Lycée Sant-Eupéry BAC BLANC - Ma 0 - Termnales STID Épreuve de Mathématques - Durée : heures. Le sujet comporte pages. Il est composé de eercces ndépendants les uns des autres. La qualté de la rédacton, la clarté et la précson des rasonnements entreront pour une part mportante dans l apprécaton des copes. L usage de la calculatrce est autorsé. Eercce ( ponts) On note le nombre complee de module et d argument. On consdère les nombres complees z, z et z défns par : z e 6 ; z et z e. ) a. Détermner la forme algébrque de z. z e 6 cos 6 sn 6 b. Détermner la forme eponentelle de z. qu est ben de la forme a b avec a et b. z cos sn e qu est ben de la forme re avec r et. ) a. Démontrer que z z z. Le module de z est z z donc on a ben z z z. z z b. En dédure la forme algébrque de z. z et l argument de z est arg z z arg( z ) z arg( z ) 6 D après ce qu précède, on a : z z z ( )( ) ( )( ) 6 6 (- 6 ) ( 6 ) ( ) z 6 6 qu est ben de la forme a b avec a 6 et b 6 ) Dédure des résultats précédents que cos 6 et sn 6 z e 6 6 cos sn donc, par uncté de la forme algébrque, on en dédut ben : 6 6 []
Eercce ( ponts) T est la varable aléatore qu mesure la durée, en heures, de bon fonctonnement d une lampe d un certan type prélevée au hasard dans un stock mportant chez un fabrcant. On suppose que T sut une lo eponentelle de paramètre 0,000 ) Donner la foncton de densté de T. T sut une lo eponentelle de paramètre 0,000 donc sa foncton de densté est la foncton défne sur [0 f(t) (0,000 )e 0,000 t ) a. Calculer les probabltés des événements suvants (on donnera les résultats arronds au centème) : A : «La durée de bon fonctonnement de la lampe est égale à 800h» p(a) p(t 800) donc p(a) 0 B : «La durée de bon fonctonnement de la lampe est comprse entre 000h et 800h» 800 p(b) p(000 T 800) (0,000)e 0,000t dt 000 donc p(b) e, e 0,8 0, (arrond au centème) e 0,000t 800 e 0,000 800 e 0,000 000 000 b. Démontrer que la probablté de l événement C : «La durée de bon fonctonnement de la lampe est nféreure à 000h» est d envron 0,80. 000 p(c) p(t<000) (0,000)e 0,000t dt 0 000 e 0,000t 0 p(c) e 0,000 000 e 0,000 0 e,6 sot p(c) 0,80 (arrond au centème) ) Donner l espérance E(T) pus en donner une nterprétaton dans le contete de l énoncé. T sut la lo eponentelle de paramètre 0,000 donc E(T) 0,000 00 S on prélève dans ce stock un grand nombre d ampoules de ce type, on peut espérer que la durée moyenne de bon fonctonnement sot de 00 heures. ) On prélève 0 lampes de ce type au hasard dans ce stock pour effectuer un test. On consdère que le nombre de lampes de ce stock est suffsamment mportant pour que ce prélèvement sot assmlé à un trage avec remse. Quelle est la probablté d obtenr lors de ce test au mons deu lampes qu fonctonnent ben au bout de 000 heures? On répète 0 épreuves de Bernoull de manère dentque et ndépendante. Le succès a pour probablté -0,80 0,0. La varable X qu compte les succès sut une lo bnomale de paramètres n 0 et p 0,0. donc : p(x ) p(x 0) p(x ) 0 0 0,0) 0 ( 0,0) 0 0 (0,0) ( 0,0) 9 0,86 On a donc 86% de chance d avor au mons deu lampes qu fonctonnent ben au bout de 000 heures lors de ce test. [ par Eercce ( ponts) Dans un laboratore de chme, un stagare utlse un lqude dont l évaporaton est mportante. À l orgne, l y a cl dans la boutelle. Le stagare revsse mal le bouchon et on consdère qu alors le lqude perd chaque jour % de son volume par évaporaton. On note u n la quantté de lqude, eprmée en cl, présente dans la boutelle au bout de n jours. Ans u 0. ) Calculer u pus u. 7, 00 0,9 7, donc u 7, 00 7, 0,9 67,68 donc u 67,68 []
) a. Eprmer u n en foncton de u n. En dédure la nature de la sute ( u n ). Pour tout n de, u n u n 00 sot u n (0,9)u n donc ( ) b. En dédure l epresson de u n en foncton de n. D après a., u n u 0 sot u n (0,9) n pour tout n de u n est une sute géométrque de rason q 0,9. ) Détermner à partr de comben de jours la quantté de lqude aura dmnué de moté dans la boutelle. u n u n or ln(0,) ln(0,9) (0,9) n 7, (0,9) n nln(0,9) ln(0,) n 7, ln(0,) car ln(0,9) 0 ln(0,9),donc le premer enter supéreur à ln(0,) est. ln(0,9) (0,9) n 0, ln[ (0,9) n ] ln(0,) La quantté de lqude aura dmnué de moté dans cette boutelle au bout de jours. ) On consdère l algorthme suvant : Varables : n et u sont des nombres Intalsaton : Affecter la valeur 0 à n Affecter la valeur à u Tratement : Tant que u n prend la valeur n 6 u prend la valeur u 0,9 7 Fn Tant que 8 Sorte : Affcher n a. A quo correspond n en sorte de cet algorthme? n est le rang de la sute ( u n ) à partr duquel u n devent nféreur à Il affche b. S on programme cet algorthme, quel résultat affche-t-l? c. Ce même stagare, décdément peu rgoureu, a mal refermé une boutelle de 0 cl contenant un autre lqude mons volatle mas perdant tout de même, chaque jour,,8% de son volume par évaporaton. Quelles modfcatons faut-l apporter à l algorthme précédent pour trouver à partr de comben de jours ce second lqude aura perdu un quart de son volume? Modfcatons à apporter : Lgne : Affecter la valeur 0 à u Lgne : Tant que u 0 Lgne 6 : u prend la valeur u 0,97, Eercce (7 ponts) Dans tout cet eercce, on désgne par l ensemble des nombres réels. []
On donne c-dessous une pette parte de la courbe représentatve d une foncton f, défne et dérvable sur, dans un repère orthonormé du plan. On note f la foncton dérvée de f. La courbe passe par le pont A(0 ) et par le pont B d abscsse 0,. La tangente A à la courbe au pont A passe par le pont C( ) et la tangente B au pont B est horzontale. y A B C - - 0 - Parte A : Dans ce Questonnare à Cho Multple, aucune justfcaton n est demandée. Pour chaque queston, une seule réponse est correcte. Une bonne réponse rapporte 0, pont. Pour chaque queston, une mauvase réponse ou deu réponses proposées ou une absence de réponse n enlève n ne rapporte aucun pont. On notera, sur la cope, le numéro de la queston suv de la réponse chose. La valeur de f(0) est : a. b. c. -, d. autre réponse A(0 ) donc f(0) donc b La valeur de f (0) est : a. b. c. -, d. autre réponse Le coeffcent drecteur de T A est y C y A C A La valeur de f est : - 0 - - donc a a. 0 b., c. d. autre réponse B est horzontale et B donc f 0 donc a, Un encadrement de I f()d par des enters naturels est : 0, a.,,6 b. c. 0 d. 7 content un trapèze rectangle de bases et et de hauteur donc d are et est contenu dans un rectangle de dmensons, et donc d are 7 donc Parte B : 7 donc d La foncton représentée dans la parte A est défne sur par : f() ( )e []
) a. On admet que lm Interpréter graphquement ce résultat. sgnfe que admet une asymptote horzontale en + d équaton y. lm b. Détermner la lmte de la foncton f en. () lm + et lm X e X + donc, par composton, lm + () de () et (), par multplcaton, lm ( )e pus, par addton, lm ) On admet que sa foncton dérvée f est défne pour tout réel par : f () ( )e Étuder le sgne de f () pus dresser le tableau de varaton complet de la foncton f. Pour tout de, e 0 donc f () est du sgne de et 0 d où le tableau : sgne de f () + f( ) varatons de f() avec f e - e ou ben encore ) On consdère la foncton F défne sur par : Vérfer que F est une prmtve de f sur. F est dérvable sur F() ( e 6)e + (par opératons sur des fonctons de référence dérvables sur ) et, F () ( e (+6) (-e )) e (+6)e ( 6)e ( )e donc F () f() pour tout de donc F est ben une prmtve de f sur ) Sot le domane du plan lmté par la courbe, l ae des abscsses et les drotes d équatons 0, et,. a. Calculer la valeur eacte de l are du domane en untés d are. f est dérvable sur donc sur [0,,] et, comme f(,) (, )e, e,,9 et que f est strctement décrossante sur [0,,], f est postve sur [0, ;,] donc :, f()d F(,) F(0,) pusque F est une prmtve de f sur 0, or F(,), (, 6)e,, 6e, et F(0,) 0, ( 0, 6)e 0, 0, 8e 0, donc, 6e, (0, 8e 0, ), 6e, 0, 8e 0, sot 8e 0, 6e, u.a. b. En donner une valeur approchée au centème. La calculatrce donne, u.a. (arrond au centème) (ce qu est cohérent avec la réponse d du QCM!) []