Envoi no. 6 : géométrie

Envoi no. 6 : géométrie Exercice 1. Soit un triangle rectangle isocèle en. Soit un point de l arc du cercle de centre passant par et, H son projeté orthogonal sur (). On note I le centre du cercle inscrit à H et J le centre du cercle exinscrit dans l angle (J est donc l intersection de la bissectrice intérieure en avec les bissectrices extérieures en H et ). ontrer que IJ est un carré. J H I On observe d abord que (I) (J) puisque dans un triangle, les bissectrices intérieure et extérieure en un point sont perpendiculaires. autre part, IJ = 180 I = Î + I = 1(Ĥ + H) = 45. omme IJ est rectangle en, on en déduit qu il est rectangle isocèle en. e plus, (IJ) est la bissectrice de H =, et est isocèle en, donc (IJ) est la médiatrice de []. On en déduit que IJ est le symétrique du triangle rectangle isocèle IJ par rapport à la droite (IJ), donc IJ est un carré. 1

Exercice. Soit un quadrilatère convexe. Soit l intersection entre les bissectrices intérieures des angles et, et N l intersection entre les bissectrices intérieures des angles et. ontrer que les droites, et N sont concourantes. Quitte à échanger les rôles de et de et les rôles de et de, on peut supposer que et se trouvent sur les segments [E] et [E] respectivement. E N Notons E le point d intersection entre () et (). lors est l intersection des bissectrices intérieures des angles et du triangle E, donc est le centre du cercle inscrit à E. En particulier il se trouve sur la bissectrice intérieure en E. e même, N est le point d intersection des bissectrices extérieures en et du triangle E, donc N est le centre du cercle exinscrit dans l angle E de E. En particulier, il se trouve sur la bissectrice intérieure en E. eci prouve que E,, N sont alignés.

Exercice 3. Soit un quadrilatère inscriptible, L = () (), J et K les pieds des perpendiculaires à () et () passant par L et I le milieu de [, ]. ontrer que IJ = IK. 3 J L I N K Solution 1. Il est facile de voir en utilisant le théorème de l angle inscrit que L et L sont semblables, et que KL et JL sont semblables. Notons et N les milieux respectifs de [L] et [L]. lors LN I est un parallélogramme. On en déduit que NL = I. Or, KL est un triangle rectangle en K donc NL = NK, d où NK = I. e même, J = IN. omme JL est isocèle en, on a ĴL = 180 LJ = 180 (90 LJ) =, et de même KNL =. Or, = donc ĴL = KNL. On en déduit que ÎJ = 360 ĴL LI = 360 KNL LNI = KNI (l avant-dernière égalité découlant du fait que L IN est un parallélogramme). es égalités ÎJ = KNI, NK = I et J = IN, on déduit que les triangles IJ et KNI sont isométriques, et en particulier que IJ = IK. Solution. IJ IK = IJ IJ IK IK = ( IJ + IK) ( IJ IK) = ( I + J + I + K) KJ = ( J + K) ( LJ LK) = K LJ J LK car (J) (LJ) et (K) (LK) = K LJ cos ( K, LJ) J LK cos ( J, LK) Or, LK fait un angle orienté de +90 par rapport à K, et J fait un angle orienté de +90 par rapport à LJ, donc les deux cosinus sont égaux. Par conséquent, il suffit de montrer que K LJ = J LK : ceci découle du fait que K LK = cot KL = cot = cot = cot LJ = J LJ.

4 Exercice 4. Soit un triangle. On note O le centre de son cercle circonscrit. Soient, E, F des points situés sur [, ], [, ] et [, ] respectivement. On suppose que F = F et E = E. Le cercle de centre F et de rayon F et le cercle de centre E et de rayon E se recoupent en G. ontrer que, F, O, E, G sont cocycliques. G F O E Les triangles F et E étant isocèles, on a (E, F ) = (E, ) + (, F ) = (, E) + (F, ) = (, ) + (, ) = (, ). omme EG = E et F G = F, les points E et F appartiennent à la médiatrice de [G] donc le quadrilatère F GE est symétrique par rapport à (F E). On en déduit que (E, F ) = (GF, GE) donc (GF, GE) = (, ) = (F, E). Il en résulte que F,, G, E sont cocycliques. On a ( G, G) = ( F, F ) = Π (, F ) où Π est l angle plat (cette dernière égalité provenant du fait que F est isocèle en F ). On montre de même que ( G, G) = Π ( E, ). En additionnant ces deux égalités, on obtient ( G, G) = (, F ) ( E, ) = (, ) (, ) (, ) = (, ) = (, ) onc,,, G sont cocycliques. omme F G = F et O = OG, les points G et sont symétriques par rapport à (OF ) donc ( OG, OF ) = ( OG, O). e même, ( OE, OG) = ( O, OG). En additionnant ces deux égalités, il vient ( OE, OF ) = ( O, O) = (, ) = ( E, F ), donc, O, E, F sont cocycliques.

Exercice 5. Soient,,,, E des points dans cet ordre sur un demi-cercle de rayon 1. émontrer que + + + E + + E 4. En remplaçant E par le point diamétralement opposé à, la quantité E augmente et les autres longueurs de la formule ne changent pas, donc on se ramène au cas où [E] est un diamètre. après la formule d l-kashi, + = +. cos  + E = E +.E cos ĈE + E = E. En additionnant ces trois égalités, compte tenu de E = 4, on obtient + + + E = 4 +. cos  +.E cos ĈE, donc on se ramène à montrer que. cos  +.E cos ĈE +.. +..E 0. Or, E = E cos ÂE = cos(180 Â) = cos Â, donc.. +. cos  0, et de même..e +.E cos ĈE 0. On conclut en additionnant ces deux dernières inégalités. 5

6 Exercice 6. Soit EF un hexagone régulier et [, ], N [, E]. On suppose que N et sont égaux à un nombre r > 0, et que,, N E sont colinéaires. éterminer la valeur de r. F E N On peut supposer que l hexagone est inscrit dans un cercle de rayon 1. On se place dans un( repère 3 ) tel que les ( 3 coordonnées ) de,, sont respectivement = (0, 1), =, 1 et =, 1. omme E = 3, on a N = r 3 donc N = ( r 3, 0). On en déduit que ( 3 N = r 3, 1 ). omme ( 3 ) =, 3, on a ( 3 ) 3r = r, donc = ( 3 r, 1 3r On calcule aisément que ( 3 = (r 1), 1 3r ), N = ( r 3, 1). Le fait que,, N sont alignés signifie que ces deux vecteurs sont colinéaires, ce qui équivaut à 3 ( 1 (1 r) + r 3 3r ) = 0, ce qui se simplifie en r = 1 3. ).

Exercice 7. Soit un triangle et un point de [, ]. Soit ω un cercle tangent à () en T et à () en K et tangent au cercle circonscrit à en P. ontrer que si (KT )//() alors les cercles circonscrits à KP et P T sont tangents en P. 7 K T P Rappelons d abord que si,, sont trois points d un cercle Γ, et si δ est la tangente en à Γ, alors on a l égalité d angles de droites (δ, ) = (, ). Soient δ et δ les tangentes en P aux cercles (KP ) et (P T ) respectivement. On a et (δ, P K) = (P, K) = (P, ) = (P, ), (δ, P K) = (δ, P T ) + (P T, P K) = (P, T ) + (T, T K) = (P, ) + (, T ) + (T, T K) = (P, ) puisque (T ) = (T ) et () = (T K). On en déduit que δ et δ sont parallèles. Or, elles ont un point commun, donc elles sont égales.

8 Exercice 8. Soient ω 1 et ω deux cercles sécants en deux points X et Y. Un cercle ω est tangent intérieurement à ω 1 et ω en P et Q respectivement. Le segment [X, Y ] coupe ω en et N. Les demi-droites [P, ) et [P, N) coupent ω 1 en et ; les demi-droites [Q, ) et [Q, N) coupent ω en et. ontrer que =. Q X P l O 1 O Y Soit l la tangente en à ω et l 1 la tangente en à ω 1. omme ω est tangent en P à ω 1, il existe une homothétie h de centre P qui envoie ω sur ω 1. Or, P,, sont alignés donc h() =. On en déduit que h(l) = l 1, et donc l//l 1. autre part, comme est sur l axe radical de ω 1 et ω, on a.p =.Q donc,, P, Q sont cocycliques. On en déduit que (, P ) = (Q, QP ) = (Q, QP ) = (l, P ) = (l 1, P ) d où () = l 1. utrement dit, () est tangente en à ω 1. ais de même, () est tangente en à ω, donc () est une tangente commune à ω 1 et ω. e même, () est une tangente commune à ω 1 et ω, donc =.

Exercice 9. Soit un quadrilatère inscriptible. On note K le point d intersection des diagonales. Soient et N les milieux de [, ] et [, ]. Les cercles circonscrits à et se recoupent en un point L. ontrer que K, L,, N sont cocycliques. 9 F K E L N Notons E le centre radical des trois cercles,,. Les triplets (E,, ), (E, L, ) et (E,, ) sont alignés. Soit F le point où les cercles K et K se recoupent. On a (F, F ) = (K, K) = (K, K) = (F, F ) et (, F ) = (K, KF ) = (K, KF ) = (, F ), donc les triangles F et F sont semblables. Soit s la similitude de centre F qui envoie sur et sur. lors s() = N, donc l angle de s est à la fois égal à (F, F N) et à (, ) = (K, KN). Par conséquent, F, K,, N sont cocycliques. E est l intersection de () et de (), donc il est le centre radical des cercles, K et K. Par conséquent, E, F, K sont alignés. En utilisant la puissance d un point par rapport à un cercle, on a EK.EF = E.E = E.E = E.EL, donc, L, K, F sont cocycliques. Finalement, L et N sont sur le cercle KF donc K, L,, N sont cocycliques.