Licence de Phsique e Applicaions L3S5 Premier problème de Sokes Cours Année 9- Daniel Soluions eaces des équaions de Navier-Sokes er problème de Sokes : diffusion de quanié de mouvemen On considère le problème bi-dimensionnel (repère carésien,) suivan : - le fluide occupe le demi-plan supérieur > au dessus d une plaque plane ( ) - A l insan iniial, le fluide es au repos, r Ensuie la plaque plane horizonale se me brualemen en mouvemen à la viesse o. Problème : Calculer la disribuion des viesses, l évoluion spaio-emporelle de écoulemen. Hpohèses : les rajecoires son des plans parallèles au plan z (z es l envergure), l écoulemen es bi-dimensionnel e en fai (,), on suppose que la pression es consane suivan z e indépendane du emps, les effes de la gravié éan négligeables e si l ecoulemen es supposé invarian dans la direcion du mouvemen (il n aura donc pas de gradien de pression longiudinal). p z p, On peu monrer que les équaions de Navier-Sokes, dans problème de diffusion de quanié de mouvemen par la plaque inférieure, es régie par l équaion au dérivées parielles de pe parabolique : μ. ρ. Où μ e son respecivemen les viscosié dnamique e cinémaique du fluide e ρ sa masse volumique. On peu adimensionner cee équaion : ˆ.ˆ ˆ ˆ τ Δ δ On rouve alors que le emps caracérisique de diffusion sur une disance δ es de : δ τ Analogie : équaion parabolique de la chaleur, plaque chauffée subiemen à une empéraure dans un milieu au repos à empéraure T T T T α où α k ρ. c p es la diffusivié hermique Dimension de : L / T, m / s
Licence de Phsique e Applicaions L3S5 Premier problème de Sokes Cours Année 9- Daniel Soluion fondamenale de l équaion avec condiion iniiale e condiions au limies On effecue le changemen de variables/ de coordonnées (,) vers ((,), (,)) On a, de manière générale : Dans le cas précis où on passe de (, ) vers (, ), il vien que / /,,,, soi Si on prend, le changemen de variable (,) à (, ) e si on suppose que (,) ne dépend plus eplicemen de, soi (,) (), L équaion parabolique iniiale :.. ρ μ devien :
Licence de Phsique e Applicaions L3S5 Premier problème de Sokes Cours Année 9- Daniel ( ) d ( ) (, ) ( ) d ( ) d d soi : d ( ) d ( ) d d condiions au limies) équaion différenielle ordinaire du ème ordre (nécessian d Une première inégraion donne : ( ).ep( ) d ' Une deuième inégraion donne : ( ) ep( ' ) d Rese à déerminer les consanes e : En, donc en, () (la viesse de la plaque mobile (ere condiion au limies) ème condiion : si end vers, ( ), e si, Aussi : ) ep( ' ) d'. π / ( Soi. / π La soluion finale es : ( ) ( ) ep( ' ) d' ( erf ( )) π 3 paramères gouvernen :, e a) Pour oue valeur du emps, en même rès grand, on a une valeur non nulle de (,), même pour. Donc il n a pas de phénomène de pe propagaion ou viesse de propagaion de la quanié de mouvemen (pe d équaion des ondes) b) Si,, à la limie, e il n aura pas de mouvemen du fluide. C es bien la viscosié qui perme la mise en mouvemen des couches supérieures. c) si,, e ceci se fera d auan plus vie que la viscosié cinémaique es grande. La mise en mouvemen d un fluide par couplage visqueu es d auan plus rapide que sa viscosié dnamique μ es élevée e que sa masse volumique ρ (donc son inerie) es faible. d) On pourra définir une zone d influence ou longueur de diffusion par λ, ce qui représene une profondeur de diffusion d une perurbaion de viesse. Eemples d ordres de grandeur pour l eau s λ 3mm s(3heures) λ cm Ce qui monre bien la faible efficacié de la diffusion au emps longs (loi en grande profondeur. e à 3
Licence de Phsique e Applicaions L3S5 Premier problème de Sokes Cours Année 9- Daniel Couee plan : Mise en mouvemen d un fluide enre deu parois Dans le cas de l écoulemen de Couee plan il fau un emps τ h / pour que le profil linéaire s éablisse. Soi une longueur de déplacemen de la plaque UO τ Re. h Dans un ube de raon R, pour obenir un profil parabolique, il fau aendre un emps τ R /, c es-à-dire une disance depuis l enrée du ube ReR. C es-`a-dire que dès que le nombre de Renolds es élevé la longueur d enrée avan l éablissemen du profil parabolique es loin d êre négligeable (figure ci-dessous). Epérimenalemen on rouve pluô Re R/3. Profils de viesse laminaires à diverses disances de l enrée d une conduie circulaire. D après D. J. Trion. Phsical fluid dnamics. (second ediion), Oford Universi Press, 988, p. 5.
Licence de Phsique e Applicaions L3S5 Premier problème de Sokes Cours Année 9- Daniel Ecoulemen insaionnaire en géomérie de Couee plan. Evoluion du profil de viesse enre deu plaques parallèles infinies. La plaque supérieure es mise en ranslaion à viesse uniforme à l insan. 5