du contrare, toutes les bases consdérées dans la sute seront des BOND. 1.3 Produt mxte Défnton 4. On appelle produt mxte des vecteurs u, v, w, le pseudo-scalare ( u v). w. on a la Les proprétés du produt mxte découlent de son expresson dans une BOND. Comme ( u v). w = (u 2 v 3 u 3 v 2 )w 1 + (u 3 v 1 u 1 v 3 )w 2 + (u 1 v 2 u 2 v 1 )w 3, Proposton 5. Dans toute BOND, ( u v). w = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 Vu les proprétés des détermnants, on en dédut la Proposton 6. Pour tous vecteurs u, v et w,. (7)
Cnématque du pont; np2008 10 ( u v). w = 0 u, v et w sont coplanares. (8) Un produt mxte est nvarant par permutaton crculare (pare), et ( u v). w = ( v w). u = ( w u). v ( v u). w = ( u w). v = ( w v). u, mas deux produts quelconques de la premère et seconde lgnes respectvement, sont opposés. On comparera (8) aux résultats (1) et (4). Le produt mxte admet une ntéressante nterprétaton géométrque: La valeur absolue du produt mxte ( u v). w est égale au volume du paralléléppède construt sur les vecteurs u, v et w. Le produt mxte ( u v). w est strctement postf (respectvement strctement négatf) s et seulement s le trplet ( u, v, w) est une base drecte (respectvement ndrecte). Le produt mxte permet d obtenr des relatons utles entre les symboles de Lev- Cvta et de Kronecker. Consdérons une base (orthonormée drecte) ( e 1, e 2, e 3 ) et notons que e se décompose sous la forme e = j δ j e j. D un côté, l équaton (6) donne De l autre, ( e e j ). e k = ε jk. ( e e j ). e k = δ 1 δ 2 δ 3 δ j1 δ j2 δ j3 δ k1 δ k2 δ k3 Etant donné qu un détermnant est nvarant par transposton et que δ 1 δ r1 + δ 2 δ r2 + δ 2 δ r3 = e. e r = δ r, on obtent δ r δ s δ t ε jk ε rst = δ jr δ js δ jt δ kr δ ks δ kt. Cec étant, on vérfe sans pene les tros relatons suvantes: Proposton 7. On a.
Cnématque du pont; np2008 11 ε jk ε rsk = δ r δ js δ s δ jr, (9) k ε jk ε r jk = 2δ r, jk ε jk ε jk = 6. jk 1.4 Double produt vectorel Défnton 5. On appelle doubles produts vectorels, les vecteurs (polares) ( u v) w et u ( v w), u, v, w E. En applquant deux fos de sute (6), pus (9) et (2), on trouve la Proposton 8. On a ( u v) w = ( u. w) v ( v. w) u, u ( v w) = ( u. w) v ( u. v) w. Ces relatons smplfent les doubles produts vectorels. La seconde se dédut de la premère. Elles montrent que le double produt vectorel n est pas assocatf! On peut les mémorser comme sut: Le double produt vectorel est égal au vecteur du mleu multplé par le produt scalare des deux autres vecteurs, mons l autre vecteur de la parenthèse multplé par le produt scalare des deux autres. 2 Dérvaton et dfférentaton 2.1 Fonctons scalares et vectorelles Une foncton scalare (respectvement vectorelle) de varables scalares x, y,... R est un scalare s(x,y,...) (respectvement un vecteur v(x,y,...)) unvoquement défn pour tout uplet (x,y,...) dans un certan domane. Afn de smplfer l exposé, nous nous lmtons d abord aux fonctons d une seule varable scalare, notée t et pouvant être nterprétée comme étant le temps. Soent une foncton vectorelle v(t) et une base ( e 1, e 2, e 3 ) ndépendante de t. La dérvée dt d v ou smplement
Cnématque du pont; np2008 12 d t v ou s t est effectvement le temps même v, étant défne comme d habtude, on constate faclement que s v(t) = v (t) e, alors 2.2 Théorèmes de dérvaton d t v = (d t v ) e. Dans ce cours de Mécanque, toutes les fonctons sont systématquement supposées ndéfnment contnûment dérvables (ou du mons suffsamment dérvables pour garantr le sens des expressons écrtes). Les règles de dérvaton usuelles se généralsent des fonctons scalares aux fonctons vectorelles. Ans, tous les produts de vecteurs et le produt s(t) v(t) d un scalare et d un vecteur se dérvent conformément à la règle de Lebnz. Pour le produt mxte de tros fonctons u(t), v(t) et w(t) par exemple, on a d t (( u v). w) = ((d t u) v). w + ( u (d t v)). w + ( u v).(d t w). Rappelons la verson mathématque du théorème de dérvaton d une foncton composée, (g f ) = (g f ) f, (10) où "prme" désgne l opératon de dérvaton. Consdérons à présent tros grandeurs t, r, v, telles que r = r(t) et v = v(r) et dérvons la foncton composée v = v(r(t)). Il découle de (10) que d t v = d t (v(r(t))) = d r v d t r. (11) En vue de généralser cette verson physque du théorème de dérvaton des fonctons composées, magnons des grandeurs t,r,s, v, telles que r = r(t), s = s(t) et v = v(r,s). La dérvée de la composée v = v(r(t),s(t)) est alors donnée par d t v = d t ( v(r(t),s(t))) = r v d t r + s v d t s, (12) où la dfférence entre une dérvée totale et une dérvée partelle est supposée connue. Les résultats (11) et (12) exprment que les fonctons composées se dérvent à l ade de la règle en chaîne. La forme mathématque du théorème de dérvaton des bjectons nverses se lt ( f 1 ) 1 = f. (13) f 1 S r et s sont des grandeurs telles que r = r(s) et s cette relaton s nverse en s = s(r), on obtent mmédatement l écrture d r s = 1 d s r
Cnématque du pont; np2008 13 de (13) utlsée en Physque. Elle exprme que la dérvée de l nverse est l nverse de la dérvée. Remarquons pour termner que la dérvée d un vecteur de norme constante est orthogonale à ce vecteur. De fat, s v(t) est de norme v(t) constante, on a 0 = d t ( v. v) = 2 v.(d t v). D où la thèse. 2.3 Dfférentelle Consdérons une foncton s = s(t), notons t la valeur ntale de la varable t (double emplo!) et désgnons par t un accrossement nfntésmal (non nul) de la varable à partr de cette valeur ntale. La dfférence s(t + t) s(t) t s (t) =: s t s (t) =: ε( t) tend évdemment vers 0 avec l accrossement t. On en dédut que s = s (t) t + t ε( t). (14) Posons ds := s (t) t. L applcaton de cette défnton à la foncton s = s(t) = t donne dt = t, s ben que la précédente défnton prend sa forme fnale: Défnton 6. Soent une foncton s = s(t), une valeur ntale t de sa varable et un accrossement t de cette varable. On appelle alors dfférentelle de s et on note ds le produt ds = s (t)dt de la dérvée de s évaluée en la valeur ntale de la varable par de la dfférentelle dt = t de la varable, donnée par l accrossement de la varable. Ans, l équaton (14) s écrt s = ds + t ε( t). En néglgeant l nfnment pett t ε( t) d ordre supéreur à 1 en t par rapport à l nfnment pett ds = s (t) t du premer ordre, on obtent s ds. (15) En d autres termes, la dfférentelle ds de s est l accrossement s = s(t + t) s(t) de s (résultant d un accrossement nfntésmal t de t), calculé au premer ordre en t. De manère plus courte: la dfférentelle est un pett accrossement calculé au premer ordre.
Cnématque du pont; np2008 14 Volà l aspect essentel de la dfférentelle en Mécanque. La défnton de la dfférentelle et sa prncpale proprété (15) se généralsent sans problème. Ans, pour une foncton s = s(x 1,...,x n ) par exemple, on pose ds := x s dx, où les dérvées partelles sont évaluées sur les valeurs ntales des varables et où les dfférentelles des varables représentent les petts accrossements de ces varables. 3 Gradent, dvergence, rotatonnel On sat qu un champ de vecteurs est un vecteur v = v(p) qu est foncton du pont P de l espace (ou d une régon de l espace) où on le consdère. De même un champ de scalares ou champ scalare est un scalare s = s(p) qu dépend pont où on l évalue. S l on fxe un repère (orthonormé) (RON) (O, e 1, e 2, e 3 ), ces champs peuvent être consdérés comme des fonctons des coordonnées x = (x 1,x 2,x 3 ) de P: v = v(x) = v(x 1,x 2,x 3 ) et s = s(x) = s(x 1,x 2,x 3 ). Les défntons du gradent, de la dvergence et du rotatonnel sont partculèrement agréables, s l on utlse l opérateur de dérvaton = x e. (16) On remarquera que n est pas à vra dre un vecteur, mas un vecteur-opérateur, double nature qu est parfos responsable d erreurs. 3.1 Gradent Défnton 7. Le gradent ( s)(p) d un champ scalare s en un pont P est défn par où x P désgne le trplet des coordonnées de P. ( s)(p) = ( x s)(x P ) e, (17) On peut vérfer que cette défnton est ndépendante du RON consdéré. Le gradent est donc un opérateur dfférentel qu transforme un champ de scalares s(p) en un champ de vecteurs ( s)(p). Comme l est du premer ordre, l est naturel qu on at la Proposton 9. S r et s désgnent deux champs scalares, (r + s) = r + s (rs) = ( r)s + r( s).
Cnématque du pont; np2008 15 En vue de découvrr l nterprétaton physque du gradent, nous commençons par exprmer la dfférentelle et la dérvée drectonnelle d un champ s en foncton de son gradent. Proposton 10. Soent un champ scalare s, une valeur ntale P de sa varable et un accrossement dp de cette varable. La dfférentelle ds de s est alors donnée par ds = ( s)(p). dp. De fat, s l on se donne un RON et s x P et (dx 1,dx 2,dx 3 ) sont le trplet des coordonnées de P et les composantes de dp respectvement, on a ds = ( x s)(x P )dx = ( s)(p). dp. Proposton 11. La dérvée (d ν s)(p) d un champ scalare s dans la drecton d un vecteur untare ν en un pont P est donnée par (d ν s)(p) = ( s)(p). ν. (18) On notera que dans un système d axes cartésen (RON) ce résultat se lt d ν s = ν x s, où nous avons supprmé le pont P. Rappelons d abord que la dérvée de s au pont P dans la drecton de ν, défne évdemment par s(p + h ν) s(p) (d ν s)(p) = lm h 0 h (à condton que cette lmte exste et sot fne), mesure au pont P l mportance de la varaton de s dans la drecton de ν. Comme s(p + h ν) s(p) = ds + hε(h) = ( s)(p).h ν + hε(h) (h 0), le résultat est mmédat. Relons à présent tous les ponts P où le champ s = s(p) a une même valeur. Nous obtenons alors généralement des surfaces appelées surfaces de nveau de s (vor fgure 1 de l annexe). Consdérons d abord l accrossement s(p + dp) s(p) de s résultant d un accrossement nfntésmal dp tangent en P à la surface de nveau passant par P. Au premer ordre, cet accrossement de s est nul et égal à ds. Donc, 0 = ds = ( s)(p). dp. (19)
Cnématque du pont; np2008 16 Prenons mantenant un accrossement nfntésmal dp normal en P à la surface de nveau et drgé dans le sens des s crossants. Alors In découle des équatons (19) et (20) que l on a la 0 < ds = ( s)(p). dp. (20) Proposton 12. Le gradent ( s)(p) est normal en P à la surface de nveau de s passant par P et ponte dans le sens des s crossants. Le vecteur ν étant untare, l équaton (18) mplque que (d ν s)(p) = ( s)(p) cosθ, θ [0,π] étant l angle formé par ( s)(p) et ν. Par conséquent, en P la varaton de s dans la drecton de ν est maxmale, s ν est colnéare à ( s)(p): Proposton 13. La drecton du gradent ( s)(p) est en P la drecton du plus grand changement de s. 3.2 Dvergence, formule de Gauss-Ostrogradsk Défnton 8. La dvergence (. v)(p) d un champ de vecteurs v en un pont P est donnée par (. v)(p) = ( x v )(x P ), (21) où x P représente les composantes de P. Nous admettons que le second membre de (21) dépend unquement de v et de P et non du RON consdéré. La dvergence est un opérateur dfférentel du premer ordre qu transforme un champ de vecteurs v(p) en un champ de scalares (. v)(p). La proposton suvante est facle à vérfer. Proposton 14. S s est un champ scalare et v, w sont des champs vectorels, on a.( v + w) =. v +. w et.(s v) = ( s). v + s(. v).
Cnématque du pont; np2008 17 Insstons sur le fat que les notons suvantes ne sont développées qu avec la rgueur qu est de mse dans un cours élémentare de Mécanque. En vue d explquer la sgnfcaton physque de la dvergence, consdérons un élément de surface ds et désgnons par P un pont de ds et par n(p) un vecteur untare normal à ds en P. Imagnons un flude en régme permanent traversant ds à la vtesse v(p). On appelle flux du flude à travers ds et on note df le volume (éventuellement négatf) de flude traversant ds par unté de temps (vor fgure 2 de l annexe). Comme df = v(p). n(p) ds, le flux F du flude à travers une surface fne S orentable et orentée (par le chox cohérent en chaque pont P d un vecteur untare normal n(p)) est donné par F = v(p). n(p) ds. S D où la défnton suvante valable pour tout champ de vecteurs, vtesse de flude ou non: Défnton 9. Soent un champ de vecteurs v et une surface orentée S placée dans ce champ. On appelle flux de v à travers S, l ntégrale v(p). n(p) ds, où n(p) désgne le vecteur untare normal à S en P. S Evaluons le flux d un champ v(p) à travers la surface d un paralléléppède nfntésmal orentée de manère que n(p) sot en tout pont drgé vers l extéreur (vor fgure 3). Le flux à travers la surface (PQRS) vaut v(x 1,x 2,x 3 ).( e 1 ) dx 2 dx 3 = v 1 (x 1,x 2,x 3 ) dx 2 dx 3 et celu à travers (P Q R S ) est donné par v(x 1 + dx 1,x 2,x 3 ). e 1 dx 2 dx 3 = ( v(x 1,x 2,x 3 ) + ( x1 v)(x 1,x 2,x 3 ) dx 1 ). e 1 dx 2 dx 3 = v 1 (x 1,x 2,x 3 ) dx 2 dx 3 + ( x1 v 1 )(x 1,x 2,x 3 ) dx 1 dx 2 dx 3. Ans, s nous notons dv = dx 1 dx 2 dx 3 le volume du paralléléppède, le flux à travers sa surface est égal à df = (. v)(p) dv. Sot mantenant un volume fn V lmté par une surface fermée S orentée par la normale extéreure. Décomposons V en une nfnté de paralléléppèdes nfntésmaux. La somme des flux élémentares à travers tous ces paralléléppèdes est égale au flux à travers S, car les flux à travers deux surfaces élémentares adjacentes se compensent, les vecteurs untares normaux étant opposés. Fnalement, on a le
Cnématque du pont; np2008 18 Theorème 1. S un volume V lmté par une surface fermée S orentée par la normale extéreure n(p), est placé dans un champ de vecteurs v(p), on a V (. v)(p) dv = v(p). n(p) ds. (22) Ce résultat porte le nom de formule de Gauss-Ostrogradsk. Elle permet de vor que (. v)(p) = lm V 0 S S v(m). n(m) ds, (23) V où V désgne un volume contenant P et lmté par la surface S. S v(p) représente encore la vtesse d écoulement d un flude, la dvergence de v au pont P est donc le volume de flude traversant par unté de temps et de volume une surface fermée nfntésmale contenant le pont P: la dvergence (. v)(p) mesure l ntensté de source ou d égout du champ v au pont P. 3.3 Rotatonnel, formule de Stokes Défnton 10. Le rotatonnel ( v)(p) d un champ de vecteurs v en un pont P est le pseudo-vecteur défn par avec les notatons habtuelles. ( v)(p) = ε jk ( x v j )(x P ) e k, jk Le second membre de la précédente égalté dépend de v, de P et de l orentaton chose, mas est nvarant lors d un changement de RON au sen d une même orentaton. En pratque, les composantes d un rotatonnel s obtennent évdemment comme celles d un (vra) produt vectorel. Le rotatonnel est un opérateur dfférentel du premer ordre qu transforme un champ vectorel en un champ pseudo-vectorel. On vérfe faclement les résultats suvants. Proposton 15. Quels que soent les champs s, v et w, on a ( v + w) = v + w, (s v) = ( s) v + s( v). Rappelons la noton de traval. Sot un pont placé dans un champ de forces F. S le champ déplace le pont de sa poston P en P + d r (on pourra consdérer r comme le
Cnématque du pont; np2008 19 vecteur poston du pont), l est logque de dre que le traval dw effectué par la force dans ce déplacement est dw = F(P).d r. Le traval du champ dans un déplacement du pont d une poston P 0 vers une poston P 1 le long d une courbe C est donc donné par W = F(P).d r, P 0 C P 1 où l ntégrale est celle de P 0 à P 1 le long de C. Dans le cas où C est une courbe fermée et orentée, cette ntégrale est appelée crculaton de v le long de C. Défnton 11. La crculaton d un champ de vecteurs v le long d un contour fermé orenté C est l ntégrale v(p).d r. C Afn de calculer la crculaton d un champ de vecteurs v le long d un contour rectangulare nfntésmal orenté (PQRS), donnons-nous un ROND (O, e 1, e 2, e 3 ) tel que (O, e 2, e 3 ) contenne le contour (PQRS) et tel que le sens de parcours défn par e 1 coïncde avec l orentaton chose (vor fgure 4). La crculaton élémentare dc cherchée vaut alors dc = v(x 1,x 2,x 3 ). e 2 dx 2 + v(x 1,x 2 + dx 2,x 3 ). e 3 dx 3 v(x 1,x 2,x 3 + dx 3 ). e 2 dx 2 v(x 1,x 2,x 3 ). e 3 dx 3 = (( x2 v 3 )(x P ) ( x3 v 2 )(x P )) dx 2 dx 3. S l orentaton de la surface élémentare ds, lmtée par le contour élémentare (PQRS), est chose de façon cohérente avec celle du contour, la normale untare à ds est n(p) = e 1. Alors, dc = ( v)(p). n(p) ds. Insstons sur le fat que ce résultat est exact, à condton que les orentatons du contour rectangulare et de la surface qu l délmte soent compatbles. Prenons mantenant un contour fermé orenté fn C délmtant une surface S orentée conformément à C. Décomposons S en une nfnté de surfaces élémentares (dont les frontères sont des contours rectangulares élémentares orentés (convenablement)) (vor fgure 5). La somme des crculatons de v le long de tous ces contours est égale à sa crculaton le long de C, car les contrbutons d un côté commun de deux éléments de surface se compensent, les sens de parcours étant dfférents. D où, le
Cnématque du pont; np2008 20 Theorème 2. S une surface orentée S lmtée par un contour fermé C orenté de manère cohérente, est placée dans un champ de vecteurs v, on a ( v)(p). n(p) ds = v(p).d r. S Ce résultat est célèbre et connu sous le nom de formule de Stokes. Elle stpule donc que le flux du rotatonnel d un champ de vecteurs à travers une surface orentée lmtée par un contour fermé orenté de façon cohérente, est égal à la crculaton de ce champ le long de ce contour. On en dédut que ( v)(p). n = lm S 0 C C v(m).d r, S où S désgne un dsque centré en P lmté par la crconférence C tous deux orentés par la normale untare n, supposée nvarable lors du passage à la lmte. Il s ensut que la composante suvant n du rotatonnel au pont P de v tradut au pont P les proprétés rotatonnelles de v dans la drecton n: le rotatonnel est un vecteur-tourbllon. 3.4 Exercces 3.4.1 Opérateurs du second ordre Détermner les opérateurs suvants du second ordre dans un système d axes cartésens (ROND)..( s) ( s) (. v).( v) ( v) On appelle Laplacen scalare l opérateur Enfn s =.( s). v = (. v) ( v) est le Laplacen vectorel. Trouver l expresson de ces opérateurs dans un système d axes cartésens.
Cnématque du pont; np2008 21 3.4.2 Champs centraux et champs à symétre sphérque Sot O un pont fxe et P un pont varable. On pose r = OP et r = OP. Calculer les grandeurs suvantes en travallant dans une BOND et en utlsant s possble les règles de calcul relatves aux opérateurs gradent, dvergence et rotatonnel. Peut-on prévor certans résultats grâce aux nterprétatons connues du gradent, de la dvergence et du rotatonnel. r,. r,.( r r ), r ( f (r)), ( ) ( ). f (r) r r, f (r) r r ( f (r)), ( ) f (r) r r Réponses : r r, 3, 2 r, 0 d r f r = d r f r r, d r f + 2 r f, 0 ( ) dr 2 f + 2 r d r f, dr 2 f + 2 r d r f 2 f rr r 2 3.4.3 Equaton de Laplace, fonctons harmonques L équaton s = 0 est appelée équaton de Laplace, ses solutons sont les fonctons harmonques. Prouver, en applquant les résultats de la secton précédente, que ( 1 r ) = 0 et que r = 0. 3.4.4 Identtés remarquables Prouver les denttés suvantes en vous basant sur les défntons du gradent, de la dvergence et du rotatonnel et en applquant s nécessare la relaton fondamentale.( v w) = w.( v) v.( w) ε jk ε abk = δ a δ jb δ b δ ja. k ( v. w) = v ( w) + w ( v) + ( v. ) w + ( w. ) v
Cnématque du pont; np2008 22 ( v w) = v(. w) w(. v) ( v. ) w + ( w. ) v ( v. ) v = 1 2 (v 2 ) v ( v) C-dessous c est un champ homogène,.e. constant par rapport à P. Montrer que ( c. r) = c,.( c r) = 0, ( c r) = 2 c Suggeston : Dans les exemples contenant des doubles produts vectorels, commencer par développer ces produts.
Chaptre 2 Cnématque du pont La cnématque (du pont) est l étude des mouvements (d un pont) ndépendamment des causes qu le provoquent. 1 Grandeurs cnématques fondamentales On appelle référentel et on note R, le solde de référence,.e. le solde par rapport auquel les mouvements consdérés sont étudés. On suppose que R est parsemé d horloges fxes, dentques et synchronsées,.e. qu ndquent le même temps à tout nstant. On dt que R est mun d un temps. En mécanque classque le temps peut être consdéré comme une noton absolue,.e. ndépendante du référentel consdéré. Pour étuder un mouvement, on se donne généralement un ROND (O, e 1, e 2, e 3 ) attaché à R. Sot à présent un pont P en mouvement par rapport à R. On appelle grandeurs cnématques fondamentales, les tros vecteurs suvants : Le vecteur poston de P par rapport à R (lé en O), r = OP = x e, où les x sont les coordonnées de P dans le ROND consdéré. La poston P du pont P (double emplo) varant généralement au cours du temps t, on a P = P(t), r = r(t) et x = x (t). Le vecteur vtesse de P par rapport à R, v = d t r = r=.. x e. 23
Cnématque du pont; np2008 24 r(t+ t) r(t) Ben évdemment v = v(t) = lm t 0 t, s ben que v(t), consdéré comme vecteur lé en P(t), est tangent à la trajectore de P au pont P(t) et est drgé dans le sens du mouvement. Le vecteur accélératon de P par rapport à R, γ = v=. r=.... x e. Nous obtendrons plus tard des précsons relatves à drecton et au sens de γ = γ(t). 2 Etude du mouvement en coordonnées polares Sot un pont P anmé d un mouvement plane par rapport à un référentel R. Notons P le plan du mouvement et sot (O, e 1, e 2 ) un ROND de P. Nous supposons que la trajectore C de P ne passe pas par O. Alors que les coordonnées cartésennes de P dépendent du repère consdéré, ses coordonnées polares sont défnes par rapport à un axe appelé axe polare et une orentaton. L orgne de l axe s appelle le pôle. Ic nous chosrons l axe polare (O, e 1 ) et l orentaton défne par (O, e 1, e 2 ). Les coordonnées polares de P sont alors son rayon polare r = OP et son angle polare θ qu est la mesure dans [0,2π[ de l angle orenté ( e 1, OP) = ( e 1, r). On remarquera qu l s agt du module et d un argument du nombre complexe représenté par P. La relaton entre les coordonnées cartésennes (x 1,x 2 ) et les coordonnées polares (r,θ) de P est clare: x 1 = r cosθ, x 2 = r snθ. (1) Tout comme l utlsaton des coordonnées cartésennes mplque des calculs dans le ROND (O, e 1, e 2 ), celle des coordonnées polares entraîne des calculs dans le ROND moble (P, e r, e θ ) défn par Evdemment et e r = x 1 e 1 + x 2 e 2 r e r = r r et e θ = d θ e r. (2) = cosθ e 1 + snθ e 2 e θ = snθ e 1 + cosθ e 2, s ben que e r = e r (θ) et e θ = e θ (θ). Le caractère orthonormé de la base ( e r, e θ ) résulte de la précédente décomposton de ces vecteurs dans la base ( e 1, e 2 ). On remarquera cependant auss que e r est untare par défnton et que e θ lu est orthogonal en tant que dérvée d un vecteur de norme constante. L observaton e θ (θ) = snθ e 1 + cosθ e 2 = cos ( θ + π 2 ) e 1 + sn ( θ + π ( ) e 2 = e r θ + π ) 2 2
Cnématque du pont; np2008 25 faclte la représentaton du repère (P, e r, e θ ) qu est donc ben un ROND moble de P. Comme r, v et γ sont stués dans P, on peut les décomposer dans la base moble ( e r, e θ ). Comme r = r(t),θ = θ(t), e r = e r (θ(t)), e θ = e θ (θ(t)), on obtent : r = r e r, v = ṙ e r + r. θ e θ, γ = (.. r r(. θ) 2 ) e r + (r.. θ + 2ṙ. θ) e θ. (3) 3 Etude du mouvement en coordonnées cylndrques Sot un pont P en mouvement par rapport à un référentel R et sot (O, e 1, e 2, e 3 ) un ROND attaché à R. Le pont P est supposé bouger sans passer par l axe (O, e 3 ). Les coordonnées cylndrques de P sont alors les réels (ρ,θ,z), où (ρ,θ) sont les coordonnées polares de la projecton orthogonale P de P sur le plan (O, e 1, e 2 ) et où z n est autre que la trosème coordonnée cartésenne de P. On notera que le rayon polare ρ de P est le module du vecteur poston ρ = OP de P, la notaton r restant réservée au module du vecteur poston r = OP de P. Les relatons entre les coordonnées cartésennes (x 1,x 2,x 3 ) et les coordonnées cylndrques (ρ,θ,z) de P sont évdemment x 1 = ρ cosθ,x 2 = ρ snθ,x 3 = z. (4) Comme dans le cas des coordonnées polares, l utlsaton des coordonnées cylndrques mplque un traval dans une BOND moble naturellement assocée à ces coordonnées. Sa défnton est e ρ = ρ ρ, e θ = d θ e ρ et e z = e 3. (5) Le repère (P, e ρ, e θ, e z ) est vsblement un ROND varable. En vue de la décomposton des vecteurs poston, vtesse et accélératon dans la nouvelle base, on notera que ρ = ρ(t),θ = θ(t),z = z(t), e ρ = e ρ (θ(t)), e θ = e θ (θ(t)), e z = e 3. Fnalement on trouve que r = ρ e ρ +z e z, v =. ρ e ρ +ρ. θ e θ +ż e z, γ = (.. ρ ρ(. θ) 2 ) e ρ +(ρ.. θ +2. ρ. θ) e θ +.ż e z. (6) 4 Etude du mouvement en coordonnées sphérques Consdérons encore un pont P en mouvement par rapport à un référentel R, un ROND (O, e 1, e 2, e 3 ) (ou (Ox,Oy,Oz)) attaché à R et tel que la trajectore de P ne coupe pas l axe (O, e 3 ) (respectvement Oz). S P désgne de nouveau la projecton orthogonale de P sur le plan (Ox,Oy), les coordonnées sphérques de P sont les réels (r,θ,φ), où r = OP ]0,+ [, θ
Cnématque du pont; np2008 26 est la mesure dans ]0,π[ de l angle {Oz, OP} et φ est la mesure dans [0,2π[ de l angle orenté (Ox, OP ). Notons que r fournt la sphère de centre O qu passe par P, que θ donne le parallèle sur lequel est stué P et que φ détermne le mérden contenant P. Les relatons entre les coordonnées cartésennes (x 1,x 2,x 3 ) et les coordonnées sphérques (r,θ,φ) de P sont x 1 = r snθ cosφ, x 2 = r snθ snφ, x 3 = r cosθ. (7) La BOND moble ou base locale naturellement assocée aux coordonnées sphérques est défne par e r = r r, e θ = θ e r, e φ = 1 snθ φ e r. (8) Il est facle de se convancre de ce que e r = e r (θ,φ), e θ = e θ (θ,φ), e φ = e φ (φ) et de ce que (P, e r, e θ, e φ ) est ben un ROND moble. On remarquera que la dvson par snθ (> 0) est nécessare pour rendre e φ untare. Voc fnalement la décomposton des vecteurs cnématques dans la base locale des coordonnées sphérques : r = r e r, v = ṙ e r + r θ e. θ + r φ. snθ e φ, γ = (.. r r θ. 2 r sn 2 θ φ. 2 ) e r + (2ṙ θ. + r θ.. r snθ cosθ φ. 2 ) e θ +(2ṙ snθ φ. + 2r θ. cosθ φ. + r snθ φ) e.. φ. (9) 5 Etude ntrnsèque du mouvement, formules de Frenet- Serret Sot, par rapport à un référentel R d orgne O, un pont P en mouvement sur sa trajectore C. Chosssons sur C, qu est en général une courbe gauche, une orgne Ω et un sens postf +. On appelle abscsse curvlgne de P et on note s, la dstance ΩP mesurée le long de C et comptée postvement dans le sens postf et négatvement dans le sens négatf. Il est clar que s = s(t). Afn de smplfer, nous supposons que la vtesse v et l accélératon γ de P sont lnéarement ndépendantes à tout nstant. Il découle notamment de cette hypothèse qu on a également t = t(s). Nous défnssons à présent quelques vecteurs utles. Comme t = t(s), le vecteur poston r de P peut être consdéré comme foncton de s, r = r(s). Il est facle de vor que le vecteur r(s + s) r(s) t := d s r = lm, s 0 s que nous consdérons comme lé en P, est tangent à C en P, untare et drgé dans le sens +.
Cnématque du pont; np2008 27 Consdérons, pour P C,P P, le plan (P, t(p), t(p )) et fasons tendre P vers P. Le plan lmte est appelé plan osculateur de C en P. Ce plan content la courbe gauche C "au meux" au vosnage de P. Dans la cas d une courbe plane, l s agt du plan de la courbe. La normale à C en P contenue dans le plan osculateur est appelée normale prncpale de C au pont P. Il est clar que le vecteur t(s + s) t(s) d s t := lm s 0 s est contenu dans le plan osculateur et est normal à C en P. Il s agt donc d un vecteur normal prncpal vsblement drgé vers la concavté de C en P. Fnalement, n := d s t d s t = d2 s r ds r 2, consdéré encore comme lé au pont P, est untare, normal prncpal et drgé vers la concavté de C en P. Le quadruplet (P, t, n, b), où b = t n, est un ROND moble appelé trèdre de Frenet. En vue de fare l étude du mouvement dans le trèdre de Frenet, nous établrons les formules de Frenet. On entrevot que ds t = d 2 s r mesure la courbure de C en P. Il est donc naturel d appeler rayon de courbure de C en P, la grandeur D où la premère formule de Frenet : R = 1 ds t = 1 ds r 2. d s t = 1 n. (10) R Interprétons d s b. Comme b est de norme constante et que d s b = t d s n, la dérvée d s b est orthogonale à b et à t, donc colnéare à n : d s b = k n, k R. Il est clar que k = d s b mesure la vtesse de varaton/rotaton de b et donc la torson de C en P. Dans le cas d une courbe plane, la torson (ou seconde courbure) est évdemment nulle. Par analoge avec la courbure 1/R, on note k = 1/T la torson. On trouve ans la deuxème formule de Frenet : La dérvée de n = b t est alors donnée par d s b = 1 n. (11) T d s n = 1 R t 1 T b. (12)
Cnématque du pont; np2008 28 C est la trosème formule de Frenet. La formules de Frenet peuvent être résumées comme sut : d s t 1 0 0 R t d s b = 1 0 0 T b. (13) d s n R 1 T 1 0 n Comme s = s(t), nous obtenons mmédatement les expressons des vecteurs v et γ dans la BOND moble ( t, n, b) de Frenet : v = ṡ t et γ =... s 2 s t + n, (14) R où nous avons utlsé la premère formule de Frenet. La premère de ces relatons confrme que v est tangent à C en P et drgé dans le sens du mouvement. La seconde montre que γ est stué dans le plan osculateur et est drgé vers la concavté de C en P. Vu que d t v 2 = d t ( v. v) = 2 v. γ, le mouvement est accéléré unforme décéléré, s v. γ > = < 0. 6 Exercces 1. Un pont P se déplace sur un axe (O, e), dans le sens de e et tel que v = hx + b (x : abscsse de P, v : vtesse de P, h R,b R). Trouver l équaton du mouvement, x = x(t), sachant qu à l nstant t = t 0, P occupe la poston x = x 0. 2. Un pont P se déplace dans un plan de manère que ẋ = ky et ẏ = kx (x,y : coordonnées de P, k R ). Trouver les équatons du mouvement, x = x(t) et y = y(t), sachant qu à l nstant t = 0, P passe par le pont de coordonnées (c,0) (c R ). Donner l équaton cartésenne de la trajecton. 3. Un pont P est anmé d un mouvement rectlgne sur un axe (O, e). Ce mouvement est tel que γ = kẋ2 e (x : abscsse de P, k R ). Trouver l équaton du mouvement, s en t = 0, x = 0 et ẋ = v 0 (v 0 R ). 4. Un pont P se meut sur la parabole d équaton y 2 = 2px, de manère que l hodographe du mouvement par rapport à l orgne O (.e. la trajectore de l extrémté de v consdéré comme vecteur lé en O) sot cette parabole elle-même. Détermner les équatons du mouvement et les coordonnées de v et de γ, sachant qu en t = 0, l ordonnée de P est égale au paramètre de la parabole.
Cnématque du pont; np2008 29 5. Un pont P parcourt la courbe d équaton polare r = asnϕ (a R ), de manère que. ϕ = ω (w R). Calculer les composantes radale et orthoradale de v et de γ (.e. leurs composantes dans la BOND varable ( e 1, e ϕ ), pus les coordonnées cartésennes de v et de γ. 6. Sot la courbe d équaton polare r cos 2 ϕ 2 = a (a R ). Prouver que cette courbe est une parabole. Rappel : L équaton polare d une conque de paramètre p > 0 et d excentrcté e 0 est P r = 1 + ecosϕ, (15) s le pôle occupe un foyer et s l axe polare est drgé vers le sommet le plus proche. De manère plus précse, s e = 0, (O < e < 1,e = 1,e > 1), (15) est l équaton d un cercle (d une ellpse, d une parabole, d une branche d hyperbole). Un pont P décrt sa parabole de façon que ṡ = kr (k R ) (le sens postf est le sens des ϕ crossants). Détermner la lo du mouvement ϕ = ϕ(t), sachant que ϕ(0) = 0. Réponses 1. x = hx 0+b h e h(t t 0) b h 2. x = cchkt, y = cshkt, x2 c 2 y2 c 2 = 1 3. x = 1 k sn kv 0t + 1. 4. x = P 2 e4t, y = Pe 2t,...ẏ ẋ =...,ẏ =..., x =..., =... 5. awcosϕ = awcos(wt +ϕ 0 ), awsnϕ =...; 2aw 2 snϕ, 2aw 2 cosϕ; awcos2ϕ, awsn2ϕ; 2aw 2 sn2ϕ, 2aw 2 cos2ϕ. 6. r = 1+cosϕ 2a kt, ϕ = π 4 arc tg e 2.
Chaptre 3 Dynamque du Pont 1 Eléments cnétques d un pont matérel Un pont matérel est un objet déal, un corpuscule ponctuel P pourvu d une masse m. On notera l aspect contradctore de cette défnton. La masse est un scalare postf, qu est proportonnel à la quantté de matère contenue dans P. Cette quantté de matère peut être apprécée expérmentalement de deux façons dfférentes, par la répugnance de P à toute modfcaton de son mouvement,.e. par l nerte de P et par le pods de P,.e. par la force gravfque exercée sur P par la Terre. On fera une dstncton de prncpe entre la masse nerte et la masse gravfque, quoque l expérence montre que ces masses sont égales. La masse m d un pont matérel P est évdemment ndépendante du temps t et du référentel consdéré R. Rappelons d abord la noton de moment. Sot un vecteur lé (P, F), donc un vecteur F applqué à un pont P et sot un pont arbtrare O. On appelle moment de (P, F) par rapport à O, le vecteur M (O) = OP F. (1) On réfléchra à l nformaton fourne par le sens et par le module OP.F.snθ (notatons habtuelles) du vecteur moment. Sot à présent un pont matérel (P,m) en mouvement par rapport à un référentel R à la vtesse v. On appelle quantté de mouvement ou mpulson de P, le vecteur p = m v. (2) S O est un pont généralement supposé fxe dans R, on appelle moment cnétque de P par rapport à O, le moment en O de la quantté de mouvement consdérée comme vecteur lé à P, donc le vecteur σ 0 = OP p. (3) 31
Dynamque du pont; np2008 32 Rappelons auss que l énerge cnétque de P est défne par E c = 1 2 mv2. (4) Les grandeurs (2)-(4) sont ben connues et appelées les éléments cnétques de P. Elles dépendent du pont P consdéré, du référentel R utlsé et du temps t. Le moment cnétque (3) dépend en outre du pont O par rapport auquel l est calculé (comme mentonné ce pont est généralement attaché à R, mas cec n est pas oblgatore). 2 Los fondamentales de la Mécanque Classque Ces los ont été énoncées par I. Newton dans ses Phlosophae Naturals Prncpa Mathematca (1687). Il s agt de postulats, mas leur valdté est vérfée depus longtemps par l accord de leurs conséquences avec l expérence et l observaton. 2.1 Premère lo (prncpe d nerte) Il exste des référentels prvlégés dans lesquels le mouvement d un pont solé est rectlgne et unforme. Ces référentels sont appelés référentels d nerte ou galléens. On montre que le référentel de Copernc, qu a pour orgne le centre de masse du système solare et dont les axes sont défns par tros étoles fxes", est un référentel nertal. Sot R 0 le référentel de Copernc et R 1 un autre référentel anmé par rapport à R 0 d un mouvement de translaton rectlgne et unforme de vtesse (constante) V. Consdérons un pont solé arbtrare P. Son mouvement par rapport à R 0 est rectlgne et unforme,.e. v 0 (P) est constant. Comme v 0 (P) = v 1 (P) + V, où v 1 (P) désgne la vtesse de P par rapport à R 1, la vtesse v 1 (P) est auss constant,.e. P est également par rapport à R 1 en mouvement rectlgne et unforme. Ans R 1 est à son tour nertal. Fnalement, tout référentel, anmé par rapport au référentel de Copernc d un mouvement de translaton rectlgne et unforme, est lu-même nertal. Sgnalons pour termner que la Terre n est évdemment pas un référentel nertal, mas qu elle peut être assmlée à un tel référentel dans la plupart des applcatons pratques. Nous revendrons sur ce pont dans le chaptre consacré à la Mécanque du Pont dans un référentel non nertal.
Dynamque du pont; np2008 33 2.2 Deuxème lo (prncpe fondamental de la Dynamque du Pont) S dans un référentel nertal, un pont matérel P n est pas anmé d un mouvement rectlgne et unforme,.e. s sa vtesse v ou encore son mpulson p varent, l n est pas solé,.e. l est en nteracton avec le reste de l Unvers. L acton qu l subt de la part du reste de l Unvers peut être décrte par un vecteur, la force s exerçant sur le pont. En d autres termes, dans un référentel galléen, la varaton de la quantté de mouvement p d un pont matérel P mplque l exstence d une force F agssant sur P et provoquant ans cette varaton. Le prncpe fondamental consste en l dentfcaton de la varaton de p et de la force F qu en est la cause. De manère plus précse, Dans un référentel nertal, d t p = F (5).e. la dérvée temporelle de la quantté de mouvement p d un pont matérel P est égale à la résultante F de toutes les forces agssant sur P. Il est clar que l équaton (5) s écrt encore m r = F. Dans les applcatons, la théore physque des forces donne F sous la forme F = F(t, r, r). L équaton (5), m r = F(t, r, r) (6) est alors une équaton dfférentelle vectorelle du second ordre, dont l ntégraton fournt, compte tenu des condtons ntales r(0) = r 0 et v(0) = v 0, la foncton nconnue r = r(t),.e. le mouvement de P. La relaton fondamentale (6) sera appelée dans la sute l équaton de Newton ou la lo du mouvement. 2.3 Trosème lo (prncpe de l acton et de la réacton) Soent P 1 et P 2 deux ponts matérels en nteracton. Le prncpe de l acton et de la réacton stpule que les forces F 12 exercée sur P 1 par P 2 et F 21 exercée sur P 2 par P 1 sont drectement opposées,.e. sont des vecteurs lés à P 1 et P 2 respectvement, opposés et portés par la drote (P 1 P 2 ). C est la verson forte de la trosème lo de Newton, admse en Mécanque Classque.
Dynamque du pont; np2008 34 3 Théorèmes généraux du mouvement d un pont matérel dans un référentel nertal 3.1 Théorème de la quantté de mouvement Le théorème de la quantté de mouvement (TQM) est tout smplement l équaton de Newton (EN), vor Équaton (5) et Équaton (6). 3.2 Théorème du moment cnétque Sot O un pont fxe du référentel nertal R consdéré. Les autres notatons sont les mêmes que c-dessus. La résultante F des forces applquées au pont matérel P de masse m est consdérée comme vecteur lé en P. Partons de la relaton σ O = OP p. Comme O est fxe, nous obtenons par dérvaton Donc, dans un référentel nertal, d t σ O = v m v + OP d t p = OP F = d t σ O = M F (O). M F (O) (7).e. la dérvée temporelle du moment cnétque de P par rapport à un pont fxe O du référentel est égale au moment en O de la résultante F des forces agssant sur P. C est le théorème du moment cnétque (TMC). 3.3 Théorème de l énerge cnétque En dérvant l égalté E c = 1 2 mv2 = 1 m v v 2 et en remarquant que le produt scalare F v n est autre chose que la pussance nstantanée P de F, on obtent le théorème de l énerge cnétque (TEC) : Dans un référentel nertal, d t E c = P (8).e. la dérvée temporelle de l énerge cnétque de P est égale à la pussance de la résultante des forces s exerçant sur P.
Dynamque du pont; np2008 35 Remarquons pour termner qu en Mécanque du Pont les mouvements s obtennent généralement à partr de l EN (5)-(6), alors que le TMC et le TEC fournssent des ntégrales premères (IP). La noton d IP est un concept fondamental en Physque et en Mathématques. Nous aurons l occason de l étuder en détal dans la sute. En Mécanque du Solde par contre, l utlsaton conjonte des extensons de (généralement) deux des théorèmes TQM, TMC et TEC est nécessare pour détermner le mouvement du solde étudé. 4 Applcatons 4.1 Schéma de résoluton La résoluton d un problème de Dynamque exge une certane flexblté. Le schéma de résoluton c-dessous n est donc qu un gude sommare. 1. Détermner le nombre de degrés de lberté du pont matérel étudé,.e. le nombre de paramètres nécessares pour décrre ses postons. Chosr un système d axes appropré et des paramètres ou coordonnées adaptés au problème consdéré. 2. Fare l nventare des forces applquées au pont matérel (force gravfque, forces de lasons, forces spécfques, forces fctves [seulement dans un référentel non nertal, vor plus lon]...). 3. Utlser un des théorèmes généraux qu gouvernent le mouvement du pont (souvent l EN). Exprmer toutes les grandeurs ntervenant en foncton des paramètres. Projeter (éventuellement) l équaton vectorelle utlsée sur les axes choss de manère à la remplacer par tros équatons scalares (deux, dans le cas d un problème plane) plus smples à manpuler. Détermner les paramètres (et donc le mouvement du pont matérel) et les autres nconnues éventuelles (forces de lasons) en résolvant les équatons dfférentelles ans obtenues. 4.2 Exercces () Une partcule se déplace dans le champ de pesanteur, sur une crconférence vertcale, parfatement lsse (pendule crculare, pendule smple). Assmler la Terre à un référentel nertal et détermner de tros manères dfférentes l équaton du mouvement de cette partcule. Résoudre cette équaton dans le cas des oscllatons de fable ampltude. Réponse : l θ.. + gsnθ = 0, l : rayon de la crconférence; θ = θ max cos(ωt ϕ), ω = g l
Dynamque du pont; np2008 36 () Une partcule de masse m est projetée d un pont O dans un plan vertcal. Sa vtesse ntale v 0 fat un angle α ]0, 2 1 [ avec l horzontale. Néglger la résstance de l ar, assmler la Terre à un référentel nertal et détermner l équaton et la nature de la trajectore, la portée, l alttude maxmale attente et le temps de vol. Réponse : y = x tg α g 2v 2 0 cos2 α x2, parabole, v2 0 g sn2α, v2 0 2g sn2α, 2v 0 snα g () Même problème que (), mas tenr compte de la résstance de l ar. On suppose que la résstance de l ar par unté de masse est proportonnelle à la vtesse,.e. est donnée par R = kgv (k R +) (l en résulte évdemment que la force de résstance s exerçant sur un pont matérel de masse m, anmé d une vtesse v, est R = kmg v). Trouver les équatons du mouvement. Réponse : x = v 0 cosα kg (1 e kgt ), y = kv 0 snα +1 (1 e kgt ) 1 k 2 g k t (v) Dans un mleu de résstance par unté de masse R = kgv 2 (k R +), une partcule de masse m est projetée vertcalement vers le haut, avec une vtesse ntale v 0. Montrer que la partcule retombe au pont de projecton avec une énerge cnétque dmnuée dans le rapport 1 1+kv 2 0,.e. que le rapport de l énerge cnétque fnale à l énerge cnétque ntale est égal à 1 1+kv 2 0. (v) Rappelons qu une partcule chargée électrquement, de charge q, placée dans un champ éléctromagnétque ( E(P,t), B(P,t)) est soumse à la force de Lorentz F = q( E + v B), où v désgne la vtesse de la partcule. Généralement, ces forces électromagnétques sont suffsamment grandes pour que la force de pesanteur éventuelle sot néglgeable vs à vs de F. Consdérons au vosnage de la surface terrestre, un champ purement magnétque ( E = 0), unforme ( B est ndépendant de P) et statonnare ( B est ndépendant de t). Une partcule chargée (P,m,q) placée dans ce champ, part d un pont O avec une vtesse ntale v 0. Répondre aux questons suvantes, en assmlant la Terre à un référentel nertal et en néglgeant la pesanteur et la résstance du mleu. 1) Chosr un ROND appropré et détermner les coordonnées (x,y,z) de P en foncton de t, des composantes de v 0 et de la fréquence de Larmor ω = qb m. 2) Vérfer que les projectons P 1 et P 2 de P sur le plan xoy et l axe Oz respectvement, sont anmées de mouvements unformes. Il en résulte évdemment que P est à son tour en mouvement unforme.
Dynamque du pont; np2008 37 3) Détermner la nature de la trajectore de P. Trater auss les cas partculers pouvant se présenter. Réponse : ROND (O, e 1, e 2, e 3 ), tel que B = B e 3, v 0 = v 0,2 e 2 + v 0,3 e 3, avec v 0,2 0; x = v 0,2 ω (1 cosωt), y = v 0,2 ω snωt, z = v 0,3 t; v 2 P 1 = v 2 0,2, v2 P 2 = v 2 0,3 ; (x v 0,2 ω )2 + y 2 = v 2 0,2 ; mouvement hélcoïdal; s v ω 2 0,2 = 0, le mouvement est rectlgne; s v 0,3 = 0, l est crculare; s v 0,2 = v 0,3 = 0, la partcule est au repos (v) Sot un oscllateur harmonque,.e. sot dans le champ de pesanteur, un pont matérel (P, m) se déplaçant sans frottement sur un axe horzontal fxe, sous l acton de la force de rappel d un ressort (une extrémté du ressort est attachée à l axe, l autre moble par rapport à l axe est attachée au pont matérel). Désgnons par O le pont de l axe coïncdant avec la partcule P, lorsque le ressort est dans sa poston naturelle,.e. n est n étré, n comprmé et notons e un vecteur drecteur untare de l axe. Nous supposons la force de rappel lnéare, c est-à-dre de la forme F 1 = kx e (k > 0: constant, x : abscsse de P dans le repère (O, e)). k m (a) Détermner x en foncton de t, de ω = et des deux constantes d ntégraton (on assmlera la Terre à un référentel d nerte et on néglgera la résstance du mleu). Montrer que la pérode des oscllatons vaut T = 2π ω. (b) Consdérons l oscllateur harmonque à l état d équlbre (nformaton donnant les condtons ntales). Applquons une force constante F 2 = m f e ( f : constante) pendant un temps égal au sxème de la pérode T = 2π ω, après quo cette force cesse d agr pendant un sxème de pérode, pus la force est à nouveau applquée. Montrer que l oscllateur reste alors mmoble. Réponse : x = C 1 cosωt +C 2 snωt, T = 2π ω. Etuder le mouvement dans les ntervalles [0, 6ω 2π ],[ 3ω π, 3ω 2π 2π ] et [ 3ω,+ [