Géométrie 1 Notations Soit, et C trois points (du plan). désigne entre les points et. [] désigne d extrémités et. () désigne contenant les points et (à condition qu ils soient distincts). [) désigne d origine passant par. désigne d origine et d extrémité. désigne du bipoint d origine et d extrémité. C désigne de sommet et de côtés [) et [C). Soit C un triangle. Il est très courant de poser a = C, b = C et c = : la petite lettre désigne la longueur du côté opposé au sommet nommé par la grande lettre. a c Ĉ C Â b Lorsqu aucune ambiguïté n est à craindre, les angles peuvent être désignés par leur sommet. Mesure des angles Les angles sont mesurés en degrés ou en radians, ces unités étant proportionnelles. Mesure en degrés 360 180 90 45 60 30 Mesure en radians π π π π 4 π 3 π 6 Les angles de mesure inférieure à 90 sont dits. Ceux de mesure supérieure à 90 sont dits En géométrie euclidienne, la somme des mesures des angles d un triangle vaut toujours. TS1 Systèmes Photoniques 017 / 018 1 Lycée Fresnel - Paris
3 ngles et parallèlisme Dans les configurations suivantes, les angles et β sont... β β β d d d d = β = β si et seulement si d//d 4 Relations métriques Dans un triangle rectangle, l est le côté opposé à l angle droit. C est aussi le plus long des côtés de ce triangle. Les deux angles qui ne sont pas droits sont : leur somme vaut 90 (en particulier, ils sont aigus). Dans un triangle rectangle, les sinus, cosinus et tangente des angles aigus sont des rapports de longueur : sin(angle) = côté opposé à cet angle hypoténuse ; Côté adjacent à Ĉ cos(angle) = côté adjacent à cet angle ; hypoténuse Côté opposé à Ĉ C tan(angle) = côté opposé à cet angle côté adjacent à cet angle. Hypoténuse n notera que le cosinus d un angle est le sinus de son complémentaire (et réciproquement). Le théorème de Pythagore affirme qu un triangle C est rectangle en ssi C = + C. Le théorème d l-kashi affirme que pour tout triangle C, C = + C.C cos( C) soit a = b + c bc. cos  = L aire d un triangle C est donnée par la formule : base hauteur associée = bc sin  = ac sin En divisant par abc, on en déduit la loi des sinus : sin  a = sin b = sin Ĉ c. = ab sin Ĉ. c  b a Ĉ C TS1 Systèmes Photoniques 017 / 018 Lycée Fresnel - Paris
5 Droites remarquables La d un segment est la droite dont tous les points sont équidistants des extrémités de ce segment. Elle est perpendiculaire à ce segment et passe par son milieu. Les des côtés d un triangle sont concourantes : leur point d intersection est le Si un triangle est rectangle, alors le centre du cercle circonscrit est le Réciproquement, si le centre du cercle circonscrit à un triangle appartient à l un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle. Dans un triangle, la issue d un sommet est la droite passant par ce sommet et le milieu du côté opposé. Les d un triangle sont concourantes : leur point d intersection est le de ce triangle. Le centre de gravité est situé aux chaque médiane en partant du sommet. de La d un angle est la droite séparant cet angle en deux angles égaux. Les des angles d un triangle sont concourantes : leur point d intersection est le à ce triangle. Dans un triangle, la issue d un sommet est la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé. Les d un triangle sont concourantes : leur point d intersection est de ce triangle. TS1 Systèmes Photoniques 017 / 018 3 Lycée Fresnel - Paris
6 ngles inscrits n dit qu un angle est dans un cercle si son sommet appartient à ce cercle. Dans un cercle, deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont même mesure. β S = β S Un angle inscrit a pour mesure la moitié de l angle au centre qui lui correspond. Cet angle intercepte le même arc mais son sommet est le centre du cercle. Â = ÂS S 7 Théorème de Thalès Si deux droites () et ( ) sont sécantes en et si ( )//( ), alors : = = TS1 Systèmes Photoniques 017 / 018 4 Lycée Fresnel - Paris
8 Exercices Exercice 1 n donne D = 4 cm ; = 6 cm et DC = 60. C Calculer la valeur arrondie au degré de C. 60 6 cm Exercice D 4 cm Sur la figure suivante : C est un triangle rectangle en C = 13 cm et C = 1 cm 1. Calculer la mesure de l angle ÂC. (n arrondira au degré).. désigne le milieu de [C]. Déterminer la mesure de l angle. C Exercice 3 Soit RST un triangle tel que RS = 30 cm, RT = 40 cm et ŜRT = 70. Déterminer les mesures en degrés des angles inconnus. Exercice 4 Sur la figure ci-dessous, on note r le rayon du le cercle de centre et la mesure de l angle Â. Exprimer la longueur de la corde [] en fonction de r et de. r Exercice 5 Un pentagone régulier est un pentagone qui admet un maximum de symétries. Par conséquent, tous ses côtés et tous ses angles sont égaux et de plus, il est inscriptible dans un cercle, dont on note R le rayon. 1. Exprimer le côté, puis le périmètre d un pentagone régulier en fonction de R.. Exprimer l aire d un pentagone régulier en fonction de R. R TS1 Systèmes Photoniques 017 / 018 5 Lycée Fresnel - Paris
Exercice 6 (Construction de Descartes du rayon réfracté) C 1 et C sont deux demi-cercles de centre, de rayon n 1 et n. P est l intersection du rayon incident avec C 1. La droite contenant P et perpendiculaire à la surface de séparation coupe C en P. Démontrer que le rayon réfracté est [P ), c est-à-dire que n 1 sin i 1 = n sin i. n 1 i 1 C 1 C i P n P Exercice 7 (Construction de Huygens du rayon réfracté) C 1 et C sont deux demi-cercles de centre, de rayon 1 n 1 et 1 n. P est l intersection du rayon incident avec C 1. La tangente à C 1 en P coupe la surface de séparation en T. Le cercle de diamètre [T] coupe C en P. Démontrer que le rayon réfracté est [P ), c est-à-dire que n 1 sin i 1 = n sin i. n 1 i 1 C C 1 T i n P P TS1 Systèmes Photoniques 017 / 018 6 Lycée Fresnel - Paris
Exercice 8 (Lame à faces parallèles) Une lame à faces parallèles en verre peut être considérée comme l association de deux dioptres plan parallèles (voir figure). Démontrer qu un rayon d incidence a subi à sa sortie un déplacement d une distance d égale à : sin(i r) d = e cos r e. i r d Exercice 9 (Relation de conjugaison (1)) Sur la figure ci-dessous, on sait que : les droites (), (IJ) et ( ) sont parallèles, ainsi que les droites (J), ( ) et (I ) ; les points F et F sont symétriques par rapport à ; les points, et sont alignés. J F F I 1. Trouver deux configurations de Thalès pour établir que. En déduire que 1 = 1 F 1. Exercice 10 (Relation de conjugaison ()) Procéder comme dans l exercice précédent pour montrer que = F F. 1 SF = 1 S + 1 S. I F S C TS1 Systèmes Photoniques 017 / 018 7 Lycée Fresnel - Paris
Exercice 11 (Miroir sphérique) Un rayon issu de M, formant un angle avec l axe optique, est réfléchi sur un miroir sphérique de centre. La droite parallèle à (MI) passant par M coupe les droites (IT) et (I) en et respectivement. I T M M 1. Montrer que M = M I = M. TM. Utiliser ce résultat pour établir que TM = M M. 3. En déduire que : T = 1 TM + 1 TM. Exercice 1 (Conjugué harmonique) Sur la figure ci-dessous, les droites (P) et (M) sont parallèles. Montrer que C C = D D. P M C D M TS1 Systèmes Photoniques 017 / 018 8 Lycée Fresnel - Paris