I FONCTIONS - FORMULES DE TAYLOR DEVELOPPEMENTS LIMITES - EQUIVALENCE

I FONCTIONS - FORMULES DE TAYLOR DEVELOPPEMENTS LIMITES - EQUIVALENCE. Fonctions dérivables. Définitions On dit qu une application f d une variable réelle est définie au voisinage d un point x 0 R s il existe un réel r > 0 tel que f est définie sur ]x 0 r, x 0 + r[. On dit qu une application f d une variable réelle est définie au voisinage de + s il existe a R tel que f est définie sur ]a, + [, de même on dit qu une application f d une variable réelle est définie au voisinage de s il existe a R tel que f est définie sur ], a[. On dit que f est dérivable en un point x 0 de R si f est définie au voisinage de x 0 et si le taux d accroissement T (f, x 0 )(x) := f(x) f(x 0) de f en x 0 admet une limite finie x x 0 quand x x 0 dans ]x 0 r, x 0 +r[ {x 0 }. On note alors f (x 0 ) cette limite et on l appelle la dérivée de f en x 0..2 Interprétation géométrique On munit le plan d un repère orthonormé (O, i, j) et on considère la courbe représentative C de f dans ce repère ; soit M 0 le point de coordonnées (x 0, f(x 0 )) et soit M le point de coordonnées (x, f(x)) pour x x 0 voisin de x 0, alors le taux d accroissement T (f, x 0 )(x) de f en x 0 n est autre que la pente de la droite (MM 0 ) et si f est dérivable en x 0, alors la droite (MM 0 ) tend vers une droite appelée tangente à la courbe C au point M 0 et qui a pour pente f (x 0 )..3 Remarque La courbe représentative d une fonction f peut posséder une tangente en un point M 0 (x 0, f(x 0 )) sans que f soit dérivable en x 0 : c est le cas quand le taux d accroissement T (f, x 0 )(x) tend vers ± quand x x 0 dans ]x 0 r, x 0 + r[ {x 0 }..4 Proposition Soit I un intervalle de R et soit f : I R une application. Si f est dérivable en un point x 0 de I alors f est continue en x 0. Preuve : si f est dérivable en x 0, alors le taux d accroissement T (f, x 0 )(x) := f(x) f(x 0) x x 0 de f en x 0 admet une limite finie l quand x x 0 dans I {x 0 }, alors si on pose ε(x) = T (f, x 0 )(x) si x x 0 et ε(x 0 ) = 0 on peut écrire f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 )ε(x) donc f(x) f(x 0 ) quand x x 0. Remarque La réciproque de ce résultat est fausse : la fonction f(x) = x est continue en 0 sans être dérivable en 0.

.5 Définitions et notations Soit I un sous-ensemble de R et soit f : I R une application. On dit que f est dérivable sur I si f est dérivable en tout point de I ; l application f : I R x f (x) est appelée la dérivée de f (notation dite de Lagrange). On utilise également la notation dite de Leibniz f (x 0 ) = df dx (x 0). Enfin, en Physique, si x : t x(t) désigne une fonction x de la variable temps, on utilise la notation dite de Newton ẋ(t) pour désigner la dérivée de x par rapport au temps. On dit que f est de classe C sur I si f est dérivable sur I et si la fonction dérivée f est continue sur I..6 Opérations sur les dérivées a) Si f et g sont dérivables en x 0 et si k R, alors f + g et kf sont dérivables en x 0 et on a (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ) (kf) (x 0 ) = kf (x 0 ). b) Si f et g sont dérivables en x 0, alors fg est dérivable en x 0 et on a (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ). c) Si f est dérivable en x 0 et si g est dérivable en f(x 0 ), alors g f est dérivable en x 0 et on a (g f) (x 0 ) = f (x 0 ) (g f)(x 0 ). d) Si f et g sont dérivables en x 0 et si g(x 0 ) 0, alors f g est dérivable en x 0 et on a Œ f (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ). g g 2 (x 0 ) Remarque : La notation de Leibniz fournit un moyen mnémotechnique très utile pour retrouver la formule de dérivation d une composée de fonctions : considérons z = g(y) et y = f(x), alors la formule du (c) s écrit de la manière suivante (g f) (x) = f (x) (g f)(x) = f (x) g (y) = g (y) f (x) ce qui s écrit avec la notation de Leibniz dz dx = dz dy.dy dx c est-à-dire que tout se passe comme si il suffisait de simplifier par dy. 2

.7 Dérivées des fonctions usuelles * d dx xn = nx n sur R si n N * d dx xn = nx n sur R si n est un entier < 0 * d dx xα = αx α sur ]0, + [ si α R non entier. * d dx ex = e x sur R * d ln x a = sur R {a} dx x a * d sin x = cos x sur R dx * d cos x = sin x sur R dx * d dx tgx = + tg2 x = cos 2 x sur ] π 2 + kπ, π + kπ[ avec k Z 2 * d dx Arctgx = + x sur R 2.8 Théorème Soit I un intervalle de R non réduit à un point et soit f : I R une application continue, strictement croissante (resp. décroissante) sur I ; alors f(i) est un intervalle de R et f est une bijection de I sur f(i). De plus, la bijection réciproque f : f(i) I est continue et strictement croissante (resp. décroissante) sur f(i) et les courbes représentatives de f et f dans un repère orthonormé sont symétriques par rapport à la droite d équation y = x. Si de plus f est dérivable en x 0 I et si f (x 0 ) 0, alors f est dérivable en f(x 0 ) et (f ) (f(x 0 )) = f (x 0 )..9 Définition Soit I un intervalle de R et soit f : I R une application. a) On dit que f est dérivable à gauche en un point x 0 de I si et seulement si le taux d accroissement T (f, x 0 )(x) := f(x) f(x 0) de f en x 0 admet une limite finie quand x x 0 x x 0 dans I ], x 0 [. On note alors f g(x 0 ) cette limite et on l appelle la dérivée à gauche de f en x 0. La courbe représentative C de f admet alors une demi-tangente au point M 0 de coordonnées (x 0, f(x 0 )) dans le demi-plan x < x 0. a) On dit que f est dérivable à droite en un point x 0 de I si et seulement si le taux d accroissement T (f, x 0 )(x) := f(x) f(x 0) de f en x 0 admet une limite finie quand x x 0 3

x x 0 dans I ]x 0, + [. On note alors f d(x 0 ) cette limite et on l appelle la dérivée à droite de f en x 0. La courbe représentative C de f admet alors une demi-tangente au point M 0 de coordonnées (x 0, f(x 0 )) dans le demi-plan x > x 0..0 Définition Soit I un intervalle de R et soit f : I R une application. a) Si f est dérivable sur I et si sa dérivée f est elle-même dérivable sur I, on dit que f est deux fois dérivable sur I : la dérivée de f est notée f ou f (2) et s appelle la dérivée seconde de f. Si f est dérivable sur I, sa dérivée est notée f ou f (3), etc... b) Soit n N : on dit que f est n-fois dérivable sur I si f est dérivable sur I, f est dérivable sur I, f est dérivable sur I,..., f (n ) est dérivable sur I et on note f (n) = (f (n ) ). La fonction f (n) est appelée la dérivée n-ième de f ou dérivée d ordre n de f. On utilise également la notation f (n) = dn f dx n. On pose par convention f (0) = f. c) On dit que f est indéfiniment dérivable sur I si f est n-fois dérivable sur I pour tout entier n N.. Exemples a) La fonction e x est indéfiniment dérivable sur R et (e x ) (n) = e x pour tout n N. b) La fonction sin x est indéfiniment dérivable sur R et (sin x) (2n) = ( ) n sin x et (sin x) (2n+) = ( ) n cos x pour tout n N. c) La fonction f(x) = x 3 est deux fois dérivable sur R mais pas trois-fois dérivable en 0. 2 Etude pratique d une fonction Soit f une fonction d une variable réelle : on notera C(f) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (0, i, j). a) on détermine le domaine de définition de f ; b) on calcule la dérivée de f là où elle est dérivable et on en déduit les variations de f ; c) on calcule les limites de f aux bornes du domaine de définition ; d) on étudie "les branches infinies" : * s il existe un réel a tel que lim x a f(x) = ±, alors la droite d équation x = a est asymptote à la courbe C(f). * si lim f(x) = b R, alors la droite d équation y = b est asymptote à la courbe C(f). x ± * si lim f(x) = ±, on cherche si la courbe C(f) possède une asymptote dite "oblique" : x ± pour cela on regarde si f(x) possède une limite quand x ± ; si oui, plusieurs cas x cas se présentent selon que cette limite est finie ou pas : 4

f(x) er cas : lim x ± x = a R ; alors on étudie lim (f(x) ax). Si cette limite existe et x ± est finie égale à b R, alors la droite d équation y = ax+b est asymptote à la courbe C(f). Si lim x ± (f(x) ax) = ±, on dit que la courbe C(f) admet une branche parabolique de direction la droite d équation y = ax. f(x) 2ème cas : lim = 0 ; alors on dit que la courbe C(f) admet une branche parabolique x ± x de direction 0x. 3ème cas : lim x ± de direction 0y. f(x) x 3 Fonctions usuelles (cf. fin du chapitre) 4 Formules de Taylor 4. Théorème de Rolle = ±, alors on dit la courbe C(f) admet une branche parabolique Soient a et b deux réels tels que a < b. On considère une application f : [a, b] R continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ telle que f(a) = f(b) ; alors il existe c ]a, b[ tel que f (c) = 0. Preuve : admise. 4.2 Théorème des accroissements finis Soient a et b deux réels tels que a < b. On considère une application f : [a, b] R continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ ; alors il existe c ]a, b[ tel que f(a) f(b) = (b a)f (c). On peut aussi exprimer le théorème des accroissements finis sous la forme suivante : soient x 0 R et h > 0 et soit f une application continue sur [x 0, x 0 + h] et dérivable sur ]x 0, x 0 + h[ alors il existe un réel θ ]0, [ tel que f(x 0 + h) f(x 0 ) = hf (x 0 + θh). (de même avec h < 0 et f continue sur [x 0 + h, x 0 ], dérivable sur ]x 0 + h, x 0 [.) Preuve : On considère la fonction ϕ définie sur [a, b] par ϕ(x) = f(x) f(b) f(a) (x a) f(a). b a La fonction ϕ est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ puisque f l est et on a ϕ(a) = 0 mais aussi ϕ(b) = 0 ; on peut donc appliquer le théorème de Rolle à ϕ : il existe c ]a, b[ tel que ϕ (c) = 0. Or pour tout x ]a, b[, on a ϕ (x) = f (x) f(a) f(b) b a donc ϕ (c) = 0, ce qui signifie f(a) f(b) = (b a)f (c). 5

4.3 Corollaire Soit f une application dérivable sur un intervalle I de R. a) pour tous a et b I il existe c strictement compris entre a et b tel que f(a) f(b) = (b a)f (c). b) Soit x 0 I et h R tel que x 0 + h I alors il existe un réel θ ]0, [ tel que f(x 0 + h) f(x 0 ) = hf (x 0 + θh). 4.4 Corollaire Soit x 0 R et soit f une application continue au voisinage de x 0 et dérivable au voisinage de x 0 sauf en x 0 ; si f admet une limite l R {± } quand x x 0, x x 0, alors la courbe représentative de f admet une tangente de pente l au point (x 0, f(x 0 )). Preuve : pour h > 0 suffisamment proche de 0, f est continue sur [x 0, x 0 + h] et dérivable sur ]x 0, x 0 + h[ donc il existe θ ]0, [ tel que donc T (f, x 0 )(h) = f(x 0 + h) f(x 0 ) h lim h 0 + T (f, x 0)(h) = l. = f (x 0 + θh) De même avec h < 0 suffisamment proche de 0, on obtient lim h 0 T (f, x 0)(h) = l d où lim T (f, x 0)(h) = l h 0 et ainsi la courbe représentative de f admet une tangente de pente l au point (x 0, f(x 0 )). 4.5 Corollaire Soit f une application dérivable sur un intervalle I de R dont la dérivée est l application nulle ; alors f est une application constante. Preuve : soit x 0 I fixé et considérons un point quelconque x de I distinct de x 0 ; alors d après 2.3, il existe c strictement compris entre x et x 0 tel que f(x) f(x 0 ) = (x x 0 )f (c) or f est l application nulle donc f(x) = f(x 0 ) et ce pour tout x I : f est donc constante. 6

4.6 Définition Soit f une application définie sur un intervalle I de R. a) on dit que f est croissante (resp. décroissante) sur I si et seulement si : x, x 2 I, x < x 2 = f(x ) f(x 2 ) (resp. f(x ) f(x 2 )). b) on dit que f est strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur I si et seulement si : x, x 2 I, x < x 2 = f(x ) < f(x 2 )( resp. f(x ) > f(x 2 )). 4.7 Théorème Soit f une application dérivable sur un intervalle I de R. a) si x I, f x) 0, alors f est croissante sur I. b) si x I, f x) 0, alors f est décroissante sur I. c) si x I, f x) 0 et si f ne s annule au plus qu en un nombre fini de points de I, alors f est strictement croissante sur I. d) si x I, f x) 0 et si f ne s annule au plus qu en un nombre fini de points de I, alors f est strictement décroissante sur I. Preuve : a) on suppose x I, f x) 0 ; soient a et b I tels que a < b alors d après 2.3, il existe c ]a, b[ tel que f(a) f(b) = (b a)f (c) d où f(a) f(b) puisque f (c) 0 et ainsi f est croissante. b) : démonstration analogue. c) : on suppose x I, f x) 0 et f ne s annule qu en un nombre fini de points. D après a) f est croissante sur I : raisonnons par l absurde et supposons qu il existe a et b I tels que a < b et f(a) = f(b), alors, pour tout x [a, b], on a a x b donc f(a) f(x) f(b) puisque f est croissante sur I, or f(a) = f(b) donc pour tout x [a, b], f(x) = f(a) = f(b) donc f est constante sur [a, b] donc f est l application nulle sur [a, b], ce qui est impossible puisque f ne s annule qu en un nombre fini de points : on en déduit que pour tous a et b I, et ainsi f est strictement croissante sur I. d) : démonstration analogue. a < b = f(a) < f(b) 7

4.8 Formule de Taylor-Lagrange Soit a et b deux réels tels que a < b, soit f : [a, b] R une application et soit n N. On suppose que f vérifie les trois conditions suivantes : a) f admet des dérivées jusqu à l ordre n sur [a, b] ; b) f (n) est continue sur [a, b] ; c) f (n) est dérivable sur ]a, b[. Alors il existe un réel c ]a, b[ tel que f(b) = f(a) + (b a)f (a) + (b a) 2 f (a) 2! + + (b a) n f (n) (a) n! Le terme (b a) n+ f (n+) (c) est appelé reste de Lagrange. (n + )! Preuve : Soit A le nombre réel défini par f(b) = f(a) + (b a)f (a) + (b a) 2 f (a) 2! et soit ϕ l application définie sur [a, b] par ϕ(x) = f(b) " f(x) + (b x)f (x) + (b x) 2 f (x) 2! + + (b a) n f (n) (a) n! + + (b x) n f (n) (x) n! + (b a) n+ f (n+) (c) (n + )!. + (b a) n+ A (n + )! # + (b x) n+ A. (n + )! Il est clair que ϕ est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ et vérifie ϕ(a) = ϕ(b) = 0, donc par le théorème de Rolle, il existe un réel c ]a, b[ tel que (ϕ) (c) = 0. Or le calcul de (ϕ) donne (ϕ) (b x)n (x) = f (n+) (x) + A Š n! alors, pour x = c, on obtient A = f (n+) (c). 4.9 Formule de Taylor-Young Soient x 0 R,, r un réel > 0 et n N. On considère une application f : ]x 0 r, x 0 +r[ R telle que f possède une dérivée n-ième en x 0. Alors il existe une application ε : ]x 0 r, x 0 +r[ R telle que ε(x) 0 quand x x 0 qui vérifie pour tout x ]x 0 r, x 0 + r[ : f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) + (x x 0 ) 2 f (x 0 ) 2! + + (x x 0 ) n f (n) (x 0 ) n! + (x x 0 ) n ε(x). Le terme f(x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) + (x x 0 ) 2 f (x 0 ) + + (x x 0 ) n f (n) (x 0 ) est appelé 2! n! développement de Taylor d ordre n de f en x 0 et le terme (x x 0 ) n ε(x) s appelle le reste de Young. On note généralement (x x 0 ) n ε(x) = o((x x 0 ) n ). Preuve : admise. 8

Remarque : il ne faut pas confondre la formule de Taylor-Young avec celle de Taylor- Lagrange même si les deux énoncés ont des points communs : les conditions d application de la formule de Taylor-Young sont beaucoup plus "légères" mais la formule de Taylor- Young ne renseigne que sur le comportement "local" de f au voisinage de x 0, alors que celle de Taylor-Lagrange donne un résultat "global" mais avec des hypothèses plus fortes. 5 Développements limités 5. Définition Soient x 0 R, n N. On considère une application f définie au voisinage de x 0 : on dit que f admet un développement limité (d.l.) d ordre n au voisinage de x 0 si et seulement si il existe n + réels a 0, a,, a n tels que f(x) = a 0 + a (x x 0 ) + + a n (x x 0 ) n + o((x x 0 )) n. le terme o((x x 0 )) n est appelé reste d ordre n du d.l. 5.2 Exemples a) x = + x + x2 + + x n + o(x n ). b) e x = + x + x2 2! + + xn n! + o(xn ). c) Une fonction polynomiale P (x) = a 0 + a x + + a p x p admet un d.l. à tout ordre n : si n p, P (x) = a 0 + a x + + a n x n + o(x n ) si n > p, P (x) = a 0 + a x + + a p x p + 0.x p+ + + 0.x n : le reste d ordre n est nul. Preuve : a) On a pour tout réel x et tout n N, d où et ε(x) = x x + x + x 2 + + x n = xn+ x x = + x + x2 + + x n + x x xn 0 quand x 0. b) Pour tout n N la fonction f(x) = e x possède une dérivée n-ième en 0 donc vérifie la formule de Taylor-Young en 0 ; or f (k) (x) = e x pour tout k N, d où la formule annoncée. c) si n p, P (x) = a 0 + a x + + a n x n + x n (a n+ x + + a p x n p ) et ε(x) = a n+ x + + a p x n p 0 quand x 0. 9

5.3 Proposition a) Si f admet un d.l. à l ordre n au voisinage de x 0, alors ce d.l. est unique. b) Si f admet un d.l. à l ordre n au voisinage de x 0 : f(x) = a 0 + a (x x 0 ) + + a n (x x 0 ) n + o((x x 0 ) n ). alors pour tout entier p < n, f admet un d.l. à l ordre p au voisinage de x 0, à savoir f(x) = a 0 + a (x x 0 ) + + a p (x x 0 ) p + o((x x 0 )) p c est-à-dire que l on peut tronquer tout d.l. à l ordre n à un ordre < n. c) Si f admet un d.l. à l ordre au voisinage de x 0 : f(x) = a 0 + a (x x 0 ) + o((x x 0 )). alors f est dérivable en x 0, f(x 0 ) = a 0 et f (x 0 ) = a. Preuve : a) Supposons que f admet deux d.l. à l ordre n au voisinage de x 0 : alors, on obtient f(x) = a 0 + a (x x 0 ) + + a n (x x 0 ) n + (x x 0 ) n ε (x) = b 0 + b (x x 0 ) + + b n (x x 0 ) n + (x x 0 ) n ε 2 (x) a 0 b 0 + (a b )(x x 0 ) + + (a n b n )(x x 0 ) n = (x x 0 ) n (ε 2 (x) ε (x)) d où a 0 = b 0 quand on fait x x 0 dans cette égalité. On divise alors par x x 0 et il vient (a b ) + + (a n b n )(x x 0 ) n = (x x 0 ) n (ε 2 (x) ε (x)) d où a = b quand on fait x x 0, etc...on obtient alors au bout de n étapes et ainsi ε (x) = ε 2 (x) au voisinage de x 0. a 0 = b 0, a = b,, a n = b n, a n = b n. b) si f(x) = a 0 + a (x x 0 ) + + a n (x x 0 ) n + (x x 0 ) n ε(x), alors f(x) = a 0 + +a p (x x 0 ) p +(x x 0 ) p a p+ (x x 0 ) + + a n (x x 0 ) n p + (x x 0 ) n p ε(x) et ε (x) := a p+ (x x 0 ) + + a n (x x 0 ) n p + (x x 0 ) n p ε(x) 0 quand x x 0. c) f(x) = a 0 + a (x x 0 ) + (x x 0 )ε(x) où ε(x) 0 quand x x 0 donc f(x 0 ) = a 0 ; de plus f(x) f(x 0) x x 0 = a + ε(x) donc f est dérivable en x 0 et f (x 0 ) = a. 0

5.4 Principaux d.l. au voisinage de 0 * x = + x + x2 + + x n + o(x n ) * + x = x + x2 + + ( ) n x n + o(x n ) * ( + x) α = + αx + α(α ) x 2 + + 2! α(α ) (α n + ) x n + o(x n ) (α R N) n! * ln( + x) = x x2 2 + + ( )n+ xn n + o(xn ) * e x = + x + x2 2! + + xn n! + o(xn ) * sin x = x x3 3! + x5 5! + + ( )n x 2n+ (2n + )! + o(x2n+2 ) * cos x = x2 2! + x4 x2n + + ( )n 4! (2n)! + o(x2n+ ) * shx = x + x3 3! + x5 5! + + x2n+ (2n + )! + o(x2n+2 ) * chx = + x2 2! + x4 4! + + x2n (2n)! + o(x2n+ ) * tgx = x + x3 3 + 2 5 x5 + o(x 6 ) * thx = x x3 3 + 2 5 x5 + o(x 6 ) * Arctgx = x x3 3 + x5 x2n+ + + ( )n 5 2n + + o(x2n+2 ) 5.5 Opérations sur les d.l. a) Combinaison linéaire de d.l. Considérons f(x) = a 0 + a (x x 0 ) + + a n (x x 0 ) n + o((x x 0 )) n g(x) = b 0 + b (x x 0 ) + + b p (x x 0 ) p + o((x x 0 )) p avec p n, alors pour tous α et β R, on a (αf +βg)(x) = (αa 0 +βb 0 )+(αa +βb )(x x 0 )+ +(αa p +βb p )(x x 0 ) p +o((x x 0 )) p. b) Produit de d.l.

Traitons un exemple : alors si f(x) = x + 3x 2 + 7x 3 + o(x 3 ) et g(x) = + x x 2 + 3x 3 + 2x 4 + o(x 4 ) f(x)g(x) = x + x 2 x 3 + 3x 4 + 2x 5 + o(x 5 ) + 3x 2 + 3x 3 3x 4 + 9x 5 + 6x 6 + o(x 6 ) + 7x 3 + 7x 4 7x 5 + 2x 6 + 4x 7 + o(x 7 ) + o(x 3 ) + o(x 4 ) + o(x 5 ) + o(x 6 ) + o(x 7 ) + o(x 7 ) = x + 4x 2 + 9x 3 + o(x 3 ) car tous les x k et o(x k ) pour k 4 "rentrent" dans le o(x 3 ). c) Composition de d.l. On peut composer le d.l. au voisinage de 0 de f avec le d.l. au voisinage de 0 de g à la condition que g(0) = 0 : traitons un exemple f(t) = t + 2t 2 3t 3 + o(t 3 ) g(x) = x 2x 2 + x 3 + o(x 3 ) alors, en remplaçant t par x 2x 2 + x 3 + o(x 3 ) dans le d.l. de f, on a f(g(x)) = (x 2x 2 + x 3 + o(x 3 )) + 2(x 2x 2 + x 3 + o(x 3 )) 2 3(x 2x 2 + x 3 ) +o((x 2x 2 + x 3 + o(x 3 )) 3 ) = x + 2x 2 + x 3 + 2(x 2 4x 3 ) 3(x 3 ) + o(x 3 ) = x + 4x 2 0x 3 + o(x 3 ) puisque tous les x k et o(x k ) pour k 4 "rentrent" dans le o(x 3 ). 5.6 Intégration des d.l. Si f est dérivable au voisinage d un point x 0 R et si f possède un d.l. à l ordre n au voisinage de x 0 donné par f (x) = a 0 + a (x x 0 ) + + a n (x x 0 ) n + o((x x 0 )) n alors f admet un d.l. à l ordre n + au voisinage de x 0, obtenu en intégrant le d.l. de f : f(x) = f(x 0 ) + a 0 (x x 0 ) + a (x x 0 ) 2 Preuve : Posons ϕ(x) = f(x) f(x 0 ) a 0 (x x 0 ) a (x x 0 ) 2 dérivable au voisinage de x 0 et a pour dérivée 2 + + a n (x x 0 ) n+ n + 2 + o((x x 0 )) n+. (x x 0 ) n+ a n, alors ϕ est n + ϕ (x) = f (x) a 0 a (x x 0 ) a n (x x 0 ) n = o((x x 0 ) n ) = (x x 0 ) n ε (x) où ε (x) 0 quand x x 0. Appliquons le théorème des accroissements finis à ϕ au voisinage de x 0 : pour x suffisamment proche de x 0, il existe θ ]0, [ tel que ϕ(x) = ϕ(x 0 ) + (x x 0 )ϕ (x 0 + θ(x x 0 )) = θ n (x x 0 ) n+ ε (x 0 + θ(x x 0 )) posons ε 2 (x) = θ n ε (x 0 + θ(x x 0 )) : on a alors ε 2 (x) ε (x 0 + θ(x x 0 )) donc ε 2 (x) 0 quand x x 0, d où (x x 0 ) n+ ε 2 (x) = o((x x 0 )) n+. 2

5.7 Remarque On n a pas le droit de dériver un d.l. : la fonction définie par f(x) = x 3 sin si x 0 et f(0) = 0 possède un d.l. à l ordre 2 au voisinage de 0 x 2 donné par f(x) = o(x 2 ) car la fonction ε(x) = x sin tend vers 0 quand x 0. Mais x 2 x R, f x) = 3x 2 sin 2 cos x 2 x 2 donc f ne possède pas de limite quand x 0, par conséquent ne possède pas de d.l. au voisinage de 0, même à l ordre 0. 5.8 Exemple Calcul du d.l. de Arcsinx à l ordre 5 au voisinage de 0 : On a (Arcsin) (x) = sur ], [ et Arcsin(0) = 0, or x 2 = ( x 2 x2 ) 2 = + 2 x2 + 3 8 x4 + o(x 4 ) donc Arcsinx = x + 6 x3 + 3 40 x5 + o(x 5 ). 5.9 d.l. au voisinage de ± Soit A R et soit f une application définie sur [A, + [. Quand x +, X = x 0 : on dit que f admet un d.l. au voisinage de l infini à l ordre n si l application f(x) = f X admet un d.l. au voisinage de 0 à l ordre n, i.e, il existe des réels a 0, a,, a n tels que 6 Equivalence de fonctions 6. Définition f(x) = a 0 + a x + + a n x + o n Soient f et g deux applications définies au voisinage d un point x 0 R {, + } : on dit que f et g sont équivalentes au voisinage de x 0 s il existe une application ϕ définie au voisinage de x 0 qui vérifie : a) f(x) = g(x)ϕ(x) au voisinage de x 0 ; b) lim x x0 ϕ(x) =. Si x 0 R et si g ne s annule au plus qu en x 0 sur un voisinage ]x 0 r, x 0 + r[ de x 0, alors la définition ci-dessus peut s exprimer comme suit : f et g sont équivalentes au voisinage de x 0 si et seulement si f(x) lim x x 0,x x 0 g(x) =. 3 x n.

On note alors f g au voisinage de x 0 ou plus simplement f x0 g. Exemple Soit f(x) = a n x n + a n x n + + a x + a 0 avec a n 0, alors f(x) + a n x n. 6.2 Proposition La relation au voisinage d un point x 0 est une relation d équivalence, i.e elle vérifie les propriétés suivantes : a) elle est réflexive, i.e pour toute application f définie au voisinage de x 0, on a f f ; b) elle est symétrique, i.e pour toutes applications f et g définies au voisinage de x 0, f g g f ; c) elle est transitive, i.e pour toutes applications f,g et h définies au voisinage de x 0, f g et g h = f h. Preuve : Effectuons la démonstration avec la définition "simplifiée" : f(x) a) On a de toute évidence lim x x 0,x x 0 f(x) f(x) b) Si f g alors lim x x 0,x x 0 g(x) =, donc lim =, donc f f. g(x) x x 0,x x 0 f(x) = i.e g f. f(x) c) Si f g et g h, alors lim x x 0,x x 0 g(x) = et lim g(x) x x 0,x x 0 h(x) f h = f g g, on obtient h lim f(x) =, i.e f h. x x 0,x x 0 h(x) = donc, en écrivant 6.3 Proposition et définition Si f admet un d.l. à l ordre n au point x 0 R de la forme f(x) = a p (x x 0 ) p + a p+ (x x 0 ) p+ + + a n (x x 0 ) n + o((x x 0 )) n avec a p 0, alors f(x) a p (x x 0 ) p au voisinage de x 0 : le monôme a p (x x 0 ) p (premier terme non nul du d.l) est appelé partie principale du d.l. de f au voisinage de x 0. Preuve : Au voisinage de x 0, on a d où f(x) a p (x x 0 ) p = + a p+(x x 0 ) + + a n (x x 0 ) n p + o((x x 0 )) n p f(x) a p (x x 0 ) p quand x x 0 et x x 0 et ainsi f(x) a p (x x 0 ) p au voisinage de x 0. 4

6.4 Opérations sur les équivalents Soient f, f 2, g, g 2 des fonctions définies au voisinage de x 0 R {, + } et ne s annulant au plus qu en x 0 sur un voisinage ]x 0 r, x 0 + r[ de x 0, si x 0 R, alors on a a) si f g et f 2 g 2 au voisinage de x 0, alors f f 2 g g 2 ; b) si f g et f 2 g 2 au voisinage de x 0 alors f f 2 g g 2 ; c) e f e g au voisinage de x 0 si et seulement si lim x x0 (f g ) = 0. d) si f et g prennent des valeurs > 0 au voisinage de x 0 et si g possède une limite (finie ou pas) distincte de quand x x 0, alors f g au voisinage de x 0 entraîne ln f ln g. Preuve : a) si f g et f 2 g 2 au voisinage de x 0, alors f g et f 2 g 2 quand x x 0, d où f f 2 g g 2, i.e f f 2 g g 2. b) démonstration analogue. c) on a ef e g = ef g d où le résultat. d) ln f ln g = ln(f/g), or ln(f/g) 0 et / ln g l R quand x x 0 donc ln g ln f, i.e ln f ln g. ln g 6.5 Remarques a) si f g et f 2 g 2 au voisinage de x 0, on n a pas en général f + g f 2 + g 2 : en effet prenons f (x) = x + x 2, g (x) = x, f 2 (x) = x + x 3 et g 2 (x) = x, alors f g et f 2 g 2 au voisinage de 0 mais (f + f 2 )(x) = x 2 + x 3 n est pas équivalente à (g + g 2 )(x) = 0. b) si f g au voisinage de x 0, on n a pas en général e f e g : en effet prenons f(x) = x + x 2, g(x) = x 2, alors on a bien f g au voisinage de + mais ef e g voisinage de +. = ef g = e x + quand x + donc e f n est pas équivalente à e g au c) si f et g prennent des valeurs > 0 au voisinage de x 0 et si f g au voisinage de x 0, on n a pas en général ln f ln g : en effet prenons f(x) = + x, g(x) =, alors on a bien f g au voisinage de 0 mais ln f x alors que ln g = 0 au voisinage de 0, donc ln f n est pas équivalente à ln g au voisinage de 0. 5

6.6 Proposition Soit x 0 R {, + }. Si f g au voisinage de x 0 et si g possède une limite l R {, + } quand x x 0, alors f(x) l quand x x 0. Preuve : On a f(x) = f(x). g(x) f(x) l. = l quand x x 0. 6.7 Exemple Calculons la limite en 0 de f(x) = cos x sin 2 x On a le d.l. de cos x au voisinage de 0 : cos x = x2 2 + o(x2 ), d où cos x = x2 2 + o(x2 ) et ainsi cos x x2 d après 4.3. De même, sin x = x + o(x), donc sin x x, et ainsi 2 sin 2 x x 2 d après 4.4, d où x 2 2 f(x) x = 2 2 donc lim x 0 f(x) = 2. : 6