Chpitre 3 Clcul Itérl Cours de mthémtiques de BCPST Première ée.
Tble des mtières
Chpitre 3: Clcul Itérl Itértio sur u semet Ds tout ce chpitre, I désier u itervlle de réels cotet otmmet les deux élèmets disticts et b. J désier le semet [, b] si b et le semet [b, ] si b. Itértio sur u semet. Rppel pour les foctios cotiues Défiitio Soit f : J R ue foctio cotiue sur J. O ote F l ue des primitives de f sur J. O ppelle itérle de à b de l foctio f le réel F (b) F (). O le ote f(t)dt ou [F (t)] b (Rppelos que [h(t)] b désie, pour toute foctio umérique h défiie sur J, l qutité h(b) h()). Remrque :.. L vleur de 3. f(t)dt e déped ps de l primitive choisie de f. E effet, soiet F et G deux primitives sur J de f, o : F (b) F () = G(b) G(). f(t)dt e déped que de trois choses : f, et b. 4. Ds l écriture f(t)dt, t étt ue vrible muette, Ecrire, pour tout t de [, b], o ) Exemple : f(t)dt = f(x)dx = cos(t)dt existe cr cos est cotiue sur [ ; ], o : f(t)dt e déped ps. O : f(r)dr =... f(t)dt =... ps de ses! Ecrire cos(t)dt = [si(t)] = si( ) si() t f(t)dt ecore mois! Lycée Pierre-Gilles de Gees/ ENCPB 4/5
Chpitre 3: Clcul Itérl Itértio sur u semet. Iterpréttio rphique Ds cette prtie, et h désiet deux réels tels que < h. Commeços pr les foctios positives : Propositio Soit f : [; h] R ue foctio positive et cotiue. O muit le pl d u repère orthoormé (O, i, j ). O ote C f l courbe représettive de f ds ce repère. Pour tout t [; h], o ote A(t) l ire du domie S t défiie pr : S t = { M(u, v) R vec u t et v f(u) }. S t est doc le domie délimité pr C f, l xe des bscisses et les droites x = et x = t. Pour tout élémet t de [, h], o : A(t) = t f(x)dx. ) Exemple : Soiet et b deux réels. Soiet α et β deux réels. Soit l foctio f : x αx + β. O : [α x ] b f(x)dx = + βx ) = (α b + βb O retrouve l formule de l ire d u trpèze. Géérlisos : = (b ) (α f() + f(b) ) + β Lycée Pierre-Gilles de Gees/ ENCPB 3 4/5
Chpitre 3: Clcul Itérl Itértio sur u semet Propositio 3 Soit f : [; h] R ue foctio. O muit le pl d u repère orthoormé (O, i, j ). O ote C f l courbe représettive de f ds ce repère. O pose :.. f + : { [; h] R x mx (f(x), ) et f : { [; h] R x mx ( f(x), ) f + (t)dt est doc l somme des ires des domies u-dessus de l xe des bscisses délimités pr C f, l xe des bscisses et les droites x = et x = h. f (t)dt est doc l somme des ires des domies e-dessous de l xe des bscisses délimités pr C f, l xe des bscisses et les droites x = et x = h. 3. Comme f = f + f, o : f(t)dt = f + (t)dt f (t)dt f(t)dt est doc l différece etre l somme des ires des domies délimités pr C f et l xe des bscisses qui sot u-dessus de l xe des bscisses et l somme de ceux délimités pr C f et l xe des bscisses qui sot e-dessous de l xe des bscisses. f(t)dt représete doc l ire lébrique du domie délimité pr C f, l xe des bscisses et les droites x = et x = h. ) Exercice : Clculer l ire du pl, mui d u repère orthoormé (O, i, j ),délimité pr les droites d équtios x = 4 et x = 5 et les courbes représettives des foctios f : x x x et : x x..3 Cs des foctios cotiues pr morceux.3. Cs éérl Défiitio 4 Soiet et h deux réels tels que < h. Soit f ue foctio umérique défiie sur [, h]. O dit que f est cotiue pr morceux sur [, h] si les deux coditios suivtes sot remplies :. f est cotiue e tout poit de ], h [ suf e u ombre fii de poit e lesquels f posséde tout de même des limites fiies à uche et à droite.. f est cotiue à droite e et à uche e h. Lycée Pierre-Gilles de Gees/ ENCPB 4 4/5
Chpitre 3: Clcul Itérl Itértio sur u semet ) Exemple :. Soit f ue foctio cotiue. f est e prticulier ue foctio cotiue pr morceux.. Soit f : x E(x). f est ue foctio cotiue pr morceux sur tout semet de R. 3. Soit f ue foctio dot l courbe représettive est : (dessi clssique à fire!) f est ue foctio cotiue pr morceux. R R 4. Soit f : x x si x >. f est ps ue foctio cotiue pr morceux. si x Défiitio 5 Soiet et h deux réels tels que < h. Soit f ue foctio umérique à cotiue pr morceux sur [, h]. O ote,, ( vec N ) ses poits de discotiuités sur ], h[. O suppose que < < et o pose = et + = h. Pour tout k de,, o ppelle f k l foctio suivte défiie sur [ k, k+ ] : lim f(x) si x = k x + k f k : x f(x) si x ] k, k+ [ lim f(x) si x = k+ x k+ Le réel k= ( k+ k f k (t)dt f(t)dt. O doc : L qutité h ) est ppelé itérle de à h de l foctio f et est oté f(t)dt = k= ( k+ f(t)dt est défiie comme étt k ) f k (t)dt. f(t)dt. ) Exemple : Soit f l foctio suivte défiie sur [ 3; 5] pr : x si x [ 3; [ 8563 si x = f : x si(x) si x ]; 4[ x 3 si x [4; 5] Lycée Pierre-Gilles de Gees/ ENCPB 5 4/5
Chpitre 3: Clcul Itérl Itértio sur u semet 5 3 f(t)dt existe cr f est cotiue pr morceux sur [ 3; 5]. O : 5 3 f(t)dt = 3 ] [ t = tdt + 3 4 si(t)dt + 5 + [ cos(t)] 4 + [ t 4 4 ] 5 4 t 3 dt = ( 3) + cos() cos(4) + 54 4 44 4 = 353 4 4.3. Cs prticulier : les foctios e esclier Défiitio 6 Soiet et h deux réels tels que < h. O dit que f, ue foctio umérique défiie sur [, h], est ue foctio e esclier sur [, h] s il existe, u etier turel o ul,,,, élémets de ], h [ tels que, e post = et + = b, o it les trois coditios suivtes vérifiées :. < <. ([ k, k+ ]) = [, h] k= 3. Pour tout k de,, f ]k, k+ [ est costte utremet dit si, pour tout k de,, il existe λ k telle que pour tout x ] k, k+ [, f(x) = λ k. ) Exemple : 4 si x [ 3; [ Voici ue foctio e esclier : f : x 3 si x = ou 5. 83 si x ]; 5[ Voici so llure : Lycée Pierre-Gilles de Gees/ ENCPB 6 4/5
Chpitre 3: Clcul Itérl Itértio sur u semet Propositio 7 O utilise les ottios précédetes. O suppose qu il existe, pour tout k de,, λ k telle que pour tout x ] k, k+ [, f(x) = λ k. f(t)dt existe lors et vut ( k+ k ) λ k. k= Remrque : O utilise les ottios de l précédete défiitio. bie rphiquemet. bscisses et les droites x = et x = h et f(t)dt = ( k+ k ) λ k se compred très f(t)dt représete l ire lébrique du domie délimité pr C f, l xe des k= ( k+ k ) λ k est l somme, pour k de,, des ires k= lébriques des rectles délimités pr les droites x = k, x = k+, l xe des bscisses et l droite d équtio y = k. Voici u exemple de l représettio rphique d ue itérle d ue foctio e esclier : Lycée Pierre-Gilles de Gees/ ENCPB 7 4/5
Chpitre 3: Clcul Itérl Propriétés de l itérle.4 Cs des foctios à vrible réelle et à vleur ds C. Défiitio 8 Soit f : J C ue foctio. Il existe deux foctios f : J R et f : J R telle que : Pour tout x de J, o it : f(x) = f (x) + if (x). Si f et f sot cotiues sur J lors o ppelle itérle de à b de f le complexe suivt : f(t)dt = f (t)dt + i f (t)dt. ) Exemple : Soit m u réel o ul. O [ exp (imt) exp (imt) dt = im ] b. Propriétés de l itérle. Itérle et bores Propositio 9 Soit f : J R ue foctio. O suppose que f est cotiue ou cotiue pr morceux sur J, o lors :. f(t)dt =.. f(t)dt = b f(t)dt.. Reltio de Chsles Propositio Reltio de Chsles Soit f : J R ue foctio. O suppose que f est cotiue ou cotiue pr morceux sur J. Soiet r, u et y trois élémets de J. O : u r f(t)dt = y r f(t)dt + u y f(t)dt. Lycée Pierre-Gilles de Gees/ ENCPB 8 4/5
Chpitre 3: Clcul Itérl Propriétés de l itérle Remrque : O utilise les ottios de l précédete défiitio. O ps forcémet r < y < u. Remrque : L reltio de Chsles est évidete si o iterpréte l itérle e terme d ire lébrique. Sur otre dessi, h(t)dt est l somme de A et de A, c est -à-dire de c h(t)dt et de c h(t)dt. ) Exercice : Soit f l foctio suivte défiie sur [ 3; 5] pr : x si x [ 3; [ f : x 3x si x [; 3] 83 si x ]3; 5] Expliciter ϕ l foctio défiie sur [ 3; 5] pr : ϕ : x x 3 f(t)dt..3 Liérité de l itértio Propositio Liérité de l itértio Soiet f : J R et : J R deux foctios. Soiet v et u deux réels. O suppose que f et sot cotiues ou cotiues pr morceux sur J, o : (vf(t) + u(t)) dt = v f(t)dt + u (t)dt. Lycée Pierre-Gilles de Gees/ ENCPB 9 4/5
Chpitre 3: Clcul Itérl Propriétés de l itérle Remrque : De ouveu, l liérité de l itértio est évidete si o iterpréte l itérle e terme d ire lébrique. Mise e rde : Si f et sot cotiues ou cotiues pr morceux sur J, l qutité (t)f(t)dt est priori i ( b ) ( ) (t)dt f(t)dt i (t) f(t)dt (qui d illeurs ps de ses si est ps costte). Mise e rde : Ne ps cofodre liérité de l itértio et reltio de Chsles. Ds l reltio de Chsles, il y ue seule foctio qu o itére sur deux domies d itértio joitif et ds l liérité de l itértio, il y deux foctios qu o itére sur u même domie d itértio..4 Croissce de l itértio Propositio Soiet et h deux réels tels que h. Soiet f : [, h] R et f : [, h] R deux foctios. O suppose que f et f sot cotiues ou cotiues pr morceux sur [, h].. Si o f (t), pour tout élémet t de [, h], suf évetuellemet e u ombre fiis de poits, lors o peut ffirmer que f (t)dt (Positivité de l itértio).. Si o f (t) f (t) pour tout élémet t de [, h], suf évetuellemet e u ombre fiis de poits, lors o peut ffirmer que : l itértio). f (t)dt f (t)dt (Croissce de Propositio 3 Soiet et h deux réels tels que < h. Soiet f : [, h] R et f : [, h] R deux foctios. O suppose que f et f sot cotiues sur [, h].. Si pour tout t [, h], f (t) et si f, o lors. Si pour tout t [, h], f (t) et si (Positivité de l itértio). 3. Si pour tout t [, h], f (t) f (t) et si f f, o lors (Croissce de l itértio). f (t)dt >. f (t)dt =, f est lors l foctio ulle f (t)dt > f (t)dt Lycée Pierre-Gilles de Gees/ ENCPB 4/5
Chpitre 3: Clcul Itérl Propriétés de l itérle Mise e rde : Ne ps oublier d hypothèse ds cette précédete propositio. O cos. O π f(t)dt = vec f fotio o ulle et positive suivte : [, ] { R f : si x x 8563 si x = cos(t)dt = et pourtt Mise e rde : O peut doc itérer les iélités si les bores sot ds le bo ses. Attetio, il e fut ps oublier d iverser ds le cs cotrire. Si pour tout t [, h], o : f (t) f (t) et que f et f sot cotiues sur [, h], o lors h f (t)dt h f (t)dt. Remrque : De ouveu, l croissce de l itértio est évidete si o se rppelle de l défiitio de l itérle comme ire lébrique. Sur otre dessi, (t)dt est d illeurs l ire de l prtie risée. h(t)dt est supérieure à (t)dt. L différece h(t)dt ) Exercice 3 : Pour tout N, o pose : I = π si (t)dt. Quelle est l ture de l suite (I ) N? Lycée Pierre-Gilles de Gees/ ENCPB 4/5
Chpitre 3: Clcul Itérl Propriétés de l itérle.5 Iélité triulire et iélité de l moyee Propositio 4 Iélité triulire Soiet et h deux réels tels que h. Soit f : [, h] R ue foctio. O suppose que f est cotiue ou cotiue pr morceux sur [, h], o lors l iélité suivte : f(t)dt f(t) dt. Si f est ue foctio umérique cotiue ou cotiue pr morceux sur J, o lors l iélité suivte : b b f(t)dt f(t) dt. ) Exercice 4 : Pour tout N, o pose : I = cos(t)t dt. Evluer, si elle existe, lim I. + Remrque : ( ) Soiet f des foctios cotiues sur u itervlle J. A priori, les qutités lim f (t)dt et + ( ) J lim f (t) dt e sot ps les mêmes. U cotre-exemple est fouri pr les pplictios f (où J + est u etier turel o ul) suivtes : [ ( x) si x, ] f : x [ ] si x, O ( ) lim f (t)dt = et + ( ) lim f (t) dt =. + Défiitio 5 Soiet et h deux réels tels que < h. Soit f : [, h] R ue foctio. O suppose que f est cotiue ou cotiue pr morceux sur [, h], o ppelle lors vleur moyee de f sur [, h] le réel f(t)dt. h Lycée Pierre-Gilles de Gees/ ENCPB 4/5
Chpitre 3: Clcul Itérl Propriétés de l itérle ) Exemple : L vleur moyee de l prtie etière sur [, ] est ( ) + ( ) soit. Remrque : Utilisos les ottios de l précédete défiitio. L vleur moyee de f sur [, h] est l vleur que doit predre w ue foctio costte sur [, h] pour que l o it w(t)dt = f(t)dt. Propositio 6 Iélité de l moyee Soiet et h deux réels tels que < h. Soit f : [, h] R ue foctio. O suppose que f est cotiue sur [, h]. Appelos m le miimum de f sur [, h] et M so mximum. O lors : m(h ) f(t)dt M(h ). Remrque : O utilise les ottios de l précédete défiitio. L iélité de l moyee dit tout simplemet que si f est toujours comprise etre m et M lors s vleur moyee ussi. Ceci est de ouveu évidet rphiquemet. Sur otre dessi, ABCD et iférieure à l ire du rectle ABEF. (t)dt est l ire risée. Elle est supérieure à l ire du rectle Lycée Pierre-Gilles de Gees/ ENCPB 3 4/5
Chpitre 3: Clcul Itérl Techique de clcul 3 Techique de clcul 3. Itértios pr prties Théorème 7 Soiet u : J R et v : J R deux foctios de clsse C sur J lors : u (t)v(t)dt = [u(t)v(t)] b u(t)v (t)dt. Remrque : Rèle du LPET... Remrque : L itértios pr prties est itéresste si le clcul de u(t)v (t)dt est plus simple que celui de u (t)v(t)dt. A priori, le psse de v à v simplifie les choses mis celui de u à u le complexifie. Il est doc ps évidet qu ue itértios pr prties foctioet. Remrque : Notos U ue primitive de u et V ue primitive de v. Qud o veut évluer itértio pr prties, il fut peser à comprer les trois qutités suivtes : u(t)v(t)dt pr u(t)v(t)dt, U(t)v (t)dt et V (t)u (t)dt. ) Exercice 5 : Clculer, à l ide d itértios pr prties, les qutités suivtes : π t si(t)dt, l(t)dt et t rct(t)dt. 3. Chemet de vrible Lycée Pierre-Gilles de Gees/ ENCPB 4 4/5
Chpitre 3: Clcul Itérl Techique de clcul Propositio 8 Soiet α et β deux réels. K désier le semet [α, β] si α β et le semet [β, α] si β α. Soit f : J R et u : K R deux foctios. O suppose que f est cotiue ou cotiue pr morceux sur u(k), u est de clsse C sur K. O lors : u(β) u(α) f(x)dx et β α f(u(t))u (t)dt existet et u(β) f(x)dx = β u(α) α f(u(t))u (t)dt. O dit qu o effectue le chemet de vrible x = u(t) et que celui-ci est licite. Mise e rde : O besoi de f cotiue ou cotiue pr morceux sur u(k) et ps forcémet sur [u(α), u(β)] ou sur [u(β), u(α)] (u est ps écessiremet mootoe). Remrque : Pour clculer vrible : (x)dx, vec : J R, o peut utiliser de deux mières le chemet de. Elité de uche à droite : O veut poser x = u(t). Il fut lors pouvoir écrire et b sous l forme u(α) et u(β) vec u soit de clsse C sur K (e utilist les ottios de l précédete propositio) et cotiue ou cotiue pr morceux sur u(k).. Elité de droite à uche : O veut iterpréter le bloc u(t) comme étt ue vrible x. Il fut lors que u soit de clsse C sur K (et ps juste u(α) et u(β) existet) et trouver ue foctio f cotiue ou cotiue pr morceux sur u(k) tel que pour tout t J, o it : (t) = f(u(t))u (t). ) Exemple :. O souhite clculer x dx (Itérle que l o ppeller J). O v fire u chemet de vrible e utilist l élité de uche à droite. Sous réserve u( π ) d existece, o : J = x dx vec u : t si(t). Or u est de clsse C sur [ ], π, u() x x est cotiue (pr compositio) sur u ([, π ]). Lycée Pierre-Gilles de Gees/ ENCPB 5 4/5
Chpitre 3: Clcul Itérl Techique de clcul Le chemet de vrible x = si(t) est doc licite, ceci prouve l existece de J et : π J = si (t) cos(t)dt = = = π π = π 4. cos (t)dt + cos(t) dt [ t + si(t) 4 ] π. O souhite clculer O pose J = e t + e t + e e t de droite à uche. Soiet f : x J = dt (Itérle que l o ppeller J). + e t + e4t dt. O v fire u chemet de vrible e utilist l élité 4t ( + x + x ) et u : t et. O, sous réserve d existece, f(u(t))u (t)dt. Or u est de clsse C sur [, ] et f est cotiue sur u([, ]) (pr quotiet et cr x + x + x 4 e s ule ps sur R + et u([, ]) R + ). Le chemet de vrible x = e t est doc licite, J existe et o : J = = = = e e e f(u(t))u (t)dt f(x)dx ( + x + x ) dt ). ( + e Mise e rde : Bie peser à vérifier toutes ces coditios, ue belle bêtise vec ce chemet de vrible hâtif : Posos I =. Pr positivité de l itértio, I est strictemet positive. Pr le chemet π dx + cos (x) de vrible t = t(x), o : t(π) dt I = t() + t + + t = = t(π) t() =. dt + t dt + + t Lycée Pierre-Gilles de Gees/ ENCPB 6 4/5
Chpitre 3: Clcul Itérl Techique de clcul Résultt fux cr le chemet de vrible t = t(x) sur [, π] est ps utorisée (t() et t(π) existet mis t est ps de clsse C sur [, π])! ) Exercice 6 : Clculer π Propositio 9 si(t) + cos (t) dt. Soit r u réel strictemet positif. Soit f : [ r, r] R ue foctio. O suppose que f est cotiue ou cotiue pr morceux sur [ r, r]. r r. Si f est pire sur [ r, r] lors f(t)dt = f(t)dt.. Si f est impire sur [ r, r] lors r r r f(t)dt =. Propositio Soit T u réel strictemet positif. Soit f : R R ue foctio. O suppose que f est cotiue et T -périodique, o : +T f(t)dt = T +T f(t)dt et pour tout etier, f(t)dt = +T f(t)dt. Remrque : De ouveu, ces deux propositios sot évidetes si o iterpréte l itérle e terme d ire lébrique. ) Exercice 7 : Clculer π rct(si(t))dt. Lycée Pierre-Gilles de Gees/ ENCPB 7 4/5
Chpitre 3: Clcul Itérl Techique de clcul 3.3 Primitives de frctios rtioelles Propositio Soit f ue foctio umérique cotiue sur u itervlle K de R. Soit r u réel o ul. Si pour tout élémet x de K, rx + b pprtiet à K, u itervlle de R, lors ue F (rx + b) primitive de x f(rx + b) est x e ott F ue primitive de f. O e r déduit les résultts suivts : Ue primitive de x sur tout itervlle de réels e cotet ps est : (x ) x l ( x ) Si est u etier différet de, ue primitive de x sur tout itervlle de (x ) réels e cotet ps est x ( )(x ). Ue primitive de x x + r est x ( x r rct r ). Propositio Soit (p, q) R. O pose = p 4q. O ote, si >, x et x les rcies réelles de X + px + q et, si =, x l rcie double de X + px + q. Soit x u réel, sous réserve d existece, o : ( vec β et α réels à détermier) si < (x + β) + α ( x + px + q = α ) ( vec α réel à détermier) si > x x x x si = (x x ) Ue primitive de f : x est doc (e utilist les ottios précédetes) : x + px + q x ( ) x + β α rct si <. C est ue primitive sur R de f. ( α x α l x x ) si >. C est ue primitive de f sur tout itervlle e cotet x x i x i x. x si =. C est ue primitive de f sur tout itervlle e cotet ps x x x. Lycée Pierre-Gilles de Gees/ ENCPB 8 4/5
Chpitre 3: Clcul Itérl Techique de clcul Propositio 3 Soit (, b, c, p, q) R 5. Sous réserve d existece, o pour tout réel x : b x + b x + px + q = x + p x + px + q + p x + px + q O trouve ue primitive de l foctio x b p x + px + q et o sit que x l ( x + px + q ) est ue primitive de x vec l précédete propositio x + p x + px + q. ) Exercice 8 : O pose I = x( + x + x ) dx.. Trouver (, b, c, d, e) R 5 tel que pour tout réel o ul x, o it :. Clculer I. 3.4 Rèles de Bioche Propositio 4 x( + x + x ) = x + bx + c + x + x. Soit F ue frtio rtioelle de deux vribles et α u réel o ul. Les primitives de x F (cos(αx), si(αx)) peuvet s obteir pr chemet de vrible. O pose w(x) = F (cos(αx), si(αx))dx l élémet différetiel. Si w(x) est ivrit pr l trsformtio x x, u chemet de vrible dpté est t = cos x Si w(x) est ivrit pr l trsformtio x π x, u chemet de vrible dpté est t = si x Si w(x) est ivrit pr l trsformtio x π + x, u chemet de vrible dpté est t = t x ( x ) Sio, o pose t = t. ) Exercice 9 : Clculer les itérles suivtes : Lycée Pierre-Gilles de Gees/ ENCPB 9 4/5
Chpitre 3: Clcul Itérl Sommes de Riem. π 4 si(x) dx. + cos(x) π 4 si 4 (x) dx 3. cos (x) π si (x) cos 3 (x)dx Remrque : Ds le cs prticulier du clcul de x si (x) cos p (x) et éviter le chemet de vrible u = t(x). si (x) cos p (x)dx vec et p etiers pirs, o préfère liériser 4 Sommes de Riem Défiitio 5 Soiet et h deux réels tels que < h. Soit f ue foctio umérique et cotiue sur [, h]. Soit u etier turel o ul. O ppelle sommme de Riem de f sur [, h] les deux réels suivts : S, (f) = h f k= ( + k ( )) h et S, (f) = h Ces qutités sot des sommes d ires de rectles ssociés à f. f k= ( + k ( )) h Propositio 6 Soiet et h deux réels tels que < h. Soit f ue foctio umérique et défiie sur [, h]. Si f est cotiue sur [, h] lors les sommmes de Riem de f sur [, h] coveret et o : lim S,(f) = lim S,(f) = + + f(t)dt U cs très clssique est le suivt : ) Corollire 7 : Soit f : [, ] R ue foctio. Si f est cotiue sur [, ], lors les suite ( et f k= ( ) ) k N coveret et coveret vers f(t)dt. ( f k= ( ) ) k N Remrque : Cette derière propositio se compred très bie rphiquemet. D utre prt, elle motre qu u boe pproximtio de f(t)dt est doé pr les sommmes de Riem de f. Lycée Pierre-Gilles de Gees/ ENCPB 4/5
Chpitre 3: Clcul Itérl Sommes de Riem ( k ) Preos f ue foctio positive défiie sur [, ]. est l lreur des rectles et f l ( k huteur du k-ième rectle. Aisi f est l somme des ires des rectles représetés. O ) k= imie fcilemet qu e umett le ombre de rectles (i.e. ), o s pproche de l ire sous l ( ) k courbe. O peut fire l même remrque pour f. k= ) Exercice : ( Motrer que k= + k k + k ) N covere et clculer s limite. Lycée Pierre-Gilles de Gees/ ENCPB 4/5