Uiversité Pierre et Marie Curie Aée 2014-2015 Probabilités LM90 Série d exercices 1 - Corrigé Rappel : C = ( :=!!(! est le ombre de choix o ordoés de élémets disticts pris parmi. A :=! (! est le ombre de choix ordoés de élémets disticts pris parmi. Exercice 1. Tout d abord, par l iclusio A B A, o a la majoratio suivate de P(A B : P(A B P(A = 4. Par ailleurs, o obtiet ue mioratio e écrivat P(A B = P(A+P(B P(A B = 4 + 4 P(A B 4 + 4 1 = 1 2. Motros maiteat que ces bores peuvet être atteites. O cosidère la probabilité uiforme P sur l esemble Ω = {1,2,,4}. Le maximum est atteit par exemple pour tadis que le miimum est atteit pour A = B = {1,2,}, avec A B = {1,2,}, A = {1,2,}, B = {1,2,4}, de sorte que A B = {1,2}. Exercice 2. 1. U espace probabilisé pouvat être associé à cette expériece est Ω = {(a 1,a 2,a,a 4,a i {1,,}} = {1,...,} 4. L esemble état fii, o choisit comme tribu F l esemble de toutes les parties : F = P(Ω. O défiit sur P(Ω la probabilité uiforme : A Ω, P(A = card(a card(ω = card(a 4 2. (a Soit A 1 l esemble de tous les quadruplets das u ordre strictemet croissat. Alors le ombre d élémets de A 1 est le ombre de combiaisos ( 4. O peut le motrer de deux faços différetes : A 1 est e bijectio avec l esemble des parties à 4 élémets pris parmi. E effet, chaque partie est associée de maière uique avec ue suite croissate (il suffit d arrager les élémets par ordre croissat o peut aussi voir que le ombre de quadruplets (a 1,a 2,a,a 4 avec 4 élémets disticts pris parmi est A 4, qu o doit esuite diviser par 4! pour e compter que les quadruplets qui sot strictemet croissats. 1
La probabilité d obteir quatre ombres das u ordre strictemet croissat est doc ( P(A 1 = 4 4 = 2 000 = 0,021. (b Soit A 2 l esemble de tous les quadruplets das u ordre croissat au ses large. Das A 2, il y a quadruplets de ombres tous idetiques (α,α,α,α ; 2 ( 2 quadruplets de ombres dot trois sot égaux (α,α,α,β et (α,β,β,β, avec α < β ; ( quadruplets de ombre dot deux sot égaux (α,α,β,γ, (α,β,β,γ et (α,β,γ,γ, avec α < β < γ ; ( 2 quadruplets de ombres composés de deux couples de ombres idetiques (α,α,β,β, avec α < β ; ( 4 quadruplets de ombres tous disticts (α,β,γ,δ, avec α < β < γ < δ. Fialemet : P(A 2 = +2 ( ( 2 + ( + ( 2 + 4 4 = +2 45+ 120+45+2 4 = 715 4 = 0,0715. O peut aussi raisoer de la maière suivate : L applicatio (a 1,a 2,a,a 4 (a 1,a 2 +1,a +2,a 4 + est ue bijectio de A 2 sur l esemble A 2 = {(a 1,a 2,a,a 4 : a 1 < a 2 < a < a 4, a i = 1,,1}. Le cardial de A 2 est doc égal à celui de A 2, c est à dire ( 1 4 = 715. (c Soit A l évéemet correspodat. Alors le cardial du complémetaire A c de A est le ombre de quadruplets obteus e réalisat cette expériece avec 9 ombres, c est à dire card(a c = 94. O a alors P(A = 1 P(A c = 1 ( 9 4 = 000 6561 000 = 49 000 = 0,49. Exercice. 1. O peut choisir l espace probabilisé suivat : Ω = {(a 1,a 2,,a, a i {1,,N}, a i a i si i j}. L esemble Ω état fii, o choisit F = P(Ω. O muit (Ω,F de la probabilité uiforme : A P(Ω, P(A = card(a card(ω = card(a (N! A = card(a. N N! 2. (a A s écrit : A = {(a 1,,a Ω, a {1,2,,M}}, et o a P(A = card(a card(ω. Il reste à calculer card(a. O propose trois solutios: L applicatio A A 1 (a 1,,a,,a (a,a 2,,a 1,a +1,,a est ue bijectio de A das A 1, d où card(a = card(a 1. Le cardial de A 1 est card(a 1 = M(N 1 (N +1 = MA 1 N 1, et o trouve P(A = M N. 2
O peut aussi déombrer directemet l esemble A. O a M choix pour la boule. Ue fois la boule choisie, le ombre de choix pour les boules restates est doé par le ombre de choix ordoés de 1 élémets disticts pris parmi N 1, à savoir A 1 N 1. O retrouve bie card(a = MA 1 N 1. Troisième méthode : otos X le uméro de la boule. C est doc ue variable aléatoire. Par symétrie, o a P(X = 1 = P(X = 2 =... = P(X = N, doc vu que N P(X = i = 1, o obtiet que P(X = i = 1 N pour tout i. O remarque que P(A = P(X M = M P(X = i = M N. O remarque que la probabilité de l évéemet A e déped pas de et est égale à la proportio de boules rouges das l ure. (b Si = m alors P(A A m = P(A m = M/N. O suppose doc que m. De même qu à la questio précédete, o peut établir ue bijectio etre A A m et A 1 A 2, d où P(A A m = P(A 1 A 2. Efi il est facile de voir que le cardial de A 1 A 2 est soit card(a 1 A 2 = M(M 1(N 2 (N +1, P(A A m = M(M 1 N(N 1. O peut ecore doer ue autre solutio: O a M choix pour la boule puis M 1 choix pour la boule m. Ue fois ces deux boules choisies, il s agit de compter le ombre de choix ordoés de 2 élémets pris parmi N 2, doc card(a A m = M(M 1A 2 N 2 puis P(A A m = M(M 1 A 2 N 2. A N Exercice 4. 1. O peut choisir au mois deux espaces probabilisés : U premier choix : Ω 1 = {(a 1,a 2,,a, a i {1,,20}, a i a i si i j}. L esemble Ω 1 état fii, o choisit F 1 = P(Ω 1. O muit (Ω 1,F 1 de la probabilité uiforme : A P(Ω 1, P 1 (A = card(a card(ω 1 = card(a A 20 U autre choix possible est Ω 2 = {E {1,...,20}, card(e = }. = (20! card(a. 20! L esemble Ω 2 état fii, o choisit F 2 = P(Ω 2. O muit (Ω 2,F 2 de la probabilité uiforme : A P(Ω 2, P 2 (A = card(a card(ω 2 = card(a =!(20! card(a. 20! ( 20
2. Si o travaille avec l espace probabilisé Ω 2, l évéemet {X = 8} est égal à l esemble des parties à trois élémets de {8,...,20} qui cotieet 8, c est-à-dire des parties de la forme {8,a,b}, avec 9 a < b 20. So cardial est doc égal au ombre de parties à deux élémets de {9,...,20}, c est-à-dire ( 12 2. O a doc ( 12 P 2 (X = 8 = 2 = 66 1140 = 11 190 0.058. ( 20 L évéemet {X 8} est égal à l esemble des parties de {8,...,20} qui a pour cardial ( 1, et o a ( 1 P(X 8 = = 286 1140 0.25.. E gééralisat le raisoemet fait à la questio précédete, o obtiet : {( 20 card({x = } = 1 si 20 +1, 0 sio. ( 20 et O obtiet doc et card({x } = {( 20 +1 si 20 +1 0 sio. ( 20 1 si 20 +1 P(X = = ( 20 0 sio. ( 20 +1 si 20 +1 P(X = ( 20 0 sio. Exercice 5. 1. Il suffit d écrire les équivaleces suivates : ( ( 1 A (ω = 1 ω A (, ω A (, 1 A (ω = 1 ( 1 A (ω = 1. 2. O écrit, e utilisat la relatio 1 A = 1 1 A c et la relatio de la questio 1 : 1 A = 1 ( Ac c = 1 1 Ac = 1 1 A c = 1 (1 1 A.. Il suffit de développer le derier terme de l idetité établie e 2, c est à dire : (1 1 A = 1 ( 1 1 1 i 1 < <i 1 Ai1 A i. La formule demadée viet alors de l égalité établie e 2 et de la liéarité de l espérace, e remarquat que que E(1 A = P(A pour tout évéemet A. 4
4. O umérote les factures et les boîtes aux lettres de 1 à. Soit A l évèemet A = {la facture est das la boîte aux lettres }. O cherche la probabilité de l évèemet A = A. Pour utiliser, il faut détermier p. Soit i 1 < i 2 <... < i. L espace Ω est l esemble des cofiguratios de factures réparties das boîtes aux lettres. O a card(ω =!. L évèemet A i1 A i2... A i est l esemble des cofiguratios telles que la facture i j est das la boîte aux lettres i j, pour j = 1... Comptos so cardial. Pour chaque j = 1..., o a u seul choix pour la boîte aux lettres i j. Il reste esuite à répartir factures das boîtes aux lettres, ce qui doe (! cofiguratios possibles. Doc D où p = 1 i 1 < <i P(A i1 A i2... A i = (!.! P(A i1 A i = ( (!/! = 1/!, et p( = P(A = ( 1 1 /!, d après la questio précédete. Il découle du développemet e série de l expoetielle que la limite de p( lorsque ted vers + est 1 1/e. Exercice 6. O peut représeter cette expériece à l aide de l espace probabilisé suivat : Ω = {(a 1,,a, a i {1,2,}, i {1,,}} = {1,2,}. Socardialest. Pour {0,,}, lecardialdel évéemet{x = }est ( ( = (ombre de maières de choisir mauvaises réposes, multiplié par 2 (2 choix possible à chaque fois. La loi de X est doc doée par : {0,1,,}, P(X = = ( 2 = ( ( 1 ( 2. X suit ue loi biomiale de paramètres et 1/, otée B(,1/. Ue autre maière de détermier la loi de X est d exprimer cette variable aléatoire comme la somme de variable aléatoire idépedates preat la valeur 0 avec probabilité 2/ et la valeur 1 avec probabilité 1/ : X est le ombre de succès obteus après épreuves de Beroulli idépedates, où la probabilité de succès est 1/. Il est cou alors que X suit ue loi B(,1/. Exercice 7. O défiit les évèemets S i = {tirer le sac S i }, (i {1,2,} A = {tirer ue pièce d or}, B = {tirer ue pièce ordiaire}. 1. Soit Ω l espace probabilisé, alors Ω = S 1 S 2 S et P(A = P(A (S 1 S 2 S = P(A S 1 +P(A S 2 +P(A S = 1 1+ 1 0+ 1 1 2 = 1 2. 5
2. La probabilité que l o cherche est P(S 1 A. Il est évidet que P(A S 1 = 1, d où : P(S 1 A = P(A S 1 P(S 1 P(A = 2. Exercice 8. O défiit A = {le documet se trouve das le septième tiroir} B = {le documet se trouve das l u des six premiers tiroirs}. La probabilité que l o cherche est P(A B c. D ue part, P(A = p/7, P(B = 6p/7 et d autre part A est iclus das B c doc P(A B c = P(A Bc P(B c = P(A 1 P(B = p 7 6p. Exercice 9. L évéemet {X = Y} se décompose de la maière suivate : {X = Y} = {X =,Y = }. De plus les évéemets {X =,Y = }, = 1,, sot disjoits et pour tout, {X = } et {Y = } sot idépedats. O a doc : P(X = Y = P(X = P(Y = = 1 2 = 1. L espace probabilisé Ω se décompose aisi : Ω = {X > Y} {X < Y} {X = Y}. Par symétrie, o a P(X > Y = P(X < Y, d où l équatio : 2P(X > Y+P(X = Y = 1. O e déduit que P(X > Y = ( 1/2 et P(X Y = P(X > Y+P(X = Y = 1/2+1/2. O aurait pu aussi calculer cette probabilité directemet : P(X Y = P(Y = i,x i = P(Y = i,x i = P(Y = ip(x i par l idépedace de X et Y. O calcule que P(X i = obtiet doc (e utilisat aussi P(Y = i = 1/ P(X Y = P(Y = ip(x i = i+1 2 = X Y est ue variable aléatoire symétrique à valeurs das l esemble j=i P(X = j = i+1. O i 2 = +1 2. { ( 1, ( 2,, 1,0,1,,( 2,( 1}. Pour détermier sa loi, il suffit de calculer P(X Y =, pour = 0,1,, 1 : P(X Y = = = P(X = +i,y = i P(X = +ip(y = i = 2, 6
où la secode égalité viet de l idépedace etre X et Y. Exercice. 1. Calculos P(X =. Il y a ( 00 faços de pêcher poissos parmi tous les poissos marqués. Puis il y a ( ( N 00 00 faços de pêcher les autres. De plus il y a N 00 faços de pêcher 00 poissos das le lac. La loi de X est alors doée par : P(X = = ( 00 ( N 00 00 ( N 00, = 0,1,,00. X suit ue loi hypergéométrique de paramètres N et 00. 2. O obtiet facilemet l égalité P(X = +1 P(X = = (00 2 ( +1(N 2000+ +1. Ce quotiet est décroissat e {0,..., 00}. O obtiet alors l équivalece P(X = 11 P(X = 1 P(X = P(X =. P(X = P(X = 9 De plus P(X=+1 P(X= est décroissat e N. E résolvat (00 9 2 = (9+1(x 2000+9+1 o obtiet x = 0199,1, puis N = 0200. 7