Capacié e inducance Dans cerains ouvrages anciens, l élecricié éai expliquée indirecemen par analogie avec les lois liés à la mécanique. Ces démarches didaciques on disparues pour laisser place à une analyse plus direce, mais souven plus absraie pour cerains, el que l uilisaion des suppors mahémaiques des nombres complexe. Mais ces démarches anciennes ne son pas sans inérês si l on en connaî les limies. Les analogies ne peuven remplacer l éude du phénomène réel. L exemple le plus uilisé es celui de l oscillaeur mécanique composé d une masse suspendue à un ressor. Dans ce exemple, la masse es ou d abord mise en mouvemen par une racion vers le bas puis elle es abandonnée à elle-même. Le couple ressor e masse ce compore alors comme un oscillaeur amori, en effe pour revenir à son poin d équilibre, la masse subi des déplacemens vericaux. L acion simulanée de la masse e du ressor es soumise à rois principes : la résisance, l inerie e l élasicié. Déplacemen de la masse en foncion du emps.emps La résisance es la force qui s oppose à une aure e qu elle end à annuler. L inerie es la propriéé qu on les corps de ne pouvoir changer eux-mêmes l éa de repos ou de mouvemen où ils se rouven. Un corps qui n es soumis à aucune force se meu d un mouvemen uniforme par rappor au emps e à l espace absolus. L élasicié définie la propriéé qu on cerains corps de reprendre leur forme primiive quand la force qui s exerce sur eux cesse d agir. Donc, le ressor se déforme soi en compression soi en dilaaion. Cee déformaion es liée direcemen à son élasicié, mais la masse, qui s oppose au déplacemen, es en rappor avec l inerie. La mise en mouvemen de l ensemble résule donc de la combinaison de deux forces : la masse e la force de rappel. Ce mouvemen périodique, n éan pas enreenu, il s amori dans le emps. L analyse de la viesse prise par la masse monre que celle-ci n es pas simulanée avec son déplacemen mais en quadraure. Lorsque le déplacemen en maximale, la viesse es nulle... Déplacemen Viesse.emps
2 Quelle similiude y-a- il alors avec l élecricié? La force, es idenifiable à la différence de poeniel alors que le couran élecrique es analogue à la viesse : viesse emps = quanié de longueur couran emps = quanié d élecricié. Quan aux rois formes d acions évoquées précédemmen, nous la rerouvons représenée par les rois composans uilisés en élecricié : la résisance, l inducance e le condensaeur. L inducance joue le rôle de «l inerie» qui s oppose au mouvemen ou la circulaion des charges, le condensaeur es l élémen «élasique» qui absorbe des charges élecriques puis les resiuen. Du poin de vue énergéique, la résisance es le seul composan, parmi les rois, qui consomme de l énergie élecrique, énergie qu elle resiue sous la forme de calories w = I 2. Les deux aures composans : inducance e condensaeur on la paricularié, dans un cycle de foncionnemen, d accumuler de l énergie dans la première parie du cycle puis de la resiuer dans la seconde parie, en fai ils ne consommen pas d énergie. evenons à l élecricié. Suivan la naure des calculs que nous désirons obenir, régime permanen (en foncion de la fréquence) ou ransioire (en foncion du emps), il es possible d uiliser rois formes pariculières : emporelle, complexe ou symbolique pour exprimer les composans inducifs ou capaciifs. Capacié Inducance Eude en : C L Forme emporelle Forme complexe Forme Symbolique ZC = i c C du ( ( ) c ) = e l L di ( c ) f() ( ) = d d ou Cω jcω π / 2 = Ljω ou Lω π / 2 f(ω) ZC( p) = ( p) = Lp f() ou f(ω) Cp
3. Analyse du composan lorsqu il es soumis à une ension coninue i C vc Le monage ci-conre es composé d un généraeur e alimenan un condensaeur C. Tel que le représenen les courbes suivanes, si à o, la ension croî brusquemen de à sa valeur maximale, la ension aux bornes du condensaeur croî jusqu'à ce quelle aeigne la valeur de. Simulanémen, le couran augmene d un coup puis décroî pour devenir praiquemen nul à FIN. Cp Mise en équaion du monage (forme symbolique) : vc( p) = ( p) soi vc( p) = ( p) + Cp + Cp C Α es échelon donc (p)=/p l équaion devien : vc( p) =. 2 vc( p) =. p + p p 2 + p Α C La ransformée de Laplace inverse donne : vc( ) =.( e C ) Le calcul du couran donne l équaion suivane : i( ) =.( e C ) Les courbes suivanes représenen l évoluion de vc() e i().. vc i. o FIN L évoluion de la ension vc() semble «reardée» par rappor à l éablissemen de. Pour analyser quelques élémens du problème, rappelons que le condensaeur es composé de deux armaures séparées d un isolan diélecrique. + + + + + Les charges élecriques ne peuven donc circuler à ravers ce composan. Lorsqu il es soumis à la ension, les charges élecriques issues de cee source s accumulen sur les armaures jusqu au poin d équilibre où le couran ne pourra plus circuler. La différence de poeniel Vc aux bornes du
4 ne pourra plus circuler. La différence de poeniel Vc aux bornes du condensaeur va donc prendre la valeur. Il y a deux cas pariculier à analyser : o e FIN. A o, le couran qui circule es maximal mais la d.d.p. aux bornes du condensaeur es nulle. A FIN, c es le couran qui es nul mais la d.d.p. elle es maximale. Couran o Maximale Nulle Décroî Croî FIN Nul Tension Oure ces deux cas pariculiers nous voyons que le couran décroî alors que la ension sui une variaion opposée puisqu elle croî. Le foncionnemen du condensaeur es donc différen de la résisance dans laquelle le couran sui la ension par la loi d Ohm U = I. Cee remarque apparemmen naïve exprime un fai imporan : le couran qui circule dans un condensaeur e la ension qui es à ces bornes ne suiven pas obligaoiremen le même sens de variaion. Cee relaion emporelle enre ces deux paramères es exprimée dans les régimes éablis par le décalage de phase. L ampliude de cee phase n es pas consane mais foncion des élémens du monage ainsi que de la fréquence à laquelle le monage ravaille. Cee analyse simplise s applique égalemen avec une inducance mais avec des conclusions opposées : Dans ce monage, l élévaion brusque de la ension enraîne la.i circulaion d un couran dans le circui, alors que la d.d.p. V L es nulle. V L Mise en équaion du monage (forme symbolique) : i( p) = ( p) + Lp L Α es échelon donc (p)=/p l équaion devien : i( p) =. 2 p + p, i( p) = L. 2 p + p Α L La ransformée de Laplace inverse donne :i( ) =.( e ) Les courbes suivanes représenen l évoluion de vc() e i(). Le couran i() semble «reardé» par rappor à l éablissemen de.
5 v L i 2 2. Evoluion de l impédance d une inducance e d un condensaeur en foncion de la fréquence 2. Inducance Inducance : L ( ω ) = Ljω 4 5 Zl = f(ω) Inducance L=H = Lω 2 4 6 8 La courbe de variaion de l impédance en foncion de la pulsaion (échelle linéaire) monre que celleci croî linéairemen avec la pulsaion donc de la fréquence. 2.2 Capacié Capacié : C ZC = jcω ZC( ω) = Cω 4 ZC = f(ω) 5 Capacié C = µf 2 4 6 8 La courbe de variaion de l impédance en foncion de la pulsaion (échelle linéaire) monre que celle-ci décroî avec la pulsaion donc de la fréquence. Les courbes suivanes représenen la superposiion des deux courbes d impédance. Celle de gauche es représenée en échelle linéaire, celle de droie en échelle logarihmique. Cee seconde représenaion fai apparaîre la «symérie» des deux impédances auour d une valeur de pulsaion pariculière pour laquelle, les deux modules on la même valeur.
6 4 Z(Ω) 4 Zc Capacié 5 ωo Inducance 2 4 6 8 ω rd/s Echelle linéaire 5 ωo 3 Echelle logarihmique Cee pulsaion pariculière noée ωo, prend son imporance lorsque plusieurs composans seron associés. Le calcul des impédances complexes associe des modules ideniques avec des argumens opposés j e -j : = jlωo pour l inducance e ZC = j pour la capacié. C ω o 2.3 Evaluaion de l impédance équivalene lorsqu une inducance e un condensaeur son en parallèle. C L = jcω + Z jlω jl Z = ω + j LCω 2 2 Le module de cee impédance es représené sur la courbe suivane. Pour ωo, le module end vers l infini puisque jlωo = /jcωo. Ce qui donne pour ωo : ωo = LC. 4 5 Zc ZC // 3 w Les deux composans éan en parallèle, c es évidemmen le module le plus faible qui prédomine dans le calcul de l impédance équivalene. Il es donc facile de consaer que pour ω < ωo le module sui l impédance inducive, mais pour ω > ωo le module es alors proche de la courbe de l impédance capaciive. 2.4 Impédance équivalene lorsqu une inducance e un condensaeur son en série. C L Z = jlω + jcω j LC soi : Z = + 2 2 ω. jcω
7 Pour ω = ωo, les modules de l inducance e de la capacié son ideniques, le numéraeur de l équaion s annule. 4 5 ZC Z série Echelle log 3 w Comme les impédances son en série, l impédance équivalene es dominée par la plus fore donc avan ωo le module es idenique à l impédance capaciive, e pour ω > ωo il devien inducif. 4 5 2 3 4 5 6 7 8 9 w Même éude avec échelle LIN 2.5 ésumé : allure des impédances en foncion de la pulsaion (fréquence) des quare cas éudiés. Inducance Capacié L e C en parallèle L e C en série