22 2.3. Dérivabilié en plusieurs variables 2.3 Dérivabilié en plusieurs variables La dérivée d une foncion, lorsqu elle exise, es liée aux variaions de la foncion andis que l un de ses variables parcour une direcion. Pour foncions d une variable réelle la seule direcion possible à parcourir es l axe des abscisses. For foncions de plusieurs variables la siuaion es rès di érene. L espace R n possède une infinié de direcions. Il peu s avérer inéressan d éudier commen une foncion évolue lorsque ses variables évoluen le long d une direcion donnée. Pour cee raison on inrodui la noion de dérivée direcionnelle (dérivée d une foncion par rappor à une direcion quelconque). Si la direcion coisi es l un des axes de reference, on parle de dérivée parielle de la foncion par rappor à l un de ses variables. Définiion 2.3.1 [Dérivées direcionnelles] Soi f : D 7! R une foncion définie sur un ouver D de R n e soi x 0 2 D. Soi v un veceur de R n de norme uniaire. On pose v() =f(x 0 + v). On di que f adme dérivée dans la direcion v au poin x 0 si v() es derivable en 0 e on pose : D v f(x 0 )= 0 v (0) = lim!0 f(x 0 + v) f(x 0 ) Exemple 8 On considere la foncion f : R 2 7! R f(x, y) =e x y On veu calculer la dérivée direcionnelle de la foncion f le long la direcion v =( 3 5, 4 5 ) au poin (2, 0). D v f(2, 0) = lim!0 f(2 + 3 5 ), 4 5 =lim!0 4 5 e2+ 3 5 = 4 5 e2 Définiion 2.3.2 [Dérivées parielles premières] Soi f : D 7! R une foncion définie sur un ouver D de R n e soi x 0 2 D. On di que f adme dérivée parielle au poin x 0 par rappor à sa variable x i (i =
Caper 2: Foncions de plusieurs variables 23 1,,n) si la limie lim!0 f(x 1,,x i 1,x i +, x i+1,,x n ) f(x 1,,x i 1,x i,x i+1,,x n ), exise e es finie. Cee limie es noée f xi 0(x 0 ) ou @f @x i ou @ xi f(x 0 ). Remarque 6 Il s agi de limies d une foncion réelle de variable réelle! En praique, pour calculer la dérivée parielle de f par rappor à sa variable x i on gèle oues les variables x j pour j 6= i e on dérive f comme une foncion de la seule variable x i. Exemple 9 On considere la foncion f : R 2 7! R f(x, y) =3x 2 +4xy +7y 2 La dérivée parielle de f par rappor à x es donné par : @ x f(x, y) =6x +4y. La dérivée parielle de f par rappor à y es donné par : @ y f(x, y) =4x +14y. Exemple 10 On considere la foncion f : R 3 7! R f(x, y, z) =5xzln(1 + 7y) La dérivée parielle de f par rappor à x es donné par : @ x f(x, y, z) =5zln(1 + 7y). La dérivée parielle de f par rappor à y es donné par : @ y f(x, y, z) = 35xz 7y La dérivée parielle de f par rappor à z es donné par : @ y f(x, y, z) =5xln(1 + 7y).
24 2.3. Dérivabilié en plusieurs variables Définiion 2.3.3 [Dérivabilié] Si f adme oues les dérivées parielles premières on di que f es dérivable. Remarque 7 [Imporan] Conrairemen au cas de foncions d une variable, en plusieurs variables c es pas vrai que une foncion dérivable es nécessairemen coninue. Par exemple on considère la foncion f : R 2 7! R définie par : f(x, y) = xy x 2 +y 2 si(x, y) 6= (0, 0) 0 sinon Cee foncion adme dérivées parielles @ x f(x, y), @ y f(x, y) au poin (0, 0) : @ x f(0, 0) = lim!0 f(, 0) f(0, 0) f(0,) f(0, 0) @ y f(0, 0) = lim!0 = 0 0 = 0 0 =0, =0. Cependan la foncion n es pas coninue au poin (0, 0) (on l a déjà monré!). Définiion 2.3.4 [Veceur gradien] Le gradien d une foncion dérivable f au poin x 0 2 R n es le veceur : rf(x 0 )=(@ x1 f(x 0 ),@ x2 f(x 0 ),,@ xn f(x 0 )) ou les composanes son les dérivées parielles de f au poin x 0. Lorsque il exise, le veceur gradien de f au poin x 0 es orogonal à la courbe de niveau de f passan par x 0. On considère une foncion f : R n 7! R p, p > 1. On di que f es dérivable au poin x 0 si oues les composanes f i (x 1,,x n ), i = 1,,p,sondérivablesaupoinx 0. Définiion 2.3.5 [Marice jacobienne] Soi f : R n 7! R p, p > 1, f dérivable au poin x 0 2 R n. La marice jacobienne de f au poin x 0 2 R n
Caper 2: Foncions de plusieurs variables 25 es la marice : J f (x 0 )= 0 B @ @f 1 @x 1 (x 0 ).... @f p @x 1 (x 0 ) 1 @f 1 @x n (x 0 ) C. A @f p @x n (x 0 ) où les lignes son les gradiens des composanes f i, i =1,,p, au poin x 0. Exacemen comme dans le cas des foncion d une variable, en plusieurs variables la composiion de foncions dérivables es dérivable. La dérivée composée se calcule à l aide de la cain rule. Ici on donne la formule pour deux cas rès simples. Téorème 2.3.6 [Cain rule] Cas R 7! R 2 7! R Soien : R 7! R 2 e f : R 2 7! R elles que soi bien définie la foncion composée g = f : R 7! R. Si es dérivable au poin 2 R e f es dérivable au poin (x(),y()) 2 R 2 alors g es dérivable en e sa dérivée es donnée par : g0() = @f @x (x(),y())x0()+@f @y (x(),y())y0() Cas R 2 7! R 2 7! R Soien : R 2 7! R 2 e f : R 2 7! R elles que soi bien définie la foncion composée g = f : R 2 7! R. Si es dérivable au poin (u, v) 2 R 2 e f es dérivable au poin (x, y) 2 R 2 alors g es dérivable en (u, v) e ses dérivées parielles son données par : @g (u, v) =@f @u @x @g (u, v) =@f @v @x (x(u, v),y(u, v))@x(u, v)+@f @u @y (x(u, v),y(u, v))@x(u, v)+@f @v @y (x(u, v),y(u, v))@y(u, v), @u (x(u, v),y(u, v))@y(u, v). @v
26 2.3. Dérivabilié en plusieurs variables Exemple 11 On vise à calculer la dérivée de la foncion z : R 7! R, où : z() =f(x(),y()) f(x, y) =x 2 + y 2 + xy x() =sin y() =e z() es dérivable car elle es composiion de foncions dérivables. D après la cain rule on a : z0() =@ x f(x(),y())x0()+@ y f(x(),y())y0() = (2x()+y())x0()+(2y()+x())y0() = (2 sin + e )cos +(2e +sin)e