Séquence 6. Ensemble des nombres complexes. Sommaire. Prérequis Définition Forme algébrique Forme trigonométrique Synthèse

Séquence 6 Ensemble des nombres complexes Sommaire Prérequis Définition Forme algébrique Forme trigonométrique Synthèse Cette séquence est une brève introduction à un nouvel ensemble de nombres, ensemble qui contient l ensemble R des nombres réels et dans lequel les carrés peuvent être négatifs. Séquence 6 MA0 1

1 Prérequis A Équation du second degré dans R Les nombres a, b et c sont des nombres réels avec a 0 et x est un nombre réel. Théorème Théorème Tout trinôme du second degré ax + bx + c avec a 0 peut s écrire sous la forme ax + b bx + c = a x + a où = b 4 ac. 4a Résolution dans R de l équation ax + bx + c = 0 >0 =0 <0 Deux solutions : b x1 = b x a = + a Une solution : α = b a Pas de solution B Géométrie 1 Longueur de la diagonale d un carré, de l hypoténuse d un rectangle isocèle C a a A a B Le plan est muni d un repère orthonormé O;uv,. ( ) ( ) ( ) ( ; y ) et M( x ; y) est égale à L équation ax + by + c = 0 avec a; b 0; 0 est une équation de droite. La distance des points M 0 x0 0 ( ) + ( ) MM 0 = x x0 y y0. ( ) + ( ) = L équation x x0 y y0 R est une équation du cercle de centre Ω( x0 ; y0) et de rayon R. Séquence 6 MA0 3

Exemple A E Solution Montrer que l ensemble E ayant pour équation x + y 4x + y = 0 est un cercle dont on donnera le centre et le rayon. ( ) ( ) On transforme l équation donnée pour faire apparaître x x0 et y y0. On a les équivalences : x + y 4x + y = 0 ( x 4x)+ ( y + y)= 0 ( x 4x + 4)+ ( y + y + 1) 5= 0 ( x ) + ( y + 1) = 5. La dernière équation permet de reconnaître que l ensemble E est le cercle de centre Ω ; 1 ( ) et de rayon 5. 3 Formules de trigonométrie Définition Dans le plan muni d un repère orthonormé direct (O ;OI, OJ), on considère un cercle C orienté de centre O et de rayon 1. Soit x un réel et M le point qui lui est associé. On appelle cosinus de x et sinus de x les coordonnées de M dans le repère (O ;OI, OJ). On a ainsi : M (cos x ; sin x). sin x O J M x I cos x + À savoir Réel x 0 cos x 1 sin x 0 π 6 3 1 π 4 π 3 1 3 p 0 1 Propriété Pour tout réel x et tout entier relatif k, on a : 1 cosx 1 et 1 sinx 1 ; cos x + sin x = 1 ; cos( x + k π ) = cosx. sin( x + k π ) = sinx 4 Séquence 6 MA0

Propriétés cosinus et sinus des réels associés à un réel x cos( x) = cosx cos( π + x) = cosx cos( π x) = cosx sin( x) = sinx sin( π + x) = sinx sin( π x) = sinx π cos sin x = x π sin cos x = x π cos + sin x = x π sin + cos x = x Propriétés Formules d addition Pour tous réels a et b, on a : cos( a+ b)= cosacosb sinasin b, cosa= cos a sin a cos( a b)= cosacosb+ sinasin b, cosa= cos a 1 sin( a+ b)= sinacosb + cosasinb, cosa= 1 sin a sin( a b)= sinacosb cosasinb. sina= sina cosa C Fonction exponentielle Théorème Relation fonctionnelle caractéristique La fonction exponentielle est la seule fonction f non nulle et dérivable sur R telle que f ( 0) = 1 et, pour tous réels a et b, f( a+ b) = f( a) f( b). Séquence 6 MA0 5

Définition A Forme algébrique Objectifs du chapitre L existence d un ensemble de nombres dans lequel des carrés peuvent être négatifs est énoncée dans un théorème, admis en terminale. On expérimente alors les calculs possibles. On en donne une première interprétation géométrique. On résout toutes les équations du second degré. Par nécessité, la notion de nombre s est enrichie au cours des siècles. E On connaît N ensemble des entiers naturels N = {0 ;1;; }. E L ensemble Z des entiers relatifs contient N ainsi que les opposés des entiers naturels : Z = { ; 3; ; 101 ; ; ; ; }. E Les nombres fractionnaires, nécessaires pour les partages, sont de la forme a b avec a et b entiers ; ils constituent l ensemble Q des nombres rationnels. Remarque En prenant b = 1, on voit que Z est un sous-ensemble de Q. E L ensemble R des réels est constitué de l ensemble Q des nombres rationnels et aussi de l ensemble des nombres irrationnels (qu on ne peut pas écrire sous la forme a avec a et b entiers) ; nous en connaissons des exemples : b π,, 3 E Pour résoudre des équations (du troisième degré en particulier), les mathématiciens du xvi e siècle commencèrent à entrevoir l existence d autres nombres qu ils appellent nombres imaginaires. C est le cas en particulier de Jérôme Cardan, mathématicien italien, qui obtenait des résultats intéressants en prenant la racine carrée d un nombre négatif. Au milieu du xviii e siècle, le mathématicien suisse Leonhard Euler désigne par i le nombre imaginaire 1 ; ainsi i = 1 et tous les imaginaires inventés seront de la fonne a + ib avec a et b réels. Tous ces nombres constituent l ensemble des nombres complexes, exemple que l on va noter C. Ces ensembles de nombres sont inclus les uns dans les autres. Ils ont des propriétés différentes, en particulier dans la résolution des équations. L équation 7+ x = 4 n a pas de solution dans N, mais sa solution ( 3) est dans Z. L équation 3x = n a pas de solution dans Z, mais sa solution 3 est dans Q. 6 Séquence 6 MA0

L équation x = n a pas de solution dans Q, ses solutions ( ) et sont irrationnelles. L équation x = 1 n a pas de solution dans R, mais aura solutions i et ( i) dans le nouvel ensemble C que l on va étudier maintenant. 3 ( 3) ( ) i ( i) B Activité 1 Pour débuter La résolution des équations du second degré était connue des Babyloniens vers 1700 ans avant J.-C. L étude de la résolution des équations du troisième degré aboutit en 1545 avec la publication, dans l Ars Magna de Jérôme Cardan, de la formule découverte par Scipione dal Ferro. 3 Une équation de la forme x = px + q a pour solution le nombre x donné par 3 3 q 7q 4p q q p x = 3 7 4 + + 3. 108 108 Dans cette formule, le symbole 3 désigne la racine cubique d un nombre : a étant un nombre réel, 3 a désigne le seul nombre réel dont le cube est égal à a. L existence et l unicité du nombre 3 a sont prouvées à l aide du théorème des valeurs intermédiaires. Sur une calculatrice, la racine cubique du nombre a s obtient en élevant a à la puissance 1 3. 1 3 Démontrer que toute équation de la forme x = px + q possède au moins une solution dans R. En utilisant la formule publiée par Cardan, trouver une valeur de x solution de 3 l équation x = x + 4. 3 Mais si on essaie de faire de même avec l équation x = 15x + 4, on ne peut pas conclure car 7q 4p 3 est strictement négatif et on ne peut pas en prendre la racine carrée. Mais on sait qu il y a au moins une solution d après 1. Séquence 6 MA0 7

Des algébristes italiens du xvi e siècle, Bombelli en particulier, eurent l audace de continuer quand même les calculs en utilisant un nombre dont le carré est égal à 1. Ce nombre sera plus tard noté i par L. Euler en 1777. 3 En utilisant l égalité i =, 1 montrer que, dans le cas de l équation 3 x = 15x + 4, on a 3 q 7q 4p + = + 11i et q q p 3 1 7 4 = 11i. 108 108 4 3 3 3 En utilisant l identité remarquable ( x + y) = x + 3x y + 3 xy + y, vérifier 3 3 que ( + i) = + 11i et ( i) = 11i. 5 3 En déduire une solution x 0 de l équation x = 15x + 4. 6 3 Terminer la résolution de l équation x = 15x + 4 en montrant qu elle est équivalente à une équation de la forme ( x x0 )( x + ax + b) = 0. C Cours 1. Définition Théorème (Admis) Il existe un ensemble, l ensemble des nombres complexes, noté C, tel que : C contient l ensemble R des nombres réels ; C est muni d une addition, d une multiplication (et donc d une soustraction et d une division) qui possèdent les mêmes règles de calcul que dans l ensemble des nombres réels ; il existe, dans C, un nombre i tel que i = 1 ; tout nombre complexe s écrit de façon unique sous la forme = a+i b, où a et b sont des nombres réels. Remarque Dans R, il est impossible de trouver des nombres dont le carré est négatif. Dans C, cela devient possible On a prolongé les opérations (addition et multiplication) avec leurs propriétés, mais on a perdu une autre des propriétés de R: l ordre. Dans R, deux nombres quelconques x et y peuvent toujours être comparés : on a x y ou x > y. Une des conséquences de l ordre dans R est la règle des signes, en particulier on sait qu un carré, qui est le produit de deux nombres de même signe, est un nombre positif. L ordre de R ne peut donc pas être prolongé dans C puisque, dans C, il existe des carrés négatifs. Ainsi, le nombre i ne peut pas être comparé à 0, le nombre i n est pas positif et i n est pas négatif. Le symbole désigne, dans R, le nombre positif dont le carré est égal au nombre positif qui est sous le radical. Comme il n y a pas d ordre dans C, le mot «positif» n a pas de sens pour un nombre non réel et on ne peut pas généraliser l utilisation de ce symbole qui reste donc réservé aux réels positifs. 8 Séquence 6 MA0

Définitions 1 L écriture a+ i b, a et b étant réels, s appelle la forme algébrique du nombre complexe tel que = a+i b. Le nombre réel a s appelle partie réelle du nombre complexe et on écrit a= Re( ). Le nombre réel b s appelle partie imaginaire du nombre complexe et on écrit b = Im( ). Quand a est nul, le nombre complexe s écrit = i b et on dit que est un imaginaire pur (après leur invention, les nombres complexes étaient appelés «nombres imaginaires»). Remarque La partie réelle et la partie imaginaire d un nombre complexe, Re( ) et Im( ), sont des nombres réels. Le nombre réel 0 est un imaginaire pur (0 = 0 i)! Propriété 1 Nombre complexe nul : a+ ib = 0 a= 0 et b = 0. Égalité : a+ ib = a + ib a= a et b= b (où a, b, a et b sont réels). Caractérisation d un nombre réel : R Im( ) = 0. Caractérisation d un imaginaire pur : est imaginaire pur Re( ) = 0. Démonstration Ces quatre propriétés sont déduites de l unicité de l écriture sous forme algébrique = a+i b, unicité qui est énoncée dans le théorème 1.. Opérations E Exemples On applique les mêmes règles que dans R. On a donc les mêmes identités remarquables. Voici quelques exemples de calcul. ( + 3i) + (5 4i) = + 5 + 3i 4i = 7 i. ( + 3i)(1 i) = + 3i i 3i = + i + 3 = 5 + i, car i = 1. ( + 3i) = + 3i + (3i) = 4 + 1i + 9i = 4 + 1i 9 = 5 + 1i. Ici, on a utilisé une identité remarquable qui se calcule comme dans R ; on a aussi utilisé le fait que i = 1. Séquence 6 MA0 9

(1 + 3i)(1 3i) = 1 (3i) = 1 9i = 1 + 9 = 10. Ici, c est l identité remarquable (x + y )(x y ) = x y qui a été utilisée en prenant x = 1 et y = 3i. On peut remarquer que le produit de ces deux nombres complexes non réels est un nombre réel. Propriété Pour tous nombres complexes = a+i b et = a + i b, a, b, a et b étant des nombres réels, on a : + = ( a+ a ) + i( b+ b ) = ( aa bb ) + i ( ab + ab ) ; k = ka +i kb pour tout réel k ; 1 a ib a b = = i si 0. a+ ib a + b a + b a + b E Conséquence Démonstration On applique les mêmes règles de calcul que dans R. Pour le produit, on a = ( a+ ib)( a + ib ) = aa + iba + iab + i bb = ( aa bb ) + i( ab + ab ) car i = 1. Pour l inverse, on utilise une identité remarquable (comme on l a fait avec des radicaux) en multipliant le numérateur et le dénominateur par a i b : 1 1 a ib a ib a b = = = i. a + ib ( a+ ib)( a ib) a b a b a + b ( ) = + Tout nombre complexe non nul admet un inverse. Pour tous nombres complexes et, on a : = 0 = 0 ou = 0. Démonstration E Exemple 1 E Solution On a trouvé un inverse pour chaque nombre complexe non nul donc si = 0 et 0, en multipliant par l inverse de (c est-à-dire en divisant par ), on obtient = 0. Donc si = 0 alors on a = 0 ou = 0. On vérifie facilement la réciproque en utilisant par exemple a= b =0. Déterminer la forme algébrique de l inverse du nombre + 3 i et du quotient 3 + i 1 i. On a : 1 3i 3 = = i ; + 3i + 3 13 13 10 Séquence 6 MA0

3+ i ( 3+ i)( 1+ i) ( 3+ i ) + i( 3 + 1) 1 7 1 7 = = = + i = + i. 1 i (1 i)(1+i) 1 + 5 5 5 Remarque E Exemple Quelques propriétés du nombre i : 3 4 5 i= 1;i =i i= i ;i =(i)=1;i =i ; 1 i = i = i i 1 = i. Pour n N i 4n = (i 4 ) n = 1 n = 1 i 4n + 1 = i 4n i = 1 i = i i 4n + = i 4n i = 1 ( 1) = 1 i 4n + 3 = i 4n i 3 = 1 ( i) = i Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants : 9 35 3 1 3i 1+ i 1 i ( 1+ i) ; ; ; ; 7 4 1+ 4 1 i i i 1+ i. E Solution Remarque 3 3 3 (1+ i) = 1 + 3i + 3i + i = 1+ 3i 3 = i + i 1 7 4i 7 4i 7 4 7 4i = + + = = + (7 4i)(7+ 4i) 7 + 4 65 65 i 3i ( 3i)(1 4i) 3i 8i 1 10 = = = 1 4i (1 4i)(1 4i) 1 4 17 11 + + + 17 i 9 9 9 1+ i (1+ i)(1+ i) 1+ i 1 9 = = (i) i 1 i (1 i)(1+ i) = = 1 + 1 Penser à simplifier d abord la parenthèse et ne faire agir qu ensuite l exposant. 35 35 1 i (1 i) 1 i 1 35 35 35 35 = ( i) ( 1) (i) i 1+ i (1+ i)(1 i) = = = = 1 + 1 4 + 8 3 4 8 3 8 3 3 = i = (i ) i = 1 i = i = ( i) = i 3. Représentation géométrique Les nombres complexes ont longtemps été acceptés difficilement. Peu à peu, des mathématiciens en ont donné une interprétation géométrique : Wessel en 1797 dans un texte en danois qui fut peu diffusé, Argand en 1806, Gauss en 1831. Leur existence n a ensuite plus posé de difficultés. Séquence 6 MA0 11

Définition Soit O;uv, ( ) un repère orthonormé direct du plan. À tout nombre complexe = a+i b (avec a et b réels), on associe le point M de coordonnées ( a; b) dans ce repère. On dit que M est le point image de et que OM est le vecteur image de. ( ) du plan, on associe le nombre complexe Inversement, au point M a; b = a+i b. On dit que est l affixe du point M et aussi du vecteur OM. b M() = a + ib v O a u Notation Le point M ayant pour affixe peut être noté M( ). Remarque E Exemple 3 Pour éviter toute confusion, les vecteurs du repère ne s appellent pas i et j. 1 Le plan étant muni d un repère orthonormé direct O;u, v, A, B, C, D et E d affixes respectives : ( ) placer les points A = + 3i ; B = 3 i ; C = 3 i ; D = 5 et E = + i. Lire les affixes F, G, H, K, L et w. v L H F O 0,5 K u w G 1 Séquence 6 MA0

3 Représenter dans le plan : E Solution a) l ensemble D 1 des points M d affixe telles que Re( ) = 1; b) l ensemble D des points M d affixe telles que Im( ) = 3. ( ) 1 On place les points d après leurs coordonnées : A ; 3, B3; 1, D50 ; ;. ( ) ( ) et E ( ) C0 ( 3) En lisant les coordonnées, on obtient les affixes : F = 1, 1 3 G = 3i, H = 3 + i, K = i, L = 1 + 3 i et w = 3 i (On a remarqué que les points K et L sont sur le cercle trigonométrique.) ;, A D D1 E v L H F O 0,5 K u D B w C G 3 a) Le point M d affixe = a+i b (avec a et b réels) est un point de D 1 si et seulement si a = 1, l ensemble D 1 est donc la droite d équation x = 1. b) De même l ensemble D des points M d affixe telles que Im( ) = 3 est la droite d équation y = 3. Remarque Nombres complexes Somme Soit = a+i b et = a + i b, Produit par un réel k En particulier k = 1 alors + = ( a+ a ) + i( b+ b ) k= ka ( + i b) = ka+ i( kb) = a ib Vecteurs Soit v( a; b) et v ( a ; b ), alors v + v a+ a ; b+ b' ( ) ( ) kv. ka ; kb v a; b ( ) On observe une grande correspondance entre ces opérations pour les nombres complexes et pour les vecteurs. Séquence 6 MA0 13

Pour l addition et la multiplication par un nombre réel, manipuler les deux coordonnées d un vecteur revient à manipuler un seul nombre complexe. On obtient ainsi les propriétés suivantes. Dans le plan muni du repère orthonormé ( O;uv, ), on considère le point M de coordonnées ( a; b) et le point M de coordonnées ( a ; b ) et on pose V = OM = au+ bv, V = OM = a u+ b v et w = MM. On note V = M = a+ bi et V = M = a + b i. b + b w b b + b b M I V + V M v O a u a + a a a + a Propriété 3 V + V a pour affixe V +, ou encore M + M. V V V a pour affixe V ou encore Z. V M M MM = M M (affixe de l extrémité diminuée de l affixe de l origine). car MM = MO + OM = OM OM = V V. Pour k réel quelconque k i V a pour affixe k V. L affixe du milieu I d un segment est la demi-somme des affixes des extrémités. ( ) est l affixe du symétrique de M( ) dans la symétrie centrale de centre O. Les coordonnées du point image de étant formées par la partie réelle et la partie imaginaire de, on obtient les caractérisations suivantes. Propriété 4 Caractérisation d un nombre réel : R M( ) ( Ox). Caractérisation d un imaginaire pur : est imaginaire pur M( ) ( Oy) 14 Séquence 6 MA0

Vocabulaire L axe des abscisses est aussi appelé l axe des réels et l axe des ordonnées, l axe des imaginaires purs. axe des imaginaires purs v O u axe des réels 4. Nombre conjugué d un nombre complexe Définition 3 Le conjugué d un nombre complexe = a+i b (a et b réels) est le nombre complexe noté défini par : = a i b. ( se lit «barre»). Remarque E Exemple Remarque On a déjà utilisé ce nombre dans les calculs faits pour trouver la forme algébrique d un inverse ou d un quotient. Si = + 3i, on a = 3i ; si = 4 5i, on a = 4+ 5i ; si = i, on a = i ; si = 7, on a = 7. On observe que et ont la même partie réelle et que leurs parties imaginaires sont opposées. v M() O u M () Géométriquement, les points images d un nombre complexe et de son conjugué sont donc symétriques par rapport à l axe des abscisses. Séquence 6 MA0 15

Propriété 5 Pour tous nombres complexes et : a) = ; b) pour tout réel λ, λ=λ et, pour tout imaginaire pur ib, ib = ib ; c) = a + b, et donc est réel ; d) + = a= Re( ), Re( ) = + et = ib = iim( ), Im( ) = ; i e) + = + ; f) = ; cas particuliers : pour tout λ réel, λ = λ et donc = ; 1 1 g) pour tout 0, = et = ; n n h) pour tout entier n dans Z, ( )= ( ). Démonstration Les égalités de a) à f) incluses se démontrent directement à partir de la définition 3. En particulier la relation c) : = ( a+ ib)( a ib) = a ( ib) = a () i b = a + b. 1 1 g) On peut utiliser le conjugué d un produit car = 1. Ainsi = 1= 1, d où 1 1 1 = 1 et donc =. En écrivant que le quotient est égal au produit 1, on obtient = 1 1 = =. h) Montrons d abord par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n, n n ( )= ( ). Initialisation : Hérédité : Pour n = 1, l égalité est vraie puisqu il s agit du même nombre :. On suppose que la proposition est vraie pour un entier k strictement positif, k k ( )= ( ). Pour l entier suivant, on a k+ 1 k k ( )= ( )= ( ) = ( ) =( ) k k+ 1 en appliquant d abord la propriété f) sur le conjugué du produit de deux nombres complexes, puis en utilisant l hypothèse de récurrence. L égalité est donc vraie au rang n= k +1. La proposition est donc héréditaire. 16 Séquence 6 MA0

Conclusion : n Pour tout n dans N, n ( )= ( ). On utilise les exposants négatifs comme dans R et, en utilisant la propriété sur les inverses des nombres complexes non nuls, on obtient n n ( )= 1 1 1 = n n n ( ) pour tout entier naturel n non nul. = ( ) = ( ) ( )= ( ). On pose enfin 0 = 1 et on peut conclure : pour tout entier n dans Z, n n Remarque On peut préférer retenir certaines de ces propriétés par des phrases : a) le conjugué du conjugué d un nombre complexe est égal à ; e) le conjugué d une somme est égal à la somme des conjugués ; f) le conjugué d un produit est égal au produit des conjugués ; g) le conjugué d un inverse est égal à l inverse de son conjugué ; le conjugué du quotient de deux nombres complexes est égal au quotient des conjugués. Les égalités d) de la propriété 5 donnent une nouvelle caractérisation des réels et des imaginaires purs. Propriété 6 Caractérisation d un nombre réel : R =. Caractérisation d un imaginaire pur : est imaginaire pur =. E Exemple 4 E Solution E Exemple 5 E Solution Sans chercher la forme algébrique, donner directement les conjugués de et de 4 avec = ( 4 5i)(3 + i ) et = 5i. 3+ i = ( 4 5i)(3 + i) = ( 4 5i)(3+ i) = ( 4+ 5i)(3 i ) (on a utilisé la propriété f)). 4 5i = + = 4 5i + = 4 + 5i (on a utilisé la propriété g)). 3 i 3 i 3 i Déterminer les nombres complexes tels que + 3( )= 13+ 18i. On pose = a+i b (a et b réels). Nous avons vu que = a + b et =i b. L équation de départ est donc équivalente à : a + b + 3 ib = 13+ 18 i. Or deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont respectivement égales d où : a + b = 13 a b 13 a 4 + = = 6b = 18 b = 3 b = 3 d où deux solutions : = + 3i ou = + 3i. Séquence 6 MA0 17

E Exemple 3. Équation du second degré dans C, à coefficients réels On a : 5= i 5=( i 5) = ( i 5) ; 9= i 9= ( 3i) = ( 3i). Ces exemples montrent comment, dans C, l égalité fondamentale i = 1 qui dit que 1 est un carré dans C entraîne que tout nombre réel négatif est aussi le carré d un (et même deux) nombre complexe. Propriété 7 Dans C, tout nombre réel λ strictement négatif est le carré de deux nombres imaginaires purs et conjugués : i λ et de i λ. Démonstration ( ) ( ) Si λ< 0 alors λ > 0 et λ= λ ( ) = i( λ ) = i λ = i λ. Dans ce qui suit, les nombres a, b et c sont des nombres réels avec a 0, désigne un nombre complexe. Par des calculs analogues à ceux faits dans le cours de Première, on obtient que tout trinôme du second degré a + b + c, avec a 0, peut s écrire sous la forme a + b b + c = a + a où = b 4 ac. 4a Pour résoudre l équation a + b + c = 0, on écrit que la grande parenthèse contient la différence de deux carrés. Dans le cas où le nombre réel est strictement négatif, on peut l écrire maintenant sous la forme d un carré = ( i ). On peut donc compléter les résultats déjà connus par : Si <0, alors = ( i ) et on a : b a + b + c = a ( i ) a 4a b = a i a a b = a a i b i a a + a b i b i = a + a a a a 18 Séquence 6 MA0

b b Alors : a + b + c == a + i a i a. On en déduit : b b a + b + c = 0 + i 0 a = i ou a = 0 Propriété 8 = b + i b i ou =. a a Résolution d une équation du second degré dans C, les coefficients étant réels. Soit, dans C, l équation (E) a + b + c = 0, les nombres a, b et c étant des nombres réels avec a 0. On pose = b 4 ac et on appelle S l ensemble des solutions de (E). b b Si >0, S = + ;. a a b Si =0, S =. a b b Si <0, S = + i i ;. a a Remarque E Exemple 6 E Solution Complément Dans le cas où <0, les deux solutions sont des nombres complexes conjugués. Dans le cas où <0, en appelant les solutions 1 et, on obtient a + b + c = a( 1) ( ). On a vu dans le cours de Première que si >0 ou si =0 on peut factoriser un polynôme du second degré. On en déduit ici que, dans C, un polynôme du second degré se factorise toujours. Résoudre, dans C, l équation + + 1= 0. + 1 i 3 1 i 3 On a : = 1 4 1 1= 3=( i 3) et donc S = ;. On a obtenu que tout polynôme du second degré à coefficients réels admet au moins une racine dans C. On dit aussi que «tout polynôme du second degré à coefficients réels admet deux racines dans C, distinctes ou confondues» (en comptant deux racines confondues dans le cas =0). Plus généralement, on démontre beaucoup plus loin dans la théorie des nombres complexes le théorème de D Alembert-Gauss : «Tout polynôme de degré n à coefficients complexes admet n racines dans C, distinctes ou confondues.» Séquence 6 MA0 19

D Exercices d apprentissage Exercice 1 Exercice Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants : a) = (1 + i)( 1 i) b) = ( 3i)(3i) c) = (i + 1)(1 + i) (3i 4) d) = (5 + 4i)(3 + 7i)( 3i) 1 i e) = i 3 4i f) = 7+ 5i (3 i)(5+ i) g) = 5 i Résoudre dans C les équations suivantes : 1 i a) (3 i ) = + 1 i b) 4 + 8 3= 0; montrer que les images des quatre nombres solutions forment un losange. c) = 4 ; quel est l ensemble des points images des solutions? d) i = 0 ; pour cette question, soit O, A, B, C les images dans le plan complexe, muni du repère orthonormal ( O; uv, ), des solutions obtenues. Montrer que le triangle ABC est équilatéral. Le plan est muni d un repère orthonormé direct ( O;uv, ). On pose Z = ( )( + i). Soit les écritures algébriques = x + iy ; x, y réels Z = X + iy ; X, Y réels a) Exprimer X et Y en fonction de x et y. Trouver alors les ensembles suivants : E 1 : ensemble des points M() tels que Z est réel. E : ensemble des points M() tels que Z est imaginaire pur. b) Traduire à l aide de Z que Z est réei, puis que Z est imaginaire pur. Retrouver alors les ensembles E 1 et E. 1 Résoudre dans C l équation (E) : + 5= 0. Dans un repère orthonormé direct ( O;uv, ), on appelle A et B les images des solutions de (E), l ordonnée de A étant positive. Déterminer l affixe c du point C tel que le quadrilatère OCAB soit un parallélogramme. 4 Résoudre dans C l équation + 7 + 1= 0. 0 Séquence 6 MA0

3 Forme A trigonométrique Objectifs du chapitre Dans ce chapitre, on aborde un autre point de vue sur les nombres complexes. L interprétation géométrique fait maintenant intervenir les longueurs et les angles. On montre alors une propriété fondamentale de la multiplication de deux nombres complexes dont on étudie quelques conséquences. B Activité Pour débuter Soit O;uv, ( ) un repère orthonormé direct du plan. ( ) Un point M du plan est alors caractérisé par le couple de ses coordonnées a; b telles que OM = au + bv. On dit que a; b ( ) est le couple des coordonnées cartésiennes de M. Le fait que le repère est orthonormé direct permet de mesurer les angles orientés car le repère indique le sens positif utilisé pour mesurer les angles. Si le point M est différent de l origine O, on peut alors repérer le point M par la longueur OM et une mesure θ de l angle orienté ( u, OM ). En effet, un point donné M définit un seul couple ( OM, θ), θ étant défini à π près. + M b w v θ a O u Séquence 6 MA0 1

( ) Et, inversement, la donnée d un couple r, θ où r est un nombre réel strictement positif détermine un seul point M : M se trouve sur le cercle de centre O et de rayon r et sur la demi-droite d origine O dirigée par un vecteur w non nul tel que ( uw, ) mesure θ. Le point M est déterminé de façon unique car la demi-droite et le cercle n ont qu un seul point commun. Le couple ( r, θ ) est le couple de coordonnées polaires de M, θ étant défini à π près. F v O D B E u G A 1 Donner les coordonnées polaires des points A, B, C, D, E, F et G (le point D est le milieu du segment [ OB]). Placer les points suivants, donnés par leurs coordonnées polaires, et donner la forme algébrique de leurs affixes : 3 H3, ( π), K1, π 4, π L,. 6 3 Donner les coordonnées polaires des points suivants, donnés par leurs affixes : C M 1 = 1 i, N = i 3, P =. C Cours 1. Module d un nombre complexe a) Définition Définition 4 On appelle module d un nombre complexe = a+ib(a et b réels) le nombre réel positif, noté, défini par : = a + b. E Exemple 3i = + 3 = 13 1 = 1+ 0i = 1 + 0 = 1 3 = ( 3) + 0 = 3 i = 1 Propriété 9 Le module d un nombre réel est égal à sa valeur absolue. Séquence 6 MA0

Démonstration Si = a (a réel), la définition du module donne a qui est aussi la valeur absolue de a. Cela justifie l emploi de la même notation. Propriété 10 Interprétation géométrique du module Soit un nombre complexe = a+i b (a et b réels) et M son image dans un repère orthonormé direct O;uv,, ( ) alors = OM. b M() = a + ib v O = a + b u a Démonstration On sait que = a + b et que OM = a + b. Conséquence On a : = 0 M= O = 0. Propriété 11 Pour tout nombre complexe : = = =. b i v a 1 u 1 O M () a i b Séquence 6 MA0 3

Démonstration Soit = a+i b (a et b réels), on a a + b = a + ( b) = ( a) + ( b) = ( a) + b. b) Module et produit Propriété 1 Pour tout nombre complexe, on a =. Démonstration Soit = a+i b (a et b réels), on a montré dans la propriété 5 du chapitre que = a + b donc =. Cette égalité fait un lien entre, son conjugué et son module, elle doit être bien connue. Elle va servir immédiatement à démontrer les égalités qui suivent. Propriété 13 Pour tous nombres complexes et, on a : n n a) = ; = pour tout entier naturel n ; b) pour 0, 1 = 1 ; c) pour 0, = ; d) + +. Démonstration a) Comme les modules sont des nombres réels positifs, il suffit de prouver l égalité des carrés de ces quantités. En utilisant la propriété précédente, on obtient : = ( )( )= = ( ) ( )=. La propriété sur les puissances se démontre par récurrence. b) De même : 1 = 1 1 1 1 1 = =. c) En utilisant a) et b), on a : 1 1 = = =. 4 Séquence 6 MA0

d) L inégalité + + est parfois appelée «inégalité triangulaire» car on peut l interpréter géométriquement. Dans un repère orthonormé direct O;uv,, et M l image de +. ( ) soit M l image de, M l image de M M + v O u M On sait que, dans le triangle OMM, on a OM OM+ MM soit OM OM+ OM, c est-à-dire + +. Remarque E Exemple 7 On peut préférer retenir les cas a), b) et c) par des phrases : le module d un produit est égal au produit des modules ; le module de l inverse d un nombre complexe non nul est égal à l inverse de son module ; le module d un quotient est égal au quotient des modules. Conséquence La propriété 13 montre que les calculs de modules sont aisés lorsque apparaissent des produits ou des quotients. Par contre, les modules de sommes ne sont pas faciles à manipuler. Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants : 1 ; i ; 1 ; i ; 3 ; i ; 1 + i ; 3 + i ; 1+ i ( 1+ i)( 3+ i); 3+ i. 3 + i i i 1 + i 3 1 O 1 i Séquence 6 MA0 5

E Solution 1 =1 + 0i donc 1 = 1 + 0 = 1 i = 0 + 1i donc i = 0 + 1 = 1 1 = 1 = 1 i = i = 1 3 = 3 i = i = 1 =. 1+ i = 1 + 1 = 3 i = ( 3) + = 13 ( 1+ i)( 3+ i) = 1+ i 3+ i = 13= 6 1+ i 1+ i = = = 3+ i 3+ i 13 13 c) Module et géométrie Propriété 14 Le plan est muni d un repère orthonormé direct O;uv,. Soit M le point d affixe et M 0 le point d affixe 0. On a alors 0 = MM. 0 ( ) Démonstration E Exemple 8 E Solution En appelant x ; y ( ) les coordonnées de M et ( x0 ; y0) celles de M 0, on obtient : 0 = ( x + iy) ( x0+ iy0 ) = ( x x )+ i( y y ) 0 0 ( ) + ( ) = x x0 y y0 Et on reconnaît l expression de la longueur M0M. Le plan est muni d un repère orthonormé direct O;uv,. a) Déterminer l ensemble E 1 b) Déterminer l ensemble E ( ) ( ) des points M d affixe tels que + + = ( ) des points M d affixe tels que = ( ) a) Soit A le point d affixe ( 3 i) donc de coordonnées 3;. M ( E1) ( 3 i) = AM = L ensemble E 1 Mest sur lecercledecentre Aetderayon. ( ) est donc le cercle de centre A et de rayon. 3 i. i 1. 6 Séquence 6 MA0

Autre méthode Cette question peut aussi être étudiée par une méthode analytique, c est-à-dire avec les coordonnées. On pose = x +i y (x et y réels). M ( E1) x + iy + 3+ i = ( x + 3) + i( y + ) = ( x + 3) + i( y + ) = ( x + 3) + ( y + ) = 4. La dernière équation permet de reconnaître que l ensemble ( E 1 ) est le cercle de centre A et de rayon. b) Soit A(i) et B(1). M ( E) i = 1 AM = BM Mest sur lamédiatrice du segment[ab] i A O B 1 L ensemble ( E ) est donc la médiatrice de [AB]. Autre méthode On pose = x +i y (x et y réels). M ( E) x + iy i = x + iy 1 x + i( y 1) = ( x 1) + iy x + i( y 1) = ( x 1) + iy x + ( y 1) = ( x 1) + y y = x. =, on retrouve ainsi la média- L ensemble E trice de [AB]. ( ) est donc la droite d équation y x Séquence 6 MA0 7

. Argument d un nombre complexe non nul Dans tout ce qui suit, le plan est muni d un repère orthonormé direct ( O;uv, ). On peut donc mesurer les angles orientés de vecteurs. Définition 5 Soit un nombre complexe non nul et M son image. On appelle argument de, et on note arg, n importe quelle mesure, exprimée en radians, de l angle ( u,om ) : arg = ( u, OM )+ k π. Si V est le vecteur image de, on a aussi arg = ( u, V )+ k π. M v V arg O u Remarque E Exemples Le nombre 0 n a pas d argument. + N ( 1 + i) J (i) M (1 + i) v π 4 K ( 1) O u l (1) p ( 1 i) L ( i) arg1 = ( uu, ) = 0; arg( 1) = ( u,ok) = π Q (1 i) π argi = ( uv, ) = ; π π = u 3 arg( i) (,OL) = ou π arg(1+ i) = ( u,om) = 4 ; 7π π arg(1 i) = ( u,oq) = ou 4 4 3π π π arg( + 1 i) = ( u,on) = arg( 1 i) = ( u,op) = 4 54 ou 3 4 8 Séquence 6 MA0

Plusieurs arguments pour un nombre complexe non nul E On vient de le remarquer sur les quelques exemples précédents, un 7π même nombre complexe admet plusieurs arguments arg(1 i) = ou 4 π arg(1 i) = 4 ; 7π plus généralement arg(1 i) = + π k où k est dans Z ; 4 puisque k est quelconque dans l ensemble Z des entiers relatifs, le nombre complexe 1 i admet une infinité d arguments. On peut écrire arg(1 7π i) = 4 (moduloπ) ou arg(1 i) = π 4 (moduloπ) mais plus souvent on choisit l un des arguments et on n écrit plus «modulo p». E Plus généralement, tout nombre complexe non nul a une infinité d arguments ; si θ est l un d entre eux, tout autre argument de s écrit θ + kp où k est dans Z ; on note arg = 0 (modulo p) ou arg = 0[p] ou arg = 0 (p) ou encore plus simplement arg = 0. Ces trois notations signifient qu un argument de est θ, mesure «au tour près» sur le cercle trigonométrique. Propriété 15 Caractérisation d un nombre réel : R = 0ouarg = 0+ kπ, k Z. Caractérisation d un imaginaire pur : π est imaginaire pur = 0ouarg = + kπ, k Z. On rappelle que 0 n a pas d argument et que 0 est considéré comme un imaginaire pur car 0= 0 i. π réels stictement négatifs O réels stictement positifs Séquence 6 MA0 9

Propriété 16 Argument du conjugué et de l opposé d un nombre complexe non nul arg( )= arg + kπ, k Z ; arg( ) = arg + π + kπ, k Z. π b M() θ a θ P( ) b N( ) La figure permet de mémoriser facilement ces résultats. 3. Forme trigonométrique d un nombre complexe non nul Propriété 17 Soit un nombre complexe non nul d argument θ, on a alors : = (cosθ+ isin θ). Démonstration Le nombre complexe 0 = est de module 1 car 0 = = = 1. v M sinθ M 0 O θ cosθ u 30 Séquence 6 MA0

Soit M l image de et M 0 l image de 0. On a OM 0 = 0 = 1 donc le point M 0 est situé sur le cercle trigonométrique. Comme est positif, les vecteurs OM, le vecteur image de, et OM 0, le vecteur image de 0 =, sont colinéaires et de même sens et on a θ=( u, OM)= ( u, OM 0 ). On en déduit que le point M 0 a pour coordonnée cos θ;sinθ cosθ i sin θ. ( ) et pour affixe 0 = + Et ainsi : = 0 = (cosθ+ isin θ). Définition 6 Lorsqu un nombre complexe non nul est écrit sous la forme = (cosθ+ i sin θ), on dit que le nombre est écrit sous forme trigonométrique. E Exemple On a : i = 1 cos π + isin π. Propriété 18 Soit un nombre complexe non nul tel que = r(cosα+ isin α), r étant un nombre réel strictement positif et α un nombre réel quelconque. On a alors : = r et arg( ) =α+ kπ. Démonstration Si = r(cosα+ isin α ), alors = r(cosα+ isin α ) = r cosα+ isinα = r 1= r car r est positif et cosα+ isinα est de module 1. On a alors = r(cosα+ isin α ) = (cosα+ isin α ). En nommant θ un argument de, on obtient = (cosα+ isin α ) = (cosθ+ isin θ ) donc cosα= cosθ cosα+ isinα= cosθ+ isin θ. On obtient donc ce qui prouve que sinα= sinθ arg( ) =α+ kπ. Commentaire On peut ainsi reconnaître directement la forme trigonométrique de certains nombres complexes. π π 5cos + isin est la forme trigonométrique du nombre complexe de 7 7 π module 5 et d argument. 7 π π = 3cos + isin 11 11 : ce nombre n est pas écrit sous forme trigonométrique car 3 est négatif. On transforme l écriture : Séquence 6 MA0 31

π π π π 3cos + isin = 3 cos isin 11 11 11 11 = 3cos π+ π + isin π+ π 11 11. Le nombre a donc pour module 3 et pour argument π+ π 11. L écriture d un nombre complexe non nul sous forme trigonométrique est donc unique (à π près pour l argument), on en déduit la propriété suivante. Propriété 19 Égalité de deux nombres écrits sous forme trigonométrique Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument (à π près). Remarque Conséquence Écrire un nombre complexe non nul sous forme trigonométrique correspond géométriquement à repérer un point par des coordonnées polaires (activité ), le plan étant muni d un repère orthonormé direct. De l unicité de l écriture algébrique et des définitions du module, d un argument et de la forme trigonométrique d un nombre complexe non nul, on obtient deux systèmes qui indiquent comment passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique et inversement. Propriété 0 Les nombres a, b, r et θ étant des nombres réels, r étant strictement positif, on a : r = a + b a r cos a+ i b = r (cosθ+ isin θ ) a b = θ cos etsin b r sin. θ= θ= = θ r r + b M() r v O u θ a a = r cos θ b = r sin θ Dans la pratique, on procède comme dans l exemple suivant. 3 Séquence 6 MA0

E Exemple 9 E Solution Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe = i. Pour mettre ce nombre complexe non nul sous sa forme trigonométrique, on commence par calculer le module de et mettre ce module en facteur : on a : = + ( ) = 8 = d où = = = + I 1 1 I I On cherche maintenant tel que cosθ= et sin. θ= π On sait que : cos = 4 et π sin = 4. π D où arg = π 4 (modulo ) ou plus simplement π arg = 4. Conclusion : la forme trigonométrique de = i est π π = + cos isin 4 4 4. Produit et quotient de nombres complexes donnés sous forme trigonométrique Produit E Considérons deux nombres complexes non nuls 1 et sous leur forme trigonométrique 1= 1 (cosθ1+ isin θ1), = (cosθ+ i sin θ) ; étudions le produit 1. 1= 1 (cosθ1+ isin θ1)(cosθ+ isin θ) 1= 1 (cosθ1cosθ+ isinθ1cosθ+ icosθ1sinθ + i sinθ1sin θ) 1= 1 ((cosθ1cosθ sinθ1sin θ) + i(sinθ1cosθ+ cosθ1sin θ)) car i = 1. D après les formules de trigonométrie on sait que : cosθ1cosθ sinθ1sinθ = cos( θ1+ θ) et sinθ1cosθ+ cosθ1sinθ = sin( θ1+ θ) d où 1= 1 (cos( θ1+ θ) + isin( θ1+ θ)). Le nombre 1 est un réel strictement positif puisque produit de deux réels strictement positifs. On reconnaît donc l écriture trigonométrique du produit 1 ; on en déduit : 1 = 1 (onsavait déjà que le module d un produit est le produit des modules) arg = arg + arg (argument d unproduit =somme desarguments) 1 1 Séquence 6 MA0 33

Étudions la forme trigonométrique de l inverse 1 ( non nul). 1 1 1 cos isin = cosθ+ isinθ = θ θ cosθ+ isinθ cosθ isinθ ( ) 1 = cosθ isinθ ( ) 1 = ( cos( θ ) + isin ( θ) ). ( ) ( )( ) On reconnaît l écriture trigonométrique de l inverse 1 ; on en déduit : 1 1 = et arg 1 = arg( ), un argument de l inverse de est égal à l opposé d un argument de. On peut alors obtenir le résultat pour le quotient 1 de deux nombres complexes non nuls : 1 1 = et arg 1 = arg( 1) arg( ), un argument d un quotient est égal à la différence d un argument du numérateur et d un argument du dénominateur. On peut alors énoncer l ensemble de ces résultats, la propriété sur les puissances se démontrant par récurrence en utilisant la propriété du produit. Propriété 1 La forme trigonométrique : les produits, puissances et quotients Soit trois nombres complexes non nuls, 1 et, et soit n un entier naturel. Produit : 1= 1 et arg( 1)= arg( 1) + arg( ). Inverse : 1 1 = et arg 1 = arg( ). Quotient : 1 1 = et arg 1 = arg( 1) arg( ). ( ) = n n n Puissance : = et arg narg( ). Il est donc important de penser à utiliser la forme trigonométrique dans les calculs faisant intervenir des produits, des puissances ou des quotients. E Exemple 10 E Solution ( ) 6 Donner la forme trigonométrique puis la forme algébrique de 1 = 1+ i et de 3 1 + i =. 1 3 + i Pour 1, on cherche d abord la forme trigonométrique 1+ i qui est ensuite élevé à la puissance 6. 34 Séquence 6 MA0

En procédant comme dans l exemple 9 (on peut aussi s aider de la représentation graphique), on trouve 1 += π 4 + π i cos isin 4, d où : 6 6 1 = 1+ = ( ) π 6 6 4 + π ( i) cos isin 4, soit 6 3π 3π 1 = ( 1+ i) = 8 + cos isin ce qui est la forme trigonométrique de 1. 6 On en déduit la forme algébrique : 1 = ( 1+ i) = 8i. Pour, on cherche la forme trigonométrique du numérateur et du dénominateur. Grâce aux valeurs remarquables des sinus et cosinus, on reconnaît des nombres de module 1 et on obtient : 3 1 π π + i cos + isin 6 6 π π π π = = = cos 1 3 π π 6 + i cos + isin 3 + isin 6 3. 3 3 La forme trigonométrique de est donc = π 6 + π cos i sin 6 et on en 3 1 déduit sa forme algébrique : = i. Avec un peu d habitude et de familiarité avec ces quantités, on reconnaît rapidement les valeurs remarquables et les calculs deviennent asse aisés. 3. Écriture exponentielle Pour terminer ce chapitre, on donne une nouvelle écriture d un nombre complexe non nul. Par elle-même, cette écriture résume les propriétés précédentes des arguments et facilite la mémorisation des propriétés de la forme trigonométrique des nombres complexes. Nous avons rappelé, dans les prérequis, la relation fonctionnelle caractéristique de la fonction exponentielle : la fonction exponentielle est la seule fonction non nulle et dérivable sur R telle que f ( 0) = 1 et, pour tous réel a et b, fa ( + b) = f( a) f( b). kx On remarque que les fonctions fk : x fk( x) = e sont aussi non nulles et dérivables sur R telle que fk ( 0 ) = k et, pour tous réel a et b, fk( a+ b) = fk( a) fk ( b). On considère la fonction g, définie sur R, à valeurs dans C, telle que g: θ cosθ+ i sin θ = g( θ). D après les calculs faits précédemment, on a : g( θ 1) g( θ ) = (cosθ+ 1 isin θ1)(cosθ + isin θ) = cos( θ 1+θ ) + isin( θ 1+θ ) = g( θ 1+θ). Séquence 6 MA0 35

Admettons que l on puisse dériver cette fonction définie sur R, à valeurs dans C, comme les fonctions définies sur R, à valeurs dans R. On obtient g ( θ) = sinθ+ icosθ et donc g ( 0) = i. Par analogie avec les fonctions f k on note donc la fonction g de la même façon : θ g( θ) = e i θ soit cosθ+ isin θ= e i. Définition 7 La notation e iθ désigne le nombre complexe de module 1 et d argument θ : θ cosθ+ isin θ= e i. Conséquence E Exemples On peut utiliser cette notation exponentielle pour écrire les nombres complexes non nuls sous forme trigonométrique : = e iθ. On a : π i e = i ; i π e 3 = 1 3 i + ; 1 += i e iπ 4 puisque 1 += π 4 + π i cos isin 4. À savoir Conséquence e iπ = 1 Dans cette égalité, on trouve : 1 : un entier négatif ; e : nombre réel qui est utilisé pour noter la fonction exponentielle, essentiel pour cette fonction et pour la fonction logarithme népérien ; i : nombre mystérieux, imaginaire au xvi e siècle, et dont l invention audacieuse ( i = 1 ) ouvre tout un monde aux mathématiques ; π : longueur d un cercle de rayon 1 dont on trouve une valeur approchée, 56 81, dans un papyrus égyptien daté d environ 1800 avant J.-C., dont la recherche des décimales est devenu un test pour les ordinateurs les plus puissants et les programmeurs les plus compétents et que vous rencontrere dans le cours de statistiques! La propriété 0 s écrit alors : Propriété Soit trois nombres complexes non nuls = e iθ, 1= 1 1e iθ et = e iθ, et n un entier naturel. Produit : 1 1+ = 1 e i(θ θ ) n n n ; Puissance : = e iθ ; 36 Séquence 6 MA0

Propriété (suite) Inverse : 1 1 = e iθ ; Quotient : 1 1 1 = e i(θ θ ). C est évidemment très agréable pour mémoriser et utiliser tous ces résultats. Reprenons par exemple les calculs de l exemple 10. On a 1 i e i π += 4 6 6 d où 1 (1 i) e i π 4 6 8e i3 π = + = = = 8i. 3 1 Et i π i + π π e 6 i i π = = = e 6 3 = e 6 = cos π + isin π 1 i 3 π 6 6. + i e 3 Propriété 3 Notation exponentielle et conjugué iθ iθ ( e )= e Démonstration iθ ( e )=( cosθ+ isinθ)= cosθ isin θ= cos( θ) + isin( θ) = e i 6. Les nombres complexes et les formules de trigonométrie Ce sont les formules de trigonométrie démontrées en Première qui ont mené à la relation (cosθ1+ isin θ1)(cosθ+ isin θ) = cos( θ1+ θ) + i sin( θ1 +θ ) et aux propriétés des arguments dans les produits et les quotients, propriétés qui sont résumées par la notation exponentielle. En retour, les nombres complexes permettent de retenir les formules d addition et de soustraction, ainsi que les formules de duplication. De nouvelles formules peuvent aussi être démontrées. θ Il suffit pour cela d avoir mémorisé l égalité cosθ+ isinθ= e i et d utiliser les propriétés connues des opérations et des exposants. θ. E Exemple iθ Par l égalité e 1 iθ i( θ θ e e 1+ = ), on retrouve (cosθ1+ isin θ1)(cosθ+ isin θ) = cos( θ1+ θ) + i sin( θ1 +θ ) soit (cosθ1cosθ sinθ1sin θ) + i (cosθ1sinθ+ sinθ1cosθ) = cos( θ1+ θ) + i sin( θ1+ θ). Séquence 6 MA0 37

Et en utilisant l égalité des parties réelles et des parties imaginaires, on retrouve : cosθ1cosθ sinθ1sinθ = cos( θ1+ θ) (cosθ1sinθ+ sinθ1cosθ = sin( θ1+ θ). Calculons (cos isin ) α+ α par deux méthodes. En utilisant l identité remarquable : (cosα+ isin α ) = (cos α ) + i(sin α)(cos α ) + i (sin α) = (cos α) i(sin α ) + i(sin α)(cos α) En utilisant la notation exponentielle des nombres complexes : (cos isin ) ( e i α ) e i α α+ α = = = (cos α+ ) i(sin α) En identifiant les parties réelles et les parties imaginaires on arrive à : cos α= (cos α) (sin α) sinα= (sin α)(cos α). On retrouve Ies formules de duplication vues en classe de Première. D autres formules seront démontrées en exercice. D Exercices d apprentissage Dans tous ces exercices, on utilisera les facilités fournies par la notation exponentielle. Le plan est muni d un repère orthonormé direct O;uv,. ( ) Exercice 6 Exercice 7 Exercice 8 Écrire sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants et placer leurs images dans le plan muni d un repère orthonormé direct. a) 1 = 1 i b) = 1+i 3 c) 3 = 7 d) 4 = 5i. Donner la forme trigonométrique des nombres complexes suivants : a) 1 = ( 1 i) 5 (on donnera ensuite la forme algébrique de 1 ) b) = ( 1+ i 3) ( 3+ 3i ) c) 3 = 1 d) i 4 = 3 i ( i) e) 5 =. 3+ i ( 3+ i) 3 1 En calculant le produit + i i sous forme algébrique et sous π forme trigonométrique, déterminer le cosinus et le sinus de. 1 38 Séquence 6 MA0

Exercice 9 Exercice 10 3 En calculant (cosθ+ isin θ) de deux façons différentes, exprimer cos3θ et sin3θ en fonction de cosθ et de sin θ. Dans le plan muni d un repère orthonormé direct O;u, v, points distincts A, B et C, d affixes A, B et C. ( ) on considère trois 1 Donner une interprétation géométrique de C A. B A Quel est le vecteur image du nombre complexe B A? Donner la signification géométrique de arg ( B A). En déduire la signification géométrique de arg C A. B A 3 Application Déterminer la forme algébrique puis la forme trigonométrique de C A B A avec A = i, B = 1+ 5 i et C = 3+ 3 i. En déduire la nature du triangle ABC. Séquence 6 MA0 39

4 Synthèse A Synthèse de la séquence 1. Définition Théorème 1 (Admis) Il existe un ensemble, l ensemble des nombres complexes, noté C, tel que : C contient l ensemble R des nombres réels ; C est muni d une addition, d une multiplication (et donc d une soustraction et d une division) qui possèdent les mêmes règles de calcul que dans l ensemble des nombres réels ; il existe, dans C, un nombre i tel que i = 1 ; tout nombre complexe s écrit de façon unique sous la forme = a+i b, où a et b sont des nombres réels. Définitions L écriture a+ i b, a et b étant réels, s appelle la forme algébrique du nombre complexe tel que = a+i b. a= Re( ) et b = Im( ). = i b est un imaginaire pur (le réel 0 est aussi considéré comme un imaginaire pur). Propriété Nombre complexe nul : a+ ib = 0 a= 0 et b = 0. Égalité : a+ ib = a + ib a= a et b= b (où a, b, a et b sont réels). 40 Séquence 6 MA0

. Opérations Propriété Pour tous nombres complexes = a+i b et = a + i b, a, b, a et b étant des nombres réels, on a : + = ( a+ a ) + i( b+ b ) = ( aa bb ) + i( ab + ab ) k = ka +i kb pour tout réel k 1 a ib a b = = i si 0. a + b a + b a + b 3. Représentation géométrique Le plan est muni d un repère orthonormé direct O;uv,. ( ) b M() = a + ib v O u a 4. Conjugaison Définition Le conjugué d un nombre complexe = a+i b (a et b réels) est le nombre complexe noté défini par : = a i b. Remarque v M() O u M () Séquence 6 MA0 41

Propriété Pour tous nombres complexes et : a) = ; b) pour tout réel λ, λ=λ et, pour tout imaginaire pur ib, ib = ib ; c) = a + b, et donc est réel ; d) + = a= Re( ), Re( ) = + et = ib = iim( ), Im( ) = ; i e) + = + ; f) = ; cas particuliers : pour tout λ réel, λ = λ et donc = ; 1 1 g) pour tout 0, = et = ; ( )= ( ). n n h) pour tout entier n dans Z, 5. Équation du second degré dans C Propriété Soit, dans C, l équation (E) a + b + c = 0, les nombres a, b et c étant des nombres réels avec a 0. On pose = b 4 ac et on appelle S l ensemble des solutions de (E). b b Si >0, S = + ;. a a b Si =0, S =. a b b Si <0, S = + i i ;. a a 4 Séquence 6 MA0

6. Module d un nombre complexe Définition On appelle module d un nombre complexe = a+i b (a et b réels) le nombre réel positif, noté, défini par : = a + b. Propriété Le module d un nombre réel est égal à sa valeur absolue. Propriété Interprétation géométrique du module Soit un nombre complexe = a+i b (a et b réels) et M son image dans un repère orthonormé direct O;uv,, ( ) alors = OM. Propriété Pour tout nombre complexe : = = =. b i v a 1 u 1 O M() a i b Propriété Pour tout nombre complexe, on a =. Séquence 6 MA0 43

Propriété Pour tous nombres complexes et, on a : n n a) = ; = pour tout entier naturel n ; b) pour 0, 1 = 1 ; c) pour 0, ' ' = ; d) + +. Remarque On peut préférer retenir les cas a), b) et c) par des phrases : Le module d un produit est égal au produit des modules. Le module de l inverse d un nombre complexe non nul est égal à l inverse de son module. Le module d un quotient est égal au quotient des modules. Propriété Soit M le point d affixe et M 0 le point d affixe 0. On a alors 0 = MM. 0 4. Argument d un nombre complexe non nul Le plan est muni d un repère orthonormé direct O;uv,. Définition ( ) Soit un nombre complexe non nul et M son image. On appelle argument de, et on note arg, n importe quelle mesure, exprimée en radians, de l angle u,om. ( ) 44 Séquence 6 MA0

+ M v θ O u Remarque Le nombre 0 n a pas d argument. 3. Forme trigonométrique d un nombre complexe non nul Définition Lorsqu un nombre complexe non nul est écrit sous la forme = (cosθ+ i sin θ), on dit que le nombre est écrit sous forme trigonométrique. Propriété Égalité de deux nombres écrits sous forme trigonométrique Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument (à π près). Conséquence Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique et inversement. = a+ ib = r(cosθ+ isin θ) = rcosθ+ irsinθ : + b v r θ M() r = a + b a b cosθ= et sinθ= r r et a= rcosθ b = rsin θ. O u a a = r cos θ b = r sin θ Séquence 6 MA0 45

Propriété La forme trigonométrique et les produits, puissances et quotients Soit trois nombres complexes non nuls, 1 et, et soit n un entier naturel. Produit : 1= 1 et arg( 1)= arg( 1) + arg( ). Inverse : 1 1 = et arg 1 = arg( ). Quotient : 1 n Puissance : 1 = et arg 1 = arg( 1) arg( ). n arg n n arg( ). = et ( ) = 9. La notation exponentielle Définition La notation e iθ désigne le nombre complexe de module 1 et d argument θ : θ cosθ+ isin θ= e i. À savoir iπ e = 1 Propriété La forme exponentielle et les produits, puissances et quotients Soit trois nombres complexes non nuls = e iθ, 1= 1 1e iθ et = e iθ, et n un entier naturel. Produit : 1 1+ = 1 e i(θ θ ) n n n Puissance : = e iθ Inverse : 1 1 = e iθ Quotient : 1 1 1 = e i(θ θ ). 46 Séquence 6 MA0

Propriété iθ iθ Notation exponentielle et conjugué : ( e )= e. La notation exponentielle et les formules de trigonométrie : la notation exponentielle permet de retenir les formules d addition et de soustraction, ainsi que les formules de duplication, elle permet aussi d en démontrer de nouvelles 10. Plusieurs points de vue Dans ce nouvel ensemble de nombres, plusieurs points de vue sont utilisés, de nouveaux outils sont introduits. Vous deve vous familiariser avec chacun d eux. Les différentes caractérisations des nombres réels et des imaginaires purs en donnent des exemples : forme algébrique, interprétation géométrique, conjugaison, forme trigonométrique. Propriété Caractérisation d un nombre réel : R Im( ) = 0. R M( ) (O y ). R =. R = 0ouarg = 0 + kπ, k Z. Propriété Caractérisation d un imaginaire pur : est imaginaire pur Re( ) = 0. est imaginaire pur M( ) (Oy. est imaginaire pur =. est imaginaire pur = 0ouarg = π + kπ, k Z. Séquence 6 MA0 47