ère S Exercces sur les fonctons polynômes du second degré 5 Mêmes questons que dans l exercce avec la foncton f défne sur par f ( x) x x Dans chaque cas, dresser sans rédger le tableau de varaton de la foncton f ) f : x x x ) f : x x x ) f : x x x Fare les tableaux à la règle ans que les flèches de varaton alculer dans chaque cas la valeur de l extremum et mettre cette valeur dans le tableau de varatons Rédger des phrases pour exprmer ces varatons selon le modèle : «f est crossante sur l ntervalle et décrossante sur l ntervalle» Vérfer en utlsant une calculatrce graphque ou en utlsant un logcel de tracé de courbes sur ordnateur Même queston que dans l exercce précédent Il est demandé de ne pas développer les expressons des fonctons ) f : x x ) f : x x ) f : x x 5 ) f : x n consdère la foncton f défne sur par f ( x) x x n note la courbe représentatve de f dans le plan mun d un repère orthonormé,, ) Fare le tableau de varatons de f ) Recoper et compléter la phrase : «est une parabole de sommet S( ; ) tournée vers le» ompléter le tableau de valeurs c-dessous x x,5,5,5 0,5 0 0,5,5 f (x) Fare un graphque sur une page complète Tracer le repère,, en prenant un centmètre ou un «gros» carreau pour unté graphque Placer les ponts du tableau précédent (sous la forme de «ponts» et non de «crox») Mettre des pontllés et les valeurs sur les axes pour le sommet Tracer en relant les ponts précédents «à la man» en tenant compte du tableau de varatons n sognera partculèrement l allure de la courbe au vosnage du sommet Marquer le nom de la courbe en ndquant son équaton ontrôler sur la calculatrce graphque f x x x Mêmes questons que dans l exercce avec la foncton f défne sur par x,5 0,5 0 0,5,5,5,5 6 Sot la parabole d équaton dans le plan mun d un repère,, y x x Le pont A ; 5 appartent-l à? Le pont n vellera à ben présenter les calculs 7 Sot la parabole d équaton y x x B ; appartent-l à? dans le plan mun d un repère,, Détermner les abscsses des ponts d ntersecton de avec l axe des abscsses n rédgera ans : x,5 0,5 0 0,5,5,5,5 f (x) «Les abscsses des ponts d ntersecton de et de l axe (x) sont les solutons de l équaton» x I ; J avec I ( ; ) et J ( ; ) n conclura ans Vérfer en utlsant une calculatrce graphque ou en utlsant un logcel de tracé de courbes sur ordnateur 8 Dans le plan mun d un repère,, d équaton y = x Détermner les abscsses des ponts d ntersecton de et D, on note la parabole d équaton y x x et D la drote n rédgera ans : «Les abscsses des ponts d ntersecton de et de la drote D sont les solutons de l équaton» n conclura ans D = {I ; J} avec I ( ; ) et J ( ; ) Vérfer en utlsant une calculatrce graphque ou en utlsant un logcel de tracé de courbes sur ordnateur 9 Dans le plan mun d un repère,,, on note la parabole d équaton y x x et D la drote d équaton y x Le but de l exercce est d étuder par le calcul la poston relatve de la courbe et de la drote D c est-à-dre que l on cherche à savor sur quel(s) ntervalle(s) est au-dessus de D, sur quel(s) ntervalle(s) est audessous de D et en quel(s) pont(s) et D sont sécantes Étuder le sgne de la dfférence rédger une concluson sur le modèle suvant : f x x x x x x au moyen d un tableau de sgnes pus S x, alors est de D S x, alors est de D et D sont sécantes aux ponts d abscsses f (x) Vérfer les résultats en utlsant une calculatrce graphque ou en utlsant un logcel de tracé de courbes sur ordnateur
5 9 0 Sot et les paraboles d équaton respectves y x x et y x 5x dans le plan mun d un repère,, Étuder par le calcul la poston relatve des courbes et n précsera en partculer les ponts d ntersecton des deux paraboles Vérfer les résultats en utlsant une calculatrce graphque ou en utlsant un logcel de tracé de courbes sur ordnateur Sur chaque graphque est représentée une foncton trnôme f défne par f x ax bx c où a, b, c sont tros réels tels que a 0 n pose b ac ompléter le tableau : a b c d Sgne de a Nombre de racnes Sgne de Sot la parabole d équaton y ax bx c Fgure a Fgure b Fgure c Fgure d (a 0) dans le plan mun d un repère,, Détermner a, b, c sachant que a pour sommet S( ; ) et coupe l axe des ordonnées au pont A d ordonnée 5 Dans le plan mun d un repère,,, on consdère les paraboles et d équatons respectves y x et y x 6x 5 ) Tracer les paraboles et sur un même graphque n commencera par précser : - leurs sommets respectfs S et S ; - le sens de leurs concavtés respectves ) Détermner par le calcul les coordonnées des ponts d ntersecton de et n rédgera ans le début : «Les abscsses des ponts d ntersecton de et sont les solutons de l équaton» n conclura ans : = {A ; B} avec A ( ; ) et B ( ; ) ontrôler les résultats en utlsant une calculatrce graphque ou en utlsant un logcel de tracé de courbes sur ordnateur Pour tout réel m, on note m la parabole d équaton y x mx 6m dans le plan mun d un repère,, (m : paramètre) ) Vérfer que toutes les paraboles m passent par le pont ( ; 9) ) Sot S le sommet de m alculer les coordonnées de S en foncton de m ; en dédure que S appartent à une parabole fxe dont on donnera une équaton ) Que représente pour? Tracer * 5 Sot ABD un carré de côté a ( a + ) n consdère les ponts I, J, K, L respectvement sur les segments [AB], [B], [D], [DA] tels que AI BJ K DL x Fare une fgure en prenant la drote (AB) «horzontale», A «à gauche» de B, et D «au-dessus» de (AB) oder les segments [AI], [BJ], [K], [DL] qu sont de même longueur n admettra que le quadrlatère IJKL est un carré (la démonstraton est cependant facle) ) Exprmer l are de IJKL en foncton de x (et de a) ) Pour quelle valeur de x l are de IJKL est-elle mnmale? 6 Dans le plan mun d un repère,,, on note la parabole d équaton y x Dans chaque cas, compléter la phrase en exprmant le vecteur de la translaton en foncton de et ) : y x n passe de à par la translaton de vecteur ) : y x n passe de à par la translaton de vecteur ) : y x n passe de à par la translaton de vecteur ) : y x n passe de à par la translaton de vecteur Vérfer en utlsant une calculatrce graphque ou en utlsant un logcel de tracé de courbes sur ordnateur
orrgé Varatons d une foncton polynôme du second degré donnée sous forme développée n ne rédge quasment pas dans cet exercce Dans chaque cas, la foncton f est une foncton polynôme du second degré donnée par une expresson développée rédute (pas forcément ordonnée) n applque la règle donnant les varatons d une foncton polynôme du second degré n nclut dans les deux ntervalles (ce n est que quand on a une VI * qu on ne l nclut pas) est «crochets fermés» dans les deux ntervalles La noton de «crossante en» n a pas de sens n dt que la foncton est crossante sur un ntervalle ou décrossante sur un ntervalle n peut précser «strctement crossante», «strctement décrossante sur» f est le mnmum global de f sur ; l est obtenu pour x (ou l est attent en x ) f : a 0 x ax bx c * VI : «valeur nterdte» (par exemple, s l s agt de la foncton f : x x les ntervalles de monotone), l ne faudrat pas nclure 0 dans Varatons cas ) f : x x x a 0 a 0 La foncton f est une foncton polynôme du second degré n applque la proprété des varatons d une foncton polynôme du second degré x Varatons de f b + a b f a x Varatons de f b + a b f a Le coeffcent du terme de degré est qu est strctement négatf n calcule la valeur charnère : n obtent le tableau de varaton suvant : Les flèches des tableaux de varatons dovent être fates à la règle ) f : x x x La foncton f est une foncton polynôme du second degré n applque la proprété des varatons d une foncton polynôme du second degré Le coeffcent du terme de degré est qu est strctement postf n calcule la valeur charnère : n obtent le tableau de varaton suvant : x + x + La foncton f est crossante sur l ntervalle ] ; ] et décrossante sur l ntervalle [ ; + [ ) f : x x x La foncton f est une foncton polynôme du second degré n applque la proprété des varatons d une foncton polynôme du second degré Le coeffcent du terme de degré est qu est strctement négatf n calcule la valeur charnère : n obtent le tableau de varatons suvant : La foncton f est crossante sur l ntervalle [ ; +[ et décrossante sur l ntervalle ] ; ]
x La foncton f est crossante sur l ntervalle ; et décrossante sur l ntervalle ; 8 + ) f : x x (F avec a =, =, = ) a < 0 x + Varatons d une foncton polynôme donnée sous forme canonque Dans chaque cas, la foncton f est une foncton polynôme du second degré dont l expresson est donnée sous forme canonque (la varable apparaît à un seul endrot) Ne pas développer les expressons des fonctons (on pourrat évdemment le fare et applquer la règle applquée dans l exercce ) n va applquer la proprété bs du cours (varatons d une foncton polynôme du second degré donnée par une expresson sous forme canonque) Il n y a pas de calcul à fare f : x a x a 0 Varatons cas La foncton f est crossante sur l ntervalle ] ; ] et décrossante sur l ntervalle [ ; + [ ) f : x x 5 a < 0 f x x 0 5 (F avec a =, = 0, = 5) x x 0 + 5 a 0 x + Varatons de f a 0 x + Varatons de f La foncton f est crossante sur l ntervalle ] ; 0] et décrossante sur l ntervalle [0 ; + [ ) f : x x a > 0 Remarques pour les questons ) et ) : L expresson de la foncton est ben mse sous forme canonque Il serat possble dans ce cas d applquer la ère proprété mas l vaut meux vor ces expressons comme des formes canonques (ce n est pas touours évdent pour les élèves de reconnaître une forme canonque pour un polynôme ncomplet en x) ) f : x x (F avec a =, =, = ) f x x 0 (F avec a =, = 0, = ) x x 0 + a > 0 x + La foncton f est crossante sur l ntervalle [0 ; +[ et décrossante sur l ntervalle ] ; 0] La foncton f est crossante sur l ntervalle [ ; +[ et décrossante sur l ntervalle ] ; ]
Tracé d une parabole f : x x x n met le nom de la courbe : n vérfe le tracé de la courbe sur calculatrce ou sur ordnateur ) Tableau de varatons de f : n peut écrre : y x x (ce qu se lt : «a pour équaton y x x») x + Tracé d une parabole 5 f : x x x ) Tableau de varatons de f : f 5 ) Tracé de f est une foncton polynôme du second degré donc sa représentaton graphque est une parabole de sommet S( ; 5) tournée vers le «haut» Pour compléter le tableau de valeurs, on utlse la calculatrce (table) f ) Tracé de x + x,5,5,5 0,5 0 0,5,5 f x,5,75,75 5,75,75,5 est une parabole de sommet S( ; ) tournée vers le «bas» x,5 0,5 0 0,5,5,5,5 f (x) 5,5 0,75,75,75,75 0,5 5 S S 5 n dot absolument respecter l unté : cm pour unté sur chaque axe (le repère est orthonormé) omme on a beaucoup de ponts, le tracé de la courbe sera assez précs
5 Tracé d une parabole f : x x x ) Tableau de varatons de f : f ) Tracé de x + est une parabole de sommet S;, tournée vers le «bas» x,5 0,5 0 0,5,5,5,5 6 Appartenance d un pont à une parabole : A ; B Présentaton des calculs : x x 5 A A Soluton détallée : : y x x Le pont A ; 5 appartent-l à? A A x x = = 5 Donc y x x A A A Par sute, A Le pont B ; appartent-l à? xb xb 6 Donc y x x B B B Par sute, B f (x),65 0,5 0,75,75,5,75 0,75 0,5,65 Autre méthode : S n peut auss ntrodure la foncton f défne par pas nécessté d ntrodure une foncton A( ; 5) B ; 5 f f Donc A f x x x La ère méthode est préférable car l n y a f 6 Donc B 7 Intersecton d une parabole et de l axe des abscsses (x) I ; J avec I ; 0 et J ( ; 0)
Soluton détallée : 8 Intersecton d une drote et d une parabole : y x x Soluton détallée : Détermnons les abscsses des ponts d ntersecton de avec l axe des abscsses : y x x Les abscsses des ponts d ntersecton de et de l axe (x) sont les solutons de l équaton x x 0 est une équaton du second degré est une racne évdente de l équaton L autre racne est n peut auss utlser le dscrmnant de l équaton = + = 5 pus utlser les formules donnant les racnes d une équaton du second degré oncluson : (x) I ; J avec I ; 0 et J ( ; 0) ela se lt : «L ntersecton de la courbe est de l axe (x) est l ensemble consttué des ponts I et J» omme l énoncé ne précse pas s xi xj ou xi xj, on peut tout auss ben donner I(0 ; ) et J ; 0 n vérfe le résultat graphquement en utlsant une calculatrce graphque ou en utlsant un logcel de tracé de courbes sur ordnateur D : y = x Détermnons les abscsses des ponts d ntersecton de et D Les abscsses des ponts d ntersecton de et de la drote D sont les solutons de l équaton x x x () () est équvalente à x x 0 Les racnes de cette équaton sont (racne évdente) et (obtenue par produt) n en conclut que D = {I ; J} avec I ( ; 5) et J ( ; ) n a calculé les ordonnées des ponts I et J à l ade de l équaton de ou de l équaton rédute de D : y x I I 5 ou Fare le graphque I I y x x I 5 n vérfe en utlsant une calculatrce graphque ou en utlsant un logcel de tracé de courbes sur ordnateur I J
Fare le graphque J D Queston : Pourquo ne calcule-t-on pas les ordonnées des ponts d ntersecton? Réponse : n peut effectvement calculer les ordonnées des ponts d ntersecton mas ce n est pas forcément utle lorsque l on demande unquement la poston relatve Ne pas écrre > D, n < D Ne pas dre que et D sont confondues aux ponts d abscsses et n vérfe les résultats graphquement sur calculatrce ou sur ordnateur Fare le graphque I 5 D 9 Étude de la poston relatve d une parabole et d une drote Soluton détallée : : y x x D : y x Étudons la poston relatve de la courbe et de la drote D n calcule f x x x x f x x x est un polynôme du second degré [mportant à dre] est une racne évdente du polynôme L autre racne est donc SGN de x + f x + 0 0 + S x ] ; [ ] ; + [, alors f x 0 donc est strctement au-dessus de D S x ] ; [, alors f x 0 donc est strctement au-dessous de D et D sont sécantes aux ponts d abscsses et 0 Étude de la poston relatve de deux paraboles : y x x 5 9 : y x 5x Étudons la poston relatve de et Pont-méthode : 5 9 Pour étuder la poston relatve de et, on dot comparer x x et x 5x n va utlser la méthode de la dfférence n calcule la «dfférence des deux équatons» ou plutôt la dfférence des expressons des seconds membres des deux équatons
f x 5 9 x x x 5x x 8x n calcule Le polynôme x 8x 7 f x a pour racnes et 7 Tableau à compléter : Fgure a Fgure b Fgure c Fgure d Sgne de a + + Nombre de racnes 0 Sgne de 0 + + x SGN de f x 0 + 0 7 S x ; ;, alors f x 0 donc est strctement au-dessous de 7 S x ; f x donc est strctement au-dessus de, alors 0 et sont sécantes aux ponts d abscsses et 7 n vérfe les résultats graphquement sur calculatrce ou sur ordnateur 7 + Quelques explcatons : Pour le sgne de a, on regarde la concavté de la parabole : s la concavté est tournée vers les «y postfs», alors a > 0 ; s la concavté est tournée vers les «y négatfs», alors a < 0 Pour le nombre de racnes du polynôme, on regarde le nombre de ponts d ntersecton de avec l axe des abscsses : - s l y a deux ponts d ntersecton, alors le polynôme admet deux racnes dstnctes dans ; - s l y a un pont d ntersecton, alors le polynôme admet une racne dans ; - s l n y a aucun pont d ntersecton, alors le polynôme n admet aucune racne dans Le sgne de se dédut du nombre de racnes Pour deux racnes dstnctes, > 0 Pour une racne double, = 0 Pour 0 racne, < 0 b a n obtent le système f f x : y x 5 0 5 d où b 8a 6a b c a 0 b 0 c 5 Soluton détallée : : y ax bx c ( a 0 ) b a pour sommet S( ; ) donc () et a b c () a Remarque : n ne met amas «y», «y» ou «y» dans une équaton de courbe n lassera y dans tous les cas contrarement aux calculatrces qu mettent Y et Y Retenr que pour une équaton de courbe, on dot touours lasser y : on n a ren le drot de raouter, n y, n y, n y, n y coupe l axe des ordonnées au pont A d ordonnée 5 Le pont A a pour abscsse 0 donc a0 b0 c 5 () () donne b 8a () donne 6a + b + c = (') () donne c = 5 (') donne alors 6a + b = 8 sot a b
Avec ('), on obtent a 8a = sot a = donc a n obtent alors b 8 x n en dédut que a pour équaton y x 5 Il peut être ntéressant de tracer la parabole et de regarder qu elle vérfe ben les condtons Intersecton de deux paraboles Quelques ndcatons : ) Les courbes et sont des paraboles est tournée vers le haut est tournée vers le bas omme le repère est orthonormé, la parabole admet la drote d équaton x = pour axe de symétre : y x 6x 5 n reconnaît une équaton de la forme y ax bx c avec a =, b = 6 et c = 5 b xs n peut donc dre que est une parabole de sommet S a tournée vers le bas (car y 6 5 a < 0) Pour effectuer le tracé, on réalse un pett tableau de valeurs x 5 y 0 0 omme le repère est orthonormé, la parabole admet la drote d équaton x = pour axe de symétre S Pour le tracé, on peut utlser l axe de symétre de chacune des courbes Présentaton des calculs des coordonnées du sommet S : S xs y x 0 S S S' Quand on effectue le tracé, on constate que le sommet de chaque parabole est stué sur l autre ce que l on retrouvera dans la queston suvante par le calcul ) Les abscsses des ponts d ntersecton de et sont les solutons de l équaton x méthodes : dscrmnant rédut ou racne évdente oncluson : A ; B avec A ( ; 0) et B ( ; ) n peut utlser les abscsses des ponts d ntersecton pour calculer leurs ordonnées En fat, S ; S' x 0 S Soluton détallée : : y x n reconnaît une équaton de la forme y a x avec a =, = et = 0 n évte de développer n peut donc dre que est une parabole de sommet S xs ys 0 tournée vers le haut (car a > 0) Pour effectuer le tracé, on réalse un pett tableau de valeurs x 0 y 0 ) Détermnons les coordonnées des ponts d ntersecton de et Les abscsses des ponts d ntersecton de et sont les solutons de l équaton () est successvement équvalente aux équatons suvantes : x x x 6x 5 x 8x 6 0 x x 0 () est racne évdente de () Les racnes de () sont (racne évdente) et (obtenu par produt) x x 6x 5 () Les abscsses des ponts d ntersecton de et sont donc et
oncluson : A ; B avec A ( ; 0) et B ( ; ) Pour calculer les ordonnées des ponts A et B, on utlse les abscsses de ces ponts et l équaton de ou de En fat, S ; S' Étude d une famlle de paraboles dépendant d un paramètre et exercce est ntéressant à trater à l ade d un logcel de géométre dynamque Quelques ndcatons : ) Présentaton des calculs : x mx 6m 9 y ) : y x 6x ; est le sommet de Soluton détallée : m : y x mx 6m m est un paramètre n étude une famlle de paraboles dépendant d un paramètre ) Vérfons que toutes les paraboles m passent par le pont ( ; 9) n a : x mx 6m 9 6m 6m 9 y Donc toutes les paraboles m passent par le pont ( ; 9) n ne dt pas que les paraboles sont concourantes au pont Le mot «concourantes» ne s emploe que pour des drotes
) S : sommet de m alculons les coordonnées de S en foncton de m m xs m S est le sommet de m donc S y x mx 6m m m 6m m 6m S S S 9 Dédusons-en que S appartent à une parabole fxe omme xs m, on a : ys xs 6xS donc on en dédut que S appartent à la parabole d équaton y x 6x ) Traçons : y x 6x U a pour sommet U x y U 9 6 donc U = est le sommet de x 0 5 6 y 0 5 8 9 8 5 0 n pourrat auss dresser le tableau de varaton de la foncton f : x x 6x x + 9 Il est partculèrement ntéressant d utlser un logcel de tracé de courbes dynamque sur ordnateur pour fare apparaître la famlle de paraboles
5 Il s agt d un problème d optmsaton Hypothèses : ABD carré de côté a ( a 0 ) I [AB], J [B], K [D], L [DA] tels que AI = BJ = K = DL = x n admet que IJKL est un carré (attenton, ce n est pas une hypothèse ; cela résulte d une démonstraton que l on ne fat pas c car l énoncé demande d admettre ce résultat) Fare une fgure D K L J A I B n peut réalser la fgure à l ade de Geogebra (fgure dynamque) qu permet d avor une dée du mnmum Pour cela, les ponts I, J, K, L dovent être mobles ) Exprmons l are de IJKL en foncton de x (et de a) Pour calculer l are du carré IJKL, l y a deux méthodes : ère méthode : Pour aller plus lon : n pourrat demander l ensemble des ponts S lorsque m décrt Pour répondre, on dra que xs part sute, S décrt la parabole tout entère m donc lorsque m décrt, l abscsse de S décrt également tout enter et L ensemble des ponts S lorsque m décrt est donc la parabole n peut dre que l are du carré IJKL est égale à l are du carré ABD mons l are des trangles IBJ, JK, KDL, LAI es quatre trangles sont sométrques xa x n obtent : A IJKL = A ABD (A BIJ + A JK + A DKL + A DAIL) a x ax a e méthode : n calcule IJ (nutle de calculer IJ car on aura beson du carré de IJ) Le trangle IBJ est rectangle en B donc d après le théorème de Pythagore, on a : IJ IB BJ d où IJ a x x sot IJ x ax a A IJKL IJ x ax a
) Détermnons pour quelle valeur de x l are de IJKL est mnmale n consdère la foncton f : x x ax a Il s agt d une foncton polynôme du second degré Ses coeffcents sont : ; a ; a a a n obtent le tableau de varatons suvant : x a a f + a a f a a a a a a a a D après le tableau de varaton, le mnmum de f sur l ntervalle 0 ; a est égal à a L are du carré IJKL est mnmale pour x Dans ce cas, I, J, K, L sont les mleux des côtés attent en a x NB : n aurat auss pu applquer drectement le résultat sur les extremums d une foncton polynôme du second degré sans fare le tableau de varaton Le mnmum obtenu est logque pour rason de symétre 6 n utlse la règle du cours avec Il faut pour cela que la foncton polynôme sot mse sous forme canonque ce qu est le cas : y x n vérfe tous les résultats en traçant les paraboles sur l écran de la calculatrce ou sur ordnateur ) : y x n passe de à par la translaton de vecteur Fare les graphques : y x ) n passe de à par la translaton de vecteur Fare le graphque : y x ) n passe de à par la translaton de vecteur : y x ) n passe de à par la translaton de vecteur
lassfcaton des exercces par compétences ompétences Exercces Étuder les varatons d une foncton polynôme du second degré et Tracer la représentaton graphque d une foncton polynôme du second degré, et 5 Détermner s un pont appartent ou non à une parabole 6 Détermner les abscsses des ponts d ntersecton d une parabole avec l axe des abscsses 7 Détermner les coordonnées des ponts d ntersecton d une parabole et d une drote 8 Détermner les coordonnées des ponts d ntersecton de deux paraboles Détermner la poston relatve de deux paraboles 9 et 0 Savor reler des proprétés géométrques d une parabole à celles de la foncton trnôme qu elle représente Résoudre un problème d optmsaton à l ade d une foncton polynôme du second degré Savor reconnaître la translaton permettant de passer de la parabole représentant la foncton «carré» à une autre parabole 5 6 L exercce relève de pluseurs compétences