K désge u corps de caractérstque ulle Gééraltés Elémets d algèbre léare Espace vectorel Déf : O appelle K -espace vectorel tout esemble E mu d ue lo de composto tere et d ue lo extere : : K E E vérfat : ( ( E+ est u groupe dot l élémet eutre est appelé vecteur ul + :E E E (2 xy E λµ K λ( x+ y = λx+ λy ( λ + µ x= λ x+ µ x λµ ( x = ( λµ x et x= x Prop : S L est u sous-corps de K alors par restrcto du produt extéreur tout K -espace vectorel est ecore u L -espace vectorel Prop : S E E sot des K -espaces vectorels alors E= E E est u K -espace vectorel pour les los + et défes par : ( x x + ( y y = ( x+ y x+ y et λ( x x = ( λx λx De plus le vecteur ul de E est alors 0 = (0 0 E E E Prop : S X désge u esemble et E u K -espace vectorel alors F ( XE est u K -espace vectorel pour les los + et défes par : λ f : x λ f ( x et f+ g : x f ( x + gx ( De plus le vecteur ul de E=F ( XF est la focto ulle : ɶ0 :x o 2 Sous-espace vectorel a défto Déf : O appelle sous-espace vectorel d u K -espace vectorel E toute parte F de E vérfat : ( F (2 λµ K xy F λ x+ µ y F Prop : S F et G sot des sous-espaces vectorels de E alors F+ G= { x+ y / x Fy G} et F G sot des sous-espaces vectorels de E b sous-espaces vectorels supplémetares Déf : Deux sous-espaces vectorels F et G sot dts supplémetares ss F G= {} 0 et F+ G= E S F et G sot deux sous-espaces vectorels supplémetares de E alors : x E!( uv F Gx = u+ v c sous-espace vectorel egedré Prop : Etat doé ue parte A de E l exste u uque sous-espace vectorel G de E vérfat : A G 2 Pour tout sous-espace vectorel F de E : A F G F G apparaît comme état le plus pett sous-espace vectorel coteat A Déf : Avec les otatos précédetes o dt que G est le sous-espace vectorel egedré par A et o ote G= VectA Prop : A B Vect( A Vect( B Vect( A B = Vect( A + Vect( B d sous-espace affe Déf : O appelle sous-espace affe passat a E et drgé par F sous-espace vectorel E l esemble a+ F= { a+ x / x F} Prop : S b appartet à u sous-espace affe V de drecto F alors V= b+ F Prop : L tersecto de deux sous-espaces affes de drectos F et G est sot vde sot égale à u sous-espace affe de drecto F G - / 9 -
3 Applcato léare Sot E et F des K -espaces vectorels a défto Déf : O appelle applcato léare de E vers F toute applcato f : E F vérfat : λµ K xy Ef ( λ x+ µ y = λ f ( x + µ f ( y O ote L ( EF l esemble des applcatos léares de E vers F c est u K -espace vectorel d élémet ul oɶ b proprétés Prop : S f L ( EF alors f (0 = 0 Prop : Sot f L ( EF E F S G est u sous-espace vectorel de E alors fg ( est u sous-espace vectorel de F S H est u sous-espace vectorel de F alors Prop : Sot f L ( EF f ( H - 2 / 9 - est u sous-espace vectorel de E S V est u sous-espace affe de E de drecto G alors fv ( est u sous-espace affe de F de drecto fg ( S W est u sous-espace vectorel de F de drecto H alors est sot vde sot égale à u sousespace affe de E de drecto f ( H Prop : Pour f L ( EF et A parte de E f (Vect( A = Vect( f ( A c mage et oyau f ( W Déf : Sot f L ( EF O appelle oyau et mage de l applcato léare f les esembles ker f= f ({} 0 et m f= f ( E Ce sot des sous-espaces vectorels de respectvemet E et F Prop : f L ( EF est jectve ss ker f = {} 0 et surjectve ss m f= F Sot f L ( E 2 S f = f alors F= mf= ker( f d et G= kerf sot supplémetares das E et f est la projecto sur F parallèlemet à G Sot f L ( E 2 S f = d alors F= ker( f d et G= ker( f+ d sot supplémetares das E et f est la symétre vectorelle par rapport à F et parallèlemet à G 4 Applcato multléare Déf : Ue applcato b : E E2 F est dte bléare ss ( x 2 E2 l applcato x bx ( x 2 est léare (2 x E l applcato x 2 bx ( x 2 est léare Déf : Sot E E et F des K -espaces vectorels Ue applcato m : E E F est dte multléare ss : { } ( x ˆ ˆ x x E E E x f ( x x x est léare de E vers F 5 Algèbre a défto Déf : O appelle K -algèbre tout quadruplet ( E+ formé d u esemble E de deux los de composto tere + :E E E et d ue lo extere : : K E E vérfat : ( ( E+ est u K -espace vectorel (2 ( E+ est u aeau (3 λ K xy E ( λ xy = λ( xy = x( λ y
Prop : S E E sot des K -algèbres alors E E mu des los produts est ue K -algèbre3 Prop : S E est ue K -algèbre et X u esemble alors F ( XE mu des los produt est ue K -algèbre b sous-algèbre Déf : O appelle sous-algèbre d ue K -algèbre E toute parte F de E vérfat : ( E F (2 λµ K xy F λ x+ µ y F (3 xy F xy F Ue sous-algèbre est ue K -algèbre pour les los restretes c morphsme d algèbres Déf : Etat doé deux K -algèbres E et F o appelle morphsme d algèbre de E vers F toute applcato f : E F vérfat : ( f ( = E F (2 λµ K xy Ef ( λ x+ µ y = λ f ( x + µ f ( y (3 xy F f ( xy = f ( xfy ( O parle ecore d somorphsme edomorphsme et d automorphsme d algèbres Base d u espace vectorel désge u esemble évetuellemet f E désge u K -espace vectorel Famlle à support f Déf : O ote E l esemble des famlles ( a d élémets de E dexées sur Prop : E est u K -espace vectorel Déf : Ue famlle ( a E est dte à support f ss l exste qu u ombre f d dces tels que Prop : a 0 O ote E l esemble de ces famlles E est u sous-espace vectorel de E 2 Combaso léare Déf : O appelle combaso léare des vecteurs d ue famlle fe ( x de vecteurs de E tout vecteur de E pouvat s écrre λx avec ( λ K Plus gééralemet Déf : O appelle combaso léare des vecteurs d ue famlle fe ( x de vecteurs de E tout vecteur de E pouvat s écrre λx avec ( λ K Prop : S f L ( EF alors f λx = λf ( x S A est ue parte de E alors VectA est l esemble des combasos léares des famlles d élémets de A 3 Famlle géératrce Déf : Ue famlle ( x de vecteurs de E est dte géératrce ss tout vecteur de E est combaso léare de cette famlle Prop : L mage d ue famlle géératrce par ue applcato léare surjectve est ue famlle géératrce - 3 / 9 -
4 Famlle lbre Déf : Ue famlle fe ( x de vecteurs de E est dte lbre ss ( λ K λx= 0 λ= 0 So la famlle est dte lée et toute relato de la forme λx = 0 avec des λ o tous uls est appelée relato léare sur la famlle ( x Plus gééralemet Déf : Ue famlle ( x de vecteurs de E est dte lbre ss pour toute λx= 0 λ= 0 So la famlle est dte lée Prop : L mage d ue famlle lbre par ue applcato léare jectve est lbre 5 Base ( λ K o a l mplcato : Déf : O appelle base de E toute famlle ( x de vecteurs de E à la fos lbre et géératrce S ( e est ue base de E alors pour tout vecteur x E l exste ue uque famlle ( λ K telle que : x λx = Déf : Avec les otatos c-dessus la famlle ( λ est appelée famlle des composates (ou coordoées de x das la base ( e Prop : L applcato de E vers K qu à x assoce la famlle de ces composates das ( e est u somorphsme de K -espace vectorel S ( e est ue base du K -espace vectorel E et ( f ue famlle de vecteurs d u K -espace vectorel F alors l exste ue uque applcato léare u de E vers F vérfat ue ( = f pour tout Prop : Sot u L ( EF et ( e ue base de E u est jectve ( ue ( est lbre u est surjectve ( ue ( est géératrce u est u somorphsme ( ue ( est ue base 6 Exemple : Algèbre des foctos polyomales e varables Sot N c K désge R ou C Déf : O appelle focto moôme (utare sur K toute applcato de K vers K de la forme : α α ( x x x x La somme α+ + α est appelée degré de ce moôme Prop : Le produt de deux foctos moômes est ue focto moôme Déf : O appelle focto polyomale sur K toute combaso léare de focto moôme sur ote PK ( l esemble de ces foctos PK ( est ue sous-algèbre de F ( K K K O α α De plus la famlle des foctos moômes ( x x x x avec ( α α N est ue base de PK ( Cor : La descrpto d ue focto polyomale sur K comme somme de moôme est uque Déf : O appelle degré d ue focto polyomale p o ulle sur K le plus haut degré des moômes terveat das l écrture de p avec u coeffcet o ul O le ote degp et covet que deg0= - 4 / 9 -
Prop : Pour des foctos polyomales P et Q sur K : deg( P+ Q max(deg P deg Q et degpq= degp+ degq Dmeso et codmeso Dmeso Déf : O dt qu u K -espace vectorel E est de dmeso fe ss l possède ue famlle géératrce fe Comme vu e sup u tel espace possède ue base formée d u ombre f de vecteurs et toute base est formée du même ombre de vecteurs appelé dmeso de E et oté dme De plus les famlles lbres ot mos de dme vecteurs alors que les famlles géératrces e ot plus Prop : Deux espaces vectorels somorphes ot même dmeso Prop : S E E sot des K -espaces vectorels de dmesos fes alors E E est de dmeso fe dme E = dme+ + dme et 2 Costructo de bases e dmeso fe Sot E u K -espace vectorel de dmeso fe Toute famlle lbre de vecteurs de E peut être complétée e ue base de E à l ade de vecteurs be choss das ue famlle géératrce S E est u K -espace vectorel de dmeso fe et ( e ue famlle de dme vecteurs de E alors o a équvalece etre : ( ( e est ue base ( ( e est lbre ( ( e est géératrce 3 Dmeso d u sous-espace vectorel Tout sous-espace vectorel F d u K -espace vectorel E de dmeso fe est lu-même de dmeso fe et dmf dme avec égalté ss F= E Tout sous-espace vectorel d u K -espace vectorel de dmeso fe admet au mos u supplémetare Déf : Toute base de E obteue e complétat ue base de F est dte adaptée à F Les vecteurs complétat egedret alors u supplémetare de F S F et G sot des sous-espaces vectorels de dmesos fes d u K -espace vectorel alors F+ G et F G sot de dmesos fes et dmf+ G= dmf+ dmg dmf G Cor : Sot F et G deux sous-espaces vectorels d u K -espace vectorel E de dmeso fe vérfat dme= dmf+ dmg O a équvalece etre : ( F G= E ( F G= {} 0 ( F+ G= E 4 Codmeso d u sous-espace vectorel Pour u L ( EF tout supplémetare H de keru das E est somorphsme à mu Cor : Deux sous-espaces vectorels supplémetares d u même sous-espace vectorel sot somorphes Déf : U sous-espace vectorel F est dt de codmeso fe das E ss l possède au mos u supplémetare de dmeso fe das E Tous les supplémetares de F das E ot alors la même dmeso appelée codmeso de F das E et otée codmf - 5 / 9 -
5 Rag d ue applcato léare Déf : O appelle rag d ue applcato léare u oté rg( u la dmeso l mage de u As rgu= dm mu Prop : S E est de dmeso fe alors u est de rag f et rgu dme avec égalté ss u est jectve S F est de dmeso fe alors u est de rag f et rgv dmf avec égalté ss v est surjectve Théorème du rag : Sot E et F deux K -espaces vectorels S u L ( EF est de rag fe alors keru est de codmeso fe et rgu= codmkeru Cor : Lorsque E est de dmeso fe o obtet la relato rgu+ dmkeru= dme Théorème d somorphsme : Sot E et F deux K -espaces vectorels de dmesos fes vérfat dme= dmf Pour tout u L ( EF o a équvalece etre : ( u est u somorphsme ( u est jectve ( u est surjectve (v rgu= dme= dmf (v v L( FE v u= d E (v w L( FE u w= d F De plus s tel est le cas u = v= w 6 Hyperpla et forme léare Sot E u K -espace vectorel Déf : O appelle hyperpla de E tout sous-espace vectorel F de E de codmeso fe égale à Le oyau d ue forme léare o ulle ϕ sur E est u hyperpla H et tout hyperpla est oyau d ue certae forme léare o ulle Déf : S u hyperpla H est le oyau d ue forme léare o ulle ϕ o dt que l équato ϕ ( x = 0 déft l hyperpla H Prop : S ϕψ sot deux formes léares o ulles telles que kerϕ= kerψ alors λ K tel que ψ= λϕ 7 Applcato : terpolato de Lagrage Sot a a des élémets de K deux à deux dstcts Prop : L applcato ϕ : K [ ] X K défe par ϕ ( P = ( Pa ( Pa ( est u somorphsme de K -espace vectorel Notos ( e e la base caoque de K et pour tout k { } posos Lk= ϕ ( ek X a O motre Lk= a a k k Déf : Les polyômes ( L L sot appelés polyômes terpolateurs de Lagrage assocés à la famlle ( a a Prop : Sot ( b b K l exste u uque polyôme P K [ ] X tel que pour tout { } o at Pa ( = b c est P= bl + + bl Prop : Sot ( b b K Les polyômes P K [ X] tels que pour tout { } o at Pa ( = b sot P= bl+ + bl + ( X a ( X a Q avec Q K [ X] les V Dualté e dmeso fe E désge u K -espace vectorel de dmeso fe - 6 / 9 -
Base duale Sot B = ( e e ue base de E Pour tout x E o peut écrre de maère uque x= xe + + xe Posos pour tout { } ϕ ( x = x O déft as des applcatos ϕ : K qu sot claremet léares Déf : Les formes léares ϕ ϕ sot appelées formes léares coordoées assocées à la base B l est d usage de oter e au leu de ϕ Prop : j { } e ( e = δ (relatos d orthogoalté de Kroecker j La famlle B = ( e e est ue base de E O l appelle base duale de la base B Prop : Sot B = ( e e ue base de E ϕ E!( a a K ϕ= ae + + ae j x x E coveat de oter les composates de x das la base B o a ϕ ( x = ax + + ax E 2 Base atéduale lemme : x Ex 0 ϕ E ϕ( x = S L = ( ϕ ϕ ue base de E l exste ue uque base B de E telle que La base B est appelée base atéduale (ou préduale de L L= B 3 Sous-espace vectorel déf par équato Prop : S F est u sous-espace vectorel de E de dmeso p alors l esemble F des formes léares s aulat sur F est u sous-espace vectorel de E de dmeso q= p Prop : S G est u sous-espace vectorel de E de dmeso q alors l esemble G des vecteurs aulat les formes léares de G est u sous-espace vectorel de E de dmeso p= q Les sous-espaces vectorels de dmeso p de E correspodet aux espaces solutos de systèmes de la ϕ ( 0 x = forme avec q= p et ϕ ϕq des formes léares dépedates ϕq ( x = 0 V Somme drecte de sous-espaces vectorels E désge u K -espace vectorel et ( F ue famlle fe de sous-espaces vectorels de E Par commodtés o suppose = { } Somme de pluseurs sous-espaces vectorels Sot FGH des sous-espaces vectorels de E Asémet ( F+ G + H= F+ ( G+ H Cela permet d trodure la otato F+ G+ H et plus gééralemet F+ + F ecore oté F Prop : Prop : F= x / x F = = = F= Vect F = = Prop : S tous les F sot de dmesos fes alors F est de dmeso fe et = dm F dmf = = - 7 / 9 -
2 Somme drecte de sous-espaces vectorels Déf : O dt la famlle ( F est e somme drecte ss!( x = x F x x F F x= x + + La somme F est alors otée = F pour soulger l ucté de la décomposto = O a équvalece etre : ( ( F est e somme drecte ( x x F F x + + x = 0 x = = x = 0 ( ( { } F F= {} 0 j= j j Cor : S F F sot e somme drecte et s F + est e somme drecte avec F F alors les sousespaces vectorels F F F + sot e somme drecte (utle pour les rasoemets par récurrece S tous les sous-espaces vectorels F sot de dmesos fes o a équvalece etre : ( ( F est e somme drecte ( dm F= dmf = = 3 Décomposto e somme drecte a défto Déf : O appelle décomposto e somme drecte de l espace E toute écrture E= F S E= F alors x E!( x x F F x= x+ + x = = S E est u K -espace vectorel de dmeso fe et s dme= dmf alors o a équvalece etre : ( E= F = = = ( E F ( ( F est e somme drecte Déf : Ue telle base est dte adaptée à la décomposto E= F b projecteurs assocés O suppose E= F = = Pour tout x E l exste u uque ( x x F F tel que x= x+ + x Pour { } o pose p ( x = x ce qu déft p : E E Déf : Les p p sot appelés projecteurs assocés à la décomposto E= F = = Prop : { } p est la projecto vectorelle sur F parallèlemet à Fj j - 8 / 9 -
Prop : d E= p = 0 ɶ s j Prop : j { } p p j= p so c décomposto d ue applcato léare Sot E u K -espace vectorel et la décomposto e somme drecte E= F Pour tout { } = o se doe u ue applcato léare de F vers u certa K -espace vectorel F l exste ue uque applcato léare u de E vers F telle que pour tout { } u = u F Déf : L applcato léare u est appelée somme drecte des applcatos u u o ote parfos u= u = - 9 / 9 -