Cocours commu Mies-Pots Corrigé de la secode épreuve de mathématiques a Nous pouvos appliquer le critère de d Alembert : doc le rayo R est égal à /4 C+ + + + C = + 4, + b O sait que h est de classe C avec h x = x ] R, R[, 4xh x = = + C+ + x pour tout x ] R, R[ Nous avos doc : = C + = + + C+ + x 4 + C + + C+ + x 4 = Cx = = hx + x+ Cx = + + + 4 Cx c Pour tout x ] 4, 4 [, h x = Or hx : h est ue solutio d ue équatio différetielle liáire d ordre 4x dx 4x = l 4x + C, doc il existe λ R tel que, pour tout x ] 4, 4 [, hx = λe l 4x = De plus h =, doc λ = et hx = λ 4x 4x pour tout x ] 4, 4 [ O sait que pour tout α R et pour tout x ], [, ous avos E particulier : M p x = k= + x α = p k k= α x k, où k x k = k= α = k αα α k + k! p p p k + k! x k = k= C p p+k xk pour tout x ], [ Le coefficiet e x k du développemet e série etière de M p est doc égal à C k p+k 3a Le triôme 6x+x a pour discrimiat = 36 4 = 3 = 4, doc ses racies sot 6 ± 4 = 3± La foctio f est doc défiie sur le domaie D f = ], 3 [ ] 3 +, + [
Remarque : le produit des racies de x 6x + vaut, doc les racies sot de même sige, doc 3 ], [ et 3 + > 3b Soit x R Supposos que la relatio de l éocé est vérifiée e x Alors x D f e particulier, d après la remarque précédete, x, et 4 < x x < 4 Or, { x /4 < < /4 4 + x x < x x 4 + x x > x + x < < 6x + x, doc x Das ce cas, x h x x = = fx x x 4 x x x Mais fx, doc x >, c est-à-dire x < Aisi x ], 3 8 [ \{ } Réciproquemet, si x ], 3 8 [ \{ }, alors les calculs précédets motret que fx et sot bie défiis et qu ils sot égaux E particulier, o peut écrire pour tout x ], 3 8 [ : Il viet doc fx = fx = x C x x = C x x + λ M + xx pour tout x ], 3 8 [, e posat λ = C x h x x 3c Soit x ] 3 + 8, 3 8 [ Comme x ], [, ous pouvos écrire : + fx = λ C+kx k k x k= Cette égalité est aussi vraie pour x, doc λ C+k x k k x = f x Ceci prouve que la famille de k= réels positifs λ C+k k x+k est sommable, doc la famille de réels λ C k,k N +k x+k est,k N égalemet sommable, doc o peut appliquer le théorème de sommatio par paquets Aisi, e utilisat pour partitio de N la famille {, k N / + k = h}, o obtiet : h N + fx = λ C+kx k k x = CC +kx k h = a m x m, e posat, a m = k= m C C m m+ h= +k=h Nous avos motré précédemmet que la série a x était covergete pour x < 3 8 Nous e déduisos que le rayo de covergece de la série etière est au mois égal à 3 8 D autre part, si ce rayo de covergece était strictemet supérieur 3 8, alors x a x serait cotiue, doc borée au voisiage de x = 3 8, ce qui est faux car quatité fx ted vers l ifii quad x ted vers 3 8 Aisi le rayo de covergece est égal à 3 8 m= mmmcatex - page
3d Nous avos 6x + x f x =, d où 6 + xf x + 6x + x fxf x =, puis 3 + xfx + 6x + x f x = pour tout x D f car f e s aule pas f vérifie doc l équatio différetielle axf x + bxfx = avec ax = 6x + x et bx = 3 + x 3e Comme fx = = 6x + x = a x et f x = + a + x + a + x pour tout x ] 3 + 8, 3 8 [, ous avos + a + x + 3 + x = 6a x + = a 3a + a 6a 3a + a x + = a 3a + = = a x a x = + a + 3 + a + a x 3a x + = a x + a + 6a + a 3a + a x pour tout x ] 3 + 8, 3 8 [ Par uicité du développemet e série etière de la foctio ulle, ous obteos a = 3a et, + a + 3 + a + a = Nous avos e particulier : a = f =, a = 3a = 3, a = 9a a = 3, a 3 = 5a a 3 = 63 4a Si la suite b existe, elle vérifie b =, b = et R Elle est doc détermiée sas ambiguïté : b =, b =, O calcule b = 33b b, b = 3 b b = 9, puis b 3 = 35b b = 359 4 4 = 3 4 Si le rayo R b de la série est o ul, ous avos, d après le calcul du 3e: 6x + x g x + 3 + xgx = b 3b + = + b + 3 + b + b x = pour tout x ] R b, R b [ g est doc solutio de l équatio différetielle liéaire o homogèe : 6x + x y + 3 + xy = 4b Nous supposos toujours que la foctio g existe Il suffit de vérifier que l applicatio G : x fx x ft dt vérifie les coditios : axg x + bxgx = et G = pour assurer l égalité de g et de G sur ] R b, R b [ ] 3 + 8, 3 8[, d après le théorème de Cauchy-Lipschitz, applicable ici car les foctios mmmcatex - page 3
a et b sot cotiues et a e s aule pas sur le domaie cosidéré La coditio G = est clairemet vérifiée, puis axg x + bxgx = 6x + x f x x ft dt + 6x + x f x + 3 + xfx = + [ 6x + x f x + 3 + xfx ] x ft dt = x ft dt 4c Il est maiteat temps de démotrer que g existe! Les questios a et b motret qu il existe au plus ue applicatio g vérifiat les coditios demadées Soit doc g défiie par gx = fx x ft dt pour tout x das ] 3 + 8, 3 8[ Comme f est développable e série etière sur ] 3 + 8, 3 8[, il e est de même de x x ft dt, aisi que de g, par produit de Cauchy de séries absolumet covergetes ous sommes à l itérieur du disque de covergece Aisi, pour tout x ] 3 + 8, 3 8[, x + ftdt = a + x+ = d x, où d = et pour, d = a + Alors, par produit de Cauchy, gx = c x avec c = et, pour tout, c = d k a k = k= k= k a k a k D après b, g est solutio de l équatio différetielle 6x + x y + 3 + xy =, doc c = g =, c = g =, et par uicité du développemet e série etière, + c + 3 + c + c = pour tout Autremet dit, la suite c est égale à la suite b Nous avos doc démotré l existece et l uicité de g : pour x < R b, avec R b 3 8 et b = 4d O a d b = k= pour k k= gx = b x k a k a k pour tout d k a k a k Z, puisque les a i sot etiers d après la formule du 3c, aisi que d /k 5a O obtiet directemet u = et u = / Pour, ous avos : u + = a b a + b = a b 3+ + + a + a 3+ + b + b = + u Aisi, la suite u est costate, égale à, doc u = / pour tout : la suite est décroissate et positive Le plus petit de ses majorats est so premier terme : C = u = 5b Comme a = m C C m m+ pour tout, a est u etier aturel o ul O peut doc défiir la suite b /a N Posos q = b /a Nous avos : q q = u, et doc < q q pour a a a a tout E particulier, la suite q est bie strictemet croissate L éocé est relativemet mal posé, la distictio etre l aalyse et la sythèse état pas faite! mmmcatex - page 4
D autre part, la suite a est strictemet croissate O a e effet a = < 3 = a et si ous supposos que a < a pour u certai, alors a + = 3 + a a + > 3 + a a + 5 + 3 + a a Comme a = et comme les a sot etiers, o e déduit par récurrece que a + Aisi, q q + et la série de terme gééral q q est covergete critère de comparaiso des séries à termes positifs E passat aux sommes partielles, o e déduit la covergece de la suite q vers u certai λ > 6a La formule de 3c motre que, pour tout N, a et la formule de 4c motre que, pour tout N, b O e déduit que les foctios f et g sot croissates sur [, 3 8[ 3 8 est ue racie du polyôme x 6x +, doc fx ted vers + quad x ted vers 3 8 gx fx 3 8/ ft dt doc gx ted vers + quad x ted vers 3 8 6b Comme les a sot tous positifs, ous avos a λ ε b a λ + ε pour tout N, puis pour tous N et x, puis a x λ ε b x a x λ + ε U N xλ ε V N x U N xλ + ε pour tout x ], 3 8 [, qui est l ecadremet demadé U N x est strictemet positif pour x > 6c Les foctios f N et g N sot polyomiales, doc elles sot cotiues, doc elles sot majorées sur le compact [, 3 8] par ue même costate A O a doc fixé ɛ > et o a motré qu il existe u N N tel que, pour tout x ], 3 8[, λ ɛ V N x U N x λ + ɛ Soit x ], 3 8[ : gx = V N x + g N x λ + ɛu N x + A λ + ɛfx + A, car les coefficiets a sot positifs Mais fx ted vers + lorsque x ted vers 3 8, doc il existe α ], 3 8[ tel que, pour tout x ]α, 3 8[, fx A ɛ Aisi, pour tout x ]α, 3 8[, gx λ + ɛfx + ɛfx De même, gx = V N x + g N x V N x λ ɛu N x = λ ɛfx f N x λ ɛfx A Mais fx ted vers + lorsque x ted vers 3 8, doc il existe β ], 3 8[ tel que, pour tout x ]β, 3 8[, fx λ ɛa ɛ Aisi, pour tout x ]β, 3 8[, gx λ ɛfx ɛfx Posos γ = maxα, β : pour tout x ]γ, 3 8[, λ ɛfx gx λ + ɛfx, doc gx λ ɛ, ce qu il fallait démotrer fx 6d D après l éocé, gx fx = x ft dt ted vers l lorsque x ted vers 3 8, doc λ = 3 8 ft dt = l mmmcatex - page 5
7a Pour tout, ous avos : + a+ 6 + 3 a + a =, + + soit v + 6 + 3 v + v =, + + e posat v k = ka k pour tout k Autremet dit, 6 + 3 v + 6v + v = 6 v + v, + + E posat A = 6 + 3 6 et B =, ous avos bie + + v + 6v + v = A v + B v Il reste à faire u développemet asymptotique pour vérifier que A et B ot ue limite fiie e + : 6 + 3 + = 6 + 3 + / = 6 + 3 + 3 8 + o = = + o = 6 + 3 4 + o, O e déduit que A et B tedet respectivemet vers 3 4 et quad ted vers l ifii 7b Le polyôme r 6r + admet deux racies distictes 3 8 et 3 + 8 Il existe doc α et β tels que, pour tout, w = α3 8 + β3 + 8 Les coditios iitiales doet facilemet : α = 3 8 et β = 3 8 Nous avos doc : w = 3 3 + 8 3 8 8 pour tout, puis w + 3 8 3 + 8 7c E admettat que v et w sot équivalets, ous obteos directemet : a = v 3 3 + 8 + 8 8a Posos K = 3 8 Comme a ted vers quad ted vers l ifii, cette quatité est comprise etre K eu / et à partir d u certai rag N 8b Nous savos que b b pour tout E sommat ces iégalités, ous obteos : a a a a k=+ b k a k b k a k k=+ a k a k mmmcatex - page 6
pour tout Comme b k /a k ted vers λ quad ted vers l ifii, la première somme est égale à λ b a Efi, pour N, O a pour q ], [ : k=+ k=+ a k a k K k=+ 4 k k 4 eu ek u kq k = q d + q k = q+ d q q k=+ K k=+ k e ku [ + ], q d où λ b a = O e u quad ted vers l ifii Comme pour tout a ], [, e u est égligeable devat e au, o e déduit que λ b a = O e au Il existe doc ue costate K telle que l ecadremet demadé soit vérifié pour tout 8c Notos p i i la suite croissate des ombres premiers Tout etier k [, ] s écrit d ue uique faço sous la forme k = p vk p vk p v Nk N avec v k, v k,, v N k N Le ppcm des premiers etiers s écrit doc : d = p v pv pv N N avec v i = max{v i, v i,, v i } pour tout i compris etre et N Pour chacu de ces i, ous avos p vi i, puisque p vi i divise l u des etiers compris etre et O e déduit que d N Efi, N état équivalet à / l à l ifii, il est majoré par à partir d u certai rag, ce qui doe l d e, pour assez grad 8d O peut remarquer que p et q e sot pas e gééral premiers etre eux p 4 = 335 et q 4 = 385 ot 3 pour pgcd Ceci dit, o a λ p q = λ b a Il suffit doc de démotrer que e au = O au voisiage q r+ de l ifii pour u certai a ], [ et pour u certai r > pour prouver l existece de r, de N 3 et de K 3 Or, pour assez grad :, +u e e u+, e u,6 q K = O = O E choisissat r strictemet compris etre et,, ous auros : r+ e r+,6 u = O q r+ O peut efi fixer a tel que > a > r +, 6 car > r + et o a bie, 6 e au = O r+ e r+ u,6 = O q r+ 8e Supposos que λ soit ratioel : λ = p/q avec p et q etier aturels o uls Alors pour tout ratioel p /q avec q > distict de λ, ous avos : λ p q = pq p q qq qq, mmmcatex - page 7
puisque pq p q est u etier o ul Comme la suite b /a croît strictemet vers λ, p /q est pour tout u ratioel distict de λ O e déduit l iégalité demadée, e posat L = /q 8f D après la questio 8d, la suite q λ p q ted vers quad ted vers + elle est positive et majorée par q r avec q + λ est doc pas ratioel, car sio, cette même suite serait miorée par ue costate L strictemet positive O e déduit doc que l = λ est pas ratioel Utiliser le théorème des ombres premiers pour motrer l irratioalité de l, il fallait oser le faire! mmmcatex - page 8