1 Algèbre Troisième Résumé de cours de mathématiques 1.1 Arithmétique 1.1.1 Divisibilité m est un multiple de b lorsqu'il existe c tel que m=b c Les multiples de 2 sont les nombres pairs : ils se terminent par 0, 2, 4, 6 ou 8. Les multiples de 5 sont les nombres qui se terminent par 0 ou par 5. Les multiples de 10 sont les nombres qui se terminent par 0. b divise m lorsqu'il existe c tel que m=b c Dans l'autre sens, m est multiple de b Un nombre est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 Un nombre est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5 Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3 Un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9 Un nombre est divisible par 4 lorsque les deux chiffres de droite forment un nombre divisible par 4: 00, 04, 08, 12,...80, 84, 88, 92, 96 1.1.2 PGCD D a est l'ensemble des diviseurs de a D a ; b =D a D b est l'ensemble des diviseurs communs à a et à b Le plus grand de ces diviseurs communs est le PGCD de a et de b. Si on effectue des soustractions successives, PGCD(a, b)=pgcd(a b, b) : le dernier «a-b» non nul est le PGCD. Si on effectue la division euclidienne de a par b, D a ; b =D b ; r ; donc PGCD(a, b)=pgcd(b, r) cela donne l'algorithme d'euclide : le dernier reste non nul est le PGCD. Deux entiers sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1. 1.1.3 Les nombres premiers Un nombre premier est un entier strictement supérieur à 1 qui n'admet pas d'autre diviseur que 1 et lui-même. 1.2 Calcul littéral Développer un produit, c est le transformer en somme ou en différence. 5 (a+ 3)=5 a+15 Factoriser une somme ou une différence, c est la transformer en produit. 6 a 6 2=6(a 2) Égalités remarquables Soient a et b des nombres Résumé de cours de mathématiques 1/6
a b 2 =a 2 2ab b 2 a b 2 =a 2 2ab b 2 a b a b =a 2 b 2 1.3 Racines carrées La racine carrée de a est le nombre positif qui, mis au carré, donne a. ab= a b a b = a b si a 0 alors a 2 =a Remarque : Il n y a aucune règle pour la somme et la différence de racines carrées de nombres positifs. 1.4 Equations-inéquations 1.4.1 Equations Equation-produit : A x B x =0 A x =0ou B x =0 La solution de l'équation x 2 =a dépend du signe de a - si a 0, cette équation n'a pas de solution - si a=0, cette équation à une solution unique : 0 - si a 0, cette équations admet deux solutions : a et a Premier degré à deux inconnues exemple : { ax by=c dx ey =f résolution : par combinaison, par substitution ou graphiquement. 1.4.2 Inéquations Premier degré à une inconnue Exemple : 2x 3 0 Résolution : on fait la même opération des deux côtés, cela ne change pas l'inégalité sauf si on divise ou si on multiplie par un nombre négatif ; dans ce cas l'inégalité change de sens. On représente les solutions d une inéquation à l aide d une demi-droite. Si on passe à l'inverse, cela dépend des signes initiaux des nombres : Si les deux nombres sont de signe opposé, le sens de l'inégalité est conservé. Si les deux nombres sont de même signe, le sens de l'inégalité est inversé. 2 Analyse 2.1 Généralités sur les fonctions A tout point M d une droite graduée, on peut faire correspondre un unique nombre x appelé abscisse du point M. Lorsque M décrit la droite graduée, x décrit l ensemble des nombres réels. L ensemble des nombres réels contient tous les nombres que vous connaissez comme par exemple 1 ; 2 ; 0,7 ; 5/3, (2) Et à chaque nombre que vous connaissez correspond un unique point de la droite graduée. Résumé de cours de mathématiques 2/6
L'ensemble des nombres réels est noté R. Remarque : N Z ID Q R Les nombres réels qui ne sont pas dans Q sont les irrationnels. L intervalle ouvert ] 2 ; 3 [ est l ensemble des nombres strictement compris entre -2 et 3. L intervalle fermé [ -2 ; 3] est l ensemble des nombres compris entre -2 et 3. L intervalle ouvert ] ; 3 [ est l ensemble des nombres strictement inférieurs à 3. L intervalle ouvert ] 3 ; + [ est l ensemble des nombres strictement supérieurs à 3. L intervalle fermé ] ; 3 ] est l ensemble des nombres inférieurs à 3. L intervalle fermé [ 3 ; + [ est l ensemble des nombres supérieurs à 3. Le symbole se lit «moins l infini». Le symbole + se lit «plus l infini». On note la réunion de deux intervalles de la façon suivante : D = ] ; 3 [ ] 3 ; + [. Le symbole se lit «union». D est un intervalle ou une réunion d'intervalles de R. Définir une fonction f sur D, c'est associer à chaque réel x de D un unique réel noté f(x). Le réel x est appelé la variable. On note f:x --> f(x) et on dit fonction f qui à x associe f(x) Si a est un réel et si f(a)=b, alors b, ou f(a) est l'image de a par f et a est un antécédent de b par f. Pour déterminer un ou des antécédents, on résout une équation. Un nombre peut ne pas avoir d antécédent par une fonction, en avoir un seul, ou avoir plusieurs antécédents. Dans le plan muni d'un repère O ; i, j, la courbe représentative C de la fonction f définie sur D est l'ensemble des points M de coordonnées (x ; y), avec x un élément de D et y l'image de x par f soit y=f (x) On dit que la courbe C a pour équation y=f (x). Une fonction peut être définie par : - une formule littérale, - sa courbe représentative - un tableau de valeurs 2.2 Fonctions usuelles Une fonction affine est une fonction f définie sur R par : f x =ax b, où a et b sont des nombres réels. - a est le coefficient directeur - b est l'ordonnée à l'origine - sa représentation graphique est une droite qui passe par les points (0,b) et (1,b+a) - si b=0, alors on dit que la fonction f est linéaire. Dans ce cas, la courbe passe par le point O et par A(1,a) f (x 2 ) f (x 1 )=a(x 2 x 1 ) 3 Géométrie plane 3.1 Angles inscrits et polygones réguliers Deux points distincts A et B d'un cercle définissent deux arcs de cercle. Dans un cercle, un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle. Résumé de cours de mathématiques 3/6
Dans un cercle, un angle inscrit est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont les côtés coupent ce cercle. Si, dans un cercle, un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc, alors la mesure de l'angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l'angle au centre. Si, dans un cercle, deux angles inscrits interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure. Si la corde de l'angle inscrit est un diamètre du cercle, alors le triangle rectangle. Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés ont la même longueur et dont tous les angles intérieurs ont la même mesure. Tout polygone régulier est inscriptible dans un cercle. Le centre de ce cercle est appelé centre du polygone régulier Soient A et B deux sommets constitutifs d'un polygone régulier à n côtés et de centre O. Chaque angle au centre du polygone régulier à une mesure égale à 360 n 3.2 Théorème de Thalès Soient d et d' deux droites sécantes en A Soient B et M deux points de d Soient C et N deux point de d' Si les droites d et d' sont parallèles alors AM AB = AN AC = MN BC La réciproque est vraie et permet de démontrer que deux droites sont parallèles. 3.3 Trigonométrie sin(^abc)= AB côté opposé = AC hypoténuse tan (^ABC)= AC côté opposé = AB côté adjacent Formules : sin (^ABC) tan (^ABC)= cos(^abc) sin 2 (^ABC )+ cos 2 (^ABC)=1 4 Géométrie dans l'espace 4.1 Les solides Section d un pavé Résumé de cours de mathématiques 4/6
Section d un cylindre La section d un cylindre par un plan parallèle à la base du cylindre est un cercle de même rayon que la base du cylindre. La section d un cylindre par un plan parallèle à l axe du cylindre est un rectangle dont une des dimensions est égale à la hauteur du cylindre. Section d une pyramide La section d une pyramide par un plan parallèle à la base est un polygone de même forme que la base, qui est une réduction du polygone constituant la base de la pyramide. Ses côtés sont parallèles à ceux de la base. Section d un cône La section d un cône de révolution par un plan parallèle à la base est une réduction de la base. Les centres des deux cercles sont alignés. 4.2 Sphère et boule La sphère de centre O et de rayon r est constituée de tous les points situés à la distance du point O. Exemple: une bulle de savon. L'aire d'une sphère de rayon r est donnée par la formule : 4 r 2 La boule de centre O et de rayon est constituée de tous les points de l espace situés à une distance inférieure ou égale à du point O. La boule est donc constituée de la sphère et de son intérieur. Exemple : une boule de glace. 4 r3 Le volume d'une boule de rayon r est donné par la formule : 3 L'intersection d'une sphère avec un plan est un cercle. Le centre de ce cercle est sur la droite passant par le centre de la sphère est perpendiculaire au plan. Résumé de cours de mathématiques 5/6
5 Statistiques et probabilités 5.1 Statistiques L'étendue d'une série statistique est la différence entre les valeurs extrêmes du caractère. Le mode d'une série statistique est la valeur du caractère ayant l'effectif le plus grand. Une médiane d'une série statistique est un nombre tel que : 50 % au moins des individus ont une valeur du caractère inférieure ou égale à ce nombre et 50 % au moins des individus ont une valeur supérieure ou égale à ce nombre. Le premier quartile Q 1 est la plus petite valeur du caractère telle qu'au moins 25% des termes de la série aient une valeur qui lui soit inférieure ou égale. Le troisième quartile Q 3 est la plus petite valeur du caractère telle qu'au moins 75% des termes de la série aient une valeur qui lui soit inférieure ou égale. L'écart inter-quartile est Q 3 Q 1 5.2 Probabilités Un phénomène dont on ne peut pas prévoir de façon certaine le résultat, s'appelle une expérience aléatoire. Les résultats d'une expérience aléatoire sont aussi appelés éventualités ou issues. Un événement est un ensemble d éventualités. Un événement est réalisé lorsqu'une des éventualités qui le composent est réalisée. Une éventualité est un événement élémentaire. Quand une expérience aléatoire est répétée un grand nombre de fois, la fréquence d'un événement se rapproche d'une valeur particulière : la probabilité de cet événement. C'est un nombre compris entre 0 et 1. Exemple : dans un lancer de pièce, la probabilité de faire «pile» est 1 2 Deux événements A et B sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire en même temps : A B= Quand deux événements sont incompatibles, la probabilité que l'un ou l'autre se produise est égale à la somme des probabilités de ces deux événements. Quand les issues d'une expérience aléatoire ont toutes la même probabilité nombre d ' issues de l ' événement (équiprobabilité), alors la probabilité vaut : nombre total d ' issues possibles L'événement contraire de A ( A ) est celui qui se réalise lorsque A ne se réalise pas. P A =1 P A Quand on réalise deux expériences, on trace un arbre des probabilités, la probabilité que deux événements successifs se soient produits est égale au produit de leurs deux probabilités. Résumé de cours de mathématiques 6/6