D.M : Résoluion des équaions différenielles Méhode d'uler I - La méhode d'uler : les bases mahémaiques - définiion du nombre dérivée en un poin Soi y = f(x la foncion considérée (supposée coninue e dérivable La valeur de la dérivée au poin x o es obenue par : f '(x = lim h 2 - Déerminaion d'une soluion approchée d'une équaion différenielle f (x + h f (x h Le problème es de déerminer une foncion don on connaî l'expression de la dérivée e la valeur iniiale : f'(x es connue e f(x = y De l'expression précédene, on dédui en première approximaion dans le cas où h rese pei, la valeur de f(x +h connaissan la valeur de f(x e sa dérivée au poin x : f(x +h f(x + h. f '(x n posan x = x + h, on obien : y = f(x f(x + h. f'(x De même f(x +h f(x + h. f '(x n posan x 2 = x + h, on obien : y 2 = f(x 2 f(x + h. f '(x n généralisan, on obien : y n = f(x n f(x n- + h. f '(x n- iniiale Pour h voisin de, les poins M (x n ; y n son proches de la courbe de la primiive f de f' vérifian la condiion Aspec graphique (T Soi C la représenaion graphique de la foncion f(x. f(x +h.f'(x f(x +h f(x r j r i M M x x +h C f(x f'(x es la valeur du coefficien direceur de la angene (T à la courbe C au poin M. Le poin M de la courbe C es el que y(m = f(x = f(x +h Sur le graphe apparaî l'écar enre f(x +h e f(x + h.f'(x. Il es donc nécessaire que l'incrémen h soi le plus pei possible pour la foncion calculée soi la plus proche possible de la primiive recherchée. 3 - Applicaion aux siuaions physiques : la méhode d'uler Désignons par l'inervalle de emps (acquisiion informaisée, séquence vidéo, enregisremen sur able à coussin d'air la dae, y la grandeur physique éudiée, on pourra écrire : y( i+ = y( i +. y'( i exemples cas d'une ension : u( i+ = u( i +. u'( i cas d'une viesse : v( i+ = v( i +. v'( i = v( i +. a( i avec a( i accéléraion à la dae i. cas d'une posiion : x( i+ = x( i +. x'( i = x( i +. v( i avec v( i viesse à la dae i. La connaissance des grandeurs à la dae i perme de déerminer la siuaion à la dae i+. Par récurrence on déermine ainsi les valeurs successives. Tou repose évidemmen - sur la valeur à la dae = : condiions iniiales - l'expression de la dérivée à cee dae.
II - un exemple en physique : la charge du condensaeur - L'analyse physique L'éude de la charge du condensaeur condui à l'équaion différenielle : C R U c du U c + c = d qu'on écrira sous la forme : u + u' = qui perme d'exprimer u e u' : u = - u' e u' = ( - u l'écriure en faisan apparaîre la variable : u( = - u'( e u'( = ( - u( 2 - la soluion analyique Dans ce cas, on connaî la soluion analyique de cee équaion différenielle : u = ( - e = ( - e Cee foncion peu êre représenée dans un ableur. 3 - la résoluion par la méhode d'uler Les condiions iniiales à o = : u( = e u'( = L'évoluion en foncion du emps donne : = dae = u( = u( +. u'( e u'( = ( - u( e ainsi de suie ce qui peu se résumer sous forme de ableau : dae u analyique u( u'( = u = ( - e u( = u'( = = u = ( - e u( = u( +. u'( = u'( = ( - u( u'( 2 = ( - u(2 2 = 2. u = ( - e u( 2 = u( +. u'(............ On consae que chaque ligne du ableau peu se calculer par référence aux cellules de la ligne ou de la ligne précédene. 4 - Uilisaion d'un ableur (xcel 4. - grandeurs physiques Saisir les paramères du circui (A3:A7 e leurs valeurs (B4:B6 Calculer la valeur de la consane de emps en B7 : = B5*B6 Saisir les paramères pour monrer l'influence du pas sur la méhode d'uler. Ici le choix du pas a éé fai par rappor à la durée de charge prise égale à 5. On divise cee durée par un nombre noé k. On enrera la valeur de k en D5 e le pas sera alors calculé en D6 par = 5 * B7 / D5.
4.2 - ableau des calculs Ligne 9 : les ires lignes les condiions iniiales ligne e suivanes les calculs. en colonne A la dae es calculée avec un incrémen de. voir ableau ci-dessous. paramères du circui paramères pour monrer l'influence de condiions iniiales = =5 * B7 / D5 = =$B$4/$B$7 saisie en 2 ème ligne =A+$D$6 =C+$D$6*D =($B$4-C/$B$7 =$B$4*(-XP(-A/$B$7 recopier vers le bas en B Sélecionner les cellules A à D e recopier vers le bas sur 55 lignes remarque : la noaion $B$4 consiue une référence absolue e A une référence relaive : lors de la recopie la référence relaive es incrémenée (ligne A, A2... ou colonne B,C... selon la direcion de recopie alors que la référence absolue es conservée. 4.3 - représenaions graphiques Sélecionner les cellules A à C559 Choisir l'icône représenaion graphique : sélecionner nuage de poins e affichage des courbes lissées sans poins - séries en colonnes. Fixer l'échelle en x (axe des emps en échelle manuelle à,6 s : sélecionner la zone de raçage e le menu opions du graphique : échelle. Ce choix de fixer l'échelle en abscisse évie l'ajusemen auomaique en foncion du pas qui es choisi afin d'avoir une visualisaion fixe de la courbe analyique. 5 Influence du pas dans la méhode d'uler : Faire varier la valeur de k : observer les résulas quand on donne à k des valeurs qui von de 5 à 5 par exemple. Conclusion. Imprimer les différenes courbes. III- Faire la même chose avec la décharge d un condensaeur - L'analyse physique 2 - la soluion analyique 3 - la résoluion par la méhode d'uler 4 - Uilisaion d'un ableur (xcel Faire varier la valeur de k : observer les résulas quand on donne à k des valeurs qui von de 5 à 5 par exemple. Conclusion. Imprimer les différenes courbes.
CORRCTION Charge d un condensaeur : influence du pas dans la méhode d uler
Décharge d un condensaeur - L'analyse physique L'éude de la charge du condensaeur condui à l'équaion différenielle : du U c + c = d qu'on écrira sous la forme : u + u' = qui perme d'exprimer u e u' : u = - u' e u' = - (u R C l'écriure en faisan apparaîre la variable : u( = - u'( e u'( = - u( 2 - la soluion analyique Dans ce cas, on connaî la soluion analyique de cee équaion différenielle : u = -. e = -. Cee foncion peu êre représenée dans un ableur. e 3 - la résoluion par la méhode d'uler Les condiions iniiales à o = : u( = e u'( = - L'évoluion en foncion du emps donne : = dae = u( = u( +. u'( e u'( = - u( e ainsi de suie ce qui peu se résumer sous forme de ableau : dae u analyique u( u'( = u = -. e u( = u'( = - = u = -. e u( = u( +. u'( = u'( = - u( u'( 2 =- u(2 2 = 2. u = -. e u( 2 = u( +. u'(............ On consae que chaque ligne du ableau peu se calculer par référence aux cellules de la ligne ou de la ligne précédene. ension en V 7 6 5 4 3 2,2,4,6 dae en s k=2