Termiale S Aée scolaire 07-08 Chapitre Suites umériques Bejami Gausso fermathsfr Rappels et gééralités sur les suites O rappelle que N désige l esemble des etiers aturels : N = {0; ; ; 6} Défiitio Ue suite est ue foctio u : N R Pour tout N, o ote = u() et o dit que est le -ième terme de la suite ( ) Exemple Soit ( ) la suite doée par la formule explicite = pour tout N O a u = = 6 et u 7 = 7 = 9 Soit (v ) la suite doée par la formule de récurrece { v 0 = 0 = v pour tout N v + O a v = v 0 = 0 =, v = v = ( ) = 8 Remarque O peut aussi défiir des suites comme des foctio d ue partie de N das R Par exemple, o peut cosidérer la suite ( ) défiie pour tout par = Das ce cas, o trouve parfois la otatio ( ) pour sigifier que la suite ( ) est défiie à partir du rag Défiitio Soit ( ) ue suite Étudier la mootoie d ue suite, c est étudier so ses de variatio Si pour tout N, +, o dit que la suite ( ) est croissate Si pour tout N, < +, o dit que la suite ( ) est strictemet croissate Si pour tout N, +, o dit que la suite ( ) est décroissate Si pour tout N, > +, o dit que la suite ( ) est strictemet décroissate Si pour tout N, = +, o dit que la suite ( ) est costate Exemple O souhaite étudier la mootoie de la suite ( ) doée par la formule = + pour tout N + O dispose de deux méthodes : Par implicatios successives Pour tout N, o sait que < + puis + < + Or, la foctio iverse est strictemet décroissate sur ]0; + [, d où + > Esuite, + + + > + + et > + Doc la suite ( ) est strictemet décroissate E étudiat le sige de + Pour tout N, o a + = + + = + (+)(+) = (+)(+) < 0 Aisi + < 0, c est à dire > + et la suite ( ) est strictemet décroissate Remarque 6 O éocera par la suite des théorèmes pour lesquels il faut bie compredre la uace etre «croissace» et «stricte croissace» Les deux dessis ci-dessous permettet de bie percevoir cette uace pour les suites
0 0 suite strictemet croissate suite croissate E particulier, ue suite costate est croissate et décroissate Toutefois, ue suite strictemet croissate est pas costate Défiitio 7 Soit ( ) ue suite O dit que ( ) est majorée s il existe u ombre réel M tel que pour tout N, M O dit que ( ) est miorée s il existe u ombre réel m tel que pour tout N,m O dit que ( ) est borée si elle est miorée et majorée Exemple 8 La suite ( ) doée par la formule = + + borée est miorée par et majorée par Elle est doc Exercice Motrer que les suites ( ) dot le terme gééral est doé ci-dessous sot borées = 0 si(07) = + = + = pour tout Suites arithmétiques et suites géométriques Cette sectio est u rappel de otios vues e classe de première scietifique Suites arithmétiques Défiitio 9 Ue suite est arithmétique s il existe u ombre réel r tel que pour tout N, + = +r Cette formule est appelée formule de récurrece et r la raiso Propriété 0 Soit ( ) ue suite arithmétique de raiso r R Pour tous,p N, o a
= u p +( p) r E particulier, o a la formule explicite = u 0 + r Propriété Soit ( ) ue suite arithmétique de raiso r R { + si r > 0 lim = + si r < 0 Propriété La somme des termes cosécutifs d ue suite arithmétique est égale au produit dombre de termes par le demi-somme des termes extrêmes soit : ombre de termes premier terme + derier terme E particulier, ++ + = (+) Suites géométriques Défiitio Ue suite est géométrique s il existe u ombre réelq tel que pour tout N, + = q Cette formule est appelée formule de récurrece et q la raiso Propriété Soit ( ) ue suite géométrique de raiso q R Pour tous,p N, o a = q p u p E particulier, o a la formule explicite = q u 0 Propriété Soit ( ) ue suite géométrique de raiso q R { + si q > lim + q = 0 si < q < Propriété 6 La somme des termes cosécutifs d ue suite géométrique de raiso q est égale à : de termes raisoombre premier terme raiso E particulier, +q +q +q = q+ q Exercice O cosidère les suites ( ) et (v ) défiies par : = + v = + ) Démotrer que la suite de terme gééral w = + v (resp t = v ) est ue suite géométrique (resp arithmétique) ) E déduire les sommes : k=0 u k et k=0 v k Exercice ( ) est la suite défiie par : { u0 = 0 O pose v = +α + = +, N ) Motrer qu il existe ue valeur de α pour laquelle (v ) est ue suite géométrique ) Exprimer alors v et e foctio de
Raisoemet par récurrece Remarque 7 Pour s assurer qu ue suite de domios se reverse, il faut vérifier deux faits : le premier domio tombe ; si u domio pris au hasard tombe, alors il fait tomber le suivat Axiome 8 (Peao) Soiet P() ue propriété qui déped d u etier aturel et 0 u etier aturel Pour démotrer que pour tout 0, P() est vraie, il suffit de : vérifier que P( 0 ) est vraie : cette étape est appelée iitialisatio de la récurrece ; de motrer que, si pour u etier cosidéré 0, P() est vraie (c est l hypothèse de récurrece otée souvet HR), alors P(+) est vraie : cette étape est appelée hérédité de la récurrece Exemple 9 Motros par récurrece que pour tout etier aturel o ul, o a la propriété P() : ++ + = (+) Iitialisatio Comme =, l égalité est vraie pour = d où P() est vraie Hérédité Soit N Supposos que l égalité est vraie pour Vérifios là pour + O a ++ ++(+) = (+) ++ d après l hypothèse de récurrece = (+)++ (+)(+) = Aisi, si P() est vraie alors P(+) est vraie Coclusio : pour tout etier aturel o ul, o a l égalité ++ + = (+) O propose ci-dessous u autre résultat qui se prouve par récurrece dot la démostratio est à coaître Propositio 0 (Iégalité de Beroulli) Pour tout ombre réel x > 0, pour tout etier aturel, o a l iégalité (+x) +x Démostratio Soit x > 0 O procède par récurrece sur Iitialisatio Comme (+x) 0 = +0 x alors l iégalité est vérifiée au rag 0 Hérédité Soit N, o suppose que l iégalité est vérifiée au rag(hr) Motros qu elle l est au rag+ O a (+x) + = (+x) (+x) HR (+x)(+x) = +(+)x+x +(+)x Coclusio Pour tout ombre réel x > 0, pour tout etier aturel, o a l iégalité (+x) +x Exercice O défiit la suite ( ) par u 0 = 0 et pour tout, + = + Motrer par récurrece que pour tout, = Exercice Motrer par récurrece que pour tout N, est u multiple de Exercice 6 Motrer que pour tout N, o a Motrer que pour tout N, o a k= k = (+)(+) 6 ( k = k) k= k= Exercice 7 Démotrer par récurrece que pour tout,
Exercice 8 ) Motrer que pour tout k N, o a l égalité ) E déduire que pour tout N, Exercice 9 Motrer que pour tout, k(k +) = k k + k= k(k +) = + k k! = (+)! k= Exercice 0 Cocours gééral 99 Soit (x ) ue suite de ombres réels telle que pour tout N, x 0 +x + +x = (x 0 +x + +x ) Motrer que pour tout etier aturel, il existe u etier aturel m tel que x 0 +x + +x = m(m+)