Etrée à Scieces Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h A P M E P Les calculatrices sot autorisées Exercice Vrai-Faux 8 poits Pour chacue des affirmatios suivates, dire si elle est vraie ou fausse e justifiat soigeusemet la répose 1 Soit la suite u ) défiie par u 0 = 8 et pour tout etier aturel, La suite u ) est décroissate u +1 = 3 5 u + 2 2 Soit u ) ue suite croissate et majorée La suite u 2 ) est aussi croissate et majorée 3 Soit b u ombre réel et soit f la foctio défiie pour tout ombre réel x par : f x)= x 2 + bx+ 4 Le miimum de la foctio f est iférieur ou égal à 4 4 L équatio e x 2e x = 1 admet 2 solutios réelles 5 La courbe représetative de la foctio logarithme épérie, otée l, est toujours au-dessous de sa tagete e 1 6 Ue usie fabrique, e grade quatité, des rodelles d acier pour la costructio O admet que 3 % des rodelles ot u diamètre défectueux O prélève au hasard 10 rodelles das le stock pour vérificatio du diamètre Le stock est assez importat pour que l o puisse assimiler ce prélèvemet à u tirage avec remise La probabilité de tirer au mois ue rodelle au diamètre défectueux est égale à 0,263 arrodi à 10 3 près 7 Ue ure cotiet 10 boules blaches et 4 boules rouges U joueur tire successivemet et avec remise 20 boules de l ure Pour chaque boule blache tirée, il gage 2 et pour chaque boule rouge tirée, il perd 3 O désige par G la variable aléatoire égale au gai du joueur L espérace de G est de 200 7 8 Soiet les poits A 2 ; 1), B2 ; 2) et C1 ; 5) Le triagle ABC est rectagle isocèle 9 Das u repère O, ı, ) j du pla, ue équatio cartésiee de la droite d 1 2 ; 5 ) est 3 passat par le poit A3 ; 1) et de vecteur directeur u 3x+ 10y 1= 0 10 O cosidère l algorithme suivat :
Etrée à Scieces Po A P M E P Traitemet Sortie Affecter 1 à S Affecter 1 à Tat que S < 1,5 Affecter + 1 à Affecter S+ 1 2 à S Fi tat que Afficher la valeur de S L algorithme calcule la somme 1+ 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + 1 5 2 + 1 6 2 Problème 12 poits Les parties A, B et C de ce problème sot das ue large mesure idépedates L objet de ce problème est d étudier la rémuératio d u capital doé sur u compte e faisat varier la période pour l applicatio d u taux d itérêt Partie A : Calculs d itérêts Das ce problème o cosidère l évolutio au cours d ue aée d u capital de 1 millier d euros placé e début d aée sur u compte bacaire rémuéré Supposos das u premier temps que le compte est rémuéré avec u taux d itérêt auel de 10 % Au bout d u a le motat des itérêts est alors égal à 10 % de 1 millier d euros soit u motat de 0,1 millier d euros Le capital dispoible sur le compte deviet alors égal à 1,1 milliers d euros Résumos avec u tableau T 1 ) : Début javier Fi décembre Itérêts 0,1 Capital 1 1,1 Supposos maiteat que le compte est rémuéré avec u taux de 5 % mais tous les 6 mois et résumos das u tableau l évolutio du capital et des itérêts au bout de 6 mois fi jui) puis au bout de 12 mois fi décembre) O obtiet alors le tableau T 2 ) suivat : Début Javier Fi Jui Fi Décembre Itérêts 0,05 1, 05 0, 05 = 0,0525 Capital 1 1,05 1,1025 1 Les trois capitaux successifs figurat das la derière lige du tableau T 2 ) ci-dessus sot-ils les premiers termes d ue suite géométrique? Si oui, e doer la raiso 2 O suppose das cette questio que le compte est rémuéré chaque mois avec u taux égal à a % où a est u réel strictemet positif 12 E appliquat les mêmes méthodes de calcul que précédemmet, compléter le tableau doé e aexe e preat a = 10 O arrodira les résultats à 10 4 près 3 Expliquer pourquoi les capitaux successifs du tableau précédet sot les 13 premiers termes d ue suite géométrique de raiso 1+ 1 ) 120 E déduire la valeur exacte du capital à la fi du mois de décembre 4 Soit u etier o ul O se place maiteat das le cas d ue baque appliquat fois au cours de l aée à itervalles réguliers) u taux d itérêt égal à a % où a est u réel strictemet positif Proposer et justifier ue formule permettat de calculer le capital, oté U, préset sur le compte à la fi décembre, c est-à-dire au bout de périodes O défiit aisi ue suite U ) 2 mars 2014 2
Etrée à Scieces Po A P M E P Partie B : Étude théorique L objectif de cette partie est de proposer u algorithme permettat de détermier ue valeur approchée du ombre e où le=1) Soiet les suites a ) et b ) défiies pour tout etier aturel o ul par : a = 1+ 1 ) et b = a 1+ 1 ) 1 Le graphique suivat représete les 20 premiers termes des suites a ) et b ) 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 a Par le calcul de quelques termes ou par ue autre justificatio) idetifier les suites a ) et b ) sur ce graphique b Cojecturer leur ses de variatio Pour la suite du problème, o admet que les cojectures sot validées 2 Démotrer que, pour tout etier aturel o ul, a b 3 Covergece de la suite a ) a Doer ue iterprétatio graphique de l iégalité suivate : pour tout ombre réel x, 1+ x e b Démotrer, e utilisat l iégalité précédete que l o admet, que pour tout etier aturel o ul, a e c Prouver que la suite a ) est covergete Das la suite de l exercice o admet que la suite a ) coverge vers le ombre e 4 Covergece de la suite b ) a Démotrer que pour tout etier aturel o ul : 0b a e b E déduire que la suite b ) est covergete et préciser sa limite c Démotrer alors que pour tout etier aturel o ul, b e d E déduire que e 4 et doc que, pour tout etier aturel o ul : 0b a e e Proposer u algorithme permettat de détermier u ecadremet du ombre e à 10 2 près 2 mars 2014 3
Etrée à Scieces Po A P M E P Partie C : Gééralisatio Sur le graphique ci-dessous o a tracé, das le pla mui d u repère orthoormé O, ı, ) j, la courbe représetative C d ue foctio f défiie et dérivable sur l itervalle ] 1 ; + [ 1 j 1 0,5 O ı 1 O sait qu il existe u ombre réel c tel que f x)=l1+ x) x+ cx 2 1 E utilisat le graphique, doer la valeur de f 1 2) 2 Démotrer que pour tout réel x : f x)= 2cx2 + 2c 1)x 1+ x 3 E déduire la valeur de c 4 a Démotrer que pour tout réel x 0, f x)0 b À l aide de l iégalité établie graphiquemet à la questio 3 a de la partie B, prouver que, pour tout réel x 1 : l1+ x)x c E déduire que pour tout réel x 0 : x 2 l1+ x) x 0 5 Prouver que, pour tout réel t 0 et tout etier aturel o ul : t 2 l 1+ t ) t 0 6 Pourquoi peut-o e déduire que, pour tout réel t 0, la suite de terme gééral 1+ t ) ted vers e t? 7 Détermier la limite de la suite U ) défiie à la questio A 4 2 mars 2014 4
Etrée à Scieces Po A P M E P Aexe 1 à redre avec la copie Problème Partie A Questio 2 Itérêts e milliers) Capital e milliers arrodi à 10 4 Début javier 1 Fi javier 0,008 3 1,008 3 Fi février 0,008 4 1,016 7 Fi mars Fi avril Fi mai Fi jui Fi juillet Fi août Fi septembre Fi octobre Fi ovembre Fi décembre 1,104 7 2 mars 2014 5