Sciences Indusrielles de l Ingénieur CPGE - Sain Sanislas - Nanes Srucure e propriéés des sysèmes asservis 1.1- Définiion d un sysème auomaisé 1- Définiion Un sysème auomaisé es un sysème qui à une(des) enrée(s) fai correspondre une(des) sorie(s) : Enrées Sysème auomaisé Sories Enrées e sories peuven êres : Discrèes : Elles on un nombre fini de valeurs (souven 2 : 0 e 1). Coninues : Elles on un nombre infini de valeurs dans un inervalle. Si les enrées e sories son discrèes on a un sysème logique ou séqueniel. Si les enrées e sories son coninues on a un sysème asservi. Le plus souven on a une seule enrée e une seule sorie. Le sysème es alors di monovarian. Dans ce cas d un sysème asservi, l enrée es appelée la consigne e la sorie la réponse. Souven le sysème es soumis à une(des) aure(s) variable(s) d enrée dues à l environnemen exérieur du sysème. Ces enrées son appelées la perurbaion. Perurbaion Consigne Sysème asservi Réponse L objecif du sysème asservi es de faire coïncider consigne e réponse 1.2- Asservissemen e régulaion Régulaion Si la consigne es consane au cours du emps, on a une régulaion. Exemple un sysème de chauffage mainenan une empéraure consane dans une pièce es une régulaion en empéraure. Même si cee empéraure de consigne peu parfois êre modifiée. La régulaion a pour foncion de compenser l acion de la perurbaion sur la réponse du sysème Asservissemen Si la consigne es variable au cours du emps, on a un asservissemen. Exemple l ariculaion d un robo doi avoir une posiion angulaire qui varie consammen au cours du emps afin que l exrémié du bras de ce robo suive une rajecoire donnée. Chacune des ariculaions es un sysème asservi don l enrée es la consigne de posiion angulaire donnée par le sysème de piloage du robo, e la sorie la posiion angulaire de l ariculaion. PCSI - Srucure des asservissemens.doc page 1/5
Sciences Indusrielles de l Ingénieur CPGE - Sain Sanislas - Nanes 2- Srucure e comporemen d un asservissemen 2.1- Srucure générale d un asservissemen ( ou régulaion) Effeceur (b) Même grandeur physique Consigne Perurbaion Energie Réponse Adapaeur Préac- Cor- Acion- + - receur ionneur + + neur Effeceur (a) s() Ecar ε() Commande Capeur Même grandeur physique Souven une ension élecrique Cee srucure n es pas exclusive (parfois il n y a pas de perurbaion, de préacionneur ou d effeceur mais ce qui caracérise un asservissemen son principalemen : La consigne e la réponse ; La boucle de reour avec ou non le capeur ; e la comparaison enre la consigne e la réponse 2.2- Comporemen d un sysème asservi Un asservissemen n es pas un sysème qui à une consigne e une perurbaion donnée fai correspondre une réponse. Exemples : Régulaion en empéraure d une pièce : Ce n es pas parce que l on demande une empéraure de consigne qu on l obien. Tou du moins pas immédiaemen, e encore à la fin il n es pas sur que l on ai la même empéraure suivan la manière don la consigne a évoluée dans le emps. Asservissemen en posiion d un chario. La réponse du chario sera différene suivan l évoluion de la consigne. Le sysème essayan de suivre en permanence la consigne sans pour auan y arriver. D aure par, le comporemen du chario qui se déplace d un poin à un aure sera différen suivan sa viesse iniiale. Cela signifie que la réponse dépend égalemen de sa propre dérivée. La réponse emporelle d un asservissemen, es foncion de l évoluion emporelle de la consigne (e de la perurbaion) mais aussi des dérivées emporelles de la réponse. Donc l éude de la réponse emporelle d un sysème asservi ne peu se faire qu en définissan : L évoluion emporelle de la consigne. En général les condiions iniiales de celle-ci son nulles. Les condiions iniiales de la réponse don les condiions iniiales son aussi généralemen nulles. PCSI - Srucure des asservissemens.doc page 2/5
Sciences Indusrielles de l Ingénieur CPGE - Sain Sanislas - Nanes 3- Les signaux canoniques d enrée : Evoluions de la consigne ou de la perurbaion 3.1- L impulsion 3.1.1- L impulsion de Dirac L impulsion de Dirac es une foncion du emps nulle sauf au voisinage de zéro. Si on noe i e f les daes iniiales e finale de cee impulsion (daes proches de zéro) on a : Aire = 1 = 0 pour < i ou > f Elle es elle que l aire sous la courbe es égale à 1 : f. d = 1 i i f On noe cee foncion : Représenaion courane δ() 3.1.2- Impulsion d aire A L impulsion d aire A es une foncion du emps nulle sauf au voisinage de zéro, don l aire sous la courbe es A. On a alors : = A. δ() Une elle foncion perme de modéliser un choc ou un poin dur. 3.2- L Echelon 3.2.1- Echelon uniaire ou foncion d Heaviside Cee foncion es elle que : Pour < 0, = 0Pour 0, = 1 3.2.1- Echelon d ampliude E0 = E 0. ϒ() (= E 0 pour >0) PCSI - Srucure des asservissemens.doc page 3/5 1 E 0 On noe la foncion d Heaviside : ϒ() Cee foncion es souven assimilée à 1. Cee foncion perme de modéliser un changemen soudain de consigne. 3.3- La rampe de pene a Cee foncion es elle que : = a..ϒ() (= a. pour >0) Cee foncion perme de modéliser une augmenaion consane de la consigne. 3.3- L enrée sinusoïdale Cee foncion es elle que : = A.sin(ω.).ϒ() (= A.sin(ω.) pour >0) Cee foncion perme de modéliser des vibraions. A -A 2.π/ω 1 a
Sciences Indusrielles de l Ingénieur CPGE - Sain Sanislas - Nanes 4- Performances d un sysème asservi Les performances d un sysème asservi son évaluées par leur réponse à une enrée en échelon ou en rampe. On peu ainsi en déerminer rois : La précision, la rapidié e la sabilié. La sabilié peu égalemen êre éudiée à parir d une enrée sinusoïdale. 4.1- La précision Elle es évaluée de deux manières. En réponse à une enrée en échelon ce qui perme de chiffrer l erreur ou précision saique ou à une rampe pour chiffrer la précision ou l erreur de rainage. 4.1.1- Erreur saique La précision saique es l écar enre l enrée e la sorie lorsque le sysème es sabilisé : Pour + L erreur indicielle es l erreur à un échelon uniaire. Cee erreur perme d avoir la précision en pourcenage. Par abus de langage on l appelle l erreur saique e on la noe : ε s. E 0 s() Erreur saique 4.1.2- Erreur de rainage L erreur de rainage (ε ) es l écar enre l enrée e la sorie (pour + ) en réponse à une rampe. s() ε 0 ε = c e Trois cas de figure L'erreur augmene consammen : ε L erreur se sabilise : ε c e L erreur es nulle : ε 0 ε Q 4.2- La rapidié 4.2.1- Le emps de réponse (à un échelon) à 5% : 5% La rapidié es évaluée par la réponse à une enrée en échelon. Elle es caracérisée par le emps de réponse à 5%. Le emps de réponse à 5% ( 5% ) es le emps mis par le sysème pour aeindre définiivemen la consigne à 5% près. Cas de figure ci-conre Le cas 1 représene un sysème len mais qui ne dépasse pas la consigne Le cas 3 es un sysème foremen oscillan qui mone rapidemen à la consigne mais la dépasse. Le cas 2 es le sysème le plus rapide. 4.2.1- Le emps de monée : T m (En réponse à un échelon) Un aure crière caracérise la dynamique du sysème : le emps de monée T m. C es le emps mis par la réponse pour aeindre la consigne à 5% près la 1 ière fois. Le cas 3 à un emps de monée faible mais un emps de réponse imporan ce qui caracérise un sysème foremen oscillan PCSI - Srucure des asservissemens.doc page 4/5
Sciences Indusrielles de l Ingénieur 4.3- La sabilié CPGE - Sain Sanislas - Nanes 4.3.1- Définiion Un sysème es di sable si la sorie évolue vers une consane (Elle converge vers une consane) quelque soi les perurbaions. Cas de figure ci-conre cas 1 : Le sysème es sable car il converge. cas 4 : Le sysème es insable car la sorie oscille avec une ampliude qui augmene. Les cas 2 e 3 son moins sables que le cas 1 mais cependan le rese car malgré les oscillaions ils finissen par converger vers une valeur consane. 4.3.2- Taux de dépassemen (En réponse à un échelon) Un crière de la sabilié es le dépassemen. Il es défini à parir de la valeur maximale (ou minimale) de la réponse obenue à la première oscillaion. Pour cela le sysème ne doi pas êre insable. Le aux de dépassemen es défini par le réel suivan : D 1 = S( 1) S S Soi : D 1 = 1 S Où : S( 1 ) es la valeur maximale à la première oscillaion S la valeur vers laquelle converge la réponse 1 = S( 1 ) S es le dépassemen à la première oscillaion PCSI - Srucure des asservissemens.doc page 5/5