Séquece 9 Itervalles de fluctuatio, estimatio Objectifs de la séquece Das le chapitre 2, o étudie des itervalles de fluctuatio des variables aléatoires X F =, fréqueces des variables aléatoires biomiales X de paramètres et p. O étudie quelques exemples de prise de décisio. Das le chapitre 3, o aborde l estimatio d ue proportio icoue à partir de celle d u échatillo. Sommaire 1. Pré-requis 2. Itervalles de fluctuatio 3. Estimatio 4. Sythèse de la séquece 5. Exercices de sythèse Séquece 9 MA01 1 Ced - Académie e lige
1 Pré-requis Échatilloage E statistiques, u échatillo de taille est la liste des résultats obteus par répétitios idépedates de la même expériece aléatoire. Ici l expériece répétée est ue épreuve de Beroulli, c est-à-dire qu elle e pred que deux valeurs : échec / réussite, oui / o, homme / femme, 0 / 1 Par exemple, u échatillo de taille 100 du lacer d ue pièce das lequel o compte le ombre de fois où o obtiet Pile est la liste des résultats obteus e laçat effectivemet 100 fois la pièce. Le ombre de réussites das u échatillo de taille suit la loi biomiale ( ; p). O appelle f la fréquece du ombre de réussites das l échatillo. Défiitio U itervalle de fluctuatio au seuil de 95 %, relatif aux échatillos de taille, est u itervalle où se situe la fréquece f observée das u échatillo de taille avec ue probabilité supérieure à 0,95. O a vu e Secode que : L itervalle p p 1 ; est u itervalle de fluctuatio approché au seuil de 95 %, relatif aux échatillos de taille. Commetaire : das certais cas, la probabilité que la fréquece appartiee à l itervalle p p 1 ; est très proche de 0,95 mais e état iférieure, c est pourquoi o dit que ce sot des itervalles de fluctuatio «approchés». Das la pratique, o utilise l itervalle p p 1 ; pour des probabilités p comprises etre 0,2 et 0,8 et des échatillos de taille supérieure ou égale à 25. Séquece 9 MA01 3 Ced - Académie e lige
Remarque Tout itervalle qui cotiet u itervalle de fluctuatio au seuil de 95 %, est lui aussi u itervalle de fluctuatio à ce même seuil. L itervalle [ 0;1 ] cotiet toutes les fréqueces, il vérifie la coditio de la défiitio précédete, mais il est sas itérêt. O cherchera des itervalles de fluctuatio correspodat à des probabilités supérieures à 0,95 et aussi très proches de 0,95 e particulier das les prises de décisio. Remarque Il y a plusieurs sortes d itervalle de fluctuatio. O peut choisir des itervalles de fluctuatio cetrés e p comme ceux vus e Secode, où pour lesquels la probabilité que la fréquece soit à l extérieur de l itervalle à gauche soit égale à la probabilité que la fréquece soit à l extérieur de l itervalle à droite comme ceux vus e Première, ou Par exemple, pour p = 0,2 et = 100, l itervalle de fluctuatio vu e 0,12 ; 0,28. Secode est [ 0,1; 0,3 ] et celui obteu e Première est [ ] Exercice O utilisera ici les itervalles de fluctuatio au seuil de 95 % de la forme p p 1 ;. O dispose d u dé bie équilibré, o gage quad o obtiet 1 ou 6. Détermier u itervalle de fluctuatio au seuil de 95 %, de la fréquece des lacers gagats das les échatillos de taille 100. O sait qu e moyee 51% des ouveau-és sot des garços. Détermier u itervalle de fluctuatio au seuil de 95% de la fréquece des garços ouveau-és das des échatillos de taille 25. Que peut-o e déduire pour le ombre de garços parmi 25 ouveau-és? Utilisatio Prise de décisio O a découvert ue pièce aciee et o se demade si elle est bie équilibrée. Commet faire? O lace fois la pièce et o ote la fréquece f d apparitio de Pile. O détermie u itervalle de fluctuatio I au seuil de 95 %, de la fréquece d apparitio de Pile das des échatillos de taille. 4 Séquece 9 MA01 Ced - Académie e lige
Règle de décisio : si f appartiet à l itervalle I, o décide que la pièce est équilibrée, si f appartiet pas à l itervalle I o décide que la pièce est pas équilibrée. Das chacu des deux cas suivats, quelle est la décisio prise? = 100 et f = 0,56 = 1000 et f = 0,560. Séquece 9 MA01 5 Ced - Académie e lige
2 Itervalles de fluctuatio A Objectifs du chapitre Quad o réalise ue expériece aléatoire, o observe bie sûr que les résultats obteus e sot pas toujours les mêmes, c est la fluctuatio d échatilloage. Mais o observe aussi que, plus o répète ue expériece u grad ombre de fois, plus la régularité de la fréquece des résultats est grade. O défiit les itervalles de fluctuatio asymptotique et o e doe u exemple. O peut alors décider si o cosidère que des résultats obteus lors d ue expériece sot dus au hasard (c est-à-dire à la fluctuatio d échatilloage), ou si o cosidère qu ils sot statistiquemet sigificatifs d ue différece avec le modèle choisi. B Activité 1 Pour débuter Sur le tableur Ope Office, o a simulé 100 échatillos de lacers d u dé tétraédrique bie équilibré. O a détermié les fréqueces où la face marquée 1 est la face cachée ( p = 0,25), elles sot idiquées e ordoées sur le graphique. Das chacu des trois cas, détermier : Le pourcetage des fréqueces apparteat à l itervalle p p 1 ;, Le pourcetage des fréqueces apparteat à p 1, 96 p(1 p) p(1 p) ; p + 1,96. 6 Séquece 9 MA01 Ced - Académie e lige
Premier cas 0,4 Fluctuatio 100 échatillos = 50 p = 0,25 0,35 0,3 0,25 fréquece 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 20 40 60 80 100 Deuxième cas fréquece 0,4 Fluctuatio 100 échatillos = 100 p = 0,25 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 20 40 60 80 100 Séquece 9 MA01 7 Ced - Académie e lige
Troisième cas fréquece 0,35 Fluctuatio 100 échatillos = 200 p = 0,25 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 20 40 60 80 100 C Cours 1. Itervalles de fluctuatio asymptotique Das ce qui suit, o cosidère des variables aléatoires X suivat chacue ue loi biomiale ( ; p). (exemple : o lace fois ue pièce équilibrée, X est le ombre de Pile obteus, X suit la loi ( ;0,5)). X La variable aléatoire F = doe doc la fréquece du ombre de «succès» (attetio : il s agit d ue utilisatio du mot fréquece différete de ce qui est fait e statistique lorsqu o parle de fréquece d u caractère, ici la fréquece est ue variable aléatoire). 8 Séquece 9 MA01 Ced - Académie e lige
Propriété 1 X La variable aléatoire F = : pred + 1 valeurs : 0, 1, 2,..., ; X a pour espérace le ombre p : E = p. Démostratio La variable aléatoire X preat les + 1 valeurs : 0, 1, 2,,, o e déduit celles de F. O sait que E ( X )= p, et, d après la liéarité de l espérace, quad o divise la variable aléatoire par, l espérace est aussi divisée par. O obtiet doc X E = p. Les fréqueces F ot doc pour espérace le ombre p qui e déped pas de. Les résultats observés ot tedace à se resserrer autour de l espérace p quad augmete. C est cette cocetratio des valeurs les plus probables autour de p qui permet d améliorer la prise de décisio à partir des observatios. Défiitio 1 X U itervalle de fluctuatio asymptotique de la variable aléatoire F = au seuil de 95 %, est u itervalle détermié à partir de p et de et qui cotiet F avec ue probabilité d autat plus proche de 95 % que est grad. Exemple 1 O motrera plus loi que l itervalle p p 1 ; est u itervalle de X fluctuatio asymptotique de la variable aléatoire F = au seuil de 95%. E classe de secode, ceci a été éocé sous forme simplifiée, le caractère asymptotique e pouvat pas être itroduit. Des exemples d utilisatio ot été doés das les pré-requis. Séquece 9 MA01 9 Ced - Académie e lige
Résultat admis à savoir p(1 p) p(1 p) L itervalle I = p 1, 96 ; p + 1,96 est u itervalle X de fluctuatio asymptotique de la variable aléatoire F = au seuil de 95%. Das l activité 1, o a pu faire des observatios cohéretes avec ces résultats. Mais, la défiitio d u itervalle de fluctuatio est exprimée avec ue probabilité. Si vous faites d autres simulatios avec le fichier qui est sur le site, il se peut que quelques observatios doet des pourcetages évetuellemet iférieurs à 95%. Remarque Les itervalles I sot des itervalles de fluctuatio asymptotique car il y a la coditio «d autat plus proche de que est grad». O peut cosidérer que les I sot des itervalles de fluctuatio «approchés», la probabilité que les F appartiee à I est pas forcémet supérieure à 0,95 (coditio de la défiitio d u itervalle de fluctuatio au seuil de 95%) mais si elle est pas supérieure à cette valeur, elle e est proche. E pratique das les exercices, la taille de l échatillo est fixée, l itervalle de fluctuatio asymptotique I correspodat sera l itervalle de fluctuatio utilisé. Remarque Coditios d utilisatio Les exigeces habituelles de précisio pour utiliser cette approximatio sot : 30, p 5 et (1 p) 5. Exemple 2 Solutio Détermier u itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95% lorsque = 100 et p = 0,5. O a p = 50 et (1 p) = 50 doc les trois coditios sot réalisées et o peut utiliser l itervalle I. O obtiet : 10 Séquece 9 MA01 Ced - Académie e lige
I = 0,5 1,96 0,5 0,5 ;0,5+ 1,96 100 0,5 0,5 100 0,402 ; 0,598. 100 soit [ ] Cet exemple modélise 100 lacers d ue pièce équilibrée. O peut doc dire que, pour eviro 95 % des séries de 100 lacers, la fréquece du ombre de Pile obteus se situe das l itervalle [ 0,402 ; 0,598 ]. Remarque Ces itervalles de fluctuatio asymptotique sot plus faciles à détermier que ceux du cours de Première qui écessitaiet l utilisatio d algorithmes ou de tableurs, certais tableurs d ailleurs e pouvat pas dépasser certaies valeurs pour. 2. Exemple d utilisatio : prise de décisio O utilise u itervalle de fluctuatio lorsque l o veut détermier si la proportio f observée das u échatillo est compatible ou o avec u modèle de Beroulli, c est-à-dire si elle peut être u résultat obteu par ue variable X aléatoire F =, où X suit ue loi biomiale de paramètres et p, la valeur p état coue ou supposée coue das la populatio. Quad X suit ue loi biomiale de paramètres et p, u itervalle de fluctuatio asymptotique I au seuil de 95% est u itervalle où se situe la fréquece X F = avec ue probabilité d autat plus proche de 0,95 que est grad. L itervalle I cotiet doc eviro 95% des fréqueces observées das les échatillos de taille suffisammet grade. Des fréqueces (eviro 5%) de certais échatillos e sot pas das I, c est la fluctuatio d échatilloage. E foctio de l apparteace ou o de la fréquece observée f à l itervalle I, o décide si l échatillo est coforme ou o au modèle. La règle de décisio adoptée est la suivate : si la fréquece observée f das u échatillo appartiet à u itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % o cosidère que l échatillo est compatible avec le modèle ; sio, o cosidère que l échatillo est pas compatible avec le modèle. Séquece 9 MA01 11 Ced - Académie e lige
Remarque Avec cette règle, la fluctuatio d échatilloage amèe à rejeter, à tort, les 5 % (eviro) d échatillos qui suivet le modèle de Beroulli et qui e sot pas das I. Das les exemples, les tirages sot effectués sas remise. La taille des échatillos cosidérés état faible par rapport à la taille de la populatio totale, o assimile les tirages réalisés à des tirages avec remise et o peut alors appliquer les résultats précédets. Exemple 3 Solutio Le resposable de la maiteace des machies à sous d u casio doit vérifier qu u certai type de machies est bie réglé sur ue fréquece de succès de 0,06. Il décide de régler chaque machie pour laquelle il aura observé, das l historique des jeux, ue fréquece de succès se situat e dehors d u itervalle de fluctuatio au seuil de 95 %. Lors du cotrôle d ue machie, le techicie costate qu elle a fouri 9 succès sur 85 jeux. Détermier la fréquece observée f de succès de cette machie. Détermier d après le cours u itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 %. Le techicie va-t-il modifier le réglage de la machie? Quelle aurait été sa décisio s il y avait eu 21 succès sur 200 jeux? 9 O a f = 0,106. 85 O a = 85, p = 0,06, p = 5,1 et (1 p) = 79,9, doc les coditios sot remplies pour utiliser l itervalle de fluctuatio asymptotique du cours 0,06 1,96 0,06 0,94 85 ; p + 1,96 valeur approchée par défaut de 0,06 0,94. Comme 0,009 est ue 85 0,06 1,96 valeur approchée par excès de 0,06 + 1,96 cotiet 0,06 1,96 0,06 0,94 ;0,06+ 1,96 85 0,06 0,94 85 0,06 0,94 85 0,06 0,94 85 et 0,111 est ue, alors [ 0,009 ; 0,111 ] et [ 0,009 ; 0,111 ] est doc u itervalle de fluctuatio légèremet plus large que celui du cours. 12 Séquece 9 MA01 Ced - Académie e lige
La fréquece observée f se situe das l itervalle de fluctuatio doc le réglage de la machie est pas modifié. 21 Das ce deuxième cas, la fréquece observée est f = = 0,105 et l iter- 200 valle de fluctuatio est eviro égal à [ 0,027 ; 0,093 ]. La fréquece f du ombre de succès observée est pas das l itervalle car elle est trop grade, doc le techicie va modifier le réglage de la machie. O remarque que, das les deux cas, les fréqueces f sot presque les mêmes mais les décisios prises sot différetes car les itervalles de fluctuatio sot différets. Remarque L amplitude de l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % du p(1 p) cours est égale à 2 1,96. Pour ue valeur de p doée, cette amplitude dimiue quad la taille de l échatillo augmete. 3. Complémet sur les itervalles p + 1 p 1 ; O peut retrouver l itervalle de fluctuatio qui a été doé e classe de Secode. O motre pour cela que l itervalle p p 1 ; I = p 1, 96 Pour tout p das ] [ p(1 p) p(1 p) ; p + 1,96. 1 0;1, l iégalité p(1 p) 4 cotiet l itervalle est vérifiée (la foctio poly- 2 ôme du secod degré p p(1 p) = p + p admet u maximum car le coefficiet de p 2 est égatif, ce maximum est atteit pour p = 1 2 1 1 2 = 1 4 ). O e déduit que 1, 96 p(1 p) 1, 96 1 1. 4 1 2 et il vaut doc Séquece 9 MA01 13 Ced - Académie e lige
O obtiet : 1 p p 1, 96 p(1 p) p + 1, 96 p(1 p) 1 p +. Doc l itervalle I est iclus das l itervalle p p 1 ; etraîe que + P X 1 X I P p 1 p. Doc l itervalle p p 1 ; cotiet F avec ue probabilité supérieure à celle obteue avec I. ce qui Doc l itervalle p p 1 ; cotiet F avec ue probabilité d autat plus sûre de dépasser 95 % que est grad. Coclusio L itervalle p p 1 ; est bie u itervalle de fluctuatio asymptotique de X à u seuil au mois égal à celui de I, c est-à-dire 95%. D Exercices d appretissage Exercice 1 (d après ressources Educatio atioale) Les efats sot dits prématurés lorsque la durée gestatioelle est iférieure ou égale à 259 jours. La proportio de ces aissaces est de 6%. Des chercheurs suggèret que les femmes ayat eu u travail péible pedat leur grossesse sot plus susceptibles d avoir u efat prématuré que les autres. Il est décidé de réaliser ue equête auprès d u échatillo aléatoire de 400 aissaces correspodat à des femmes ayat eu pedat leur grossesse u travail péible. Les chercheurs décidet a priori que si la proportio d efats és prématurés das cet échatillo est supérieure à la bore supérieure d u itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 0,95 alors leur hypothèse sera acceptée. Fialemet le ombre d efats prématurés est de 50. Quelle est doc la coclusio? 14 Séquece 9 MA01 Ced - Académie e lige
Exercice 2 Das le mode, la proportio de gauchers est 12 %. Das u club de teis, il y a 21 gauchers parmi les 103 liceciés. Détermier la fréquece de gauchers das ce club. Détermier u itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 %. Peut-o dire que ce club est «représetatif» de la proportio de gauchers das le mode? Exercice 3 O souhaite utiliser l itervalle de fluctuatio asymptotique p(1 p) p(1 p) I = p 1, 96 ; p + 1,96. Pour p = d utilisatio : 0,02, détermier la plus petite valeur de vérifiat les coditios 30, p 5 et (1 p) 5. Détermier esuite la plus petite valeur de pour laquelle l amplitude de l itervalle de fluctuatio est iférieure à 0,1. Séquece 9 MA01 15 Ced - Académie e lige
3 Estimatio A Objectifs du chapitre O souhaite coaître das ue populatio, la valeur d ue proportio p (proportio des pièces défectueuses parmi les pièces fabriquées par ue usie, proportio des gauchers e Frace, itetios de vote pour u référedum, ) Pour des raisos matérielles, fiacières ou autres (par exemple, o e peut pas tester le bo foctioemet de toutes les allumettes d ue productio car das ce cas tester ue allumette amèe à la détruire!), o e peut pas toujours réuir les doées cocerat la populatio tout etière. O va doc estimer la proportio p que l o cherche à partir de la fréquece f observée das u échatillo. Mais o sait que cette fréquece observée va varier d u échatillo à l autre, c est la fluctuatio d échatilloage autour de p. Il est doc écessaire de teir compte de cette fluctuatio e doat u résultat sous forme d u itervalle, appelé itervalle de cofiace e précisat aussi le iveau de cofiace que l o accorde à cette répose. Das ce chapitre, o motre commet o peut détermier u itervalle de cofiace au iveau 0,95. Cet itervalle dépedat de la taille de l échatillo, o détermie la taille de l échatillo qui est suffisate pour obteir ue précisio doée (qui déped de l amplitude de l itervalle de cofiace), le iveau de cofiace état toujours 0,95. B Pour débuter Das ce chapitre, o motrera commet répodre à des questios aalogues à celles qui suivet. O cosidère ue ure coteat u très grad ombre de petites billes de couleur blache ou oire, la proportio p de billes oires est icoue. O cherche à estimer p à partir d u échatillo de taille. O effectue 100 tirages successifs avec remise et o obtiet 71 billes oires et 29 billes blaches, à combie peut-o estimer p? Même questio sachat qu o a effectué 1000 tirages et obteu 693 billes oires et 307 billes blaches. 16 Séquece 9 MA01 Ced - Académie e lige
C Cours 1. Résultat prélimiaire Démotrer que, pour tous réels x et y et pour tout réel r positif, o a : x r y x+ r y r x y + r. Solutio x r y x y r x r y x+ r + y r x y + r. y x+ r y r x Remarque La double iégalité x r y x + r équivaut à r y x r qui sigifie que l écart etre les deux ombres x et y est compris etre r et r, les deux ombres x et y jouat le même rôle. 2. Exemple de référece Avat d aborder les défiitios et les propriétés bie mises e forme mais u peu difficiles au premier abord, ous allos étudier u exemple. O cosidère ue ure coteat u très grad ombre de petites billes de couleur blache ou oire, la proportio p de billes oires est icoue. O cherche à estimer p à partir d u échatillo de taille. La probabilité d obteir ue bille oire quad o fait u tirage au hasard est égale à la proportio p. O sait doc que, parmi tous les échatillos de taille qu o peut obteir, eviro 95% d etre eux ot ue fréquece f qui appartiet à l itervalle de fluctuatio p p 1 ;. Le résultat prélimiaire du prouve que : 1 1 1 1 p f p+ f p f + ce qui permet de déduire que : f p p 1 " ; " est équivalet à p f f 1 " ; ". Doc, parmi tous les échatillos de taille qu o peut obteir, eviro 95% sot tels que l itervalle associé f f 1 ; cotiet le ombre p que l o cherche à estimer. Séquece 9 MA01 17 Ced - Académie e lige
O réalise doc u échatillo de taille e effectuat tirages idépedats (tirages au hasard avec remise). O calcule la fréquece f de billes oires das l échatillo obteu et o détermie l itervalle f f 1 ;. O dit alors que p appartiet à f f 1 ; avec u iveau de cofiace de 95% et que l itervalle f f 1 ; est u itervalle de cofiace au iveau 0,95. Exemple 4 Solutio O effectue 100 tirages idépedats et o obtiet 71 billes oires et 29 billes blaches. Doer u itervalle de cofiace au iveau 95% pour la proportio p de billes oires. Même questio sachat qu o a effectué 1000 tirages et obteu 693 billes oires. O trouve f = 0,71. Comme = 100, l itervalle f f 1 ; 1 l itervalle 0,71 100 ;0,71 1 100, soit [ 0,61; 0,81 ]. La proportio p de billes oires appartiet à [ 0,61; 0,81 ] avec u iveau de cofiace de 95%. O dit aussi que la proportio de billes oires est estimée à 0,71 avec l itervalle de cofiace de [ 0,61; 0,81 ] au iveau 0,95. O a ici f = 0,693. est U itervalle de cofiace au iveau 95% est doc 1 0,693 1000 ; 0,693 1 1000. Pour doer u itervalle dot les bores sot des ombres décimaux ayat trois chiffres après la virgule, o détermie ue valeur approchée par excès de la bore de droite et ue valeur approchée par défaut de la bore de gauche : o obtiet [ 0,661; 0,725 ]. La proportio de billes oires est estimée à 0,693 avec l itervalle de cofiace de [ 0,661; 0,725 ] au iveau 0,95. Ue fois l échatillo réalisé, l itervalle f f 1 ; est détermié et il y a alors que deux possibilités : p appartiet ou appartiet pas à cet itervalle 18 Séquece 9 MA01 Ced - Académie e lige
(de même quad o a lacé ue pièce, o a obteu Pile ou o a obteu Face). C est pourquoi o e s exprime plus e termes de probabilité. Pour exprimer l idée qu o a obteu u itervalle et qu eviro 95% des itervalles qu o peut obteir aisi cotieet la proportio cherchée, o a choisi le mot «cofiace». 3. Défiitio Comme das le chapitre précédet, o cosidère ue suite de variables aléatoires ( X ) où chaque variable aléatoire X suit la loi biomiale ( ; p) (exemple : o lace fois ue pièce et X est le ombre de Pile obteus). La variable aléatoire F = X doe doc la fréquece du ombre de «succès». O dit qu u itervalle est aléatoire lorsque ses bores sot défiies par des variables aléatoires. La réalisatio d u itervalle aléatoire est l itervalle obteu après avoir réalisé l expériece aléatoire (après avoir lacé 500 fois ue pièce, iterrogé 1000 persoes ). Défiitio 2 U itervalle de cofiace pour ue proportio p à u iveau de cofiace 95% est la réalisatio, à partir d u échatillo, d u itervalle aléatoire coteat la proportio p avec ue probabilité supérieure ou égale à 95%. Propriété 2 admise Pour ue valeur de p fixée, l itervalle aléatoire F F 1 ; cotiet, pour assez grad, la proportio p avec ue probabilité au mois égale à 0,95. Coséquece La proportio p das ue populatio est élémet de l itervalle f f 1 ; avec u iveau de cofiace d au mois 0,95, où f désige la fréquece observée das u échatillo de taille. Séquece 9 MA01 19 Ced - Académie e lige
A savoir O se place das le cas où l échatillo cotiet au mois 30 élémets, 30. Si la fréquece f observée est telle que f 5 et (1 f ) 5, o coviet que f est ue estimatio de p et que l itervalle f f 1 ; est u itervalle de cofiace au iveau 0,95 pour la proportio p. Cet itervalle est aussi appelé «fourchette de sodage». 4. Taille de l échatillo pour obteir ue précisio doée au iveau de cofiace 0,95 La précisio de l estimatio est doée par l amplitude de l itervalle f f 1 ; qui est égale à 2 et déped doc de la taille de l échatillo. O observe que cette amplitude e déped pas de la taille de la populatio totale, ce qui peut étoer. Mais pour goûter u plat, il suffit d e goûter ue petite quatité, cette quatité e déped pas de la taille du récipiet (mais il faut éamois avoir bie mélagé)! (Explicatio doée d après ue idée de Jea- Louis Boursi das so livre «Les structures du hasard».) O peut doc choisir la taille de l échatillo pour obteir la précisio souhaitée. E otat a la précisio souhaitée, o cherche u etier tel que a, 4 2 soit. 2 a Précisio a 0,06 0,04 0,02 0,01 Taille miimale de l échatillo 1112 2500 10000 40000 20 Séquece 9 MA01 Ced - Académie e lige
Les sodages sot souvet faits avec des échatillos d eviro 1000 persoes, la précisio obteue est doc d eviro 0,06. Aisi, questioer 1112 persoes suffit pour avoir ue fourchette de sodage d amplitude 0,06, qu il s agisse d u sodage pour u référedum local cocerat 100000 électeurs ou pour le deuxième tour d ue électio présidetielle cocerat 35 millios d électeurs. Il faut bie sûr savoir cela quad o reçoit des iformatios où les sodages sot u élémet importat. 5. Exemple : sodages et électios Exemple 5 Das cet exercice, la populatio est suffisammet grade pour que les sodages soiet assimilés à des tirages avec remise. O e tiet compte que des réposes exprimées, c est-à-dire qu o e tiet pas compte des prévisios d abstetios ou des itetios de vote ul. Les sodages sot faits auprès de 1112 persoes. Au deuxième tour de l électio présidetielle, le derier sodage de l istitut A idique 52,5% d itetios de vote pour le cadidat X et 47,5% pour le cadidat Y. L istitut B idique 50,5% d itetios de vote pour le cadidat X et 49,5% pour le cadidat Y. Y-a-t-il ue cotradictio etre les résultats de ces deux istituts de sodage? Le cadidat X peut-il être totalemet rassuré? Solutio L itervalle de cofiace la fourchette de sodage f f 1 ; obteu à partir des résultats de l istitut A qui doe f = 0,525 pour le cadidat X est eviro égal à [ 0,495 ; 0,555 ]. E utilisat les résultats de l istitut B qui doe f = 0,505, o obtiet eviro [ 0,475 ; 0,535 ]. Les deux fourchettes de sodage ot ue partie commue, doc les résultats de ces deux istituts de sodage e sot pas e cotradictio. Le cadidat X e peut pas être totalemet rassuré car les deux fourchettes de sodage cotieet des ombres iférieurs à 0,5, correspodats à u échec de sa cadidature. 6. Simulatio Pour mieux voir ce qu est u itervalle de cofiace, ue fourchette de sodage, o a réalisé 20 séries de 200 tirages de 0 et de 1 au hasard. Séquece 9 MA01 21 Ced - Académie e lige
Pour chaque série, o obtiet u itervalle de cofiace. Das les 200 coloes de A à GR o a écrit les résultats des tirages. Das la coloe GS, o a détermié pour chaque lige la fréquece avec laquelle o a obteu 1. Das les coloes GT et GU sot calculées les bores de l itervalle de cofiace du cours au iveau 0,95. La sélectio des coloes GT et GU et le choix de «XY dispersio» das type de diagramme das Ope Office doe u diagramme aalogue à celui-ci. O costate ici que 19 d etre eux cotieet p = 0,5 qui est la proportio réelle das cet exemple de tirage au hasard. U seul itervalle e cotiet pas p = 0,5. Das d autres simulatios, o peut bie sûr trouver plusieurs itervalles de cofiace qui e cotieet pas p ou aucu. Quad o veut estimer ue proportio, o utilise u seul itervalle de cofiace. La simulatio permet de voir qu eviro 95% des itervalles de cofiace cotieet p. 7. Autre itervalle de cofiace Comme il existe différets itervalles de fluctuatio, il existe différets itervalles de cofiace. 22 Séquece 9 MA01 Ced - Académie e lige
Par exemple, l itervalle f(1 f ) f(1 f ) f 1, 96 ; f + 1,96 est aussi u itervalle de cofiace qui est utilisé das certais cas. O e le justifiera pas ici. D Exercice 4 Exercices d appretissage Ue usie viet d istaller ue chaîe de fabricatio pour fabriquer ue ouvelle pièce. Après u bref temps de foctioemet, o prélève 100 pièces. La fabricatio est assez importate pour que ce prélèvemet soit assimilé à u tirage avec remise. O trouve 23 pièces défectueuses. Détermier u itervalle de cofiace de la proportio de pièces sas défaut avec u iveau de cofiace 0,95. Des modificatios ot été apportées. O prélève de ouveau 100 pièces et o e trouve 9 défectueuses. Détermier l itervalle de cofiace correspodat. Coclure. Exercice 5 Das ue grade ville, u ouveau ciéma va être costruit. La muicipalité propose u terrai à proximité du cetre acie. U premier sodage est effectué auprès de 100 persoes choisies de faço aléatoire et idique 53 avis favorables. Peut-o dire que la majorité de la populatio est favorable à cet emplacemet? U deuxième sodage effectué auprès de 500 persoes idique la même proportio d avis favorables. La coclusio est-elle différete? U sodage effectué auprès de persoes idique la même proportio d avis favorables. A partir de quelle valeur de peut-o estimer, au seuil de cofiace 0,95, que la majorité de la populatio est favorable à cet emplacemet? Séquece 9 MA01 23 Ced - Académie e lige
4 Sythèse de la séquece Itervalle de fluctuatio asymptotique Défiitio U itervalle de fluctuatio asymptotique de la variable aléatoire X F = au seuil de 95% est u itervalle détermié à partir de p et de et qui cotiet F avec ue probabilité d autat plus proche de 95% que est grad. p(1 p) p(1 p) L itervalle I = p 1, 96 ; p + 1,96 est u itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 %. Coditios d utilisatio Les exigeces habituelles de précisio pour utiliser cette approximatio sot : 30, p 5 et (1 p) 5. Il faut savoir utiliser u itervalle de fluctuatio pour predre ue décisio. La règle de décisio adoptée état la suivate : si, das u échatillo, la fréquece observée f appartiet à u itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % o cosidère que l échatillo est compatible avec le modèle ; sio, o cosidère que l échatillo est pas compatible avec le modèle. Itervalle de cofiace Défiitio U itervalle de cofiace pour ue proportio p à u iveau de cofiace 0,95 est la réalisatio, à partir d u échatillo, d u itervalle aléatoire coteat la proportio p avec ue probabilité supérieure ou égale à 95%. 24 Séquece 9 MA01 Ced - Académie e lige
Il faut savoir estimer ue proportio icoue p grâce à u échatillo : la proportio p est estimée par la fréquece f, l itervalle f f 1 ; état u itervalle de cofiace au iveau 0,95. Coditios d utilisatio O se place das le cas où l échatillo cotiet au mois 30 élémets et où la fréquece f observée est telle que f 5 et (1 f ) 5. La précisio de l estimatio est doée par l amplitude de l itervalle f f 1 ; qui est égale à 2 et déped doc de la taille de l échatillo. Séquece 9 MA01 25 Ced - Académie e lige
5 Exercices de sythèse Exercice I Itervalle de fluctuatio (d après ressources Educatio atioale) Les persoes qui achètet u billet pour u voyage e avio e se présetet pas toutes à l embarquemet. Les compagies aériees cherchet doc à optimiser le remplissage d u avio e vedat évetuellemet u ombre de billets supérieur à la capacité de l avio (o dit que les places sot vedues e surréservatio ou e surbookig). Les compagies aériees veulet bie sûr maitriser le risque dû à cette pratique. O cosidère u avio de 300 places, soit le ombre de billets vedus, soit p la probabilité qu u cliet ayat acheté u billet se présete à l embarquemet et soit X la variable aléatoire désigat le ombre d acheteurs d u billet se présetat à l embarquemet. O cherche à évaluer, > 300, tel que PX ( > 300) 0,05, c est-à-dire tel que la probabilité que le ombre de passagers se présetat à l embarquemet soit supérieur à 300 soit eviro de 0,05. Pour modéliser cette situatio o suppose que les comportemets des cliets sot idépedats les us des autres. Détermier la loi de X. O suppose que p = du cours pour X au seuil de 95 %. 0,85. Écrire l itervalle de fluctuatio asymptotique I Motrer que si I 0; 300, alors la probabilité que le ombre de passagers se présetat à l embarquemet excède 300 est iférieur à ue valeur proche de 0,05. O cherche à détermier la valeur de maximale permettat de satisfaire la coditio I 0; 300. a) Motrer que, si I 0; 300, alors 0,85+ 1,96 0,1275 300 0. b) O défiit sur [ + [ 1; la foctio f par f( x) = 0,85x + 1,96 0,1275 x 300. 26 Séquece 9 MA01 Ced - Académie e lige
Motrer que la foctio f est strictemet croissate sur [ 1; + [ et détermier le plus grad etier 0 pour lequel la foctio f pred ue valeur égative. c) Vérifier que, pour cette valeur 0, o a bie I 0; 300. 0 Coclure. 0 Appliquer la même démarche lorsque p = 0,9 puis lorsque p = 0,95. Commeter. Exercice II Itervalle de cofiace Pour estimer das ue populatio la proportio p des idividus possédat le caractère A, o iterroge au hasard 80 élémets de cette populatio. O observe que 18 idividus possèdet le caractère A. Doer pour p u itervalle de cofiace au iveau 0,95. Doer ue coditio sur le ombre d idividus iterrogés, pour que la précisio obteue par l itervalle de cofiace au iveau 0,95 soit iférieure à 0,05. Doer ue coditio sur le ombre d idividus iterrogés, pour qu avec la même fréquece observée l itervalle de cofiace au iveau 0,95 soit iclus das [ 0;0,25 ]. Détermier u etier vérifiat les deux coditios. Quel serait alors, avec la même fréquece observée, l itervalle de cofiace au iveau 0,95? Séquece 9 MA01 27 Ced - Académie e lige