Continuité - Limites Asymptotes à une cre Continuité - Théorème des vleurs intermédiires Notion de continuité Grphiquement, on peut reconnître une fonction continue sur un intervlle I pr le fit que le trcé de l cre représenttive de f pr x I peut se fire sns lever le cryon de l feuille. Les fonctions polynômes, les fonctions rtionnelles, l fonction rcine crrée, l fonction logrithme népérien, l fonction exponentielle sont continues sur tt intervlle sur lequel elles sont définies. Convention Il est convenu que, dns un tleu de vrition de fonction, les flèches oliques indiquent que l fonction est continue et strictement monotone. Théorème des vleurs intermédiires Soit f une fonction définie et continue sur un intervlle I. Soient I et I Pr tt réel k compris entre f() et f(), il existe u moins un réel c compris entre et tel que f(c) = k. Ce que l'on peut ussi exprimer ss l forme : L'éqution f(x) = k u moins une solution c comprise entre et. Si de plus l fonction f est strictement monotone sur l'intervlle I, lors le réel c est unique. L continuité de l fonction f est une hypothèse essentielle du théorème. Le théorème des vleurs intermédiires prr être étendu à un intervlle non orné. fonction continue fonction continue strictement croissnte http://xmths.free.fr/ TES - Fiche de crs : Continuité - Limites / 4 Opértions sur les limites Limite d'une somme Si f pr limite l l l Si g pr limite l' Alors f + g pr limite Limite d'un produit l + l' Si f pr limite l l ps de résultt générl Si g pr limite l' Alors f x g pr limite Limite d'un inverse l x l' Si g pr limite l' Alors g pr limite l' Limite d'un quotient suivnt les signes pr vleurs inférieures Si f pr limite l l l Si g pr limite l' Alors f g pr limite l l' pr vleurs sup. pr vleurs inf. suivnt les signes suivnt les signes pr vleurs supérieures ps de résultt générl pr vleurs sup. pr vleurs inf. http://xmths.free.fr/ TES - Fiche de crs : Continuité - Limites / 4 ps de résultt générl suivnt les signes l' suivnt les signes ps de résultt générl
Les formes indéterminées On dit qu'il y forme indéterminée lorsqu'on ne peut ps donner de résultt générl à prtir des tleux précédents. Les formes indéterminées sont de différents types et on peut dns eucp de cs trver l limite en effectunt les trnsformtions suivntes. - : Fctoristion du terme "dominnt". (terme de plus hut degré pr un polynôme) : Fctoristion des termes "dominnts" puis simplifiction. : Fctoristion d'un terme tendnt vers, puis simplifiction. x : peut en générl se rmener à l'une des formes. Lorsque des rcines crrées interviennent et que les méthodes ci-dessus ne donnent ps de résultt, on prr multiplier pr l quntité "conjuguée". (Les nottions - ; sont des révitions à ne ps utiliser dns un devoir rédigé) Limites et inéglités I est un intervlle dépendnt de l'endroit où l limite est cherchée : ] ; [ pr une limite en, ]x - h ; x + h[ pr une limite en x etc Limites pr comprison Si, pr tt x I, f(x) ³ g(x) et si lim g(x) = lors lim f(x) =. Si, pr tt x I, f(x) g(x) et si lim g(x) = lors lim f(x) =. Théorème des gendrmes Si pr tt x I g(x) f(x) h(x) et si lim g(x) = lim h(x) = l, lors lim f(x) = l. Limite d'une composée de fonctions, et l désignent soit des réels, soit, soit. Si lim u(x) = et lim f(x) = l, lors lim f(u(x)) = l x X x Limites otenues pr l dérivée Si f est une fonction dérivle en x lors : lim f(x + h) - f(x ) = f'(x h ) encore h Limites usuelles lim f(x) - f(x ) = f'(x x x ). x - x L limite d'une fonction polynôme en en est l limite de son terme de plus hut degré. L limite d'une fonction rtionnelle en en est l limite du quotient des termes de plus hut degré du numérteur et du dénominteur. On trver dns les fiches "logrithme népérien" et "exponentielle" les limites correspondnt à ces fonctions. Qund x tend vers, l fonction exponentielle l'emporte sur ttes les fonctions puissnces et les fonctions puissnces l'emportent sur l fonction logrithme népérien Asymptotes à une cre (C) étnt l cre représenttive de l fonction f Asymptote prllèle à (Oy) (verticle) (C) pr symptote l droite d'éqution x = si : lim f(x) = lim f(x) = x x Asymptote prllèle à (Ox) (horizontle) (C) pr symptote l droite d'éqution y = si : lim f(x) = f(x) = x Asymptote olique, symptote cre (C) pr symptote l droite d'éqution y = x + si : lim f(x) (x + ) = lim f(x) -(x + ) = x x (C) pr symptote l cre représenttive de g si : lim f(x) - g(x) = x lim f(x) - g(x) = x http://xmths.free.fr/ TES - Fiche de crs : Continuité - Limites 3 / 4 http://xmths.free.fr/ TES - Fiche de crs : Continuité - Limites 4 / 4
Dérivée Dérivées usuelles Nomre dérivé - Fonction dérivée - Tngente f est dérivle en x lorsque lim f(x + h) - f(x ) h h Cette limite est le nomre dérivé en x, on le note f'(x ). est un nomre réel. On lors f'(x ) = lim f(x + h) - f(x ) = lim f(x) - f(x ) h h x x x - x Si une fonction f est dérivle en tt point x d'un intervlle I, on dit que f est dérivle sur I, et l'ppliction qui à tt x de I ssocie le nomre dérivé de f u point x est ppelée fonction dérivée de f. L fonction dérivée de f est notée f'. L cre représenttive de f pr tngente en M (x ; f(x )) l droite T de coefficient directeur f'(x ). T pr éqution : y = f'(x ) (x - x ) + f (x ) Opértions sur les dérivées Soient u et v deux fonctions dérivles sur un intervlle I. u + v est dérivle sur I et on (u + v)' = u' + v' u v est dérivle sur I et on (u v)' = u'v + u v' Si IR, u est dérivle sur I et on ( u)' = u' Si u ne s'nnule ps sur I, lors u est dérivle et ' = - u ' u u Si v ne s'nnule ps sur I, lors u v est dérivle et u ' = u'v - u v' v v Si u est une fonction dérivle sur un intervlle I, si f est une fonction dérivle sur un intervlle J, et si pr tt x I, u(x) J, lors f(u) est dérivle sur I et on ( f(u) )' = u ' x f '(u) Appliction ux vritions d'une fonction Soit f une fonction dérivle sur un intervlle I, Si f' est nulle sur I, lors f est constnte sur I. Si f' est (strictement) positive sur I, lors f est (strictement) croissnte sur I. Si f' est (strictement) négtive sur I, lors f est (strictement) décroissnte sur I. http://xmths.free.fr/ TES - Fiche de crs : Dérivée / Fonction Dérivée f(x) = k f'(x) = f(x) = x f'(x) = f(x) = x + f(x) = x f'(x) = f'(x) = x f(x) = x 3 f'(x) = 3x f(x) = x f(x) = x f'(x) = - x f'(x) = x f(x) = x n, n Z f'(x) = nx n- f(x) = e x f(x) = ln x f'(x) = e x f'(x) = x Si u est une fonction strictement positive et dérivle sur un intervlle I, lors u est dérivle sur I et on : ( u )' = u ' u Si u est une fonction dérivle sur un intervlle I, lors pr tt n ZZ, u n est dérivle en tt point où elle est définie et on : (u n )' = n u'u n- Si u est une fonction strictement positive et dérivle sur un intervlle I, lors ln u est dérivle sur I et on : (ln u)' = u ' u Si u est une fonction dérivle sur un intervlle I, lors e u est dérivle sur I et on : (e u )' = u' e u http://xmths.free.fr/ TES - Fiche de crs : Dérivée /
Définition Primitives On ppelle primitive d'une fonction f sur un intervlle I, tte fonction F définie et dérivle sur I, dont l dérivée est f. Si F est une primitive de f sur I, lors l'ensemle des primitives de f sur I est l'ensemle des fonctions G de l forme G = F + k, vec k IR. (c'est-à-dire que deux primitives d'une même fonction sont égles à une constnte près) Soit f une fonction ynt des primitives sur un intervlle I, soit x I et y IR. Il existe une et une seule primitive F de f telle que F(x ) = y. Primitives des fonctions usuelles Fonction Primitives Intervlle f(x) = F(x) = k k IR IR f(x) = F(x) = x + k k IR IR f(x) = x F(x) = x + k k IR IR f(x) = x F(x) = 3 x3 + k k IR IR f(x) = x F(x) = - x + k k IR ] ; [ ] ; [ f(x) = x F(x) = x + k k IR ] ; [ f(x) = x n n ZZ -{-} F(x) = n + xn+ + k k IR ]; [ ]; [ (n < ) IR (n ³ ) Propriétés Si F est une primitive de f sur I et si G est une primitive de g sur I, lors F + G est une primitive de f + g sur I. Si F est une primitive de f sur I et si est un réel, lors F est une primitive de f sur I. ATTENTION : Un produit de primitives n'est ps une primitive du produit. Un quotient de primitives n'est ps une primitive du quotient. Sur un intervlle ien choisi : Une fonction de l forme u' u n vec n ZZ -{-} pr primitives les fonctions de l forme n + un+ + k vec k IR. Une fonction de l forme u ' u de l forme u + k vec k IR. pr primitives les fonctions Une fonction de l forme u' pr primitives les fonctions u de l forme ln u + k vec k IR. Une fonction de l forme u' e u pr primitives les fonctions de l forme e u + k vec k IR. Une fonction de l forme u' x f'(u) pr primitives les fonctions de l forme f(u) + k vec k IR. f(x) = x F(x) = ln x + k k IR ] ; [ f(x) = e x F(x) = e x + k k IR IR http://xmths.free.fr/ TES - Fiche de crs : Primitives / http://xmths.free.fr/ TES - Fiche de crs : Primitives /
Définition - Propriétés Logrithme Népérien L fonction qui à x ssocie des primitives sur l'intervlle ]; [. x Prmi ces primitives, celle qui s'nnule en est ppelée logrithme népérien. On l note ln : ]; [ IR x ln x L fonction ln est définie, continue et dérivle sur ]; [, et on ( ln x )' = x. ln = ; e l'unique réel tel que ln e = L fonction ln est strictement croissnte sur ] ; [ : si < lors ln < ln x > ln x > et < x < ln x < Limites - Vritions lim ln x = ; x lim ln x = ; x x > lim ln x x x = ; et pr n IN * Tleu de vritions lim x ln x = ; x x > lim ln x x x n = x ln Cre représenttive lim x ln ( + x) = x On dit que le nomre réel e tel que ln e = est l se du logrithme népérien. On e,7 Si u est une fonction strictement positive et dérivle sur un intervlle I, lors l fonction composée ln (u) est dérivle sur I et on : ( ln (u))' = u' u Tte fonction de l forme u' u lequel u ne s'nnule ps. Si u est strictement positive, u' u pr primitive ln u sur tt intervlle dns pr primitive ln(u). y = e x y = ln x Reltion fonctionnelle et étnt deux réels strictement positifs, on : ln ( x ) = ln + ln ln( n ) = n ln pr tt n ZZ ln = - ln ln = ln - ln ln = ln Si,,..., n sont des réels strictement positifs, on : ln ( x x x n ) = ln + ln +... + ln n Pr tt x IR : ln (e x ) = x http://xmths.free.fr/ TES - Fiche de crs : Logrithme népérien / http://xmths.free.fr/ TES - Fiche de crs : Logrithme népérien / e L cre pr symptote verticle l'xe (Oy). L tngente à l cre u point d'scisse pr coefficient directeur, c'est l droite d'éqution y = x - L cre de l fonction ln est symétrique de l cre de l fonction exponentielle pr rpport à l droite d'éqution y = x
Définition - Propriétés Fonction exponentielle Pr tt réel x, on ppelle exponentielle de x et on note exp(x) e x l'unique réel de ] ; [ dont le logrithme népérien est x. On ppelle fonction exponentielle l fonction exp : IR ] ; [ x exp(x) = e x L fonction exponentielle est l fonction réciproque de l fonction ln e x = y x = ln y x IR y ]; [ Pr tt réel x, on : ln (e x ) = x Pr tt réel strictement positif x, on : e ln x = x Limites - Vritions lim e x = ; lim e x = ; lim e x x x x x = ; lim x e x = ; lim e x - = x x x et pr n IN * lim e x x x n= ; lim x x n e -x = ; lim x n e x =. x Tleu de vritions x e x Cre représenttive L fonction exponentielle est définie, continue et dérivle sur IR et (e x )' = e x e = e = e Pr tt réel x, on e x > L fonction exponentielle est strictement croissnte sur IR : si < lors e < e x > e x > et x < < e x < Si u est une fonction dérivle sur un intervlle I, l fonction composée exp (u) est dérivle sur I et on : ( exp (u))' = u' x exp (u) encore (e u )' = u' x e u Tte fonction de l forme u' x e u pr primitive e u Reltion fonctionnelle L cre pr symptote horizontle l'xe (Ox) qund x tend vers. L tngente à l cre u point d'scisse pr coefficient directeur, c'est l droite d'éqution y = x + L cre de l fonction exponentielle est symétrique de l cre de l fonction ln pr rpport à l droite d'éqution y = x e y = e x y = ln x et étnt deux réels, on : e + = e x e ; e n = (e ) n pr tt n ZZ e - = e ; e - = e e http://xmths.free.fr/ TES - Fiche de crs : Fonction exponentielle / http://xmths.free.fr/ TES - Fiche de crs : Fonction exponentielle /
Intégrles Définition - Interpréttion grphique Soit f une fonction continue et positive y sur un intervlle [ ; ] et (C) s cre (C) dns un repère orthogonl (O; i, j ). f(t) dt est le réel mesurnt l'ire, en f(t) dt unités d'ire, de l prtie du pln limitée pr l cre (C), l'xe Ox et les droites O d'équtions x = et x =, c'est-à-dire l'ensemle des points M(x ; y) unité d'ire tels que x y f(x). L'unité d'ire est le produit de l'unité sur l'xe (Ox) et de l'unité sur l'xe (Oy). x Propriétés f et g sont des fonctions ynt des primitives sur les intervlles considérés. f(t) dt = f(t) dt = - f(t) dt f(t) dt + c f(t) dt = c f(t) dt (Reltion de Chsles) (f + g)(t) dt = f(t) dt + g(t) dt Si k IR ( kf )(t) dt = k f(t) dt Si et si pr tt x de [ ; ] on f(x) ³, lors f(x) dx ³ Si et si pr tt x de [ ; ] on f(x) g(x), lors f(x) dx g(x) dx Soient f et g deux fonctions continues sur un intervlle [ ; ] ( < ) telles que, pr tt x [ ; ] : g(x) f(x). L'ire de l prtie du pln limitée pr les cres de f et de g et les droites d'équtions x = et x =, c'est-à-dire l'ensemle des points M(x ; y) vérifint x est donnée en g(x) y f(x) unités d'ires pr ( f(x) - g(x) ) dx (C f ) [f(x)-g(x)] dx (C g ) Vleur moyenne On ppelle vleur moyenne de f sur [ ; ], le réel - f(t) dt. f(t) dt = F() - F() où F est une primitive de f sur [; ]. On note ussi f(t) dt = F(t) http://xmths.free.fr/ TES - Fiche de crs : Intégrles / http://xmths.free.fr/ TES - Fiche de crs : Intégrles /
Proilités élémentires Proilités L'ensemle des éventulités (résultts possiles) d'une expérience létoire est ppelé univers. Il est svent noté Ω. Un événement est une prtie de Ω. est l'événement impossile. Ω est l'événement certin. A B est l'événement «A B». A B est l'événement «A et B». Si A B =, on dit que A et B sont incomptiles ( disjoints). On note A l'événement contrire de A. On définit une loi de proilité p sur Ω = {ω ; ω ;...; ω n } en ssocint à chque éventulité ω i un nomre réel p i tel que : pr tt i { ; ; ; n} p i et p + p + + p n = p i est l proilité de l'éventulité ω i. On note p i = p(ω i ). Pr tt événement A = { ; ; ; k }, l proilité de A est : p(a) = p( ) + p( ) + + p( k ). Pr tt événement A, p(a) [; ] A étnt le contrire de A, p( A ) = - p(a) Si A et B sont quelconques, p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) Si A et B sont disjoints, p(a B) = p(a) + p(b) Si A est contenu dns B, p(a) p(b) Si A, A,..., A k sont des événements deux à deux disjoints, p(a A... A k ) = p(a ) + p(a ) + + p(a k ) Cs prticulier Si ttes les éventulités ont l même proilité (éventulités équiproles), l proilité de chcune d'elles est lors p = crd(ω). crd(ω) représente le nomre d'éléments de Ω, c'est-à-dire le nomre d'éventulités. Dns ce cs, pr tt événement A, on : p(a) = crd(a) nomre de cs fvorles = crd(ω) nomre de cs possiles Proilités conditionnelles A et B étnt deux événements, on note p B (A), l proilité de l'événement A schnt que l'événement B est rélisé. On : p(a B) = p B (A) x p(b) et si B est de proilité non nulle p B (A) = p(a B) p(b) Deux événements A et B sont indépendnts lorsque p(a B) = p(a) x p(b) (c'est-à-dire lorsque p B (A) = p(a) p A (B) = p(b) ) Si E, E,..., E n est une prtition de Ω (c'est-à-dire un ensemle d'événements deux à deux disjoints dont l réunion est Ω) Pr tt événement A, on p(a) = p(a E ) + p(a E ) +... + p(a E n ) ce qui s'écrit ussi p(a) = p E (A) x p(e ) + p E (A) x p(e ) +... + p En (A) x p(e n ) (lorsque les événements E, E,..., E n sont de proilité non nulle) Arres pondérés Règles de construction L somme des proilités des rnches issues d'un même nœud est. L proilité de l'événement correspondnt à un trjet est le produit des proilités indiquées sur les différentes rnches composnt ce trjet. En dehors des rnches du premier niveu, les proilités indiquées sont des proilités conditionnelles. Exemple On jette une pièce. Si on otient pile (P), on tire une le dns une urne contennt 3 les dont lnche (B) et noires (N). Si on otient fce (F), on tire une le dns une urne contennt 5 les dont 3 lnches (B) et noires (N). On peut représenter cette expérience pr l'rre pondéré ci-contre : P F 3 3 3 5 5 B N B N p(p,b) = x 3 p(p,n) = x 3 p(f,b) = x 3 5 p(f,n) = x 5 http://xmths.free.fr/ TES - Fiche de crs : Proilités / 3 http://xmths.free.fr/ TES - Fiche de crs : Proilités / 3
Espérnce et vrince d'une loi numérique On considère une expérience létoire donnnt un résultt numérique et l loi de proilité ssociée, donnée pr le tleu : x x x 3 x n p p p 3 p n On ppelle espérnce mthémtique de l loi de proilité le nomre : i = n E = xi x p i = x x p + x x p +... + x n x p n i = On ppelle vrince de l loi de proilité le nomre : i = n V = (xi - E) x p i = (x - E) x p + (x - E) x p +... + (x n - E) x p n i = L'écrt-type de l loi de proilité est : σ = V Loi inomile - Schém de Bernlli Une épreuve de Bernlli est une épreuve pvnt donner deux résultts : le résultt A vec l proilité p et le résultt A vec l proilité - p. Un schém de Bernlli, est l répétition n fois, de mnière indépendnte, d'une épreuve de Bernlli. L loi de proilité du nomre de résultts A otenus, est ppelée loi inomile de prmètres n et p. L proilité d'otenir lors exctement k fois le résultt A (et donc n - k fois le résultt A) peut être donnée pr un rre de proilités. Exemple vec n = p A p -p A A p(a,a) = p x p p(a, A ) = p x (-p) XMths Fiches de crs Terminle ES -p A p A p( A,A) = (-p) x p -p A p( A, A ) = (-p) x (-p) Dns ce cs l proilité d'otenir exctement une fois le résultt A est : p = p(a, A ) + p( A,A) = p x ( - p) + ( - p) x p = p( - p) http://xmths.free.fr/ TES - Fiche de crs : Proilités 3 / 3 http://xmths.free.fr/ TES - Fiche de crs
Définition - Propriétés Puissnces réelles Les puissnces réelles d'un nomre strictement positif sont définies pr : x = e x ln pr tt nomre réel x. Pr ts réels strictement positifs et, et pr ts réels x et y, on : ln x = x ln ; x = x+y = x. y ; -x = x ; x-y = x y x.y = ( x ) y ; (.) x = x. x ; x = x On ppelle fonction exponentielle de se ( > ), l fonction : IR IR x x = e x ln L'étude de l fonction exponentielle de se, se déduir fcilement de l'étude de l fonction x e x et du signe de ln. x Rcine n ième Pr tt n IN * n, est le réel positif qui, élevé à l puissnce n, donne. n n On dit que est l rcine n ième de. On note ussi = n. On en prticulier : x = x et 3 x = x 3. L moyenne géométrique de n nomres réels strictement positifs,,..., n n est le nomre : = ( x x... x n ) = n x x... x n Croissnces comprées Si n IN * on : lim ln x = ; lim e x x x n x x n= ; lim xn e -x = x e x x Si < <, on ln < l fonction x x est décroissnte lim x = et lim x = x x L cre pr symptote l'xe (Ox) qund x tend vers. Si >, on ln > l fonction x x est croissnte lim x = et lim x = x x L cre pr symptote l'xe (Ox) qund x tend vers < < = e > = Lorsque x tend vers, les fonctions x x n croissent infiniment plus vite que l fonction ln. (x n l'emporte sur ln x) l fonction exponentielle croît infiniment plus vite les fonctions x x n. (e x l'emporte sur x n ) x x = x ln x L fonction x e x correspond à l fonction exponentielle de se = e. Si n IN * on : lim x n e x = x http://xmths.free.fr/ TES - Fiche de crs : Puissnces réelles / http://xmths.free.fr/ TES - Fiche de crs : Puissnces réelles /
Sttistiques à deux vriles Sttistiques Dns le pln rpporté à un repère orthogonl, on ppelle nuge de points ssocié à une série sttistique à deux vriles (x ; y ) ; (x ; y ) ;... ; (x n ; y n ), l'ensemle des points : M (x ; y ) ; M (x ; y ) ;... ; M n (x n ; y n ). Le point moyen de cette série est le point G de coordonnées ( x ; y ) où x et y sont les moyennes respectives des séries x ; x ;... x n et y ; y ;... y n. Lorsque le nuge de points un spect rectiligne, on peut procéder à un justement ffine, c'est-à-dire que l'on ssimile le nuge à une droite ssez proche de ts ses points. Un justement ffine permettr de fire des interpoltions des extrpoltions. L droite d'justement d otenue pr l méthode des moindres crrés est une des droites les plus svent utilisées. Elle psse pr le point moyen G et pr coefficient directeur : = (x - x)(y - y) +... + (x n - x)(y n - y) (x - x)(x - x) +... + (x n - x)(x n - x) i = c'est-à-dire = n (x i - x)(y i - y) i = (x i - x) Cette droite pr éqution : y = (x - x) + y C'est l droite qui minimise l somme des crrés des distnces des points du nuge ux points de même scisse sur l droite. L'éqution de l droite d des moindres crrés peut être otenue en utilisnt les fonctions sttistiques d'une clcultrice. Elle est lors donnée ss l forme y = x + L droite d est ussi ppelée droite de régression de y en x. Lorsque le nuge de points n' ps un spect suffismment rectiligne, on procèder prfois à une trnsformtion des données (en utilisnt une fonction connue : fonction crré rcine crrée, fonction logrithme népérien, fonction exponentielle...) pr pvoir ensuite procéder à un justement ffine. http://xmths.free.fr/ TES - Fiche de crs : Sttistiques / M M M M M n M n Adéqution à une loi équiréprtie Le prolème se pose prfois de svoir si des données sttistiques sont réprties de fçon uniforme et si les vritions que l'on oserve pr rpport à un modèle sont cceptles. Exemple : Lorsqu'on jette un grnd nomre de fois un dé dont les six fces sont numérotées, les nomres d'pprition des différentes fces ne sont ps en générl égux et on peut se demnder si l vrition oservée d'une fce à l'utre est une vrition "normle" (ppelée fluctution d'échntillonnge) "normle" (ce qui prrit signifier que le dé n'est ps équiliré). Pr cel on fer une comprison de l'écrt entre les résultts otenus et le modèle donné pr l théorie, vec l'écrt entre des résultts simulés (vec une clcultrice un ordinteur) et le même modèle. Supposons que les résultts otenus sur un grnd nomre de tirges sont donnés dns le tleu suivnt : Fce i 3 4 5 6 Fréquence d'pprition f i,66,4,65,866,534,484 L théorie pr un dé équiliré ssocie à chque fce une fréquence de 6. On mesure l'écrt entre les résultts otenus et le modèle donné pr l théorie en clculnt : d i = 6 os = f i = i - 6 c'est-à-dire d os = f - 6 + f - 6 + f 3-6 + f 4-6 + f 5-6 + f 6-6 où f, f,..., f 6 sont les fréquences données dns le tleu. On otient d os,3 En simulnt un grnd nomre de séries de tirges et en clculnt pr chcune des séries le nomre d correspondnt, on otient une série sttistique pr lquelle le 9 ème décile est,3. (C'est-à-dire que 9% des vleurs de d sont inférieures égles à,3) Schnt que d os >,3, on déclre que le dé n'est ps équiliré ( que l série n'est ps équiréprtie) u risque de %. (Le 9ème décile correspondnt à 9 % des données le risque d'erreur est de %) Si on vit otenu d os <,3 on urit déclré le dé équiliré. Remrque : Si on utilisit le 3 ème qurtile de l série des d simulés, on déclrerit un dé équiliré non équiliré u risque de 5%. (Le 3ème qurtile correspondnt à 75 % des données le risque d'erreur est de 5%) http://xmths.free.fr/ TES - Fiche de crs : Sttistiques /
Suites Suites rithmétiques - suites géométriques Définition - monotonie Une suite (u n ) de nomres réels peut être définie : pr l donnée de son terme générl u n en fonction de n. Exemple : l suite (u n ) définie pr u n = 4 x (,6) n + 5 pr l donnée de son premier terme et pr une reltion (ppelée reltion de récurrence) donnnt u n+ en fonction de u n pr tt entier n. Exemple : l suite (u n ) définie pr Suites monotones u = et u n+ = 4 u n + 3 pr tt n IN On dit que l suite (u n ) est croissnte si : pr tt n, u n+ ³ u n On dit que l suite (u n ) est décroissnte si : pr tt n, u n+ u n On dit que l suite (u n ) est sttionnire ( constnte) si : pr tt n, u n+ = u n (On peut de même définir une suite strictement croissnte strictement décroissnte) On dit qu'une suite est monotone lorsqu'elle est croissnte lorsqu'elle est décroissnte. Si l suite (u n ) est croissnte et si n ³ p, lors u n ³ u p Si l suite (u n ) est décroissnte et si n ³ p, lors u n u p http://xmths.free.fr/ TES - Fiche de crs : Suites / Suite rithmétique On dit qu'une suite (u n ) n³n est une suite rithmétique de rison r lorsque : pr tt entier nturel n ³ n, u n+ = u n + r Soit (u n ) n³n une suite rithmétique de rison r. Pr tt n ³ n et tt p ³ n, on u n = u p + (n - p) r en prticulier : u n = u + n r ; u n = u + (n - ) r Sens de vrition : Si r =, l suite (u n ) est sttionnire. Si r ³, l suite (u n ) est croissnte. Si r, l suite (u n ) est décroissnte. Si le premier terme de l suite est, l somme des n premiers termes est : n(n - ) S = n + r Suite géométrique On dit qu'une suite (u n ) n³n est une suite géométrique de rison q lorsque : pr tt entier nturel n ³ n, u n+ = u n x q Soit (u n ) n³n une suite géométrique de rison q >. Pr tt n ³ n et tt p ³ n, on u n = u p x q (n-p) en prticulier : u n = u x q n ; u n = u x q n- Sens de vrition : Pr une suite à termes positifs : Si < q <, l suite (u n ) est décroissnte. Si q =, l suite (u n ) est sttionnire. Si q >, l suite (u n ) est croissnte. Si le premier terme est et si q #, l somme des n premiers termes est : S = - qn - q http://xmths.free.fr/ TES - Fiche de crs : Suites /