vril 13 Avertissement : Il subsiste certinement quelques coquilles... Eercice 1 : une série de Fourier Correction CCP mths 1 MP 1. On note n (f et b n (f les coefficients de Fourier réels de f qui sont bien définis cr f est continue pr morceu sur R et π périodique. f est impire donc n N, n (f. Soit n N. b n (f π sin(nt dt [ ] π cos(nt π π n nπ (1 ( 1n. 4 Ainsi, p N, b p+1 (f (p + 1π et p N, b p (f.. L fonction f est constnte pr morceu donc de clsse C 1 pr morceu (et π périodique. S série de Fourier converge donc simplement vers s régulrisée. Pr construction, f est s propre régulrisée donc on l églité suivnte vec convergence de l série : 4 R, sin((p + 1 f(. π(p + 1 4 En prticulier, pour π/ : π(p + 1 sin((p + 1π/ f(π/ donc 4 π p + 1 1 donc p + 1 π 4. Pr illeurs, l églité de Prsevl Bessel s pplique cr f est continue pr morceu et π périodique. On peut donc écrire l églité suivnte vec convergence de l série : 1 (b p+1 (f 1 π f(t dt. π π On obtient insi : 1 16 1 π (p + 1 1 donc 1 (p + 1 π 8. Eercice : un système différentiel 1. χ A (X (1 X(3 X + 1 X 4X + 4 (X. D près le théorème de Cley Hmilton (ou pr vérifiction immédite, (A I donc A I est nilpotente. Soit t R. ( e ta e t e tb e t 1 (tbn e t t n I + tb + Bn e t (I + tb. En effet, B donc n, B n. (. En notnt X y n, le système et les conditions initiles se réécrit mtriciellement sous l forme équivlence suivnte : { X AX X( t (1,. Pr théorème de cours, ce problème de Cuchy linéire à coefficients constnts dmet une unique solution : l fonction définie sur R ( 1 pr t R, X (t e ta. Simplifions cette ( dernière epression. ( (( ( ( 1 1 1 1 1 3t Soit t R. e ta e t (I + tb e t + tb e t + 3t Conclusion : l unique couple solution est le couple (t e t (1 3t; t e t ( + 3t.. 1
Problème : séries de Tylor et développement en série entière Prtie préliminire 1. L série entière n n 1 est l série dérivée de l série entière n. Cette dernière pour ryon de convergence 1 donc l série n1 dérivée est de même ryon de convergence et s somme est l dérivée de l série De plus, ] 1, 1[, n1 n. n 1 1. Donc ] 1, 1[, n n 1 1 (1.. Soit >. Fions deu réels et A tels que < < A. Posons les fonctions u et v définies sur le segment [, A] pr u(t t et v(t e t. u et v sont de clsse C 1 sur [, A] et t [, A], u (t t 1 et v (t e t. A Pr le théorème d intégrtion pr prties, t e t dt [ t e t] A A + t 1 e t dt e A e A + On fit tendre vers et A vers +. Pr définition de l fonction Γ, les deu intégrles convergent respectivement vers Γ( + 1 et Γ(. Comme est strictement positif, tend vers donc e t O( églement qund tend vers. Enfin, pr théorème de comprison, A e A tend vers qund A tend vers +. Pr unicité de l limite, on obtient l églité Γ( + 1 Γ(. Montrons pr récurrence sur n N le prédict P (n : Γ(n (n 1!. Γ( + e t dt 1! donc P ( est vri. Soit n N. On suppose que P (n est vri. n > donc Γ(n + 1 nγ(n n(n 1!. Donc P (n + 1 est vri. Conclusion : pr le principe de récurrence, P (n est vri pour tout n N et n N, Γ(n (n 1!. n ( k 3. Soit R fié. Montrons pr récurrence sur n N le prédict P (n : f( f (k ( + Initilistion : ( f (k ( t ( + f (t dt f( + f (t dt f( + f( f( f(.! Donc P ( est vri. Soit n N. On suppose P (n 1 vri. ( tn Définissons les fonctions u et v sur I pr u(t et v(t f (n (t. u et v sont de clsse C 1 sur I et t I, u ( tn 1 ( tn 1 (t n et v (t f (n+1 (t. (n 1! ( t n [ ] ( t Pr le théorème d intégrtion pr prties, f (n+1 n (t dt f (n (t + n cr n 1. En eploitnt l hypothèse de récurrence, on obtient insi ( t n f (n+1 (t dt ( n f (n ( + f( n 1 P (n est donc vri. Conclusion : pr le principe de récurrence, P (n est vri pour tout n N. Prtie 1 : quelques eemples 4. Pr théorème, R, sin De plus, (p + 1! p+1. Donc R, f( (p + 1! p 1 f( donc R, f( ( k f (k ( f( (p + 1! p. f dmet donc un développement en série entière sur l intervlle ], +[. Cette fonction est donc de clsse C sur R. A t 1 e t dt. ( t n f (n+1 (t dt. ( t n 1 f (n (t dt. (n 1! n ( k f (k (. (p + 1! p.
5. ] 1, 1[ est un voisinge de. D près l question 1, ] 1, 1[, (1 n n n n. L fonction f définie sur ] 1, 1[ pr f( n1 est donc développble en série entière sur l intervlle ] 1, 1[. Elle est de clsse (1 C et d près le théorème rppelé, n N, f (n ( n donc n N, f (n ( n.. 6. ( f est de clsse C donc en prticulier, continue sur ] R, R[. Or [, 1] ] R, R[ cr R > 1. Donc f est continue sur le segment [, 1]. Pr théorème elle est bornée. Il eiste et on le fie un réel M > tel que [, 1], f( M. f (n ( Pr théorème, pour tout réel du disque ouvert de convergence ] R, R[, l série n est bsolument convergente. Or 1 ] R, R[ donc f (n ( est le terme générl d une série convergente. Enfin, [, 1], (n f(f ( n M f (n ( donc sup (n f(f ( n M f (n ( [,1]. Pr définition, l série de fonction f( f (n ( n converge normlement sur l intervlle [, 1]. (b Pour tout [, 1], f( f (n ( n f( f (n ( n f(. Donc l série de fonction précédemment étudiée converge normlement donc uniformément sur le segment [, 1] vers l fonction (f(. Les fonctions sont continues. 1 Pr théorème d intégrtion terme à terme, f( f (n ( 1 d f( n d. L fonction f( est continue, positive et d intégrle nulle sur le segment [, 1] donc pr théorème, cette fonction est nulle et [, 1], f(. Pr le crctère intègre de R, [, 1], f(. (c Soit ], 1[ fié. Au voisinge de, f est identiquement nulle donc n N, f (n (. Soit n N. ], 1[, f (n ( donc f (n est nulle sur ], 1[. Pr continuité de f (n en (à droite, f (n (. f (n ( Donc ] R, R[, f( n. Conclusion : f est l fonction nulle sur l intervlle ] R, R[. Prtie : contre-eemples 7. On définit l fonction f sur R pr f( 1 1 +. Pr les théorèmes généru, f est de clsse C sur R. f est développble en série entière sur ] 1, 1[ et ] 1, 1[, f( ( 1 n n. En revnche, cette série n est ps définie pour 1 (terme générl qui ne tend ps vers donc f ne coïncide ps vec s série de Tylor en sur R tout entier. 8. ( (b Dns cette question, nous identifions les polynômes à coefficients réelles et les fonctions polynomiles ssociées. Démontrons pr récurrence sur n N le prédict P (n : P n R[X] >, f (n ( P n( 3n e 1/. Initilistion : Posons P 1 qui est bien un polynôme... >, P ( 3 e 1/ e 1/ f(. Donc P ( est vri. Soit n N. Supposons P (n 1 vri. Alors, il eiste et on le fie un polynôme P n 1 R[X] tel que >, f (n 1 ( P n 1 ( 3n+3 e. 3
Pr dérivtion de l églité précédente, on >, f (n ( P n 1( 3n+3 e 1/ + P n 1 (( 3n + 3 3n+ e 1/ + P n 1 ( 3n+3 ( 3 e 1/ 1 3n e 1/ ( 3 P n 1( + ( 3n + P n 1 ( + P n 1 (. Posons P n X 3 P n 1 + ( 3n + X P n 1 + P n 1. Pr stbilité de R[X] pr l dérivtion, le produit, l somme... P n est un polynôme de R[X] et il vérifie >, f (n ( P n ( 1 3n e 1/. P (n est donc vri. Conclusion : pr le principe de récurrence, P (n est vri pour tout n N ce qui démontre le résultt. (c Montrons pr récurrence sur n le prédict P (n : f est de clsse C n sur [, +[ et f (n. Initilistion : 1 f est continue sur ], +[. De plus, lim et lim + t eu donc pr composition des limites, lim +f( f(. Donc f est continue à droite en. f est donc continue sur [, +[ ce qui démontre P (. Soit n N. Supposons P (n 1 vri. Alors f (n 1 est bien définie et continue sur [, +[. De plus, f est de clsse C sur ], +[ donc f (n 1 est de clsse C 1 sur ], +[. D près l question précédente, >, (f (n 1 ( f (n ( P n( 3n e 1/. Pr les théorèmes de comprison des fonctions usuelles, u voisinge de +, u 3n e u o(1. Or lim +(1/ + donc pr substitution, u voisinge de 1 +, e 1/ o(1. 3n P n est une fonction polynomile donc continue en donc bornée u voisinge de. P n ( Ainsi, pr théorème d opértions, lim + 3n e 1/ donc lim +(f (n 1 (. En résumé, f (n 1 est continue sur [, +[, de clsse C 1 sur ], +[ et lim +(f (n 1 (. Pr théorème de prolongement de l clsse C 1, f (n 1 est de clsse C 1 sur [, +[ et (f (n 1 ( lim (f (n 1 (. + Pr définition, f est donc de clsse C n sur [, +[ et f (n ( (f (n 1 ( ce qui démontre P (n. Conclusion : pr le principe de récurrence, P (n est vri pour tout n N. f est donc de clsse C sur [, +[ et n N, f (n (. (d Supposons qu il eiste r > tel que l fonction f soit développble en série entière sur ] r, r[. f (n ( D près le théorème rppelé et l question précédente, ] r, r[, f( n. En prticulier, r/ ] r, r[ et r/ donc e 4/r : bsurde. Conclusion f n est ps développble en série entière sur ucun intervlle de l forme ] r, r[ vec r >. 9. ( Soit R. t, 1 + t 1 donc t est bien définie et continue d près les théorèmes généru sur [, +[. 1 + t e t Au voisinge de +, 1 + t O(. t e t est de signe constnt et intégrble u voisinge de + donc t 1 + t est intégrble sur [, +[. f est donc bien définie sur R. Fions un réel strictement positif. Posons l fonction g définie sur [, +[ [, ] pr g(t, 1 + t. Soit t fié. g(t, est dérivble sur [, ] et [, ], g t (, t (1 + t. De plus, [, ], g (, t t. L fonction t te t est positive et intégrble sur [, +[ en prticulier cr u voisinge de +, te t o(1/t. Pour tout [, ], les fonctions t g(, t et t g (, t sont intégrbles sur [, +[. Pr théorème, l fonction + pour tout >. Donc f est de clsse C 1 sur R. g(, t dt f( est de clsse C 1 sur [, ] donc f est de clsse C 1 sur [, ] et ceci 4
(b Soit t > fié. Posons α 1 t qui est un réel strictement positif. Soit ] α, α[. Alors t [, 1[. e t Donc 1 + t (t p t p (p!e t p. (p! Notons h l fonction définie sur R pr h( 1 + t. D près ce qui précède, h est développble en série entière sur l intervlle ] α, α[ donc pr le théorème rppelé, p N, f (p ( (p!t p e t et f (p+1 (. (c D près l question précédente et le résultt dmis à l fin de l question 9(, p N, f (p+1 ( + + dt et f (p ( (p!e t t p dt (p!γ(p + 1 (p!p!. f (n ( Ainsi, on peut réécrire insi (formellement l série entière n : f (n ( n (p!p! + p p! p. (p! Soit un réel non nul fié. Posons u p p! p, terme générl d une suite de réels tous non nuls. Pour tout p N, u p+1 p qui tend vers + qund p tend vers. u p Donc u p n est ps le terme générl d une série bsolument convergente. f (n ( Pr crctéristion du ryon de convergence d une série entière, celui de l série entière n est donc nul. Supposons qu il eiste r > tel que f soit développble en série entière sur ] r, r[. f (n ( Alors, pr le théorème rppelé, ] r, r[, f( n et, pr crctéristion du ryon de convergence, celui de f (n ( l série entière n est donc supérieur ou égl à r. Donc r : bsurde. Donc f n est ps développble en série entière u voisinge de. Prtie 3 : condition suffisnte 1. ( Fions un réel ], [. Soit n N. f est de clsse C n+1 sur l intervlle ], [. (, ], [. f (n+1 M. n Pr l inéglité de Tylor Lgrnge, on obtient lors f( f (k ( k n+1 M M n+1 (n + 1! (n + 1!. ( ( n+1 n f (k ( Pr comprison des suites usuelles, donc pr théorème d encdrement, k (n + 1! n N f (k ( que l on peut réécrire k f(. f est donc développble en série entière sur ], [ donc u voisinge de. f(ce (b (n, N R, sin (n ( 1 donc sin est développble en série entière u voisinge de (sur R... pr l question précédente. 5