Mathématique en Les nombres complexes Table des matières 1 Approche historique 3 2 4 3 Représentation graphique des nombres complexes 4 4 Opérations sur les nombres complexes 5 4.1 Addition et soustraction de nombres complexes........................ 5 4.2 Multiplication de nombres complexes.............................. 6 4.3 Inverse d un nombre complexe non nul :............................ 6 4.4 Quotient de nombres complexes................................. 7 5 Forme trigonométrique d un nombre complexe 7 5.1 Module d un nombre complexe.................................. 7 5.2 Argument d un nombre complexe................................ 8 5.3 Forme trigonométrique d un nombre complexe......................... 8 5.4 Propriétés du module et de l argument :............................ 9 6 Notation exponentielle 10 1
7 Interprétation géométrique 11 8 Résolution d équations du second degré dans C 12 8.1 Racine carrée dans C....................................... 12 8.2 Équations du second degré dans C............................... 12 2/12
Section 1 Approche historique L étude des équations du second degré terminée, les mathématiciens algébristes de la renaissance italienne ont tenté d établir une méthode de résolution des équations du troisième degré. C est-à-dire, déterminer les solutions de l équation : ax 3 +bx 2 +cx+d = 0 avec a 0 Remarquons qu une division par a(non nul), suivie d un changement de variable X = x+ b 3a se ramener à l équation : permet de X 3 +px +q = 0. Puis en posant X = u+v en imposant la condition 3uv = p, l équation s écrit finalement : u 3 +v 3 = q u 3 v 3 = p3 27 qui revient à résoudre un problème du second degré. En 1545, Jérôme Cardan (Giordano Cardano de son vrai nom) publie dans son livre Ars Magna, des formules de résolution d une équation de la forme X 3 = px +q. On démontre que si 27q 2 +4p 3 0, alors le réel α = 3 q 27q 2 2 + +4p 3 + 3 q 27q 2 4 27 2 +4p 3 est une solution de l équation. 4 27 Bombelli applique ce résultat dans le cas où 27q 2 +4p 3 0. Il introduit pour cela, un nombre dont le carré est égal à -1 (Euler trois siècles plus tard, le notera i). Ainsi écrit-il : 121 = 121i 2 = (11i) 2. En appliquant la formule de Cardan à l équation x 3 = 15x+4, on obtient pour solution α = 3 2+11i+ 3 2 11i.Enremarquantque(2+i) 3 = 2+11iet(2 i) 3 = 2 11i,ontrouvelasolutionα = 2+i+2 i = 4.. Si la somme S et le produit P de deux racines x 1 et x 2 sont connus alors x 1 et x 2 sont solutions de l équation X 2 SX +P = 0.. En fait, il aurait volé les formules à Tartaglia, qui les aurait volées à Scipio Del Ferro... 3/12
Section 2 Il existe un ensemble de nombres noté C,contenant R, appelé ensemble des nombres complexes tels que : C contient tous les nombres réels. les règles de calculs sur les nombres réels, se prolongent aux nombres complexes. il existe un nombre noté i tel que i 2 = 1. tout nombre complexe z s écrit de manière unique z = x+iy,où x et y sont deux nombres réels. La forme z = x+iy d un nombre complexe où x et y sont des réels est dite forme algébrique de z; le nombre réel x est la partie réelle de z et le nombre réel y est la partie imaginaire de z.on écrit Re(z) = x et Im(z) = y. Exemple 1 - Le nombre complexe z = 2 4i est tel que Re(z) = 2 et Im(z) = 4. - Le nombre complexe z = 2 i 5 est tel que Re(z) = 2 et Im(z) = 5. - Le nombre complexe z = 8i est tel que Re(z) = 0 et Im(z) = 8. - Le nombre complexe z = 10 est tel que Re(z) = 10 et Im(z) = 0. - Le nombre complexe z = i+6 est tel que Re(z) = 6 et Im(z) = 1. Remarques : - Si la partie imaginaire de z est nulle alors z est en nombre réel. - Si la partie réelle de z est nulle, on dit que z est un imaginaire pur. Section 3 Représentation graphique des nombres complexes En 1811, Gauss écrivit : De même qu on peut représenter tout le domaine des réels par moyen d une ligne droite..., de même on peut se figurer les réels et les imaginaires au moyen d un plan où chaque point, déterminé par son abscisse x et son ordonnée y, représente en même temps la quantité x+iy. Dans un repère orthonormal (O; u; v), le nombre complexe z = x+iy est représenté par le point M de coordonnées (x;y). On dit que : - Le point M est le point image du nombre complexe z. - Le nombre complexe z = x+iy est l affixe du point M et du vecteur OM. 4/12
Les nombres complexes Lepoint M 1 est l image dunombrecomplexe z 1 = 3+ 4i et l affixe de M 2 est le nombre complexe z 2 = i 2. Un point M d affixe un réel, se trouve sur l axe des abscisses; un point M d affixe un imaginaire pur, se trouve sur l axe des ordonnées. M 2 (z 2 ) O M 1 (z 1 ) On appelle conjugué de z = x+iy, noté z, le nombre complexe z = x iy.les points images de M(z) et M ( z) sont donc symétriques par rapport à l axe des abscisses (Ox). M(z) - Si z est un réel alors z = z et réciproquement. - Si z est un imaginaire pur alors z = z et réciproquement. O M ( z) Remarquons de plus que quelque soit le nombre complexe z = x+iy, z z = x 2 +y 2, c est-à-dire z z est toujours un nombre réel. Soit A et B deux points du plan complexe d affixes respectives z A et z B. Alors l affixe du vecteur AB est z B z A. Exemple 2 On considère les points A et B d affixes respectives z A = 3 i et z B = 4+2i. Alors le vecteur AB a pour affixe z AB = z B z A = 7+3i. Section 4 Opérations sur les nombres complexes 4.1 Addition et soustraction de nombres complexes 5/12
Somme de nombres complexes Soit z 1 et z 2 deux nombres complexes. Alors : Addition Re(z 1 +z 2 ) = Re(z 1 )+Re(z 2 ) et Im(z 1 +z 2 ) = Im(z 1 )+Im(z 2 ). Soustraction Re(z 1 z 2 ) = Re(z 1 ) Re(z 2 ) et Im(z 1 z 2 ) = Im(z 1 ) Im(z 2 ). Exemple 3 (3 3i)+( 1+6i) = 2+3i; 8i (9+3i) = 9+5i;... 4.2 Multiplication de nombres complexes Produit de nombres complexes Soit z 1 = x 1 +iy 1 et z 2 = x 2 +iy 2 deux nombres complexes. Alors : z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 +x 2 y 1 ) Exemple 4 (8 3i)(5+i) = 8 5+8 i 3i 5 3i i = 40+8i 15i 3i 2 = 43 7i car i 2 = 1. 4i(2+2i) = 8i+8i 2 = 8i 8. (4 i) 2 = (4 i)(4 i) = 16 4i 4i+i 2 = 15 8i Le dernier exemple est une identité remarquable; elles restent valables dans C. 4.3 Inverse d un nombre complexe non nul : Inverse Tout nombre complexe non nul z = x+iy admet un inverse 1.On a alors : z 1 z = 1 x+iy = x iy (x+iy) (x iy) = z x 2 +y 2. Exemple 5 - Soit z = 3 2i un nombre complexe. Alors 1 z = 3+2i (3 2i)(3+2i) = 3+2i 13 - Soit z = 2+i alors 1 z = 2 i (2+i)(2 i) = 2 i = 2 5 5 i 5. = 3 13 + 2 13 i. 6/12
4.4 Quotient de nombres complexes Quotient Soit z 1 = x 1 +iy 1 et z 2 = x 2 +iy 2 deux nombres complexes. Alors : z 1 = z 1 1 = (x 1 +iy 1 )(x 2 iy 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 +x 2 y 1 ) z 2 z 2 x 22 +y 2 2 x 22 +y 2 2 En pratique, on utilise la règle suivante :on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur. z 1 = z 1 z 2 = z 1 z 2 z 2 z 2 z 2 z 2 2 On se ramène ainsi à la division par un nombre réel, distributive dans la somme. Exemple 6 3+2i 1. 2+i = (3+2i)(2 i) (2+i)(2 i) = 8+i 5 3i 4 2. = i(3i 4) = 3 4i = 3+4i 2i 2i i 2 2 Exercice 1 1. DéterminerlaformealgébriquedeZ = (3 4i) 2 (i 2) 2,deY = 2+3i 2ietdeX = 1 5i i+1 + 1 i+2. 2. Soit a un nombre réel et z le nombre complexe z = 2+ia.Pour quelle(s) valeur(s) de a : 1+i (a) z est un réel? (b) z est un imaginaire pur? Section 5 Forme trigonométrique d un nombre complexe 5.1 Module d un nombre complexe Soit z un nombre complexe de la forme z = x+iy où x et y sont deux réels. On appel module de z, noté ρ = z, le nombre réel positif ρ défini par ρ = z = x 2 +y 2. Interprétation géométrique : Dans le plan complexe muni d un repère orthonormal (O; u; v) si M est le point d affixe z alors z = OM. 7/12
Les nombres complexes Remarques : y M - Si z = 0 alors z = 0 et O = M. ρ - Le module de z est toujours un nombre réel positif. - z z = z 2, z C O θ x 5.2 Argument d un nombre complexe Dans un repère orthonormal (O; u; v), on considère le point M d affixe z non nulle. Un argument du nombre complexe z est une mesure en radians de l angle ( u, OM). On note arg(z) = θ+2kπ où θ = ( u, OM) et k Z. Un nombre complexe non nul a donc une infinité d argument. L angle θ est en radians; dans quelques cas, on pourra l exprimer en fonction de π. L angle θ vérifie la double relation : - cosθ = Re(z) z - sinθ = Im(z). z ; 5.3 Forme trigonométrique d un nombre complexe Un point M dans le plan peut être repéré de deux façons : Par ses coordonnées cartésiennes x et y telles que OM = x u+y v. Par ses coordonnées polaires ρ et θ telle que OM = ρ et ( u, OM) = θ. Le couple (ρ;θ) est la forme trigonométrique de z.on a alors : z = ρ(cosθ+isinθ) ou z = [ρ;θ]. Exemple 7 - Le nombre complexe z = 1+i s écrit z = [ 2; π ] sous forme trigonométrique. 4 Le nombre complexe z = [8; 2π 3 ] s écrit z = 8cos 2π 3 +i 8sin2π 3 = 4+4i 3 sous formealgébrique. 8/12
5.4 Propriétés du module et de l argument : Propriétés - Pour tout nombre complexe z non nul, on a : - z = z et arg( z) = arg(z) - z = z et arg( z) = arg(z)+π - z est un nombre réel si et seulement si arg(z) = 0 ou arg(z) = π. - z est un imaginaire pur si et seulement si arg(z) = π 2 ou arg(z) = π 2. y ρ M(z) θ O x M ( z) M ( z) Propriétés Pour tous nombres complexes z et z, on a : - z z = z z et arg(z z ) = arg(z)+arg(z ). - pour tout entier n, on a z n = z n et arg(z n ) = n arg(z). - z z z = z et arg(z z ) = arg(z) arg(z ). Démonstration : Les deux nombres complexes non nul z et z s écrivent sous la forme z = ρ(cosθ+isinθ) et z = ρ (cosθ +isinθ ). Donc : z z = ρ(cosθ+isinθ) ρ (cosθ +isinθ ) = ρρ ((cosθcosθ sinθsinθ )+ i(cosθsinθ +cosθ sinθ)) = ρρ (cos(θ+θ )+isin(θ+θ )). Donc le module de z z est ρρ et un argument θ +θ. Exercice 2 Démontrer par récurrence la propriété : P n : arg(z n ) = n arg(z), z 0 C pour n 0 9/12
Section 6 Notation exponentielle Considérons la fonction f définie sur R à valeurs dans C par : f(θ) = cosθ+isinθ. Alors pour tous réels θ et θ, on a f(θ + θ ) = f(θ) f(θ ) avec f(0) = 1. La fonction f vérifie donc la propriété caractéristique des exponentielles. On écrit donc : cosθ+isinθ = e iθ Tout nombre complexe non nul z peut s écrire sous la forme z = ρe iθ, où ρ est le module de z et θ un argument de z.cette forme de z est dite exponentielle. On peut avec cette notation réécrire de nombreuses propriétés des nombres complexes.elle est en effet compatible avec les propriétés de l exponentielle. Exemple 8 3e iπ = 3(cos(π)+isin(π)) = 3 5e iπ 4 2e iπ 3 = 10e i7π 12 Résumé : Pour tous réels θ et θ et tout entier n,on a : e iθ = 1 et arg(e iθ )θ. e iθ e iθ = e i(θ+θ ) e iθ ; = e i(θ θ ) ; e e iθ = e iθ iθ (e iθ ) n = e inθ Exercice 3 1. Donner la forme exponentielle de z 1 = 3,z 2 = 4i,z 3 = 3 i et z 4 = 10. 2. On donne z = 3+3i et z = 2 2 3i.On pose Z = z z. (a) Déterminer la forme algébrique de Z. (b) Déterminer les formes exponentielles de z et z et en déduire celle de Z. (c) Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de cos( 7π ) et celle de sin(7π 12 12 ). 10/12
Section 7 Interprétation géométrique Distance et angle Soit deux points distincts A et B d affixe respective z A et z B. Alors : AB = z B z A ( u, AB) = arg(z B z A ) Exercice 4 Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé, on considère les points A,B,C et D d affixes respectives z A = 5+5i,z B = 3+2i,z C = 9 2i et z D = 11+i. 1. Déterminer les affixes des vecteurs AD et BC. 2. Déterminer le module et un argument de Z = z B z A z D z A. 3. En déduire la nature du quadrilatère ABCD. 11/12
Section 8 Résolution d équations du second degré dans C 8.1 Racine carrée dans C Racine carrée Dans C, l équation z 2 = a,a R admet deux solutions : - Si a 0, les deux solutions sont a et a; - Si a < 0, les deux solutions sont i a et i a. Exemple 9 L équation z 2 = 4 admet dans C deux solutions 2i et 2i. L équation z 2 = 20 admet dans C deux solutions 2i 5 et 2i 5. L équation z 2 = 13 admet dans C deux solutions 13 et 13. 8.2 Équations du second degré dans C Théorème L équation (E) : ax 2 +bx+c = 0 où a 0 admet : Deux racines réelles x 1 = b+ 2a et x 2 = b 2a Une racine réelle x 0 = b si = 0; 2a Deux racines complexes conjuguées z 1 = b+i 2a si > 0; et z 2 = b i 2a si < 0. Exemple 10 1. Le polynôme P(x) = z 2 z +3 = 0 admet deux racines complexes conjuguées car = 11. Ces deux racines sont : z 1 = 1+i 11 et z 2 = 1 i 11. 2 2 2. L équation z 2 +3 = 0 admet deux racines z 1 = i 3 et z 2 = i 3. 12/12