HPTRE : Géométrie Seconde, 014, L. UNTRE 1. Parallélisme éfinition 1. eux droites et (d ) sont parallèles lorsqu elles n ont aucun point commun ou lorsqu elles sont confondues. n le note // (d ). Lorsque ce n est pas le cas, les deux droites sont sécantes et se coupent en un seul point. Propriété 1. eux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles. 1.1. onstruction Étapes de la construction de la droite parallèle à passant par : 1. hoisir deux points et de.. Écarter le compas de la distance. 3. Reporter au point la distance. 4. Écarter le compas de la distance. 5. Reporter au point la distance. 6. Relier le point et le point. 1.. Théorème de Thalès Théorème. Soient, et trois points non alignés. Soient () et ( ). Si ( ) // ( ) alors = = Réciproquement,si,, et,, sontrangésdanslemêmeordreetl unedeségalités ci-dessus est vérifiée, alors les droite ( ) et ( ) sont parallèles. Exemple 1. ans la figure ci-contre, ( ) // ( ) et = 4 cm, = cm, = 1 cm. En déduire. ans l exemple ci-contre, les triangles et sont isocèles en. émontrer que ( ) et ( ) sont parallèles. 1/9
. ngles éfinition. Un angle est défini par deux demi-droites (ou segments) de même origine. L unité de mesure d un angle est le degré, la mesure d un angle s obtient à l aide d un rapporteur. (on verra plus tard une définition théorique de la mesure d un angle). n utilise souvent la même notation pour l angle et sa mesure.  = 4,45 o.1. ngles et triangles Propriété 3. La somme des mesures des angles d un triangle est de 180 o. éfinition 3. ans un triangle rectangle en, on définit : cos( ) = côté adjacent = hypothénuse sin( ) = tan( ) = = côté opposé hypothénuse = côté opposé côté adjacent = sin(ˆ) cos(ˆ) côté opposé hypothénuse côté adjacent Propriété 4. ans un triangle rectangle en, l angle ˆ est caractérisé de manière unique par son cosinus, son sinus ou sa tangente. n obtient le cosinus (par exemple) à partir de l angle avec la touche cos de la calculatrice. n obtient l angle à partir du cosinus (par exemple) avec la touche cos 1 de la calculatrice. Exemple. Un triangle rectangle en vérifie = 30 o et = 6 cm. =? ˆ.. ngles et cercles Théorème 5. (angleaucentre).soient,, troispointsd un cercle de centre. lors  = Â. (la mesure d un angle au centre est le double de la mesure d un angle inscrit interceptant le même arc). Théorème 6. (angleinscrit).soient,,, troispointsd un cercle. lors  = Â. (deux angles inscrits interceptant le même arc ont même mesure)..3. issectrices éfinition 4. La bissectrice d un angle  est la demidroite qui passe par et partage l angle en deux angles de même mesures. M Propriété 7. Un point M appartient à la bissectrice d un angle si et seulement s il est équidistant des deux demidroites qui définissent l angle. /9
3. Perpendicularité éfinition 5. eux droites et (d ) sont perpendiculaires lorsqu elles forment un angle droit (de 90 o ). n l abrège : (d ). Propriété 8. eux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles. 3.1. Théorème de Pythagore Théorème 9. Soient,, trois points deux à deux distincts. Le triangle est rectangle en si et seulement si = +. Exemple 3. est un carré de côtés de mesure l. Exprimer en fonction de l.......... ans le triangle, = 1,5 cm, = cm et =,5 cm. Montrer que est rectangle en....... 1,5?,5 l? 3.. Médiatrice éfinition 6. La médiatrice d un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement en son milieu. Propriété 10. La médiatrice d un segment est l ensemble des points équidistants (à égale distance) des deux sommets du segment. Exemple 4. insi, pour construire la médiatrice d un segment, on choisit un écartement au compas et on trace un arc de cercles à partir de chaque extrémités du segment. Les points d intersection des arcs de cercle sont équidistants des extrémités, donc appartiennent à la médiatrice. Exemple 5. Pour construire la droite perpendiculaire à une droite passant par un point, on trace un arc de cercle centré en. La médiatrice du segment dont les extrémités sont les points d intersection de l arc de cercle avec est la droite perpendiculaire à passant par. insi, toute construction à l équerre, la règle et au compas est réalisable à la règle et au compas seulement. Éxecuter la construction et l expliquer. 3/9
4. Triangles éfinition 7. Un triangle est défini par trois points deux à deux distincts,,. est la réunion des segments [], [] et []. Un triangle est dit rectangle en  = 90o (le plus grand côté [] est alors appelé hypothénuse) isocèle en = ˆ = Ĉ. équilatéral = =  = ˆ = Ĉ. plat, et sont alignés. triangle rectangle en isocèle en équilatéral Propriété 11. La somme des angles d un triangle est de 180 o. 4.1. roites remarquables H Hauteurs Médianes Médiatrices issectrices éfinition 8. La hauteur issue de d un triangle est la droite passant par et perpendiculaire à (). Le pied de la hauteur issue de est le point H d intersection de la hauteur issue de avec (). ( une hauteur peu sembler en dehors du triangle). Propriété 1. Les hauteurs d un triangle sont concourantes (se coupent en un seul point). Leur point d intersection est appelé l orthocentre du triangle. Soit b la mesure d un côté (base) et h est la distance du sommet opposé au pied de la hauteur issue de ce sommet (hauteur). L aire du triangle est alors : = b h. éfinition 9. La médiane issue de d un triangle est la droite passant par et le milieu du côté opposé []. Propriété 13. Les médianes d un triangle sont concourantes. Leur point d intersection G est appelé centre de gravité du triangle. n a G = 3. Propriété 14. Les médiatrices (définition 6) d un triangle sont concourantes. Leur point d intersection est le centre du cercle circonscrit au triangle. e cercle passe par les trois sommets du triangle. Propriété 15. Les bissectrices(définition 4) d un triangle sont concourantes. Leur point d intersection est le centre du cercle inscrit au triangle (tangent aux côtés du triangle). Propriété 16. Un triangle est rectangle en si et seulement si [] est le diamètre de son cercle circonscrit. Propriété 17. Un triangle est isocèle en si et seulement si deux quelconques des quatre droites remarquables ci-dessus sont confondues. 4/9
5. Quadrilatères éfinition 10. Un quadrilatère est défini par les quatre points,,, dans cet ordre. est la réunion des segments [], [], [] et []. Les diagonales du quadrialtère sont les segments [] et []. Ses côtés opposés sont d une part [] et [], et d autre part [] et []. n dit qu un quadrilatère est un trapèze si et seulement s il a deux côtés opposés parallèles. parallélogramme si et seulement si ses côtés opposés sont deux à deux parallèles. losange si et seulement si tous ses côtés sont égaux. rectangle si et seulement s il a quatre angles droits. carré si et seulement si c est un losange et un rectangle. L l h Quadrilatère Trapèze Parallélogramme Losange Rectangle Propriété 18. (Trapèzes) ans un trapèze on note L et l les longueurs des côtés parallèles et h la distance entre ces deux côtés. L aire du trapèze est alor : = (L+l) h. Propriété 19. (Parallélogrammes). Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leurs milieux. Si l est la longueur d un côté du parallélogramme et h la distance de ce côté à son côté opposé, l aire du parallélogramme est = h l. Propriété 0. (Losanges) Un quadrilatère est un losange si et seulement si c est un parallélogramme avec deux côtés consécutifs de mêmes longueurs. ses diagonales se coupent perpendiculairement en leurs milieux. Propriété 1. (Rectangles). Un quadrilatère est un rectangle si et seulement si c est un parallélogramme avec un angle droit. il a trois angles droits. ses diagonales sont de mêmes longueurs et se coupent en leurs milieux. Si l est la largeur d un rectangle et L sa longueur, l aire du rectangle est = L l. 6. ercles éfinition 11. Le cercle de centre et de rayon r est l ensemble des points M tels que M = r. Un diamètre du cercle est un segment dont les extrémités sont sur le cercle et dont le milieu est le centre du cercle. arré Propriété. Le périmètre d un cercle de rayon r est p = πr. L aire d un disque ( un cercle plein ) de rayon r est = πr. r M 5/9
7. Repérage dans le plan éfinition 1. Un repère est la donnée de trois points non alignés ( :,) du plan. Le point désigne l origine du repère. La droite () est l axe des abscisses. L unité en abscisse est la longueur. La droite () est l axe des ordonnées. L unité en ordonnée est la longueur. Le repère (;,) est dit orthonormé lorsque = et = 90 o. éfinition 13. Tout point M du plan est repréré de manière unique par un couple de coordonnées (x; y). Le point d intersection de la parallèle à () passant par M avec () définit le réel x sur la droite graduée (). Le point d intersection de la parallèle à () passant par M avec () définit le réel y sur la droite graduée (). M y Exemple 6. Placer dans le repère représenté ci-dessus les points (1;), ( 1;0) et (0;4). Quelles sont les coordonnées de M?... x Propriété 3. ans le plan muni d un repère (;,), soient (x ;y ) et (x ;y ). lors le milieu M du segment [] a pour coordonnées x M = x +x et y M = y +y Si le repère est orthonormé, la distance est donnée par = (x x ) +(y y ) dée. La formule des distances se démontre par le théorème de Pythagore, et la formule du milieu vient du théorème de milieux (cas particulier du théorème de Thalès) : (x x ) + (y y ) x x y y M x x +x x Exemple 7. éterminer les coordonnées du milieu K de [M] et L de [].... Exemple 8. alculer les distances suivantes : M =... M =... 6/9
8. roites du plan n se place dans un repère (,,). 8.1. Equation de droites Théorème 4. Soit c un réel. Tout droite parallèle à l axe des ordonnées a pour équation x = c, L ensemble des points M(x;y) tels que x = c est une droite parallèle à l axe des ordonnées. c Théorème 5. Soient m et p des réels. Tout droite non parallèle à l axe des ordonnées a une équation de la forme y = mx+p, L ensemble des points M(x;y) tels que y = mx+p est une droite non parallèle à l axe des ordonnées. Remarque 1. Le réel m s appelle le coefficient directeur. Le réel p est l ordonnée à l origine. Exemple 9. Pour chacune des équations suivantes, déterminer s il existe, le coefficient directeur et l ordonnée à l origine de la droite : 5x+y =... x 3y = 1... x+3y = 7 5x+3y... Méthode 1. Pour tracer une droite d équation y = mx + p, on choisit deux abscisses distinctes x x et on calcule les ordonnées correpondantes des points de la droite : y = mx +p et y = mx +p. n place les deux points et dans le repère et on trace la droite (). Exemple 10. Tracer la droite d équation y = 1 x+. x y Remarque. Une équation de droite peut toujours s écrire sous la forme ax+by +c = 0, avec (a;b) (0;0) : c est ce qu on appelle l équation cartésienne de la droite. 7/9
8.. oefficient directeur éfinition 14. Soient (x ;y ) et (x ;y ) deux points d une droite, le coefficient directeur se calcule grâce à la formule : m = y y x x p () : y = mx + p 1 m Méthode. vec des points à coordonnées entières, le coefficient directeur peut être lu graphiquement, en effet lorsqu on avance d une unité, si le coefficient directeur est positif, on monte de m, s il est négatif, on descend de m. Exemple 11. éterminer le coefficient directeur des droites et.... Exemple 1. éterminer le coefficient directeur de la droite passant par deux points : (; 1) et ( 1;5)...... (5;3) et (5; )...... Méthode 3. Pour lire l équation rédute d une droite tracée dans un repère, on choisit deux points et sur la droite, de préférence avec des coordonnées simples, puis on utilise la formule de le définition 14 pour déterminer le coefficient directeur m. Si l ordonnée à l origine p n est pas clairement lisible, on injecte les coordonnées de l un des deux points dans l équation de la droite. Exemple 13. éterminer l équation de..... 8/9
8.3. roites parallèles, droites sécantes Propriété 6. eux droites et d équations respectives y = mx+p et y = m x+p sont : parallèles si et seulement si m = m, sécantes si et seulement si m m. Exemple 14. éterminer une équation de la droite parallèle à la droite d équation y = x 3 passant pas le point (1;5).... Propriété 7. Trois points, et sont alignés si et seulement si les droites () et () sont paralléles. Exemple 15. Les points, ( 4;) et (; 1) sont-ils alignés?... 8.4. ntersection de deux droites { y = mx + p éfinition 15. Résoudre le système linéaire (S) : y = m x + p c est trouver tous lescouplesderéels(x;y)appeléssolutions du système quivérifientàlafoislesdeuxéquations. Théorème 8. Les équations y = mx+p et y = m x+p définissent deux droites et. Résoudre le système (S) détermine les coordonnées des points d intersection de et. Si m m, les droites ne sont pas parallèles et le système admet une solution unique, Si m = m les droites sont parallèles (strictement ou non) et le système admet aucune solution ou une infinité de solutions. Méthode 4. n compare m et m. Si m = m, les droites sont paralléles ou confondues. Sinon on résoud l équation d inconnue x : mx+p = m x+p, puis on injecte la valeur de x obtenue dans l une des deux équations pour déterminer y. Exemple 16. éterminer l intersection des droites suivantes : : y = x+1 et : y = x 8...... : y = x+ et : y = x+5............ L. UNTRE Seconde, HPTRE : Géométrie 9/9