COUPLES DE VARIABLES ALEATOIRES

A. Cs générl ) Définition COUPLES DE VARIABLES ALEATOIRES L loi d un coupl XY, d dux vribls létoirs définis sur l mêm spc probbilisé, TP, st donné pr l fonction F XY, défini sur ) Propriété (dmis) létoirs g X, Y t, pr : x, y, F x, y P X x Y y XY, Si dux coupls X, Y t X, Y d vribls létoirs définis sur l mêm spc probbilisé, TP, ont mêm loi t si g st un fonction continu sur lors ls vribls g X Y ont mêm loi Exmpls : Si X, Y t X, Y sont dux coupls d vribls létoirs définis sur l mêm spc probbilisé, TP, qui ont mêm loi Alors Ls vribls létoirs XYt X Yont mêm loi Ls vribls létoirs XYt X Yont mêm loi Ls vribls létoirs XYt XYont mêm loi 3) Définition Dux vribls létoirs X t Y définis sur l mêm spc probbilisé, TP, sont indépndnts si t sulmnt si, pour tous réls x t y, Rmrqu : P X x Y y P X x P Y y Ctt drnièr églité put s écrir : x, y, F x, y F x F x 4) Crctéristions ) Crctéristion Dux vribls létoirs X t Y définis sur l mêm spc probbilisé, TP, sont indépndnts si t sulmnt si, pour tous intrvlls I t J d, P X I Y J P X I P Y J XY, X Y

b) Crctéristion Dux vribls létoirs X t Y définis sur l mêm spc probbilisé, TP, sont indépndnts si t sulmnt si Tout évènmnt A T st indépndnt d tout évènmnt B TY X Rppl : On nott X l tribu ou -lgèbr ngndré pr ls évènmnts X x pour tout rél x 5) Espérnc conditionnll dns l cs d l indépndnc Soint dux vribls létoirs X t Y définis sur l mêm spc probbilisé, TP, Si X st un vribl létoir discrèt Si Y st indépndnt d X Si AT Y / E X E X A Démonstrtion : Soit un vribl létoir discrèt défini sur un spc probbilisé, TP, qui dmt un spérnc t tll qu / E X E X A x P X x x P X x A A i A i xx ii Comm X x i TX, X x i st indépndnt d A TY (crctéristion), on t E X / A xi P X xi E X P X x P X x A i i X ; X x i I i ii

B. Coupls d vribls létoirs discrèts ) Crctéristion d l loi d un coupl d vribls létoirs discrèts L loi d un coupl XY, d dux vribls létoirs discrèts définis sur l mêm spc probbilisé, TP, st crctérisé pr l donné ds vlurs P X xy y PX x, Y y PX x t Y y x, y X Y L loi du coupl,,pour tout coupl En fft ls y j XY prmt d détrminr ls lois d X t d Y : ( Y ) formnt un systèm complt d événmnts, l formul ds jj probbilités totls donn : p X x ) p( X x Y y ) D mêm ls x i ii ( i i j jj ( X ) formnt un systèm complt d événmnts, on obtint p( Y y j ) p( X xi Y y j ) ii Mis ls lois d X t d Y n prmttnt ps, n générl, d détrminr l loi du coupl ) Crctéristion d l indépndnc d dux vribls létoirs discrèts Dux vribls létoirs discrèts X ty définis sur l mêm spc probbilisé, TP, sont indépndnts si t sulmnt si, pour tout couplx, y X Y P X x Y y = P X x PY y, Dns c cs ls lois d X t d Y prmttnt d détrminr l loi du coupl 3) Loi d l somm d dux vribls létoirs discrèts Soint dux vribls létoirs discrèts X ty indépndnts définis sur l mêm spc probbilisé, TP,, on : pour tout rél z, P X Y z P X x P Y z x xx Démonstrtion : X x formnt un systèm complt, l formul ds probbilités Ls évènmnts xx totls donn : P X Y z P X x X Y z xx Soit P X Y z P X x Y z x xx sont indépndnts, il vint Si z xy lors PY z x 0 xx t comm ls vribls létoirs X ty P X Y z P X x P Y z x P X Y z P X x P Y z x On put donc écrir xx zxy 3

4) Stbilité pr l somm ) Stbilité d l loi binomil Soint X t Y sont dux vribls létoirs indépndnts définis sur l mêm spc probbilisé X B n, p Y B m, p X Y B n m, p Si t lors Rmrqu : n t m désignnt ds ntirs nturls non nuls t p un rél pprtnnt à l intrvll 0, Démonstrtion X Comm 0, n ty 0, m, on 0, s 0, m n, P X Y s k 0, n sk 0, m s k 0, m 0 s k m s m k s Il vint : X Y m n P X k P Y s k s 0, m n, P X Y s On s 0, m n, P X Y s Soit s 0, m n, P X Y s kmin n, s kmx(0, sm) P X k P Y s k kmin n, s kmx(0, sm) s pq mn s n m p q p q k s k kmin n, s n m mx(0, sm) k s k k k nk sk msk Pour conclur nous vons bsoin d l idntité d Vndrmond mn mn m n r x x r0 r m n m n mn m n m i n j m n i j Or x x x x x x i0 i j0 j i0 j0 i j m n Idntifions ls trms ds dux dévloppmnts du polynôm x Pour tout ntir nturl r m n, on Donc m n imin( r, m) m n = r imx(0, rn) i r i Rtour u problèm initil s 0, m n, P X Y s pq b) Stbilité d l loi d Poisson m n x r = r s mn s m n k imin( r, m) imx(0, rn) m n r x i r i, donc X Y Bm n, p Soint X t Y sont dux vribls létoirs indépndnts définis sur l mêm spc probbilisé Si X P Y P X Y P t lors 4

Rmrqu : t désignnt ds réls strictmnt positifs Démonstrtion Comm X ty, on X Y s, P X Y s s k s k k sk P X k P Y s k Il vint : s, P X Y s P X k PY s k Soit s, P X Y s s k s k s k 0 k0 k! s k! s k s k s! = k! s k! s! k0 Soit finlmnt s, P X Y s s! s k0 s k k sk s donc X Y P s! 5) Loi d un vribl létoir fonction d dux vribls létoirs discrèts, on montr qu l vribl létoir Z g X, Y Pour tout coupl XY, d vribls létoirs discrèts t pour tout fonction g défini sur X( ) Y( ) st un vribl létoir discrèt ) Problémtiqu : détrminr l loi d l vribl létoir discrèt Z Soint X ty dux vribls létoirs discrèts définis sur l mêm spc probbilisé (,, p), z Z Z z X x Y y x, y X Y gx, y z Ctt union st un union d évènmnts incomptibls dux à dux, donc on, z Z p Z z p X x Y y x, y X Y gx, y z Exmpls : Z X Y, Z mx X, Y, Z min X, Y. b) Théorèm «d trnsfrt» : Soint X ty dux vribls létoirs discrèts définis sur l mêm spc probbilisé (,, p) t g un fonction, à dux vribls, défini sur X ( ) Y( ). L vribl létoir discrèt Z g X, Y spérnc défini pr :, x, yx Y dmt, sous résrv d convrgnc bsolu, un E Z g x y P X x Y y On lors E( Z) g( x, y ) p( X x Y y ) xx yy yy xx g( x, y ) p( X x Y y ) 5

c) Applictions (dmiss) i. Appliction : Z=X+Y On lors E Z) ( x y ) p( X x Y y ) sous résrv d convrgnc bsolu ( i j i j ii jj Si X ty dmttnt chcun un spérnc, lors X Ydmt un spérnc t on E X Y E X E Y (linérité d l spérnc) Conséquncs : Croissnc d l spérnc Si dux vribls létoirs discrèts X t Y définis sur l mêm spc probbilisé,,p dmttnt un spérnc t si X Y prsqu sûrmnt (c st à dir Y 0 ), lors E X E Y P X Si dux vribls létoirs discrèts X t Y définis sur l mêm spc probbilisé,,p dmttnt un spérnc t si X Y prsqu sûrmnt (c st à dir P X Y 0), lors E Y E X Existnc d un spérnc pr domintion Si dux vribls létoirs discrèts X t Y définis sur l mêm spc probbilisé,,p vérifint 0 X Y prsqu sûrmnt t si Y dmt un spérnc, lors X dmt un spérnc t dns c cs, on E X E Y ii. Appliction : Z=XY On lors E Z) x y p( X x Y y ) sous résrv d convrgnc bsolu ( i j i j ii jj Si X ty sont dux vribls létoirs discrèts indépndnts dmttnt chcun un spérnc, lors. E XY E X E Y XYdmt un spérnc t on Rmrqu : Si X ty sont dux vribls létoirs discrèts dmttnt chcun un momnt d ordr lors XYdmt. un spérnc En fft, pour tous réls t b, Donc x, y X Y, Nous vons x, y X Y, Il vint Puis b b xy x y xy P X x Y y x y P X x Y y xy P X x Y y x P X x Y y y P X x Y y xy P X x Y y x P X x y P Y y,c qui ssur l résultt 6

6) Covrinc ) Définition Soint X ty dux vribls létoirs discrèts définis sur l mêm spc probbilisé Cov X, Y défini dmttnt un momnt d ordr, on ppll covrinc d X ty l rél noté pr :, Cov X Y E X E X Y E Y b) Propriétés d l covrinc : Soint XYt, Z trois vribls létoirs discrèts définis sur l mêm spc probbilisé dmttnt un momnt d ordr Symétri : Cov Y, X Cov X, Y Linérité à guch :, Cov X Y, Z Cov X, Z Cov Y, Z Linérité à droit :, Cov X, Y Z Cov X, Y Cov X, Z, Cov X, 0 Cov( X, X ) V X c) Formul d Huygns-Konig Soint X ty dux vribls létoirs discrèts définis sur l mêm spc probbilisé dmttnt un momnt d ordr Cov X, Y E XY E X E Y Conséqunc : Si X ty sont indépndnts lors, 0 Dux vribls létoirs X ty tlls qu Cov X Y mis l réciproqu st fuss. Cov X, Y 0sont dits non corrélés d) Vrinc d l somm d dux vribls létoirs discrèts : Soint X ty dux vribls létoirs discrèts, définis sur l mêm spc probbilisé, dmttnt chcun un vrinc. L vribl létoir discrèt X Y dmt un vrinc t on : V X Y V X V Y Cov X, Y Donc Si X ty sont indépndnts lors V X Y V X V Y mis l réciproqu st fuss 7) Cofficint d corréltion linéir : ) Définition Soint X ty dux vribls létoirs discrèts dmttnt chcun un vrinc non null 7

L cofficint d corréltion linéir d X t Y st l rél noté XY, b) Propriétés On cov( X, Y) ( X ). ( Y) XY XY, cov( XY, ) ( X). ( Y) défini pr : (Inéglité d Cuchy-Schwrz) t donc XY,, si t sulmnt si Y st fonction qusi-ffin d X (c st à dir il xist dux réls t b tls qu p ( Y X b) ). XY, L sign d XY, «msur» grossièrmnt l dépndnc linéir ds vribls X t Y. (t donc clui d cov( XY, ) ) indiqu si ls dux vribls ont tndnc à vrir dns l mêm sns ou n sns contrir. Démonstrtion : Montrons qu cov( X, Y) ( X ). ( Y) Considérons l vribl létoir X Y où Ctt vribl létoir dmt un vrinc V X Y cov X Y, X Y V X cov X, Y V Y P SiV X 0, P st un polynôm du scond dgré positif L discriminnt d P qui vut 4 cov X, Y V X V Y On n déduit qu cov X, Y V X V Y soit cov( X, Y) ( X ). ( Y) rcin crré st croissnt sur0, st donc négtif SiV X 0, P st un polynôm d dgré infériur ou égl à toujours positif puisqu l fonction Supposons cov X, Y 0, P st lors un polynôm d dgré, il chng donc d sign : c st bsurd Pr conséqunt cov XY, 0 t l inéglité cov( X, Y) ( X ). ( Y) st vérifié X, Y cov X, Y ( ) X Y cov X, Y X Y Comm X ty sont dux vribls létoirs discrèts dmttnt chcun un vrinc non null, on V X 0 XY, XY, 0 V 0X Y XY, X Y C XY, P st un polynôm du scond dgré positif dont l discriminnt st nul, 0 0 prsqu sûrmnt Y st fonction qusi-ffin d X ou ffin prsqu sûrmnt 8

C. COUPLES DE VARIABLES ALEATOIRES A DENSITE ) Linérité d l spérnc Soint dux vribls létoirs à dnsité X ty définis sur l mêm spc probbilisé Si X ty dmttnt chcun un spérnc, lors X Ydmt un spérnc t on E X Y E X E Y (linérité d l spérnc) Conséquncs : Croissnc d l spérnc Si dux vribls létoirs à dnsité X t Y définis sur l mêm spc probbilisé,,p dmttnt un spérnc t si X Y prsqu sûrmnt (c st à dir Y 0 ), lors E X E Y P X Si dux vribls létoirs X t Y définis sur l mêm spc probbilisé,,p dmttnt un spérnc t si X Y prsqu sûrmnt (c st à dir P X Y 0), lors E Y E X Existnc d un spérnc pr domintion Si dux vribls létoirs à dnsité X t Y définis sur l mêm spc probbilisé,,p vérifint 0 X Y prsqu sûrmnt t si Y dmt un spérnc, lors X dmt un spérnc t dns c cs, on E X E Y ) Dnsité d l somm d dux vribls létoirs à dnsité indépndnts Soint X ty dux vribls létoirs à dnsité définis sur l mêm spc probbilisé Soit f un dnsité d l vribl X Soit g un dnsité d l vribl Y Si l fonction h défini pr l rltion h x f t g x t dt st défini t continu suf put-êtr n un nombr fini d points, c st un dnsité d l vribl létoir Z X Y Rmrqu : C st l cs si f (ou g ) st borné L produit d convolution d l fonction f pr l fonction g st l fonction f pr f g x f t g x t dt f x t g t dt 9 gdéfini sur Ctt définition st à «comprr» vc l églité étbli pour dux vribls létoirs discrèts indépndnts X ty : z, P X Y z P X x P Y z x xx

3) Propriétés dmiss ) Espérnc d un produit Si X ty sont dux vribls létoirs à dnsité indépndnts définis sur l mêm spc probbilisé, dmttnt chcun un spérnc. E XY E X E Y L vribl létoir dmt un spérnc t on b) Vrinc d un somm Soint X ty dux vribls létoirs à dnsité indépndnts définis sur l mêm spc probbilisé, dmttnt chcun un vrinc. L vribl létoir X Y V X Y V X V Y dmt un vrinc t on : Rmrqu : Si X ty sont dux vribls létoirs discrèts dmttnt chcun un momnt d ordr lors XYdmt. un spérnc 4) Stbilité pr l somm ) Stbilité d l loi pr l somm Soint X ty dux vribls létoirs à dnsité indépndnts définis sur l mêm spc probbilisé Si X t si Y lors X Y Démonstrtion : Notons f t g ls dnsités rspctivs d X ty Soit l fonction h défini pr l rltion f x x t g x x si x 0 0 0 t 0 0 t On 0 si x 0 h x f t g x t dt f t g x t t x t t t x Si x 0, hx 0 x x, Si 0 0 si x 0 x x x si 0 x t xt h x f t g x t dt t x t dt 0 0 x x Soit h x t x t dt 0 En ffctunt l chngmnt d vribl t ux x x x Il vint h x ux x xu x du u u du 0 0 0

L xprssion u u du 0 n dépnd ps d l vribl x : ll st constnt t st noté C L fonction st continu sur suf put-êtr n 0 ; c st un dnsité d X Y Comm hx dx hx dx, il vint C 0 x x dx Finlmnt si 0 x, hx x x b) Stbilité pr l somm d l loi norml Soint X ty dux vribls létoirs à dnsité indépndnts définis sur l mêm spc probbilisé X N m, Y N m, X Y N m m, Si t lors 0 Démonstrtion : L fonction f X étnt borné, on put dir qu l fonction h défini sur tm xtm hx dt st un dnsité d X Y pr Trvil préliminir : Soint trois réls bt, c vc 0 ) Montrr qu, pour tout rél t, t bt c t b vc b 4c 4 t btc 4 ) En déduir qu, pour tout rél t, f t où f st l dnsité d un loi norml à précisr t btc 3) En déduir qu ls intégrls dt sont bsolumnt convrgnts t sont 4 égls à Corrction trvil préliminir : ) b c b b c b t bt c t t t t 4 4 Alors n dévloppnt, on obtint : b 4 t bt c t

) b t b t 4 4 b t t btc 4 t btc 4 Soit finlmnt f t b U N, 3) Comm f t dt convrg bsolumnt (t vut ), lors bsolumnt t on : où f st un dnsité d l vribl létoir t btc dt f tdt t btc 4 4 dt convrg Rtour à l démonstrtion : t btc hx dt, vc, m x m b m c x m t D plus b 4c x m m t Donc Finlmnt tm xtm dt hx 4 = On bin X Y N m m, = xm m x m m 4 x m m xm m

Biln Propriétés d l spérnc Soint dux vribls létoirs X ty définis sur l mêm spc probbilisé Cs vribls létoirs puvnt êtr touts dux discrèts, touts dux à dnsité, l un discrèt t l utr à dnsité Si X ty dmttnt chcun un spérnc, lors X Ydmt un spérnc t on E X Y E X E Y (linérité d l spérnc) Conséquncs : ) Croissnc d l spérnc Si dux vribls létoirs X t Y définis sur l mêm spc probbilisé,,p dmttnt un spérnc t si X Y prsqu sûrmnt (c st à dir P X Y 0 ), lors E Y E X Si dux vribls létoirs X t Y définis sur l mêm spc probbilisé,,p dmttnt un spérnc t si X Y prsqu sûrmnt (c st à dir P X Y 0), lors E Y E X ) Existnc d un spérnc pr domintion Si dux vribls létoirs X t Y définis sur l mêm spc probbilisé,,p vérifint 0 X Y prsqu sûrmnt t si Y dmt un spérnc, lors X dmt un spérnc t dns c cs, on E X E Y 3