Tros méthodes pour ue améorato des cacus thermques das es mutcouches avec sources teres das e cadre de approche quadrpoare Jea-Caude KAPEZ, Eme DHU NEA Départemet ptque Théorque et Appquée - VA BA 7 33 Sao de Provece (auteur correspodat : rapez@oera.r) ésumé - décrt tros varates de a méthode des quadrpôes D pour es mutcouches avec sources de chaeur teres ocasées ou dstrbuées seo u pro aaytquemet tégrabe. Le cacu de a température et du ux se trouve débarrassé des stabtés umérques courammet recotrées orsque es temps caractérstques de duso des couches sot très dérets. U exempe est our qu cocere e cacu de mpact thermque sur a réte d u tratemet de a corée par aser emto-secode (s-lasik). Nomecature a dusvté, m 2.s - b eusvté, J.m -2.K -.s -/2 c capacté thermque voumque, J.K -.m -3 G desté vo. de pussace (trl), W.m -3.s épasseu m p varabe de Lapace, s - T température, K admttace z abscsse, m Z mpédace θ température (trl), K.s φ desté de ux (trl), W.m -2.s φ source de ux dscrète (trl), W.m -2.s Idces b rétrogress (bacward) progress (orward), ava arrère (ro rear) ta Abbrévatos trl trasormée de Lapace. Itroducto La méthode des quadrpôes est ue méthode très ecace pour obter ue souto aaytque au probème de duso thermque e régme statoare ou pérodque das es matéraux stratés []. Déveoppée taemet pour e trasert D [2], ee repose sur a reato matrcee a de part et d'autre d'u mur homogèe, es vecteurs costtués des trasormées de Lapace (régme statoare) ou de ourer (régme pérodque) de a température et de a desté de ux de coducto. Les codtos de raccord e température et e ux aux teraces d'u mutcouche permettet esute de ree par produt matrce, es vecteurs etrée et sorte de ce matérau hétérogèe. L'expotato des codtos aux mtes du mutcouche permet aemet d'étabr 'expresso aaytque de a température et de a desté de ux aux deux bores. Des extesos aux cas mutdmesoes cartése, cydrque et sphérque ot esute été proposées (vor 'ouvrage gééra [] et a revue bbographque das [3]). La présece de sources de chaeur teres a été cosdérée das [4]. Des probèmes umérques peuvet apparaître pour des cacus aux temps courts reatvemet au temps caractérstque de duso 2 a e pus éevé des déretes couches. Cec est partcuèremet péasat orsque ces temps de duso sot très dérets es us des autres. Ue souto cosste à actorser es octos hyperboques par
es octos expoetees d argumet post [5]. Cec 'est cepedat pas susat orsqu'o cherche à évauer a température au se du mutcouche et qu'o appque es reatos de traserts quadrpoares cassques. I a doc été proposé das [5] ue approche matrcee gobae pour résoudre ces probèmes umérques. Cette méthode est éamos réservée aux cas de sources teres à dstrbuto uorme par couche. Nous proposos tros autres approches qu 'ot pas cette mtato; a seue restrcto, pour obter ue souto aaytque, est que e pro des sources dstrbuées sot aaytquemet tégrabe. La premère méthode est basée sur e prcpe de superposto et sur u tratemet dérecé des sources teres seo eur posto. La secode est ue exteso de a méthode de résouto basée sur a matrce d'admttaces du mutcouche. Tradtoeemet cosdérée sas sources teres, ous 'avos modée pour ter compte de a présece de sources teres dscrètes ou dstrbuées. La trosème est ue varate basée cette os-c sur a matrce d'mpédaces du mutcouche. A ttre d'ustrato, ous cosdéros e cas du tratemet de a corée par aser emto-secode et présetos es résutats de cacu de a température e dérets pots de 'oe, dot es couches de a réte, après 'mpuso aser. 2. éthode quadrpoare appquée aux mutcouches Les vecteurs costtués de a température et de a desté de ux de coducto exprmés das 'espace de ourer ou das 'espace de Lapace, e etrée et e sorte d'u mur homogèe, sot reés par a reato quadrpoare [], [2]: θ θ = ; A ( ) ( ) B cosh sh b p () C D b p sh p est a varabe de Lapace (cas du régme trastore) et péétrato thermque" de a couche : ( ) ( ) cosh est a "proodeur de p (pour 'étude du régme pérodque à a = réquece, sut de rempacer p par j ω où j = et ω est a pusato 2 π ). La matrce est a matrce quadrpoare assocée à a couche ; so détermat vaut. G, et de sources dscrètes φ ocasées aux teraces, a reato etre es vecteurs température/ux [ θ φ ] t et [ θ ] t tes que E présece de sources dstrbuées ( p z) a φ décrts sur a g. deve e cosdérat a codto de cotuté du ux: φ avec e vecteur "source" ( p z) = φ φ : θ θ θ b = = S (2) b S reat à a reato de trasert rétrogress (b-bacward): ( b p ) G ( p, u) sh( u ) b Θ du b S (3) b Φ G ( p, u) cosh( u ) du G, est a trasormée de Lapace du pro de a desté de pussace voumque dsspée das a couche ; das e cas d'ue répartto de température tae o uorme T, ( z), ee cut égaemet e terme c T, ( z) et red as compte de a "reaxato"
thermque coséquete. La reato de trasert progress at terver u vecteur "source" S (-orward): θ θ = S (4) avec ( b p ) G ( p, u) sh ( u) ( ) Θ du b = = S S (5) Φ G ( p, u) cosh( ( u) ) du φ φ φ φ φ φ φ φ φ θ θ θ gure : utcouche avec sources de chaeur dstrbuées et sources ocasées L'approche cassque cosste esute, à partr du vecteur ava [ θ ] t φ, à appquer a reato de trasert rétrogress (2) autat de os qu' y a de couches pour aboutr à a reato géérae at es vecteurs aux extrémtés du mutcouche: où θ θ b =,, S, (6) =, m = K m s m <,, =, et, m = I s > m a supposé ue cotuté de a température à chaque terace et chos d'aecter ue couche suppémetare (et doc u quadrpôe) à chaque résstace d'terace évetuee; 'expresso du quadrpôe et des vecteurs sources assocés peut être trouvées das [], [2] et [3]. Les codtos aux mtes du type φ = θ et φ = θ oursset es reatos de ermeture écessares [3]. As, es admttaces e ace avat et arrère, et se vor attrbuer des vaeurs costates h et 'evroemet de coecets h et φ, peuvet h, (échages thermques éares avec h ). peut auss, e eur aectat es octos b p et b p, smuer e cas où e mutcouche est jot à des meux sem-s d'eusvté b e ace ava respectvemet b e ace arrère. Par émato de [ θ ] t φ das (6) o accède à 'expresso de a température et du ux e ace avat: θ = Λ, S, exp = = [ ] exp = (7)
avec q Λ = C, A, D, B, et cosdérat que = m b S = S = quad m > q. Das (7) o a expoté e at que et o a actorsé es octos hyperboques par es octos expoetees d argumet post [5]: A B exp ( ) = exp( ) (8) C D b L'expresso aaytque des termes sources réduts : S et S a été déveoppée das [3] G p, u uormes ou expoetees. pour des dstrbutos ( ) L'térêt de 'éq. (7), as que so pedat pour a température et e ux e ace arrère, est que es termes expoetes présets sot tous d'argumets égats, ce qu assure u bo comportemet umérque. Cepeda orsqu o "trasère", par produt quadrpoare, e vecteur température/ux deté à ue des rotères exteres vers ue posto quecoque à téreur du mutcouche, des probèmes umérques peuvet de ouveau apparaître pour des cacus aux temps courts. Le remède décrt à 'éq. (8) 'est aors pas susat. Nous proposos das a sute tros approches qu oursset des résutats umérquemet stabes. 3. éthode quadrpoare basée sur a posto reatve des sources teres Supposos que 'o veue cacuer a température ou e ux de coducto à 'terace j du mutcouche (pour pus de géératé, cette terace peut être ue terace ctve à 'téreur d'ue couche homogèe). Partat de 'équato (7), par appcatos successves de a reato de trasert progressve eq. (4), de à j, o trouverat ue reato das aquee es expoetees d'argumet post ouveemet trodutes (va es mutpcatos par, =, j, c. eq. (4)) e s'émeraet pas de aço optmae. U exame révèe que cette émato est eectve pour es termes de éq. (7) assocés aux sources stuées à drote de 'terace j mas pas pour es autres. Nous précosos doc d'appquer e prcpe de superposto et de comptabser séparémet es cotrbutos des sources stuées de part et d'autre de 'terace j. As, pour chacue des sources à drote de j, o cacuera d'abord sa cotrbuto au vecteur e ace avat [ θ ] t φ, pus o a "trasère" jusqu'à 'terace j, j à 'ade d'ue smpe mutpcato par. A 'verse, pour es sources stuées à gauche de j o cacuera d'abord eur cotrbuto au vecteur ava [ θ ] t φ pus o eectue u trasert rétrogress jusqu'à 'terace j va ue mutpcato par. E procédat as, es expoetees d'argumet post trodutes ors de a mutpcato par respectvemet par j, j,, j,, se trouvet compètemet émées (vor es détas das [3]). I e reste pus qu'à sommer es deux groupes de cotrbutos. trouve as à 'terace j : θ j = j Λ [ ] = j, j [ ] = Θ Φ, exp = j b Θ exp b Φ j =, j j, (9)
De même, 'mpact de toutes es sources dscrètes φ, teres et exteres, s'exprme par: θ j = j Λ = j j = ( A B ), φ exp ( D B ),,, = j φ exp j =, j j, () Das ces deux expressos, aut compredre : p,q = I s q p > q, et K = s p > q. Cette dérece de tratemet des sources teres seo eur posto reatvemet à 'edrot où 'o cherche à cacuer a température (ou e ux) aboutt à des expressos, eq. (9) et (), desquees toutes es sources d'stabté umérque ot dsparu. 4. éthode de a matrce des admttaces avec sources teres Par ue mapuato éémetare de a reato de trasert rétrogress (éq. (2)), o accède à ue reato exprmat e vecteur des ux de part et d'autre d'ue couche e octo du vecteur des températures, va a matrce des admttaces : avec: φ m= p θ Φ, = () Φ ou θ ( ) sh( ) ( ) ( ) tah r, t, D tah = = b p (2) t, r, B A sh L'équvaece éectrque des reatos das 'eq. () se tradut par u schéma quadrpoare e Π (c. g. 2). Les admttaces des tros braches sot: = = et 3, = t,. Des sources de courat (ux) addtoees d'testé a présece de sources thermques teres dstrbuées: Φ, = Φ ou φ φ φ G ( p, u) sh( ( u) ) sh( ) G ( p, u) sh( u ) sh( ) Φ, 3, Φ out, φ φ φ, 2, Φ, et du = B du Φ, 3, Φ ou tret eur orge de Θ b Θ Φ ou = B Θ b Θ φ φ φ (3) θ, 2, θ, 2, θ Layer - Layer gure 2 : utcouche avec u réseau d'admttaces e Π pour chaque couche e réérece à a ormuato quadrpoare e admttace à éq. ()
E exprmat a cotuté du ux de coducto aux teraces du mutcouche pus es codtos aux mtes, o aboutt à a reato matrcee suvate asat terver ue d'admttaces : matrce trdagoae ( ) ( ) r t, =, 2 2 θ = Φ (4) θ est e vecteur des températures coues : = [ θ L θ L θ ] t θ et Φ est e vecteur des sources de courat redat compte des sources de chaeur dscrètes et dstrbuées: [( Φ φ ) L ( Φ Φ φ ) L ( Φ )] t Φ = φ., ou, ou oyeat certaes précautos (c. [3]), dot 'utsato d'ue orme actorsée pour es termes proveat des sources dstrbuées, tee que suggérée à drote de 'éq. (3), e cacu des températures au travers de a résouto du système éare à 'éq. (4) e présete aucu probème d'stabté umérque. Ue os ces températures cacuées, es ux aux teraces peuvet être déduts par appcato des reatos décrtes à 'éq. (). La souto proposée c est doc ue géérasato de a méthode de a matrce des admttaces [6] au cas des mutcouches avec sources thermques teres dstrbuées. 5. éthode de a matrce des mpédaces avec sources teres Ue ateratve à 'approche précédete cosste à utser a reato matrcee exprmat e vecteur des températures de part et d'autre d'ue couche e octo du vecteur des ux. La matrce est cette os-c ue matrce d mpédaces. E poursuvat ue démarche smare o aboutt à ue reato matrcee : Z φ = Θ asat terver ue matrce trdagoae d'mpédaces Z ; es coues sot c es ux de coducto ( ) ( ) [ φ L φ L ] t φ et Θ est e vecteur des sources de teso redat compte des = φ sources de chaeur dscrètes et dstrbuées. Le ecteur téressé pourra se reporter à a présetato détaée das [3]. Les mêmes avatages de stabté umérque sot observés pour cette trosème approche. Ces deux derères varates ot avatage d être très smpes à mettre e œuvre, mas ees écesstet des temps de cacu égèremet pus ogs que a méthode du 3 (u système éare est à résoudre pour chaque vaeur de a varabe de Lapace). L'avatage de a premère méthode se reorce évdemmet orsqu'o est téressé à coaître a température ou e ux e u seu pot du mutcouche. Das es tros cas, es sources teres répartes e sot pas écessaremet uormes par couche. I est smpemet requs que e produt des pros de pussace absorbée par a octo expoetee sot tégrabe aaytquemet. 6. Appcato A ttre d'ustrato, ous aos préseter queques résutats reats à ue expérece LASIK (Laser-Asssted I-Stu Keratomeuss - chrurge de 'oe avec remodeage par aser (5)
de a courbure coréee). s'téresse pus spécquemet à 'opérato prémare qu cosste à découpe par mpusos aser emto-secode, ue e amee de a corée. Le asceau aser est ocasé à ue très abe proodeur das a corée, se propage esute jusqu à a réte. La questo qu se pose aors est s so absorpto par a réte, rche e pgmets, 'y dut pas ue éévato de température trop mportate [7], [8]. Pour es proprétés thermques des déretes couches de 'oe o a cosdéré es doées pubées das [9]. Les doées du aser correspodet à u des cas étudés das [8] : (aser s à 3 m, cadecé à 9,55 Hz, asceau régé pour déposer ue desté de pussace moyee de W/cm 2 ). suppose que absorpto du rayoemet sut a o de Lambert-Beer das chaque couche, seo es vaeurs de coecet d absorpto décrtes das [9]. Le pro de desté d éerge absorbée au vosage de a réte est rapporté sur a g. 3. 2 Desté d'éerge (J/m 3 ) - 2 4 3 5-2 22.8 22.9 23 23. 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 Posto (mm) gure 3 : Desté d'éerge absorbée au vosage de a réte ors d'ue mpuso aser s. L absorpto est maxmae das deux couches pgmetares : EP de 4m d épasseur et a CP de 2m. s'téressera pus partcuèremet à a température attete à 'terace humeur vtreuse-réte (pot sur a g. 3), au cetre de épthéum pgmetare EP (2), au cetre de a choroïde pgmetare CP (3), à 'terace choroïde o pgmetare-scérotque (4) et à 'terace scérotque-tssu adpeux (5). Ue mpuso uque, de durée 33s, peut être assmée à u Drac. La reaxato thermque coséquete est décrte sur a g. 4 pour es cq pots caractérstques précédets (ous avos utsé a méthode de de Hoog pour cacuer a trasormée de Lapace verse de éévato de température). Les cacus, eectués sur pus de sept décades, se sot déroués sas stabté umérque pour es tros méthodes précosées c-dessus (o peut oter que e rapport etre es temps caractérstques de duso thermque extrêmes est c très mporta supéreur à 7 ). Pour évauer mpact thermque du aser s sur puseurs secodes, audrat covouer es réposes de a g. 4 par e tra d mpusos correspodat. Cepeda vu que e déa etre deux mpusos, -7 s, est ettemet éreur aux temps de reaxato observés sur a g. 4, o peut assmer ce tra d mpusos à u écheo de pussace costate correspodat à a pussace moyee du aser. La g. 5 décrt éévato de température aux cq pots caractérstques pour ue appcato cotue du aser pedat 2s. La température est maxmae das a CP sur presque toute a durée de opérato. Avec hypothèse d u trasert D reteue c, so éévato s approche d ue o e t. La température aux autres pots ted à s e approche e vaeur reatve, à mesure que e tratemet aser progresse. Au bout de 2s, éévato de température das es déretes couches de a réte et de a choroïde attet etre 26 et 28 C. Ces vaeurs sot cosdérabes, ce qu vet corroborer es résutats obteus ors des essas ex-vvo eectués avec es mêmes codtos de ux das [8] où d mportates ésos rétees ot été observées.
-5 3 Température ( C) -6-7 -8 2 4-6 -4-2 Temps (s) gure 4 : Eévato de température au vosage de a réte après ue mpuso aser 5 Température ( C) - -2-3 3 2 4-4 -3-2 - Temps (s) gure 5 : Eévato de température au cours d u tra d mpusos aser à 9.55Hz 5 7. Cocuso Les tros méthodes présetées permettet e cacu de a température das es mutcouches avec sources teres sur ue échee de temps arbtrare. La premère est pus drecte et doc égèremet pus rapde ; es deux autres passet par a résouto d'u système éare qu permet d obter a température et/ou e ux smutaémet à toutes es teraces, pus, évetueeme e ue sére de pots quecoques à téreur du mutcouche. Ces techques mérteraet mateat d être étedues aux cas 2D et 3D. ééreces [] D. ae S. Adré, J.-C. Batsae, A. Degova, C. oye, Therma Quadrupoes: Sovg the Heat Equato through Itegra Trasorms. Joh Wey ad Sos, New-or (2). [2] H.S. Carsaw, J.C. Jaege Coducto o heat sods, xord Uv. Press (959). [3] J.-C. Krapez, E. Dohou, Therma quadrupoe approaches apped to mprove heat traser computatos mutayered materas wth tera heat sources, It. J. Therm. Sc ( prt) [4] A. Degova, Coducto das u mur mutcouche avec sources: exteso de a oto de quadrpôe, It. J. o Heat ad ass Trase 3 (988) 553-557. [5] J. Pahes, C. Pradere, J.-L. Battaga, J. Touta, A. Kusa, A.W. Aregba, J.-C. Batsae, Therma quadrupoe method wth tera heat sources, It. J. o Therma Sceces, 53 (22) 49-55. [6] J.-. Trgeo,. Soue P. Lagootte, educto o aaytca therma modes ad ther deveopmet the orm o etwors, Eur. Phys. J. AP. 2 (22) 5-9. [7] H. Su, N. Hosszuaus, E. ua, T. Juhasz, Smuato o the temperature crease huma cadaver reta durg drect umato by 5 Hz emtosecod aser puses, J. Bom. ptcs, 6(), (2), 8. [8]. Sade. e U. Zabaryo,. ue.. Tetz, Comparso o reta damage threshods smuatg the emtosecod aser stu Keratomeuss (s-lasik) process wth two aser systems the CW- ad s-regme, Laser Physcs, 22(4), (22), 85-82. [9] J. Wag, C. Srame,. Pauus, D. Lavsy, G. Schuee, D. Aderso, D. Dewey, D. Paae cuar saety mts or 3 m emtosecod aser cataract surgery, Proc. SPIE, (23), vo. 8567, 85678.