Electrcté II : égmes snusoïdaux et transtores and transent crcut analyss Fasccule d'exercces de Travaux Drgés 5 cours / Séances de TD / 5 séances de TP égmes snusoïdaux Nombre de séances de TD prévues : ontrôle écrt :, durée h00 (programme : Electrcté et électrcté ) Prérequs pour ème nnée. Important : a totalté des exercces ne pourra pas être traté dans le temps mpart : les chox pédagogques seront fats par l ensegnant. es étudants sont fortements nctés à chercher par alleurs les applcatons non couvertes en séance de ce caher, ou encore sur d autres sources, l essentel étant qu un réel effort de recherche at été fourn! Des correctons ou des pstes de recherche seront alors proposés selon les cas à l apprécaton de l ensegnant. Séances - 3 I Exercces sur la notaton complexe ) Ecrre sous la forme +j les nombres :.exp(jπ) et.exp(jπ/4). ) Donner sous la forme exp(jϕ) les nombres : 3, -4, j, -j, 3+4j, -4+3j, -3-4j ans que les expressons suvantes : 3 + j 4 3 j, 3 j + j 3) Donner les ampltudes complexes assocées aux fonctons suvantes : a. cos(ω, a. sn(ω, b.sn(ωt + π/3), b.cos(ωt - π/4) 4) Donner les fonctons du temps assocées aux ampltudes complexes suvantes (ω=00 rad.s -, le module est π 5π j j 3 6 en ampères ou en volts) : I = 0,4. e ; U = 3,5. e 5) Grâce au formalsme complexe, smplfer les expressons temporelles de : ( = I0cos(ω + I0 sn(ω ( = I0cos(ω + I0sn(ωt+4π/3) + I0cos(ωt+π/6) II - Modèles équvalents ) e schéma réel d'une capacté mparfate est représenté sur la fg. a. Il peut être commode de remplacer ces deux éléments et en parallèle >> ω par deux éléments ' et ' en sére (fg. b) tels que l'mpédance entre les ponts et sot la même dans les deux schémas. a alculer ' et ' en foncton de,, et ω. Montrer que pusque >>, ' =. ω ) De même, le schéma réel d'une self mparfate est représenté sur la fg. a. (<<ω). Il peut être commode de le remplacer par le schéma de la fg. b. alculer ' et ' en foncton de, et ω pour que l'mpédance entre et sot la même dans les deux schémas. b
a b III eprse d un crcut vu en contnu. es méthodes de résoluton sont les mêmes en contnu qu en snusoïdal. Un générateur lnéare de tenson e(=e0cos(ω ayant une mpédance G E nterne G est raccordé à un dvseur de tenson consttué par mpédances dentques. Donner l'expresson de la tenson complexe U pus celle de son ampltude dans le cas où l'mpédance nterne du générateur est une bobne déale d'nductance et les mpédances des condensateurs déaux de capacté. Exste-t-l une fréquence pour laquelle l'ampltude de cette tenson peut dverger? Explquer. Séance 4 IV Etude de l mpédance en foncton de la pulsaton utlsée (Modèle du Quartz) ) Donner l'mpédance complexe du crcut représenté sur la fgure en foncton de, ' et ) emplacer, ' et en foncton de,, et ω et étuder les varatons de l'mpédance en foncton de la pulsaton ω (module et phase). Tracer (approxmatvemen (ω). N : Pour alléger l écrture des expressons, on pourra se servr de ω = 0 ans que ω ω ω et ω 0 ω V cos 0 ω = + ' et s possble les varables sans dmenson 3) e crcut est almenté par une tenson snusoïdale v = t. alculer les ampltudes complexes des tros courants : I, I ', I". Fare une étude du module et de la phase de chaque courant en foncton de ω et tracer (approxmatvemen les graphes I (ω), I (ω) et I(ω). omparer les ampltudes de ' et " pour ω = ω. Séances 5-6 V - Etude d un crcut quelconque e crcut représenté sur la fgure c-dessous est consttué d éléments déaux. Il est almenté par un GF avec v(=ecos(ω. ) On se place à ω tel que l mpédance du condensateur vérfe la relaton ω =. Ecrre les los du crcut en utlsant la représentaton complexe
u( ( et détermner explctement ( en foncton de E, et ω. ) Détermnez la pussance moyenne fourne par le générateur au crcut. 3) Détermner, toujours avec ω = la tenson u( aux bornes de la résstance., l expresson de 4) Donner l expresson de la pussance moyenne consommée par. omparer au ). v(=ecos(ω Entraînement : on pourra refare cet exercce en remplaçant le condensateur de drote par une nductance pure dont l mpédance vérfe la relaton ω =. VI Utlsaton de la constructon de Fresnel : ompensateur Sot le crcut suvant : On admet (la démonstraton est possble s on y met le temps) que l mpédance complexe est réelle et vaut quel que sot ω s la relaton = est vérfée, ce que l on supposera pour la sute. ) On soumet cette porton de crcut à une tenson snusoïdale v = V cos t. alculer modules et arguments ( Φ) des courants ) alculer le produt tgφ. I I, I,. tgφ, en dédure le déphasage entre les courants ω et. Quelle relaton dot ler à la pulsaton ω pour que les courants et soent déphasés de rapport à la tenson v? Donner I et I lorsque cette condton est vérfée. π ± par 4 Un compensateur de Pedersen est en fat consttué par deux résstances égales ntercalées entre deux nductances et deux capactés, comme l'ndque la fgure, telles que / M N =. / α β M' N' De plus, la fréquence de la tenson snusoïdale almentant le crcut est telle que et soent déphasés π ± par rapport à v. 4 3) onstructon de Fresnel : eprésenter les courants I eti et la tenson V sur une constructon de Fresnel. respectvement de c
En dédure la représentaton des tensons aux bornes des bobnes, des résstances et des condensateurs. Un curseur se déplace sur chacune des résstances. Quelle dot être la poston de chacun d'eux pour que Séance 7 Vm vα vβ = cos( ωt + 4 π )? VII Pussance en régme sunusoïdal forcé ) méloraton du cos φ d'une nstallaton. Un récepteur placé entre et est almenté par une tenson effcace V mposée (vor fgure suvante) : V = + js e récepteur est caractérsé par une mpédance = + js et un facteur de pussance cosϕ. Exrpmer et S en foncton de et ϕ. Pour amélorer le facteur de pussance de cette nstallaton on place en dérvaton entre et un condensateur de capacté. On cherche la valeur à donner à pour avor cosϕ =, c.à.d obtenr la melleure utlsaton pour le réseau EDF. Pour cela on écrra par exemple que l admttance complexe équvalente du crcut est réelle. ) daptaton de l'mpédance d'utlsaton en pussance. Sot un générateur de f.é.m e = E m cos ωt et d'mpédance nterne ' = ' + js' e générateur débte dans un tronçon extéreur caractérsé par une mpédance = + js (vor fgure). générateur utlsaton omment chosr et S pour que la pussance actve dépensée dans l'mpédance sot maxmale? (On dt alors que l'on a adapté l'mpédance d'utlsaton à celle du générateur). Pour répondre à cette queston, calculer la valeur maxmale du courant (Imax) passant dans pus en dédute Pact. 3) daptateur d'mpédance en pussance. Un générateur de f.é.m e = Em cos ω t a une mpédance nterne qu se rédut à une résstance '. Il almente une mpédance d'utlsaton = + js mposée. Pour obtenr le maxmum de pussance dans l'mpédance équvalente entre ' et ' on ntercale entre le générateur et l'apparel d'utlsaton un "adaptateur" composé de deux mpédances et montées selon le schéma de la fgure c-dessous. es résstances de et sont néglgeables ; on désgne par S et S leurs réactances respectves. générateur Impédance d utlsaton
Trouver les valeurs optmales de S et S. (On posera x = S et y = S + S + S ). pplcaton numérque : ' = 0 Ω ; l'mpédance d'utlsaton est caractérsée par une résstance = Ω et une nductance de 0, H ; fréquence f = 50 Hz.
égmes transtores Séance 8 I - harge et décharge de condensateurs. On consdère un condensateur de capacté. On le charge sous une ddp V. On donne = 00 µ F, V = 000 Volts. n est un réél postf. V r ) alculer la charge Q de ce condensateur ans que l'énerge W emmagasnée dans ce condensateur. Fare l.n. ) On débranche le générateur. Un deuxème condensateur de capacté n., déchargé, est alors relé au premer par l'ntermédare d'une résstance r, le générateur ayant été préalablement débranché. a) lorsque les deux condensateurs ont attent leur état d'équlbre, quelle est la charge Q et Q de chacun d'eux en foncton de Q et n? b) Quelle est la d.d.p aux bornes de chaque condensateur? c) Quelle est l'énerge totale W' emmagasnée dans les condensateurs? a comparer à W et explquer. On consdère pour la sute que les condensateurs sont dentques (n=).. Etude du phénomène transtore. q r q a) Etablr l'équaton dfférentelle permettant de calculer à chaque nstant la charge q. b) Ecrre les condtons ntales et résoudre cette équaton pour en dédure à chaque nstant la valeur du courant traversant la résstance. c) Fare un calcul drect de l'énerge totale W" dsspée dans la résstance r. omparer avec le résultat de la queston.c. Mchael Faraday (78-867), scentfque anglas, a notamment découvert l nducton électromagnétque et a posé les fondements de l électrochme. est plutôt ben pour un fls de famlle modeste qu a arrêté ses études très tôt (l fut apprent à l âge de 4 ans)! Son attrance pour les ouvrages scentfques a perms à cet autoddacte la carrère qu on lu connaît. Séances 9-0 II pplcaton des relatons dans le crcut, : Mesure d une résstance élevée, ésstance de fute. Pour mesurer une résstance élevée, de pluseurs mégohms, on peut utlser la technque décrte c-après. On consdère que le voltmètre utlsé a une résstance nfne ; par contre la capacté n est pas déale. + U0 V 0 Pour charger le condensateur, on place l'nterrupteur dans la poston.lorsque le condensateur = 0 µf est chargé, le voltmètre électronque V ndque la tenson U o = 6,00 V.
On met alors l'nterrupteur en poston 0 : au bout du temps t = 0 s, le voltmètre V ndque la tenson U = 5,0 V. ) Modélser le condensateur mparfat comme une assocaton d un condensateur parfat de même capacté et d une résstance de fute f, afn que le comportement du modèle rende compte de l observaton précédente. En dédure lavaleur de cette résstance de fute f du condensateur On charge de nouveau le condensateur sous la tenson U0 (nterrupteur dans la poston ) pus on met brusquement l'nterrupteur dans la poston ; au bout du temps t 4,60 V. t = = 0 s, le voltmètre ndque la tenson ) Donner la nouvelle constante de temps du crcut et en dédure la résstance. Explquer pourquo le passage de l nterrupteur de la poston à dot être très rapde. 3) Dans la dernère expérence, détermner à quels nstants : la tenson à ses bornes est la moté de la tenson ntale? le condensateur est déchargé de la moté de son énerge totale? U = III éseau à deux malles Dans chacun des réseaux à deux malles représentés c-dessous, le condensateur est déchargé à l'nstant t = 0 où on ferme l'nterrupteur K. es éléments du crcut sont supposés déaux. r r K + K + E. Montage. On suppose > r, et on cherche l expresson de (. E ) Ecrre lttéralement les los de Krchhoff pour détermner les équatons dfférentelles auxquelles obéssent les courants ( et (. Détermner lttéralement les condtons ntales (t = 0+) nécessares sur ( et ses dérvées éventuellement. ésoudre numérquement ces équatons et donner (, ( pus (. ) Tracer le graphe ( et donner l'nstant t o où le courant ( débté par le générateur de tenson est maxmum. 3) alculer t o et max s = 0 mh, = 5 µf, r = 00 Ω, = 00 Ω et E = V.. Montage. On recherche c l évoluton de (. ) eprendre la queston précédente, pour (, ) ésoudre numérquement cette équaton pour = H, = 0 µf, r = 00 Ω, = 000 Ω, et E = 00V. 3) Donner le courant mnmal ( ) mn et la tenson maxmale U max aux bornes du condensateur.
Séance IV Problème (d'après sujet de contrôle) On almente le crcut suvant en fermant l nterrupteur K à t=0 par une source de tenson lnéare et contnue, de fém E 0 et de résstance nterne G. ( G K u( E 0 ) Détermner rapdement la valeur prse par l ntensté ( et par la tenson u( en régme permanent. Fare l.n. pour =70 mh =0nF =8,0 Ω E 0= V G=,0 Ω. ) En supposant ce régme établ, on remet le chronomètre à t =0 et on ouvre alors l nterrupteur K à t =0. Détermnez l équaton dfférentelle à laquelle obéït u(t ). 3) Détermnez lttéralement les condtons ntales sur u(t ) et sa dérvée. 4) ésoudre numérquement cette équaton dfférentelle pour les valeurs suvantes : =70 mh =0nF =8,0 Ω E 0=V G=,0 Ω 5) Donner l allure du graphe de u(t ), précser ses caractérstques. 6) Que vaut l énerge emmagasnée par le crcut à t =0? Fare l.n. nnexe : éponses de l exercce I (régmes snusoïdaux) ) - +0.j + j ) 3.exp(0) 4.exp(jπ).exp(jπ/).exp(-jπ/) 5.exp(jϕ) avec ϕ=38 86 5.exp(jϕ) avec ϕ=43 47 5.exp(jϕ) avec ϕ=33 47 0,7.exp(jϕ) avec ϕ=70 55,55.exp(jϕ) avec ϕ=-0 3 3) = a = a.exp(-jπ/) =b.exp(-jπ/6) =b.exp(-3jπ/4) 4) (=0,4 cos (00t - π/3) u(= 3,5 cos(00t- 5π/6) 5) I =I0 exp(0) + I0 exp(-jπ/) = I0 (-j) = I0 exp(-jπ/4) d où (= I0 cos(ωt-π/4) I ' =I0 exp(0) + I0 exp[j(-π/+4π/3)] + I0 exp(jπ/6) = I0 (+ exp(5jπ/6)+ exp(jπ/6))= I0 (+j) Sot (= I0 cos(ωt+π/4) nnexe : Formulare de mathématques pour l électrocnétque I Détermnants a c b d = ad bc (produt «en crox») a b c d e f = ae + bfg + cdh ceg bd fha a b c d e f g h g h ette méthode de calcul (règle de Sarrus) ne s applque qu aux détermnants 3x3.
II Equatons dfférentelles lnéares à second membres constants. er ordre : u &( + u( = avec et constantes. Equaton sans second membre ( + u( = 0 u& Equaton caractérstque (E) assocée r + = 0 d où r=- et u(=αexp(- Soluton partculère (SP) u(=constante= a soluton générale est u(=αexp(- + avec α constante à détermner en foncton d une condton ntale (généralement une valeur connue u(t=0+)). &&( & ème ordre : u + u( + u( = Equaton sans second membre u ( + u( + u( = 0 & Equaton caractérstque E : r + r + = 0 3 cas : * racnes réélles, r et r, u(=αexp(r + βexp(r * racne double r, u(=(α +βexp(r * racnes complexes conjuguées r, = a ± jb, u(= exp(a (αcos(b+ βsn(b) OU(au chox) u(= α exp(a cos(bt+ϕ) Soluton partculère (SP) u(=constante= & Soluton générale : u(= αexp(r + βexp(r+ ( er cas) u(=(α +βexp(r + ( ème cas) u(= α exp(a cos(bt+ϕ)+ (3 ème cas) ou u(= exp(a (αcos(b+ βsn(b)+ (3 ème cas) e couple de constantes (α,β) ou (α,ϕ) reste alors à détermner en foncton de condtons ntales qu seront en général des valeurs connues de u(t=0+) et u &(t = 0+ ) III Nombres complexes. ègles de calcul : = alors attenton : + et rg rg +rg + =., =. et rg= rg = /, = / et rg= rg +rg -rg = a + jb : rg = rctg(b/a) s a>0, π-rctg(-b/a) s a<0 (fare une fgure) jϕ = e : rg=ϕ emarque : rgument d un réel postf =0, d un réel négatf = π.
Pour s entraîner ) Equaton dfférentelle du premer ordre Sot l équaton dfférentelle sont des constantes postves). 3 u& ( + u( = E. Détermner lttéralement u( sachant que u(t=0+)=e (, E et ) Equaton dfférentelle du second ordre ésoudre numérquement l équaton dfférentelle 3 5 5 & & (V.s - ) u ( + 0 u( + 0 u( = 0 avec les condtons ntales u(t=0+)=0 V et u& ( t = 0+ ) =0 6 V.s - 3) Nombres complexes Soent = + jx, + jq( x ) x =, = x + x j Q 3. Détermner le module et l argument de ces tros nombres complexes (x est un réel postf et Q une constante postve).