TP T1 : CONDUCTION THERMIQUE : ETUDE DE LA PROPAGATION DE LA CHALEUR DANS DES BARRES METALLIQUES DETERMINATION D UNE CONDUCTIVITE THERMIQUE Capacités exigibles : Mettre e œuvre u dispositif de mesure de coductivité thermique, le protocole état doé. Le but de ce TP est de détermier expérimetalemet la coductivité thermique du cuivre. Pour cela, o opérera de la maière suivate : O s itéressera tout d abord à la propagatio de la chaleur e régime trasitoire das ue barre de cuivre, e égligeat les pertes thermiques latérales. Grâce à cette première approche, o détermiera ue valeur approximative de la coductivité thermique du cuivre. O s itéressera esuite à l étude de la barre de cuivre e régime permaet. O motrera l existece de pertes thermiques latérales. O s itéressera esuite à l étude d ue barre d acier e régime permaet. O évaluera alors quatitativemet les pertes thermiques latérales. O s itéressera efi à ouveau à la propagatio de la chaleur e régime trasitoire das la barre de cuivre, mais cette fois sas égliger les pertes thermiques latérales. Grâce à ce modèle plus fi, o détermiera avec ue meilleure précisio la coductivité thermique du cuivre. I) Présetatio de l expériece : 1) Descriptio de l expériece : O cosidère deux barres métalliques cylidriques, l ue e cuivre, l autre e acier. Ces deux barres sot etourées latéralemet par u isolat thermique. O doe : Le rayo des barres est R = 0,011 m. Matériau Coductivité thermique λ (W.m -1.K -1 ) Cuivre 389 Acier 54 Isolat 0,038 Das chacue de ces barres sot implatés, à itervalle régulier de 10 mm, 8 capteurs de température appelés C0, C1,, C7. La distace etre le capteur C0 et l extrémité droite de la barre est L = 0,846 m. A l extrémité gauche de chaque barre, u crayo chauffat permet la motée e température de celle-ci. O va chauffer et maiteir cette extrémité à 70 C. O relève régulièremet la température au iveau des différets capteurs.
A l extrémité droite : de la barre de cuivre : la barre est couplée thermiquemet à l extérieur grâce à u échageur costitué d u radiateur à ailettes et d u vetilateur extracteur de chaleur. Ceci permet de maiteir costate la température à cette extrémité (température proche de la température ambiate). Le couplage thermique réalisé par cet échageur est évalué par le coefficiet de trasfert coducto-covectif h. D après la loi de Newto : =L) = h π R [Tc=L) - où T c ] T est la température de l air extérieur (température ambiate). c de la barre d acier : u isolat est placé au bout de la barre. L extrémité droite est doc isolée de l extérieur. ) Résultats expérimetaux : Le logiciel utilisé (Sychroie) a permis d imprimer les courbes représetat les températures des huit capteurs (C0 à C7) e foctio du temps. Il a égalemet permis de relever les tableaux de valeurs correspodat à chaque acquisitio. Pour atteidre le régime permaet, il faut attedre u temps suffisammet log. Les eregistremets réalisés ot été effectués sur ue durée de 10000 s ( h 47 mi), ce qui est la durée maximale possible d acquisitio avec le matériel dot ous disposos au laboratoire. La phase d acquisitio état doc trop logue pour être réalisée pedat les h de TP, je vous fouris les résultats suivats :
Barre de cuivre : Le jour où cette maipulatio a été réalisée, la température ambiate était : Relevé de la température (e C) e foctio du temps pour les différets capteurs : T c = 3,0 C. Relevé umérique de la température (e C) e foctio du temps pour quelques capteurs : Capteur C Capteur C3 Capteur C4 Capteur C5 Capteur C6 Temps (s) 3,8 3,1 3,0 3,0 3,0 100 8, 4, 3, 3,0 3,0 00 33,8 6,9 4, 3, 3,1 300 37,8 9,9 5,8 4,0 3,3 400 40,7 3,5 7,5 4,9 3,8 500 4,9 34,6 9,3 5,9 4,4 600 44,7 36,5 30,8 7,1 5,1 700 46,0 38,1 3, 8,3 5,9 800 47,1 39,3 33,5 9,4 6,7 900 48,1 40,5 34,6 30,3 7,5 1000 48,8 41,5 35,6 31,3 8,4 1100 49,5 4,4 36,5 3, 9, 100 50, 43,1 37,4 33,1 9,9 1300 50,8 43,9 38,3 33,9 30,5 1400 51,1 44,5 38,9 34,5 31,1 1500 Au bout de 10000 s, o relève : Capteur C0 C1 C C3 C4 C5 C6 C7 Positio x (m) 0 0,10 0,40 0,360 0,480 0,600 0,70 0,840 Température Tc ( C) 67,9 61,8 56,4 51,6 47,3 43, 39,1 35,5
Barre d acier : Le jour où cette maipulatio a été réalisée, la température ambiate était : T a = 7, C. Relevé de la température (e C) e foctio du temps pour les différets capteurs : Au bout de 10000 s, o relève : Capteur C0 C1 C C3 C4 C5 C6 C7 Positio x (m) 0 0,10 0,40 0,360 0,480 0,600 0,70 0,840 Température Ta ( C) 67,7 53,9 44,8 39,3 34,9 3,5 31,0 30,6 3) Premières remarques : a) Iterpréter l allure de ces courbes. O expliquera otammet pourquoi des oscillatios apparaisset sur la courbe relative au capteur C0. b) Grâce à l équatio de la diffusio thermique (équatio de la chaleur), évaluer l ordre de gradeur de la durée du régime trasitoire pour la barre de cuivre et la barre d acier. c) Peut-o assimiler les valeurs des températures relevées au bout de 10000 s aux valeurs des températures e régime permaet? d) Ces résultats sot-ils e accord avec l allure des courbes? Doées : masse volumique du cuivre : μ = 8,9.10 3 kg.m -3 capacité calorifique massique du cuivre : c = 385 J.kg -1.K -1. coductivité thermique du cuivre : λ = 389 W.m -1.K -1 masse volumique de l acier étudié : μ = 8.10 3 kg.m -3 capacité calorifique massique de l acier étudié : c = 5.10 J.kg -1.K -1 coductivité thermique de l acier étudié : λ = 54 W.m -1.K -1 logueur des barres : L = 0,846 m Pour la suite du TP, o assimilera tout de même les valeurs des températures relevées au bout de 10000 s aux valeurs des températures e régime permaet (il aurait fallu eregistrer pedat plus de 10000 s pour avoir les valeurs de températures e régime permaet, mais ce était pas possible à cause du logiciel utilisé).
II) Etude de la barre de cuivre e régime trasitoire e égligeat les pertes thermiques latérales : détermiatio de la coductivité thermique du cuivre : 1) Etude théorique : O cosidère ue barre cylidrique de sectio circulaire costate et de logueur L très supérieure au rayo R de la sectio. Das u premier temps, o fait l hypothèse que la barre est parfaitemet calorifugée latéralemet, les pertes latérales serot doc égligées. O cosidère doc qu il y a pas d échage de chaleur autre qu à travers des plas perpediculaires à l axe de la barre. O se rapproche aisi du cas uidimesioel, ce qui reviet à cosidérer que la température est uiforme das chaque sectio droite de la barre. E effectuat u bila d éergie et e utilisat la loi de Fourier, établir l équatio de la diffusio thermique : T T μ c λ t x μ est la masse volumique de la barre et s exprime e kg.m -3 c est la capacité calorifique massique de la barre et s exprime e J.kg -1.K -1 λ est la coductivité thermique de la barre et s'exprime e W.m -1.K -1. ) Méthode de détermiatio de la coductivité thermique : Pour détermier la coductivité thermique du cuivre, o va exploiter l eregistremet du régime trasitoire (ou plutôt le tableau de valeurs umériques associé), et l équatio de la diffusio thermique. Cosidéros les courbes de température de trois capteurs (distace a etre chaque capteur). T e C capteur -1 T i+1 ) Ti) Ti-1) capteur capteur +1 a x -1 +1 +1 a 0 (i-1) i (i+1) temps e s T Soit la durée etre deux acquisitios. Motrer que ) est approximativemet égal à : t T 1 ) Ti 1 ) Ti 1 ). t τ T Soit a la distace etre deux capteurs. Motrer que ) est approximativemet égal à : x T 1 ) T i a) T i a).t i ). x a O peut aisi détermier pour le capteur, placé à l abscisse x, à l istat i, la valeur de la coductivité thermique du cuivre.
3) Détermiatio expérimetale de la coductivité thermique du cuivre : Doées : masse volumique du cuivre : μ = 8,9.10 3 kg.m -3 capacité calorifique massique du cuivre : c = 385 J.kg -1.K -1 distace etre deux capteurs cosécutifs : a = 0,10 m. Grâce aux relevés umériques de températures e foctio du temps pour différets capteurs, détermier, à l aide du logiciel Excel, la coductivité thermique λ du cuivre, à différets edroits et différets istats. E élimiat évetuellemet certaies valeurs aberrates, détermier : la valeur moyee de la coductivité thermique : λ l écart-type expérimetal l icertitude type l itervalle de cofiace à 95% : λ λ Δλ Comparer à la valeur tabulée : λ = 389 W.m -1.K -1. Quelles sot les sources d erreur? III) Etude de la barre de cuivre e régime permaet e égligeat les pertes thermiques latérales : 1) Etude théorique : O cotiue à faire l hypothèse que la barre est parfaitemet calorifugée latéralemet. L équatio de la T T diffusio thermique est doc toujours : μ c λ t x E régime permaet (ou statioaire), la température e déped plus du temps. L équatio de la diffusio T T thermique doe : 0 0 T) A x B t x La température varie doc liéairemet le log de la barre. Si T1 est la température à l etrée de la barre = 0), T la température à la sortie de la barre et L la logueur T T1 de la barre alors : T) x T1 L Le flux thermique s écoulat das la barre (puissace thermique) s écrit (e utilisat la loi de Fourier) : T1 T Φ λ S avec S = π R L ) Exploitatio expérimetale : a) Grâce à Excel, tracer la courbe Tc) et modéliser par ue droite. Doer l équatio de la droite. b) E déduire le flux thermique Φ s écoulat das la barre. c) E déduire le coefficiet de trasfert coducto-covectif h au iveau de l ailette e exploitat la cotiuité du flux thermique e x = L : = h π R [Tc=L) - c T ]. d) La modélisatio de la courbe Tc) par ue droite est pas tout à fait satisfaisate. E effet, la courbe semble icurvée par rapport au modèle liéaire. Justifier que le ses de courbure de la courbe Tc) peut correspodre à des pertes thermiques latérales.
IV) Détermiatio des pertes thermiques latérales grâce à l étude de la barre d acier e régime permaet : 1) Positio du problème : E réalité, bie que les barres soiet etourées latéralemet par u isolat, elles e sot pas parfaitemet calorifugées, et il y a doc des pertes thermiques (la coductivité thermique de l isolat est pas ulle). O va à préset cosidérer ces pertes thermiques et o va chercher à les évaluer. Pour cela, o modélise les échages de chaleur latéraux des barres avec l extérieur par des trasferts de type coducto-covectifs, avec h le coefficiet d échage de chaleur superficiel. Nous allos chercher à détermier le coefficiet h (o suppose que le coefficiet h est le même das le cas de la barre d acier et de la barre de cuivre). Nous pourros le détermier grâce aux mesures effectuées sur la barre d acier. ) Etude théorique : O cosidère ue barre cylidrique de sectio circulaire costate et de logueur L très supérieure au rayo R de la sectio. La barre est chauffée e permaece à ue extrémité. Le matériau costituat la barre métallique est bo coducteur de chaleur, de sorte que la chaleur se propage par coductio le log de la barre et trasversalemet à celle-ci pour se déverser das le milieu etourat la barre. O admet que les sectios droites de la barre sot isothermes de sorte que le problème soit uidimesioel. La schématisatio de celui-ci est idiquée ci-dessous. O suppose que les pertes latérales sot de la forme : L = h SL [T) - latérale et T est la température de l air ambiat. T ], où SL est la surface d échage E effectuat u bila d éergie pour u élémet de volume (S dx) de la barre (tel celui idiqué ci-dessus où S = R est la sectio de la barre) et e utilisat la loi de Fourier, établir l équatio de la diffusio thermique : T T μ c R λ R - h (T - T ) (1) t x μ est la masse volumique de la barre et s exprime e kg.m -3 c est la capacité calorifique massique de la barre et s exprime e J.kg -1.K -1 λ est la coductivité thermique de la barre et s'exprime e W.m -1.K -1 h est le coefficiet d échage de chaleur superficiel et s exprime e W.m -.K -1.
E régime permaet, l équatio (1) coduit à l équatio différetielle du deuxième ordre à coefficiets costats : d T h - α T - T 0 avec α () dx λ R dot la solutio géérale est de la forme : T) = T + A exp(- x) + B exp( x) (3) Les coditios aux deux extrémités (coditios aux limites) permettet de détermier les costates A et B. 3) Détermiatio du coefficiet d échage h : Das le cas de la barre de cuivre, o costate qu au bout de 10000 s (doc quasimet e régime permaet), Tc = 0,840 m) = 35,5 C T c = 3,0 C, doc o e peut pas cosidérer que cette barre est ifiie. La modélisatio expérimetale de la répartitio de température pourrait s avérer laborieuse. Par cotre, das le cas de la barre d acier, o costate qu au bout de 10000 s (doc quasimet e régime permaet), T a = 0,840 m) = 30,6 C T = 7, C, doc o peut cosidérer que cette barre est ifiie. a A l extrémité o chauffée + ), la température ted vers celle du milieu ambiat T a. Le coefficiet état positif, il est écessaire que B soit ul pour que la température reste fiie. Doc, si l o ote T a0 = Ta = 0) = 67,7 C, o trouve que : Ta ) - Ta = exp(- x) Ta 0 - Ta Ta ) - Ta Et doc l ( ) = - x T - T a 0 h =, qui a la dimesio de l iverse d ue logueur, caractérise l attéuatio de la température le λ R log de la barre. Ta ) - Ta a) Tracer la courbe l ( ) = f). Modéliser par ue foctio liéaire. Ta 0 - Ta b) Costater que le poit correspodat à x = 0,840 m est pas aligé avec les autres poits. Quelle peut e être la raiso? Ta ) - Ta c) Tracer à ouveau la courbe l ( ) = f), mais sas teir compte du derier poit = Ta 0 - Ta 0,840 m). Modéliser par ue foctio liéaire. Doer l équatio de la droite. d) E déduire acier. e) E utilisat la défiitio de doée par (), e déduire la valeur de h. a 4) Discussio sur la validité du modèle : h = est l iverse d ue logueur caractéristique de la propagatio de la chaleur le log de la barre. λ R Le ombre L est utilisé pour décider si la barre peut être cosidérée comme ue barre de logueur ifiie au ses de la coductio de la chaleur. Calculer L pour la barre d acier et pour la barre de cuivre. Coclure.
V) Etude de la barre de cuivre e régime trasitoire e cosidérat les pertes thermiques latérales : détermiatio de la coductivité thermique du cuivre : 1) Etude théorique : O cosidère à préset les pertes thermiques latérales pour la barre de cuivre. Das le paragraphe précédet, o a établi l équatio de la diffusio thermique : T T μ c R λ R - h (T - T ) (1) t x ) Méthode de détermiatio de la coductivité thermique : Pour détermier la coductivité thermique du cuivre, o va utiliser la même méthode que précédemmet (partie II)). O va doc exploiter l eregistremet du régime trasitoire (ou plutôt le tableau de valeurs umériques associé), et la ouvelle équatio de la diffusio thermique. 3) Détermiatio expérimetale de la coductivité thermique du cuivre : Doées : masse volumique du cuivre : μ = 8,9.10 3 kg.m -3 capacité calorifique massique du cuivre : c = 385 J.kg -1.K -1 rayo de la barre de cuivre : R = 0,011 m température de l air ambiat : Tc = 3,0 C distace etre deux capteurs cosécutifs : a = 0,10 m. Grâce aux relevés umériques de températures e foctio du temps pour différets capteurs, détermier, à l aide du logiciel Excel, la coductivité thermique λ du cuivre, à différets edroits et différets istats. E élimiat évetuellemet certaies valeurs aberrates, détermier : la valeur moyee de la coductivité thermique : λ l écart-type expérimetal l icertitude type l itervalle de cofiace à 95% : λ λ Δλ Comparer à la valeur tabulée : λ = 389 W.m -1.K -1. Quelles sot les sources d erreur?