Annales de mathématiques

Année Promotion de re année I.U.T. Saint-Omer Dunkerque Département G.T.E. Annales de mathématiques Denis Bitouzé

Avant-propos Ces annales sont un recueil des énoncés et des corrigés de certains des contrôles des années précédentes. Au chapitre I page 4, on trouvera les énoncés, éventuellement quelque peu modifiés, des épreuves. Pour la plupart d entre elles, les documents et calculatrices personnels étaient interdits mais, lors de certaines, les calculatrices du département avaient été mises à la disposition des étudiants. Jusqu à l année universitaire 4 5, le temps imparti pour chaque épreuve était de h. À partir de 5 6, le temps imparti pour les re et e épreuves de l année universitaire était de h ; les e et 4 e épreuves de l année universitaire était de h. Regroupés dans le chapitre II page 75, les corrigés indiquent de manière très précise la ou une des méthodes à employer et un eemple de rédaction dont il est fortement conseillé de s inspirer. Ces annales constituent un ecellent moyen de jauger ce qui peut vous être demandé en contrôle et de vous eercer à composer en temps ité. Vous êtes donc invités à les travailler, avant la veille de la première épreuve!

Table des matières I Énoncés des épreuves 4 Année 995 996........... 4 avril 996........... 4 9 mai 996............ 5 9 juin 996........... 6 Année 996 997........... 8 9 janvier 997.......... 8 mars 997........... 8 4 juin 997............ Année 997 998........... 4 novembre 997........ 6 février 998.......... juin 998........... 4 Année 998 999........... 5 6 novembre 998........ 5 6 février 999.......... 6 juin 999........... 7 Année 999........... 9 décembre 999......... 9 er mars........... juin........... Année........... 9 décembre........ 4 mai............ 4 5 juin........... 5 Année........... 6 décembre........ 6 8 mars........... 7 7 juin........... 9 Année........... 8 décembre........ 9 avril........... juin........... Année 4........... 4 6 décembre........ 4 7 avril 4........... 5 8 juin 4............ 7 Année 4 5........... 8 5 janvier 5.......... 8 8 avril 5........... 9 mai 5........... 4 5 juin 5........... 4 Année 5 6........... 4 novembre 5........ 4 6 janvier 6.......... 4 février 6.......... 44 7 mai 6........... 45 juin 6........... 46 Année 6 7........... 47 er décembre 6........ 47 5 janvier 7.......... 48 janvier 7.......... 49 avril 7........... 5 juin 7........... 5 juin 7........... 5 Année 7 8........... 5 décembre 7........ 5 5 janvier 8.......... 5 8 janvier 8.......... 54 5 avril 8........... 55 juin 8........... 55 Année 8 9........... 57 4 novembre 8........ 57 9 janvier 9.......... 57 janvier 9.......... 59 mai 9........... 59 5 juin 9........... 6 7 juin 9........... 6 Année 9........... 6 6 novembre 9........ 6 8 janvier.......... 6 5 mars........... 65 4 juin............ 65

Table des matières Table des matières Année........... 67 décembre........ 67 9 janvier.......... 67 6 mai............ 68 7 juin........... 69 Année........... 7 5 novembre........ 7 janvier.......... 7 avril........... 7 juin........... 7 II Corrigés des épreuves 75 Année 995 996........... 75 avril 996........... 75 9 mai 996............ 8 9 juin 996........... 8 Année 996 997........... 8 9 janvier 997.......... 8 mars 997........... 8 4 juin 997............ 86 Année 997 998........... 9 4 novembre 997........ 9 6 février 998.......... 94 juin 998........... 99 Année 998 999........... 99 6 novembre 998........ 99 6 février 999.......... 4 juin 999........... 6 Année 999........... 6 décembre 999......... 6 er mars........... juin........... 5 Année........... 5 9 décembre........ 5 4 mai............ 5 juin........... 7 Année........... 7 décembre........ 7 8 mars........... 7 juin........... 8 Année........... 8 8 décembre........ 8 9 avril........... 4 juin........... 48 Année 4........... 48 6 décembre........ 48 7 avril 4........... 5 8 juin 4............ 56 Année 4 5........... 56 5 janvier 5.......... 56 8 avril 5........... 6 mai 5........... 66 5 juin 5........... 7 Année 5 6........... 7 novembre 5........ 7 6 janvier 6.......... 7 février 6.......... 77 7 mai 6........... 77 juin 6........... 8 Année 6 7........... 8 er décembre 6........ 8 5 janvier 7.......... 8 janvier 7.......... 87 avril 7........... 9 juin 7........... 9 juin 7........... 9 Année 7 8........... 96 décembre 7........ 96 5 janvier 8.......... 97 8 janvier 8.......... 5 avril 8........... 4 juin 8........... 7 Année 8 9........... 8 4 novembre 8........ 8 9 janvier 9.......... janvier 9.......... 5 mai 9........... 7 5 juin 9........... 7 juin 9........... Année 9........... 4 6 novembre 9........ 4 8 janvier.......... 8 5 mars........... 4 juin............ 6 Année........... 9 décembre........ 9 9 janvier.......... 4 6 mai............ 46 7 juin........... 5 Année........... 5 5 novembre........ 5 janvier.......... 56 avril........... 6 juin........... 6 Inde 69

Chapitre I Énoncés des épreuves Année 995 996 avril 996 Eercice (sur 4). Calculer le développement ité de cos à l ordre en.. Étudier localement au point d abscisse la courbe C d équation cos y. Eercice (sur ). Rappeler la définition de Arccos.. Rappeler l epression de cos a en fonction de cosa.. Prouver que cosparccos 5 6 q 8 7 et en déduire que Arccos 5 6 Arccos 8 7. Eercice (sur 5). Démontrer que, en, tanh h h oph q.. (a) Rappeler le développement ité de lnp tq à l ordre en. (b) Calculer le développement ité de lnp tanhq lnp tanhq à l ordre en.. On rappelle que tanpa bq tana tanb tanatanb. Déduire des questions précédentes le développement ité de lnptanq à l ordre en π 4. Eercice 4 (sur 4). (a) Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre. (b) Prouver que si c alors p cq. (c) En appliquant cette formule, établir que pour tout lnp q.. Pour quelles valeurs de cette inégalité permet-elle d affirmer que est une valeur approchée de lnp q à près. Donner une valeur approchée de lnp,q à près. 4

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 995 996 Eercice 5 (sur 4). Étude préinaire. (a) Pour t, on pose vptq t 4 t. (b) i. Prouver que l ensemble de définition D de la fonction v est r, 4s. ii. Déterminer le maimum de v sur D. i. Pourquoi v est-elle intégrable sur D ii. Calculer l intégrale de v sur D au moyen d une intégration par parties. Définition I... iii. Soit f une fonction intégrable sur un intervalle ra, bs. On appelle valeur moyenne de f sur ra,bs la quantité µ définie par µ b a b a f ptq dt. Déduire de la question précédente la valeur moyenne V de v sur D.. Étude concrète. Un motard réalise une epérience de vitesse sur une piste rectiligne d etrémités A et B. Sa vitesse instantanée, eprimée en km/h, est donnée en fonction du temps par vptq at T t où a est un paramètre réel strictement positif ; t est eprimé en heure ; et T sont les instants respectivement de départ en A et d arrivée en B. (a) Calculer vpq et vpt q puis déterminer l instant t M de vitesse maimale ainsi que la vitesse maimale v M vpt M q. (b) On désigne par la distance parcourue depuis A et on rappelle qu alors la fonction est une primitive de la fonction v. Calculer pt q et en déduire la vitesse moyenne V du motard sur le parcours AB. (c) Prouver qu il eiste un instant au cours de l epérience auquel la vitesse instantanée du motard égale sa vitesse moyenne. (d) Application numérique. Sachant que A et B sont distants de km et que la vitesse maimale atteinte est km/h, déterminer T en secondes puis V en km/h. On donne 5 6 et 8 9. 9 mai 996 Eercice (sur 4) Soit C la courbe représentative de la fonction f définie par f pq a.. Calculer le développement ité généralisé de f pq à l ordre en 8.. (a) Déterminer les asymptotes D et D à C respectivement en 8 et 8. (b) Préciser les positions relatives Eercice (sur 5) i. de C et D au voisinage de 8 ii. de C et D au voisinage de 8. Soit α un réel de s π, π r. (a) Rappeler la relation fondamentale de la trigonométrie circulaire et en déduire que tan α cos α. (b) Rappeler l epression de sin α en fonction de sinα et cosα et en déduire que sinα tanα cos α. 5

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 995 996 (c) Déduire de ce qui précède que sinα. On pose t tanp{q. tanα tan α. (a) Rappeler l epression de la dérivée de la fonction tan et en déduire que dt p t qd. (b) À l aide de la question (c), eprimer sin en fonction de t.. On pose π I d sin. (a) En utilisant le changement de variable t tanp{q, établir que I dt p tq. (b) Quel changement de variable permet d affirmer que I (c) Calculer I. Eercice (sur 4) du u. (a) Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre. (b) Prouver que si c alors p cq 5{. (c) En appliquant la formule de Taylor- Lagrange, établir que pour tout 8 8 6.. Pour quelles valeurs de cette inégalité permet-elle d affirmer que 8 est une valeur approchée de à près. Donner une valeur approchée de, à près. Eercice 4 (sur 4) Soit f la fonction définie sur R par b f pq lnp q.. Pourquoi la fonction f n est-elle dérivable que sur R. La fonction f admet-elle un développement ité en d ordre supérieur ou égal à. Déterminer les développements ités de f d ordre à droite et à gauche de. Eercice 5 (sur ). Calculer la dérivée de Arctanp q.. On pose f pq Arctan Arctanp{q. Déduire de la question () l epression de f (a) sur R (b) sur R. 9 juin 996 Eercice (sur ). Déterminer la nature de l intégrale d.. (a) Déterminer un équivalent, au voisinage de, de. 4 6

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 995 996 (b) En déduire la nature de l intégrale 4 d. Eercice (sur ) Soit f la fonction définie sur R par f p,yq # y y si p,yq p,q si p,yq p,q.. Prouver que f est partiellement dérivable mais discontinue au point p,q.. (a) Déterminer la différentielle df p, yq de f en tout point p, yq p, q. (b) Calculer l image du couple p,4q par df p, q. Eercice (sur 4) On pose Ω R R et on considère la forme différentielle ω définie sur Ω par ωp,yq pyd dyq. y. Prouver que la forme différentielle ω n est pas eacte.. Démontrer que la forme différentielle y ω est eacte sur Ω et déterminer une fonction dont elle est, sur cet ensemble, la différentielle. Définition I... La fonction p,yq ÞÝÑ y est appelée facteur intégrant de la forme différentielle ω. Eercice 4 (sur 5) On considère l intégrale I définie par 8 dt I t 4 t.. Prouver que l intégrale I est convergente.. On pose, pour X, X dt IpXq t 4 t. En utilisant le changement de variable t tanu pour u dans s,π{r, établir que IpXq 4 Arctan X. En déduire la valeur de I. π 4 cosu sin u du. Eercice 5 (sur 5) On désigne par f la fonction définie sur R par b f p,yq y.. Déterminer puis représenter graphiquement l ensemble de définition D de f.. Déterminer l ensemble des points critiques de f.. Nota. Dans cette question, on ne cherchera pas à étudier le signe du discriminant fy f f. Soit y un réel et M p,q un point critique de f. Préciser la nature de M en étudiant, pour p,yq dans D, le signe de f p,yqf p,q. Qu en est-il des autres points critiques de f 4. (a) Soit p,yq un point de D. Calculer df p,yq. (b) Soit p,yq p, q p, yq p.,4. q f p,yq f p,y yq f p,yq. Sachant que 6,45, estimer f p,yq à l aide de df p,yq. 7

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 996 997 Année 996 997 9 janvier 997 Eercice (sur 4) Calculer. Ñ 8,. Ñπ{ tan p sinq. Eercice (sur 6) On considère la fonction f définie sur R par f pq ln.. Le but de cette question est de démontrer le résultat, admis en cours, suivant : pour tout α dans Q, ln Ñ 8 α. (a) Sans calculer les ites au bornes de l ensemble de définition, dresser le tableau des variations de la fonction f. (b) Sachant que ln et en utilisant la question précédente, établir que pour tout, ln. (c) En déduire ln Ñ 8. (d) Soit α dans Q. En posant X α, prouver que ln Ñ 8 α.. (a) Calculer les ites de f en et en 8. (b) Donner l allure de la courbe représentative de f. Eercice (sur ). Rappeler, avec ses hypothèses, le théorème des accroissements finis.. On note T la température (en C) à l instant t (en h). Quand la température diminue, dt {dt représente la vitesse de refroidissement. Le record de variation de température en l espace de h a été atteint en 96 lorsque la température passa de 6 C à 48 C. Prouver que la vitesse de refroidissement a, à un moment donné, dépassé 4 C h pendant cette période. Eercice 4 (sur 8). (a) Rappeler la définition de Arcsin. (b) Prouver que, pour tout r, s, sinparcsin q. dans (c) Démontrer que, pour tout dans r,s, cosparcsinq. (d) Déduire de ce qui précède que, pour tout dans r,s, a sinparcsinq. (I.). (a) Que vaut Ñ Arcsin (b) Que vaut Ñ sin{ En déduire, à l aide de la relation (I.), Ñ Arcsin. Eercice 5 (Hors barème) En revenant à la définition de la ite, démontrer que Ñ 4 4. mars 997 Eercice (sur 7,5). Calculer l intégrale t e t dt. 8

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 996 997. Calculer, éventuellement au moyen d un changement de variable, l intégrale e e d plnq.. À l aide d une intégration par parties, calculer l intégrale Arctan d. 4. (a) Soit α et θ deu réels. i. Après avoir rappelé l epression de cosα en fonction de sinα, eprimer sin α en fonction de cosα. ii. Rappeler l epression de sin θ en fonction de sinθ et cosθ. En déduire, à l aide de la question précédente, que sin θ cos θ cos4θ. 8 (b) Éventuellement au moyen du changement de variable θ Arcsin, calculer Eercice (sur 4) a d.. Après avoir résolu l équation sans second membre associée, résoudre l équation différentielle y y.. Résoudre l équation différentielle y y 4y. Eercice (sur,5) Effectuer la division selon les puissances croissantes, à l ordre, du polynôme X par le polynôme X. Eercice 4 (sur 4,5). Prouver que, pour tout h et tout θ dans s,r, p θhq 4.. Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre.. (a) En appliquant la formule de Taylor- Lagrange à la fonction f : ÞÑ, déduire de la question précédente que, pour tout h, h h h h h h. (b) Pour quelles valeurs de h l inégalité précédente permet-elle d affirmer que h h est une valeur approchée de h à près (c) Donner une valeur approchée de,9 à près. Eercice 5 (sur,5). (a) Soit a un réel strictement positif. Rappeler l ensemble des réels α pour lesquels converge l intégrale 8 d α. a (b) Soit a et b deu réels tels que a b. Rappeler l ensemble des réels α pour lesquels converge l intégrale b a d pb q α.. Déterminer la nature de l intégrale 8 4 d. 9

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 996 997. (Hors barème) Déterminer la nature de l intégrale 8 4 d. 4 juin 997 Eercice (sur 6). Rappeler, avec ses conditions d application, la formule donnant la dérivée de la fonction réciproque f d une fonction numérique de variable réelle f.. (a) Rappeler rapidement les principales propriétés et la représentation graphique de la fonction cosinus hyperbolique ch. (b) Rappeler la définition de la fonction Argch et eprimer sa dérivée.. Calculer les intégrales (a) (b) 4 Eercice (sur 5) dt t, d 9 4.. Après avoir résolu l équation sans second membre associée, résoudre l équation différentielle p qy y. (E ). Après avoir epliqué pourquoi l équation sans second membre y y y (E ) admet comme solution générale y e pc C q, C,C P R, résoudre l équation différentielle y y y 7 8 5 (E ) en en cherchant une solution particulière sous la forme y α β γ. Eercice (sur,5). Soit k un entier naturel non nul. À l aide d une intégration par parties, prouver que plntq k dt t plntq k k plntq k dt.. Calculer plntq dt. Eercice 4 (sur,5). Prouver que si c alors p cq 7{.. Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre.. (a) En appliquant la formule de Taylor- Lagrange à la fonction h f : h ÞÑ h, déduire de la question précédente que, pour tout h, h 8 5h 6 h h h 8. (b) Pour quelles valeurs de h cette inégalité permet-elle d affirmer que h h 8 est une valeur approchée de à près h

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 997 998 (c) Prouver que,{ p,q {8 est une valeur approchée de, à près. Eercice 5 (sur ). Déterminer le développement ité en à l ordre 4 de la fonction t ÞÝÑ sint cost.. Déterminer le développement ité en à l ordre de la fonction t ÞÝÑ et lnp tq.. (Hors barème) On note C la courbe représentant la fonction f définie sur R par f pq ln. (a) Prouver que le développement ité à l ordre en e de f est f pq e peq e peq o p eq. (b) Déduire de la question précédente l équation de la tangente T à C au point d abscisse e ainsi que la position relative de C et T. Année 997 998 4 novembre 997 Eercice (sur 5). Calculer et 4 Ñ4 lnp q ln. Ñ 8. Étudier la continuité, par prolongement éventuel, de la fonction f définie par f pq.. Développer pabqpa ab b q et en déduire Ñ. Eercice (sur ) Calculer, par eemple en utilisant les équivalents, et Ñ pe qtan sin ln Ñ sinp q. Eercice (sur,5) On rappelle que le nombre complee j est défini par j i où i. Déterminer le module et un argument puis placer dans le plan complee l image. de j,. de j. Eercice 4 (sur,5) Soit y un réel de s π, π r.. Rappeler la relation fondamentale de la trigonométrie circulaire et en déduire que tan y cos y.. Rappeler l epression de sin y en fonction de siny et cosy puis en déduire que siny tany cos y.. Déduire de ce qui précède que siny tany tan y. (I.)

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 997 998 Eercice 5 (sur ) Soit f la fonction définie sur R par f pq Arcsin. On notera D f l ensemble de définition et C f la courbe représentative de f.. Le but de cette question est de déterminer D f. On pourra s aider des questions suivantes. (a) i. Prouver que, pour tout réel,. ii. Prouver que, pour tout réel,. (b) Rappeler l ensemble de définition de la fonction Arcsin et déduire D f des questions précédentes.. (a) Tracer, rapidement, l allure de la courbe représentative de la fonction Arcsin. (b) Rappeler la parité de la fonction Arcsin puis étudier celle de f.. Calculer f pq et 8f. 4. (a) i. Résoudre rapidement, à l aide des calculs effectués à la question ((a)i), l équation. ii. Rappeler l ensemble sur lequel la fonction Arcsin est dérivable et en déduire le sous-ensemble de R sur lequel f est dérivable. (b) On pose upq Calculer u pq.. (c) Prouver que f pq # si, si. 5. Dans toute cette question, on pose y Arctan. (a) Rappeler la définition de y. (b) Prouver que i. si alors y π, ii. si alors π y π. (c) Eprimer en fonction de y puis, à l aide de l égalité (I.), f pq en fonction de y. (d) (Hors barème) i. Déduire, à l aide de la définition de la fonction Arcsin et des questions (5c) et (5(b)i), que si alors f pq Arctan (I.) ii. Déduire, à l aide de la définition de la fonction Arcsin et des questions (5c) et (5(b)ii), en utilisant la relation liant sinpπ yq et siny, que si alors f pq π Arctan. (I.4) 6. À l aide des égalités (I.) et(i.4), tracer l allure de C f. 6 février 998 Eercice (sur 4,5). À l aide d intégrations par parties, déterminer { ρe ρ Arcsin dρ et d.. Au moyen de changements de variables, calculer e d 9 et e d plnq 4.

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 997 998 Eercice (sur,5) Après avoir résolu l équation sans second membre associée, résoudre par eemple à l aide de la méthode de la variation de la constante l équation différentielle y y e. (I.5) Eercice (sur,5) Après avoir résolu l équation sans second membre y 4y y (I.6) résoudre l équation différentielle y 4y y 6 9. (I.7) (c) On pose et α a,547. 4 4 i. Prouver que α est une valeur approchée de ch à 9.8 près et préciser s il s agit d une valeur approchée par ecès ou par défaut. ii. En quoi l inégalité α a 8 permet-elle d affirmer que a est une valeur approchée de ch à 7 près Eercice 5 (sur,5) Eercice 4 (sur 7). On rappelle que, pour tout réel, ch e e et sh e e. Rappeler la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique puis, rapidement, les principales propriétés, les dérivées première et seconde et la représentation graphique des fonctions ch et sh.. Soit a un réel, n un entier naturel non nul et f une fonction numérique de variable réelle. Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange pour f en a à l ordre n.. (a) Sachant que sh, prouver que pour tout tel que et pour tout θ dans s,r, shθ. (b) En appliquant la formule de Taylor- Lagrange à la fonction ch en à l ordre 5 et en utilisant la question précédente, prouver que pour tout dans r, s, ch 4 5 4.. Rappeler l ensemble de définition de la fonction Argch. Rappeler à quoi équivaut y Argch.. On rappelle le résultat suivant. Proposition. Soit f une fonction bijective d un sousensemble A de R sur un sous-ensemble B de R. Soit un élément de B tel que f soit dérivable et de dérivée non nulle en f pq. Alors f est dérivable en et f pq f f pq. f f pq (a) Rappeler la dérivée de la fonction Argch (on pourra le cas échéant la retrouver à l aide de la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique et de la propostion précédente). (b) En déduire les intégrales dt t et 4 d 9 4 (on pourra poser t ).

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.. Année 997 998. Le but de cette question est de prouver que @, Argch ln a. (a) Vérifier que la relation précédente est vraie pour. (b) Dans toute la suite, on suppose. Prouver que # y Argch (c) si et seulement si # pe y q e y y. i. On considère. Prouver que l ensemble des solutions de l équation X X, d inconnue X, est l ensemble! juin 998 Eercice (sur 4,5) a a, ). ii. (Hors barème) Prouver que l ensemble des solutions de l inéquation # est l ensemble vide. En déduire que si et y alors l égalité e y n a jamais lieu et conclure. X X. Dans cette question, a désigne un paramètre strictement positif. (a) Prouver que X X e ax e a d a e a d. (b) Au moyen d un changement de variable, en déduire que e a d X e X a ax e u du a a (I.8) et préciser la nature de l intégrale 8 e a d puis son epression en fonction de ³ 8 e u du.. Les molécules de gaz enfermées dans un récipient à la température T (en degrés Kelvin) sont animées d une vitesse de v cm/s. Cet état d équilibre est caractérisé par la fonction de distribution de vitesse de Mawell-Boltzmann F définie par Fpvq cv e m kt v où m est la masse d une molécule, et c et k des constantes positives. La constante c doit être telle que 8 Fpvqdv. Grâce à l égalité (I.8) et sachant que ³ 8 e u π du, déterminer l epression de c en fonction de k, T et m pour qu il en soit ainsi. Eercice (sur,5). Comparer, pour u, e u et e u. En déduire la nature des intégrales 8 8 e u du et e u du.. Soit f la fonction définie de R dans R par # y si p,yq p,q f p,yq y sinon. 4

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.4. Année 998 999 (a) La fonction f est-elle continue en p,q (b) Prouver que f est partiellement dérivable en p,q.. Prouver la discontinuité en p,q de la fonction f définie sur R par # 5 y si p,yq p,q f p,yq 4 y sinon. Eercice (sur,5) Déterminer les etrema de la fonction f définie sur R par f p,yq y 4y. Eercice 4 (sur 7) Soit f la fonction définie sur R par f pq a et C f sa courbe représentative.. En en déterminant une racine évidente, factoriser le polynôme P X X.. Étudier la fonction f en précisant notamment (a) ses ensembles de définition, continuité et dérivation, (b) ses ites au bornes de son ensemble de définition, (c) sa dérivée et ses variations résumées dans un tableau de variation.. Étudier localement C f au voisinage du point d abscisse. 4. Étudier les branches infinies de C f. 5. Esquisser C f. Eercice 5 (sur,5). (a) Calculer les développements ités en à l ordre 5 de tan et sh. (b) Rappeler la dérivée de Arcsin et en déduire son développement ité en à l ordre 5.. À l aide des questions précédentes, prouver que pour voisin de, sh Arcsin tan. Qu en est-il pour voisin de Année 998 999 6 novembre 998 Eercice (sur ) Au fur et à mesure qu une navette spatiale prend de l altitude, le poids de l astronaute diminue jusqu à atteindre un état d apesanteur. Le poids P pzq (en kg) d un astronaute, pesant P à la surface de la terre, est à l altitude z (en km) donné par R P pzq P R z où R 64km.. Soit p un réel strictement positif. Prouver que la solution de l équation P pzq p est d P z R p. À quelle altitude l astronaute ne pèserat-il plus que le quart de son poids initial. À quelle altitude l astronaute, pesant 6 kg à la surface de la terre, ne pèsera-til plus que 7 kg 4. À quelle altitude l astronaute sera-t-il en état d apesanteur complet Que penser du résultat Eercice (sur 5). Donner les équivalents en de e t, lnp tq, cost, sint, tant.. Calculer 5

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.4. Année 998 999 (a) (b) (c) Ñ sin84 sin5 pe u qsin u uñ p7 uqptanuq lnp uq Eercice 5 (sur 6) On cherche à résoudre numériquement l équation e. On donne e,6, e 4,47 e 5 8,54. (I.9) e e Ñ ln. Eercice (sur ) Les fonctions f ci-dessous peuvent-elles être prolongées par continuité en. et. et. π{ et f : ÞÝÑ ; f : ÞÝÑ 5 ; f : ÞÝÑ p sinq tan.. Étudier sur R, sans la représenter graphiquement, la fonction f définie par f pq e. On epliquera en particulier pourquoi f est une fonction strictement croissante sur R.. Prouver que l équation (I.9) admet une solution unique a sur R, située dans l intervalle s,r.. Déterminer une valeur approchée fractionnaire à près de a et prouver que,56 est une valeur approchée à près de a. 6 février 999 Eercice (sur 6,5). À l aide d intégrations par parties, déter- Eercice 4 (sur ) Soit f la fonction définie sur R par miner plnsq ds et π t cost dt. p π 4 f pq q cosp π 4 q.. Déterminer l ensemble de définition D f de f.. Prouver que f est continue ou peut être prolongée par continuité sur l ensemble " π R k π *., k P Z. Au moyen d un changement de variable, calculer Eercice (sur ) d 9 et dt t t.. Rappeler ce que signifie y Arccos.. Rappeler l epression de cos a en fonction de cosa. 6

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.4. Année 998 999. Prouver que cos Arccos 7 8 7 et indiquer précisément l argument permettant d en déduire que Arccos 7 8 Eercice (sur,5) Arccos 7.. Soit a et h deu réels, n un entier et f une fonction. Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange à l ordre n pour f au point a.. Déterminer la formule de Taylor- Lagrange en à l ordre pour la fonction f : ÞÑ. Eercice 4 (sur,5) Après avoir résolu l équation sans second membre associée, résoudre l équation différentielle y y. Eercice 5 (sur 6,5). (a) Calculer la solution générale de l équation différentielle y y y (I.) et en déterminer la ite en 8. (b) Préciser la solution de l équation (I.) vérifiant # ypq y pq.. En utilisant éventuellement le théorème de la feuille annee, déterminer une solution particulière puis, à l aide de la question (), la solution générale de l équation différentielle y y y 7cos.. (a) Soit ϕ un réel de s π, π r. Prouver que tan ϕ {cos ϕ et eprimer cotan ϕ en fonction de sinϕ. (b) Soit λ et λ deu réels strictement positifs. On pose b A λ λ ϕ Arctan λ λ. (I.) i. Rappeler ce que signifie l égalité (I.). ii. (Hors barème) En factorisant par λ (resp. par λ ) dans A, en déduire que λ A cosϕ presp. λ A sinϕq. On pose, pour X réel, y λ cosx λ sinx. Prouver à l aide de la question précédente que y AcospX ϕq. Remarque I.4. On admettra dans la suite que cette dernière epression est valable pour tous λ et λ réels. En déduire que la solution générale de l équation (I.) peut s écrire y Ae cospϕq, A P R, ϕ Ps π, π r. juin 999 Eercice (sur 8,5). On rappelle que, pour tout réel, ch e e et sh e e. Rappeler la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique puis, rapidement, les principales propriétés, les dérivées première et seconde et la représentation graphique des fonctions ch et sh. 7

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.4. Année 998 999. Prouver que la fonction sh est une bijection de R sur R.. Rappeler le théorème donnant la dérivée de la bijection réciproque f d une bijection f et, à l aide de la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique, en déduire que, pour tout réel, pargshq. 4. Rappeler, pour α dans R, le développement ité à l ordre en de p uq α et déterminer le développement ité à l ordre 4 en de. En déduire que celui de Argsh à l ordre 5 en est Argsh 6 5 4 op 5 q. (I.) 5. À l aide du le développement ité à l ordre en de Argsh, étudier localement au point d abscisse la fonction Argsh. 6. À l aide de l égalité (I.), déterminer un équivalent en de la fonction Argsh et donner la nature de l intégrale 4 Argsh d. Eercice (sur ) Soit f la fonction définie de R dans R par # y y si y f p,yq sinon.. Représenter graphiquement l ensemble p,yq P R ; y (.. Calculer f p, q et, pour tout, f p, q. La fonction f est-elle continue en p,q. En revenant à la définition, étudier la dérivabilité partielle de f en p,q par rapport à et par rapport à y. 4. Pour tout p,yq de R tel que y, calculer fp,yq et fy p,yq. Eercice (sur ). (a) Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre. (b) Prouver que si et θ alors p θq 5{. (c) En appliquant la formule de Taylor- Lagrange, établir que pour tout, 8 8 6.. Donner une valeur approchée de, à près. Eercice 4 (sur ). En en donnant la valeur eacte, prouver la convergence de l intégrale 8 d.. Déterminer la nature de l intégrale I définie par 8 I d et, en justifiant le calcul, déterminer en fonction de I l epression de a 8 8 d. 8

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.5. Année 999 Eercice 5 (sur,5) Étudier les branches infinies de la fonction f définie sur R par f pq p q p q. Année 999 décembre 999 Eercice (sur,5). Pour θ, π 6, π 4, π, π, rappeler les valeurs de cosθ et sinθ.. On considère les nombres complees z j i, z i et z i. (a) Déterminer (par le calcul ou géométriquement) les modules et arguments de z, z, z. (b) Déterminer la forme eponentielle de z, z, z. (c) Déterminer les modules et arguments de z z, z z, z 4. Eercice (sur,5) Pour chaque fonction f et chaque réel indiqués, calculer Ñ f pq.. et 8 et. 4 et f pq ; f pq 4 ;. et f pq ; 4. et f pq ln; 5. 8 et 6. 8 et Eercice (sur ) f pq ; f pq lnp q ln.. Rappeler les équivalents en de e t, lnp tq, cost, sint, tant.. Calculer (a) (b) Ñ cos e, Ñ lnp q. tan. En posant éventuellement h, calculer e e Ñ sinp q. Eercice 4 (sur 4) Soit la fonction f définie sur R par f pq sin cos.. Déterminer et représenter graphiquement l ensemble de définition D f de f.. Étudier la parité de f.. Prouver que la fonction f peut être prolongée par continuité en. 4. (a) Soit λ un réel et ϕ la fonction constante égale à λ sur R. En revenant à la définition, prouver que, pour tout réel, ϕ pq. 9

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.5. Année 999 (b) Soit λ un réel et u et v de deu fonctions dérivables. Rappeler les dérivées de u v, λu, uv et u v. (c) (Hors barème) Prouver que, pour tout de D f, Eercice 5 (sur 6) f pq sin cos.. Le but de cette question est de prouver que Arctan Arctan 4. (I.) (a) Rappeler la définition de y Arctan. Adapter cette définition au cas de l égalité (I.). (b) i. Rappeler l epression de tan a en fonction de tana et en déduire une epression simplifiée de tanparctan q. ii. Rappeler le sens de variation de la fonction Arctan et en déduire un encadrement de Arctan. (c) Conclure.. Prouver l égalité Arctan π Arctan 4 dont on notera qu elle équivaut à π Arctan Arctan 4.. (Hors barème) Plus généralement, prouver que # Arctan si Arctan π Arctan si. er mars Eercice (sur 8). Étude préinaire. (a) Pour t, on pose vptq t 4 t. (b) i. Prouver que l ensemble de définition D de la fonction v est r, 4s. ii. Déterminer le maimum de v sur D. i. Pourquoi v est-elle intégrable sur D ii. Calculer l intégrale de v sur D au moyen d une intégration par parties. Définition I.5.. iii. Soit f une fonction intégrable sur un intervalle ra, bs. On appelle valeur moyenne de f sur ra,bs la quantité µ définie par µ b a b a f ptq dt. Déduire de la question précédente la valeur moyenne V de v sur D.. Étude concrète. Un motard réalise une epérience de vitesse sur une piste rectiligne d etrémités A et B. Sa vitesse instantanée, eprimée en km/h, est donnée en fonction du temps par vptq at T t où a est un paramètre réel strictement positif t est eprimé en heure et T sont les instants respectivement de départ en A et d arrivée en B. (a) Calculer vpq et vpt q puis déterminer l instant t M de vitesse maimale ainsi que la vitesse maimale v M vpt M q.

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.5. Année 999 (b) On désigne par la distance parcourue depuis A et on rappelle qu alors la fonction est une primitive de la fonction v. Calculer pt q et en déduire la vitesse moyenne V du motard sur le parcours AB. (c) Prouver qu il eiste un instant au cours de l epérience auquel la vitesse instantanée du motard égale sa vitesse moyenne. (d) Application numérique. Sachant que A et B sont distants de km et que la vitesse maimale atteinte est km/h, déterminer T en secondes puis V en km/h. On donne 5 6 et 8 9. Eercice (sur ). Après avoir résolu l équation sans second membre associée, résoudre l équation différentielle y pcosqy cos.. Résoudre l équation différentielle y 8y 5y et en chercher la solution y vérifiant y pq et y pq. Eercice (sur 4). (a) Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre. (b) Prouver que si h et θ alors p θhq. (c) En appliquant la formule de Taylor- Lagrange, établir pour tout h l inégalité h h lnp hq h h h.. Pour quelles valeurs de h cette inégalité permet-elle d affirmer que h h est une valeur approchée de lnp hq à près. Donner une valeur approchée de lnp,q à près. Eercice 4 (sur ) Calculer, éventuellement au moyen d un changement de variable, les intégrales suivantes. e t e t dt, e e d plnq. Eercice 5 (sur ) On rappelle que, pour tout dans s,r, la fonction Argth satisfait Argth ln.. Soit dans s,r. Epliciter pargthq.. À l aide d une intégration par parties et d un éventuel changement de variable, calculer { juin Eercice (sur 5) Argth d.. Démontrer que, en, tanh h h oph q.. (a) Rappeler le développement ité de lnp tq à l ordre en. (b) Calculer le développement ité de lnp tanhq lnp tanhq à l ordre en.. On rappelle que tanpa bq tana tanb tanatanb. Déduire des questions précédentes le développement ité de lnptanq à l ordre en π 4.

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.5. Année 999 Eercice (sur,5) On définit la fonction f sur R par b f pq e { et on note D et C les ensemble de définition et courbe représentative de f.. (a) Rappeler le sens de variation de la fonction eponentielle et en déduire une minoration, pour tout, de e {. (b) Prouver que D R.. (a) En procédant éventuellement au changement de variable h {, prouver que f admet pour développement ité généralisé au voisinage de 8 : f pq o. (b) Déterminer le développement ité généralisé à l ordre de f au voisinage de 8. (c) Étudier les branches infinies de C. Eercice (sur 4,5). (a) Prouver la convergence de l intégrale 8 e s ds. (b) i. Pour s, comparer e s et e s. ii. En déduire la nature des intégrales 8 e s ds puis 8 e s ds.. Déterminer la nature de l intégrale lnp tq t dt. Eercice 4 (sur,5) Soit f la fonction définie sur R par f p,yq # y 4 y si p,yq p,q sinon.. Déterminer l ensemble de définition de f.. Étudier la continuité de f en p,q puis en déterminer l ensemble de continuité. Eercice 5 (sur 5,5) On désigne par f la fonction définie sur R par b f p,yq y.. Déterminer puis représenter graphiquement l ensemble de définition D de f.. Déterminer l ensemble des points critiques de f.. Nota. Dans cette question, on ne cherchera pas à étudier le signe du discriminant f y f f y. Soit un réel et M p,q un point critique de f. Préciser la nature de M en étudiant, pour p,yq dans D, le signe de f p,yq f p,q. Qu en est-il des autres points critiques de f 4. (a) Soit p,yq un point de D. Calculer df p,yq. (b) Soit p,yq p, q et p, yq p.,4. q. On pose f p,yq f p,y yqf p,yq. Sachant que 6,45, estimer f p,yq à l aide de df p,yq.

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.6. Année Année 9 décembre Eercice (sur,5). (a) Calculer (b) Calculer Ñ 8. Ñ6. 6 (c) Calculer b lnp q ln. Ñ 8. Prouver la continuité en de la fonction f définie par $ & sin si f : ÞÝÑ % si. Eercice (sur 4,75) Résoudre dans R, puis dans s π,πs, les équations suivantes.. cosp π 8 q,. sin sin,. tan tanp π q. Eercice (sur,75). Rappeler les équivalents en de e, lnp q, cos, sin, tan.. À l aide des équivalents, calculer les ites (a) en de sin p q, (b) en de (c) en de Eercice 4 (sur 5,5) tan p πq cos, lnp q sinp q,. (a) Rappeler la définition de y Arccos. (b) À l aide de cette définition, prouver que Arccos 4 Arccos 8.. Soit f la fonction définie sur R par f pq Arccosp q. (a) Déterminer l ensemble de définition D de f. (b) Déterminer l ensemble de dérivabilité D de f. (c) Calculer, sur D, la dérivée de f et en déduire qu il eiste des constantes K et K telles que i. si, f pq Arccos K ii. si, f pq Arccos K (d) Déterminer les constantes K et K ci-dessus. (e) Ce qui a été obtenu à la question n o c est-il valable pour, et (f) Retrouver le résultat de la question n o b. Eercice 5 (sur,75) On cherche à résoudre numériquement l équation e. (I.4)

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.6. Année. Étudier sur R, sans la représenter graphiquement, la fonction f définie par f pq e. On epliquera en particulier pourquoi f est une fonction strictement croissante sur R.. Prouver que l équation (I.4) admet une solution unique a sur R.. Prouver que a appartient à l intervalle s, r. 4. Déterminer une valeur approchée fractionnaire à près de a et prouver que,57 est une valeur approchée à près de a. 4 mai Eercice (sur 4,5). À l aide d intégrations par parties, déterminer π{4 ρe ρ θ dρ et cos θ dθ. π{4. Calculer, au moyen éventuel de changements de variables, d 9 et d 4 4.. (Hors barème) Soit a un réel et f une fonction intégrable sur ra, as. On pose I ³ a a f psqds. (a) Prouver que, si f est paire, I ³ a f psqds. (b) Prouver que, si f est impaire, I I. Qu en conclue-t-on Eercice (sur,5) Sur R, après avoir résolu l équation sans second membre associée, résoudre par eemple à l aide de la méthode de la variation de la constante, l équation différentielle y y. Eercice (sur ) On considère un réel c et l équation différentielle y y cy (I.5). On pose c. Réécrire et résoudre dans ce cas l équation (I.5).. On pose c. Réécrire et résoudre dans ce cas l équation (I.5).. On pose c. Réécrire et résoudre dans ce cas l équation (I.5). Eercice 4 (sur,5). On rappelle que, pour tout réel, ch e e sh e e. Rappeler la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique puis, rapidement, les principales propriétés, les dérivées première et seconde et la représentation graphique des fonctions ch et sh.. Soit un réel, h un réel non nul, n un entier naturel non nul et f une fonction numérique de variable réelle. Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange pour f sur r, hs à l ordre n.. Appliquer la formule de Taylor- Lagrange à la fonction sh en à l ordre 4. 4. (Hors barème) (a) Sachant que ch {, prouver que pour tout h tel que h et pour tout θ dans s,r, chθh {. (b) En utilisant les deu questions précédentes, prouver que pour tout h dans r, s, shh h h h 5 6 8. 4

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.6. Année (c) On pose α et a,6. 6 i. Prouver que α est une valeur approchée de sh à 5 8 6 près et préciser s il s agit d une valeur approchée par ecès ou par défaut. ii. En quoi l inégalité α a 7. 6 permet-elle d affirmer que a est une valeur approchée de sh à 5 près Eercice 5 (sur 8,5) où de l équation différentielle (I.6) est y Repe ϱ Qpqq de l équation différentielle (I.7) est y Impe ϱ Qpqq ϱ α iω Q est la fonction polynôme complee qu on détermine en résolvant l équation aq paϱ bqq paϱ bϱ cqq P sachant que. Calculer le développement ité de pe qcos à l ordre 4 en.. Calculer le développement ité de lncos à l ordre 6 en.. Soit f la fonction définie par f pq 4a 4 6 et C sa courbe représentative. (a) Étudier C localement au point d abscisse. (b) En procédant éventuellement au changement de variable h {, prouver que f admet pour développement ité généralisé au voisinage de 8 : f pq 4 o. (c) Déterminer le développement ité généralisé à l ordre de f au voisinage de 8. (d) Étudier les branches infinies de C. Théorème I.6.. Soit pa,b,cq un triplet de R R, P une fonction polynôme et α et ω deu réels. On considère les équations différentielles ay by cy P pqe α cosω (I.6) ay by cy P pqe α sinω. (I.7) Alors, une solution particulière. si aϱ bϱ c, alors BQ BP et valq ;. si aϱ bϱ c et aϱ b, alors BQ BP et valq ;. si aϱ bϱ c et aϱ b, alors 5 juin Eercice (sur,5) BQ BP et valq.. Comparer, pour tout, ln et. En déduire la nature de l intégrale 8 ln d.. Étudier la convergence des intégrales 8 Eercice (sur 5,5) 8 4 d et 4 d. 5

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.7. Année. (Question préinaire) Prouver que, si q, alors ņ k q k qn q.. On fie k dans N et on pose I k pk qπ kπ e sin d. (a) Au moyen d une double intégration par parties, prouver que I eπ. (b) Eprimer sinpt kπq en fonction de sint puis, au moyen d un changement de variable, prouver que I k pq k e kπ I.. On pose 8 I e sin d. Prouver que I est absolument convergente et déduire des questions et b que I. Eercice (sur 6). Déterminer l ensemble de définition de la fonction définie de R dans R par f p,yq ln y y.. Soit f la fonction définie de R dans R par f p,yq y y 5 y 9. (a) Calculer les dérivées premières et secondes de f. (b) On se propose de chercher si f présente un etremum. Prouver que f admet pour seul point critique le point p4,q. (c) Soit h et k des réels. i. Calculer f p4 h, kq. ii. En posant u h{k pour k, prouver que f p4 h, kq f p4,q. iii. Quelle est la nature du point f p4,q pour f Eercice 4 (sur,5) Résoudre dans R l équation différentielle y y. Eercice 5 (sur,5). Donner les développements ités à l ordre 4 en de e t, lnp tq, cost, sint.. On définit la fonction f par f pq a lnp q. (a) Prouver que le développement ité de f en à l ordre est, si est positif, f pq 4 o. (b) Étudier localement en la courbe représentant f. Année décembre Eercice (sur 6) Calculer les ites suivantes.. (a) Ñ 8 ; (b) Ñ8 7 4 4 5 ; (c) Ñ 8 ; (d) Ñ 7 ;. (a) Ñ 8 ; (b) Ñ 8 ln ;. (a) Ñ tan lnp q ; 6

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.7. Année (b) Ñ e e lnpq. Eercice (sur ) Résoudre dans R, puis dans s π,πs, les équations. cos π 6 cos π 4 ;. tan cotan. Eercice (sur ) Résoudre dans C l équation z. Eercice 4 (sur 4) Soit f la fonction définie sur R par f pq cos sin. Déterminer l ensemble de définition D de f.. Étudier (a) la parité de f ; (b) la périodicité de f.. Déterminer π f. 4. Prouver que f peut être prolongée par continuité en. 5. Pour, rπs, simplifier l epression de f pq. Eercice 5 (sur 5) Soit f la fonction définie sur R par f pq 5.. Factoriser a 5 b 5 par a b, en déduire le tau de variation de f puis prouver que f est strictement croissante sur r, 8r.. Prouver que l équation f pq admet une unique solution sur s,r.. Prouver (a) que 8 est une valeur approchée fractionnaire à près de ; (b) que,85 est une valeur approchée à près de. Eercice 6 (Hors barème sur ) Soit f la fonction définie par f pq p q. Prouver, en revenant à la définition, que Ñ f pq. 8 mars Eercice (sur 4,5). Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Young à l ordre n en a pour une fonction f.. Déterminer les développements de Taylor-Young d ordre en de sin et tan. En déduire sin tan Ñ.. (a) Déterminer les développements de Taylor-Young en de ch cos d ordres et. (b) En déduire i. ii. iii. ch cos Ñ, ch cos Ñ, ch cos Ñ. Eercice (sur,5) L objet de cet eercice est de prouver que, pour tout, Argch ln On rappelle que y Argch ðñ a. (I.8) # chy y. 7

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.7. Année. Rappeler l ensemble de définition de la fonction Argch.. (a) Prouver que si alors ln. (b) En revenant à la définition de la fonction ch, calculer ch ln pour.. Déduire de ce qui précède la relation (I.8) pour. Eercice (sur,5) Soit f une fonction et a et h deu réels.. Rappeler le théorème des accroissements finis pour f sur l intervalle ra,a hs.. Pour n entier naturel, rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor- Lagrange pour f à l ordre n sur l intervalle ra,a hs.. Le théorème des accroissements finis peut-il être considéré comme un cas particulier de la formule de Taylor- Lagrange Préciser. Eercice 4 (sur 5,5) Soit f la fonction définie sur R par f pq lnp q et h un réel strictement positif.. Déterminer, pour tout entier naturel non nul n et tout, l epression de f pnq pq.. Soit n entier naturel non nul. Prouver que si θ alors p θhq n.. (a) En appliquant le théorème des accroissements finis à f sur l intervalle r,hs, établir l encadrement h lnp hq h. (b) En déduire une valeur approchée de lnp,q à près. 4. (a) En appliquant la formule de Taylor- Lagrange à l ordre, établir l encadrement h lnp hq h. (b) En déduire une valeur approchée de lnp,q à près. 5. (a) En appliquant la formule de Taylor- Lagrange à l ordre, établir l encadrement lnp hq h h h. (I.9) (b) En déduire une valeur approchée de lnp,q à près. (c) Pour quelles valeurs de h l encadrement (I.9) permet-il d affirmer que h h est une valeur approchée de lnp hq à près Eercice 5 (sur 6) Soit f la fonction définie sur R par f pq Arcsin.. Prouver que, pour tout réel,. En déduire l ensemble de définition de f.. Déterminer l ensemble de continuité de f.. Déterminer l ensemble d étude de f. 4. Calculer les valeur(s) et/ou ite(s) de f au bornes de son ensemble d étude. 5. Rappeler l ensemble sur lequel la fonction Arcsin est dérivable ; en déduire l ensemble de dérivabilité de f et prouver que # f si pq si. 8

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.7. Année 6. Étudier les variations de f et en esquisser la courbe représentative C. 7. Pour, utiliser l epression de f pq pour déterminer une epression plus simple de f pq. 8. Construire les courbes représentatives des fonctions Arctan, Arctan, Arctan et f en précisant, pour f, les points et les tangentes remarquables. 7 juin Eercice (sur 8,5). On rappelle que, pour tout réel, ch e e sh e e. Rappeler la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique puis, rapidement, les principales propriétés, les dérivées première et seconde et la représentation graphique des fonctions ch et sh.. Prouver que la fonction sh est une bijection de R sur R.. Rappeler le théorème donnant la dérivée de la bijection réciproque f d une bijection f et, à l aide de la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique, en déduire que, pour tout réel, pargshq. 4. Rappeler, pour α dans R, le développement ité à l ordre en de p uq α et déterminer le développement ité à l ordre 4 en de. En déduire que celui de Argsh à l ordre 5 en est Argsh 6 5 4 op 5 q. (I.) 5. À l aide du le développement ité à l ordre en de Argsh, étudier localement au point d abscisse la fonction Argsh. 6. À l aide de l égalité (I.), déterminer un équivalent en de la fonction Argsh et donner la nature de l intégrale 4 Argsh d. Eercice (sur ) Soit f la fonction définie de R dans R par # y y si y f p,yq sinon.. Représenter graphiquement l ensemble p,yq P R ; y (.. Calculer f p, q et, pour tout, f p,q.. En revenant à la définition, étudier la dérivabilité partielle de f en p,q par rapport à et par rapport à y. 4. Pour tout p,yq de R tel que y, calculer fp,yq et fy p,yq. Eercice (sur ). (a) Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre. (b) Prouver que si et θ alors p θq 5{. 9

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.8. Année (c) En appliquant la formule de Taylor- Lagrange, établir que pour tout, 8 8 6.. Donner une valeur approchée de, à près. Eercice 4 (sur ). En en donnant la valeur eacte, prouver la convergence de l intégrale 8 d.. Déterminer la nature de l intégrale I définie par 8 I d et, en justifiant le calcul, déterminer en fonction de I l epression de a 8 8 d. Eercice 5 (sur,5) Étudier les branches infinies de la fonction f définie sur R par f pq p q p q. Année 8 décembre Eercice (sur ) Eprimer sans valeur absolue la fonction f définie par f pq 4 9 Eercice (sur ). Résoudre dans R l équation cos π cos 6 π.. Résoudre dans R, puis dans s π, πs, l équation Eercice (sur 8) cos sin.. (a) Calculer les ites en et en 8 de f : ÞÑ {. (b) Calculer Ñ4 (c) Calculer Ñ 8 6. 64. (d) Prouver que l epression 445 est factorisable par 9. En déduire Ñ9 4 45.. (a) Rappeler les équivalents en de e, lnp q, cos, sin, tan. (b) Calculer les ites quand Ñ de i. lnp q ; ii. cos pe q sin. (c) Calculer la ite quand Ñ π 4 de tan cos. Eercice 4 (sur 5) On cherche à résoudre numériquement l équation 4 4. (I.)

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.8. Année. Étudier sur R, sans la représenter graphiquement, la fonction f définie par f pq 4 4.. Prouver que l équation (I.) admet une solution unique sur l intervalle s,r.. Déterminer une valeur approchée fractionnaire à près de et prouver que,49 est une valeur approchée à près de. Eercice 5 (sur ) Soit f la fonction définie sur R par # cos f pq si si.. La fonction f est-elle continue en (on justifiera l affirmation). Calculer f pq pour.. La fonction f est-elle dérivable en (on justifiera l affirmation) 9 avril Eercice (sur 7). Déterminer des primitives de (a) (b) cos sin a.. En intégrant par parties, calculer (a) (b) e θ cos θ dθ ln d.. (a) Au moyen d un changement de variable, calculer (b) 4. Calculer d 9. i. Rappeler l epression de cosα en fonction de cosα et en déduire une epression de cos α en fonction de cosα. ii. Au moyen du changement de variable t tanα, calculer (a) pour positif, (b) e t dt sin t cos t dt. dt p t q. Eercice (sur ) Résoudre dans R les équations différentielles suivantes et en déterminer les solutions valant en.. y y,.. dy d d dt y, t t. Eercice (sur ) Le but de cet eercice est de prouver que Arcsin Arcsin. (I.). Rappeler la définition de y Arcsin. Adapter cette définition au cas de l égalité (I.).. (a) On rappelle que, pour tout dans r,s, cosparcsinq. Déterminer une epression simplifiée de sinparcsin q.

Chapitre I. Énoncés des épreuves I.8. Année (b) Rappeler le sens de variation de la fonction Arcsin et en déduire un encadrement de Arcsin.. Conclure. Eercice 4 (sur 4). Eprimer la dérivée f de f en en simplifiant au maimum l epression. 4. Déduire de la question précédente que, si P r, s, f pq Arcsin.. Prouver que, pour tout h et tout θ dans s,r, p θhq 4.. Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en à l ordre.. (a) En appliquant la formule de Taylor- Lagrange à la fonction f : ÞÑ, déduire de la question précédente que, pour tout h, h h h h h h. (b) Pour quelles valeurs de h l inégalité précédente permet-elle d affirmer que h h est une valeur approchée de h à près (c) Donner une valeur approchée de,9 à près. Eercice 5 (sur 4) Soit f la fonction définie par f pq Arcsinp 4 q.. Factoriser les polynômes 4 et 4 pour prouver que # # 4 4 ðñ.. En utilisant la question, déterminer l ensemble de définition de f. juin Eercice (sur 4). Déterminer le développement ité en à l ordre de lnp q. sin. Soit f la fonction définie sur R par d f pq. (a) Déterminer l ensemble de définition D de f. (b) Étudier les branches infinies de f. Eercice (sur ). Résoudre dans R les équations différentielles suivantes de fonction inconnue y et de variable : (a) y 5y 6y ; (b) 4y 4y y ; (c) y 4y 5y ; de cette dernière équation, déterminer la solution telle que # ypq y pq.. (Hors barème) Résoudre, en s aidant éventuellement du Théorème page suivante, l équation de fonction inconnue et de variable t sint.