4. Filrage d un signal périodique - Complémens. Décomposiion harmonique d un signal périodique L éude des signaux sinusoïdaux es essenielle car le héorème de Fourier perme de décomposer oue foncion réelle e() périodique de période T en une somme infinie de foncions sinusoïdales... Théorème de Fourier Soi un signal e() périodique, de période T, de fréquence f e de pulsaion : 2 = 2 f = T Le signal e() peu alors s écrire comme une somme discrèe de foncions sinusoïdales. Les fréquences des composanes son des muliples eniers de celle du signal, on parle alors d harmoniques du signal. Par décomposiions en série de Fourier, le signal e() s écri : n n n n n= n= + e( ) = A cos nω + = A A cos nω + A es la valeur moyenne du signal, elle en consiue le fond coninu (on a pris ici = ). Le erme de pulsaion ω correspondan à n = es le fondamenal du signal ou première harmonique : c es la composane d ampliude A, elle fixe la fréquence du signal oal e sa forme générale. Les ermes n 2 (n enier posiif) de pulsaion ωn=nω son les harmoniques de rang (ou d ordre) n : ces composanes donnen les déails du signal, elles coniennen ses variaions plus «rapides». Tou signal périodique de pulsaion, aussi complexe soi-il, es une superposiion de signaux sinusoïdaux de pulsaions, 2, 3,, n, (n es enier posiif)..2. Specre d un signal périodique Définiion : le specre d un signal donne les ampliudes An e les phases n de oues les composanes sinusoïdales du signal. Pour un signal périodique, le specre es discre e oues les composanes on une pulsaion muliple enier de celle de la composane fondamenale. ampliudes A n A A A2 composane coninue ou fond coninu harmonique fondamenale Specre en ampliudes harmoniques d ordres supérieurs pulsaion
phases n (rad) fond coninu ( = ) Specre en phases Specre de phases 2 harmonique fondamenale harmoniques d ordres supérieurs pulsaion La donnée du specre en ampliude e phase d un signal le déermine complèemen, il consiue "la care d idenié" du signal. Chacune des séries de «pics» obenues consiue un specre de fréquence (ou specre de Fourier) du signal e(). Remarques : On s inéressera le plus souven au specre en ampliudes car c es lui qui renseigne sur la puissance conenue dans chaque harmonique. Les coefficiens de Fourier enden rapidemen vers zéro à l infini. Ceci a une conséquence imporane en physique : si, en héorie, le nombre des harmoniques es infini, il suffi en praique de calculer seulemen les premiers ermes pour avoir une représenaion fidèle du signal iniial. Le specre d une foncion sinusoïdale ne compore qu une seule raie à la fréquence de la sinusoïde. En effe un el signal s écri e() = A cos(ω + φ ) = A cos(2πf + φ ). Il ne conien donc que la pulsaion ω ou la fréquence f. Un specre monre immédiaemen l imporance relaive des harmoniques. Le vocabulaire employé en analyse harmonique es empruné à la musique : un son musical es une foncion périodique don la fréquence (fondamenale) déermine la haueur du son. Le poids des divers harmoniques déermine le imbre du son. Le specre de fréquence es di riche s il compore de nombreux harmoniques (voir complémens de cours chapire 2).3. Calculs de coefficiens de Fourier (Hors programme) Afin de connaîre la conribuion de chaque harmonique dans le specre, il es nécessaire de connaire la valeur des coefficiens An (e évenuellemen ϕn ). Le erme inervenan dans la somme peu de manière équivalene êre réécri de la façon suivane : A n cos(nω + φ n ) = α n cos(nω) + β n sin(nω) On peu alors calculer les coefficiens αn e βn de la façon suivane : α n = 2 T β n = 2 T +T +T On aura alors : A n = α n 2 + β n 2 e()cos(nω)d e()sin(nω)d La valeur moyenne A du signal es quan à elle donnée par définiion par : A = +T T e()d 2
2. Recomposiion du signal 2.. Signal carré symérique Il es difficile d admere qu un signal comporan des disconinuiés e des poins anguleux puisse êre décomposé en une somme de signaux sinusoïdaux qui en son dépourvus (C ). Considérons le signal carré symérique e() suivan : e() A disconinuié T - A On peu monrer que la série (somme infinie) suivane consiue sa décomposiion en série de Fourier : 4A sin2 + 4A sin3 sin5 sin7 sin9 e( ) = p = sin... 2 p + 3 5 7 9 p = p = p = p = 2 p = 3 p = 4 Son specre en ampliude es alors : ampliude relaive A n 4A π pulsaion du fondamenal = pulsaion signal e() /3 /5 pulsaion pas de composane coninue = valeur moyenne nulle 3
On choisi dans ce qui va suivre A=.8 (ici sans unié, lorsque l on s inéressera à des grandeurs physiques, souven des ensions, l unié sera le vol) Reconsruisons ce signal en ajouan progressivemen les ermes de la somme à parir de p = jusqu à p=n. 4.8 p = e ( ) = sin ampliude relaive pulsaion N= e ( ) = p 2 p+ 4.8 sin 2 + p = ajou d une composane de plus haue fréquence e de plus faible ampliude ampliude relaive /3 pulsaion 4
N=2 e ( ) = 2 2 4.8 sin 2 p+ 2 p+ p = ampliude relaive pulsaion N=3 N=4 e ( ) = 3 p 2 p+ 3 4.8 sin 2 + p = e ( ) = 4 p 2 p+ 4 4.8 sin 2 + p = N=5 N=8 5 4.8 sin2 + e 5( ) = p 8 4.8 sin2 + e 8( ) = p 2 p+ 2 p+ p = p = 5
N + e().8 4.8 sin 2 + e( ) = p 2 p+ p = -.8 A noer que l ampliude du fondamenal d un signal carré es supérieure (d un faceur 4 ) à celle du signal. La décroissance de l ampliude des différenes harmoniques es «lene», elle varie comme n. On reiendra par ailleurs que les variaions abrupes d un signal son associées à des haues fréquences. Phénomène de Gibbs : les séries de Fourier ronquées présenen sysémaiquemen un dépassemen d'environ 9 % lors d'une somme finie, nommé phénomène de Gibbs. Il es dû à l'absence des haues fréquences dans la somme. Ces haues fréquences son indispensables pour modéliser correcemen les déails fins. Par exemple pour le signal créneau, on l'observe quand on somme les 4 premières harmoniques : phénomène de Gibbs phénomène de Gibbs Dépassemen de Gibbs 2.2. Signal riangulaire symérique Considérons le signal riangulaire symérique e() suivan : e() A - T/2 T/2 - A 6
La somme suivane consiue sa décomposiion en série de Fourier : 8A cos [(2p ) ] 8A cos3 cos5 e ( ) = cos... 2 2 2 p (2p ) 9 25 p = p= p= 2 A noer que l ampliude du fondamenal d un signal carré es inférieure (d un faceur 8 2 ) à celle du signal. La décroissance de l ampliude des différenes harmoniques es plus rapide que pour le signal carré : elle varie comme n 2 : il faudra beaucoup moins d harmoniques pour reconsiuer un signal riangulaire qu un signal carré (puisque les harmoniques d ordres supérieurs auron vie une faible imporance dans la reconsrucion du signal iniial). Reconsrucion du signal riangulaire Comme pour le signal carré, on peu reconsruire le signal iniial en somman progressivemen (p= à N) les composanes de Fourier : ajouer progressivemen des composanes de plus haue fréquence perme de rerouver les déails fins (ie, de haue fréquence). e N= e N= e N=2 e e N=3 e N=5 N= On remarque que la reconsrucion du signal s obien plus rapidemen (pour une valeur de N plus peie) que pour un signal carré. Ceci es dû au fai que l ampliude des harmoniques décroî en /n² (en /n pour un signal carré). On a donc besoin de moins d harmoniques pour reconsruire fidèlemen le signal riangulaire. 3. Applicaions au filrage de signaux périodiques Soi un signal e() carré avec une composane coninue (aussi appelée OFFSET en praique) A. Son specre es représené ci-dessous. La composane coninue se maérialise par l appariion d un pic à fréquence nulle (ou à pulsaion nulle). On envoie ce signal e() dans un filre e on récupère à sa sorie le signal s(). 7
ampliude e() A A pulsaion 3.. Filrage passe-hau idéal à ω c < ω A Specre du signal d enrée ampliude Gain du filre idéal idéal Specre du signal de sorie ampliude Gain du filre idéal idéal pulsaion c e() c Signal s() en sorie de filre s() pulsaion La composane coninue es filrée, le signal es recenré auour de. 8
3.2. Filrage passe-bas idéal à 3ω < ωc < 5ω Specre du signal d enrée ampliude ampliude Specre du signal de sorie A Gain du filre idéal A c pulsaion c pulsaion Signal s() en sorie de filre e() s() A Les déails fins (les variaions abrupes) son perdus après un filrage passe-bas. A à ω < ωc < 3ω Specre du signal d enrée ampliude Gain du filre idéal A Specre du signal de sorie ampliude pulsaion c pulsaion c Signal s() en sorie de filre Ne resen que la composane harmonique à f e le fond coninu (moyenne) à A. On observe donc une sinusoïde avec une OFFSET A. A s() T = 2π ω 9
3.3. Filrage passe-bande Specre du signal d enrée ampliude ampliude Specre du signal de sorie A Gain du filre idéal A c c2 pulsaion c c2 pulsaion Signal s() en sorie de filre Le signal filré ne possède qu une composane. Il s agi donc d un cosinus de fréquence f=ω/2π. T = 2π ω Specre du signal d enrée Specre du signal de sorie A ampliude Gain du filre idéal A ampliude Gain du filre idéal pulsa c c2 pulsa c c2 Signal s() en sorie de filre Le signal filré ne possède qu une composane. Il s agi donc d une sinusoïde de fréquence 3f. T/3
Annexes. Impédance d enrée Pour illusrer les noions d impédances d enrée e de sorie, prenons, un filre passe-bas d ordre : RC série. Pour éablir la foncion de ransfer H de ce filre, nous avons fai l hypohèse que rien n éai branché en aval du filre. Rien n es connecé enre les bornes A e B. L applicaion du diviseur de ension es alors jusifiée. Si mainenan un dipôle (ou même un quadripôle comme un filre) es branché en aval (on appelle cela une charge) de ce filre RC alors, un couran is va s échapper dans ce dipôle de sore que l applicaion du diviseur de ension n es plus valable. Si la résisance R (ou de manière générale l impédance d enrée ZE du quadripôle branché en avale) es rès grande (~MΩ), alors le couran is pourra êre négligé e les calculs fais en circui ouver reseron valables. Impédance de sorie Une fois branchée une «charge» en aval, le filre amon se compore comme une source de ension idéale de fem US =H.e() avec en série une impédance de sorie Zs. On voi bien que si ZS n es pas négligeable, alors la charge avale ne voi la ension US mais US+ZS.i. Les calculs réalisés pour obenir la foncion de ransfer H deviennen alors obsolèes. On reiendra donc que pour pouvoir brancher en cascade plusieurs filres e appliquer H x H2 x x Hn, il fau que les impédances de sorie soien faibles (~5Ω) e les impédances d enrée grandes (~MΩ)
Effe praiques d un filrage passe-bas D un poin de vue plus praique le filrage passe-bas perme d éliminer les haues fréquences correspondan au brui (qui «brouille» le signal) afin de lisser le signal. 2
Développemen en série de Fourier (D.S.F.) de divers signaux - Signal carré symérique e() A T - A 4A sin2 + 4A sin3 sin5 sin7 sin9 e( ) = p = sin... 2 p + 3 5 7 9 p = p = p = p = 2 p = 3 p = 4 2- Signal carré e() A T A 2 A e( ) = + sin + sin3 +... sin2p+ +... 2 3 2p+ 3- Signal riangulaire symérique e() A - T/2 - A 8A cos [(2p ) ] 8A cos3 cos5 e ( ) = cos... 2 2 2 p (2p ) 9 25 p = p= p= 2 3