Avt-propos Cet ouvrge est coçu pour permettre u étudits des clsses préprtoires ECE d order leur première ée ds les meilleures coditios e fcilitt l trsitio vec l eseigemet secodire Aisi, l ojectif est i de triter pr ticiptio le progrmme de prép (il y ue ée etière pour cel!) i de réviser à fod celui de Termile ES (le cclurét pprtiet u pssé!), mis plutôt de réivestir les pricipu cquis du lycée ds l forme et ds l esprit des clsses préprtoires, tout e itroduist quelques otios ouvelles fodmetles Chque chpitre compred : Le Cours, sythétique et illustré de omreu eemples, qui résume tout ce qu il fut coître Les Eercices, clssés pr iveu de difficulté, dot les solutios sot erichies de commetires et de coseils Nous espéros que ce livre ider les étudits à démrrer vec cofice leur ée et ous répodros volotiers à toute suggestio, remrque ou critique pr e-mil à l dresse ifos@editios-relfr L éditeur et les uteurs Sommire Chpitre Clculs lgériques ds 3 Chpitre 2 Logique 27 Chpitre 3 Foctios umériques 4 Chpitre 4 Clcul itégrl 73 Chpitre 5 Suites umériques 97 Chpitre 6 Systèmes liéires et clculs mtriciels 2 Chpitre 7 Proilités 39 Chpitre 8 Quelques coseils de méthode 57 2
CHAPITRE Clculs lgériques ds A Puissces Opértios sur les puissces Les formules suivtes sot vlles : pour tout et y réels lorsque α et β sot des etiers turels ; pour tout et y réels o uls lorsque α et β sot des etiers égtifs ; pour tout et y réels strictemet positifs lorsque α et β sot réels 0 = pour 0 α β = α + β ( α ) β = αβ -- pour 0 (y) α = α y α ( y, ) +2, y y Aisi 3 8 2 cr 2 3 8 Pour fire disprître l somme ou l différece de rcies crrées d u déomiteur, o peut multiplier e hut et e s pr l epressio cojuguée du déomiteur C est ue techique souvet utilisée pour les clculs de limites 2 Rcies ième de Pour tout réel positif ou ul et pour tout etier turel o-ul, o pose, qui se lit «rcie ième de» Cs prticulier pour = 2 Pour tout réel positif ou ul, et o les propriétés suivtes : pour tout réel, Remrque -- 2 pour tout ( y, ) +2, y y ; -- - pour y 0 ; ( ) 2 y y 2 y est l epressio cojuguée de y et l o ( y) ( y) y 3
Chpitre : Clculs lgériques ds B Équtios polyomiles Premier degré C est ue équtio (E) du type 0 où (, ) 2 et l icoue est Si 0, cette équtio ue solutio uique Si = 0 et 0 0, l esemle des solutios est, l équtio ps de solutio Applictio Résoudre et discuter suivt les vleurs de m réel l équtio (E) d icoue : (m 2 ) = m + Si m \ { ; }, (E) ue solutio uique m - Si m =, (E) s écrit 0 = 2 et l équtio ps de solutio Si m = (E) s écrit 0 = 0 et l esemle des solutios est 2 Secod degré C est ue équtio (E) du type 2 + + c = 0 où *, (,c) 2 et l icoue est Résolutio O clcule le discrimit = 2 4c Si < 0, (E) ps de rcie réelle Si = 0, (E) ue rcie doule - 2 Si > 0, (E) deu rcies réelles distictes : - et 2 2-2 Résoudre l équtio 2 4 + 3 = 0 : = ; = ; 2 = 3 L étude du sige de l somme et du produit des rcies permet l étude des rcies de l équtio Formules simplifiées Discrimit réduit Lorsque = 2, o peut clculer = 2 c, ppelé discrimit réduit Si 0, les rcies de l équtio sot : Somme et produit des rcies -- et 2 -- Lorsque 0, o S 2 et P c 2 4
Fctoristio d u polyôme Applictios Soit l équtio 2 3 2 0 Cette équtio dmet ue rcie évidete =, or 2 = 2, doc 2 = 2 Soit l équtio 2 2 5 4 0 et c étt de sige cotrire, o écessiremet > 0 O P = 2 doc les rcies sot de sige cotrire Détermier deu omres dot l somme est 6 et le produit 5 Ces deu omres, s ils eistet, sot les rcies de l équtio : 2 6 5 0 Les deu omres sot et 5 Recherche de deu omres vec S et P cous Soit S et P deu réels doés Le couple (, y) est solutio du système : y S y P > 0 < 0 y = 2 0 y = y = y = y = 0 si et seulemet si et y sot les rcies de l équtio X 2 SX P 0 3 Équtio, Si est pir et si > 0, l équtio deu solutios : et 2 ; si = 0, l équtio pour uique solutio 0 ; si < 0, l équtio ps de solutio Si est impir, l équtio pour solutio uique : si > 0, ; si = 0, = 0 ; si < 0, ( ) C Fctoristio d u polyôme Si < 0, le polyôme est ps fctorisle Cs du polyôme du secod degré Si P( ) 2 c dmet deu rcies et 2 évetuellemet cofodues, lors P( ) ( )( 2 ) 2 Cs géérl Soit P() u polyôme de degré > 2 Si P() dmet pour rcie =, lors P() peut se fctoriser pr : P( ) ( )Q( ), où Q est u polyôme de degré 5
Chpitre : Clculs lgériques ds Fctoriser u polyôme Pour fctoriser u polyôme P, o peut trouver ue rcie évidete, c est-à-dire u réel (géérlemet ; ; 2 ou 2) tel que P() = 0, puis écrire le polyôme sous l forme P() = ( ) Q(), où Q() est u polyôme de degré iférieur d ue uité à celui de P() O procède esuite à ue «idetifictio», c est-à-dire que l o développe le produit et que l o écrit que les coefficiets de P() et du produit sot idetiques Eemple P( ) 3 2 2 2 P2 ( ) 2 3 2 2 2 2 2 0, doc 2 est rcie évidete P( ) ( 2) ( 2 c) 3 ( 2 ) 2 ( c 2) 2c et P( ) 3 2 2 2 2 2 doc c 2 2c 2 soit 0 c et P( ) ( 2) ( 2 ) DOrdre ds Soit (,) 2 0 Attetio : o e soustrit ps des iéglités Règles sur les iéglités Additio Multiplictio pour tout k +, k k O iverse le ses de l iéglité pour tout k, k k 0 0 c d 0 c d 6