Thèse. présentée pour obtenir le grade de. Docteur de l Université Paris 7-Denis Diderot. Spécialité : Histoire des mathématiques.

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1 Thèse présentée pour obtenir le grade de Docteur de l Université Paris 7-Denis Diderot Spécialité : Histoire des mathématiques par Dominique Tournès L intégration approchée des équations différentielles ordinaires ( ) Thèse soutenue le 20 juin 1996 devant la commission d examen : M. Claude Bardos, Professeur à l Université Paris 7-Denis Diderot M. Jean-Luc Chabert, Professeur à l Université de Picardie (Rapporteur) M. Michel Crouzeix, Professeur à l Université de Rennes 1 (Rapporteur) M. Christian Gilain, Maître de Conférences à l Université Paris 6-Pierre et Marie Curie M. Christian Houzel, Professeur à l IUFM de Paris (Directeur de thèse) M. Martin Zerner, Professeur émérite à l Université de Nice-Sophia Antipolis

2 Remerciements Claude Wanquet, directeur de l IUFM de La Réunion, m a encouragé à entreprendre cette recherche. Durant trois ans, il m a permis de bénéficier de conditions favorables. Je suis fier de lui rendre hommage en faisant, à mon tour, œuvre d historien. Christian Houzel a accepté de diriger mon travail et m a initié à l histoire des mathématiques. Au delà de son immense culture, je me contenterai de souligner combien j ai apprécié sa simplicité et sa disponibilité. Ses conseils ont permis d améliorer mon projet initial sur bien des points. Claude Bardos, Jean-Luc Chabert, Michel Crouzeix, Christian Gilain et Martin Zerner, spécialistes éminents de l analyse numérique des équations différentielles et/ou de l histoire de l analyse, m ont fait l honneur d accepter de participer au jury d examen. Simone Berthier, responsable du service Prêt entre bibliothèques à l Université de La Réunion, n a pas ménagé ses efforts pour me procurer les documents dont j avais besoin. Thomas Brunner, Guy Chauchaix, Morika Dantcha et Anne Jagot m ont assisté dans la lecture des textes en langue étrangère. Brigitte et William m ont délivré de tout souci matériel durant mes nombreux séjours parisiens. Leur amitié fut précieuse. Geneviève, enfin, a partagé de bonne grâce les sacrifices imposés par une tâche longue et envahissante. Mon travail lui est bien évidemment dédié.

3 Introduction générale Depuis trois siècles, la théorie des équations différentielles occupe une place centrale au sein des mathématiques. Les grands mathématiciens qui, à l époque moderne, se sont intéressés à l histoire de leur discipline n ont jamais manqué de le souligner, en des termes très voisins. Quelques citations, que l on pourrait d ailleurs multiplier à l envi, permettront de s en convaincre aisément. En 1900, Émile Picard 1 commence une conférence aux États-Unis par ces mots : Je voudrais aujourd hui jeter un coup d œil sur la théorie des équations différentielles, qui joue, en Analyse, un rôle considérable et dont les progrès importent vivement à ses applications ( ). Jacques Hadamard 2, quant à lui, saisit l occasion d un hommage rendu à Henri Poincaré, en 1912, pour disserter sur le problème qui joue lui-même le rôle principal dans les mathématiques modernes. Ce problème, que les applications au monde physique ont imposé dès la création du calcul infinitésimal, est l intégration des équations différentielles et aux dérivées partielles. Plus récemment, Nicolas Bourbaki 3 écrit : La théorie des équations différentielles n a cessé ( ) d exercer la sagacité des mathématiciens, et d être un terrain de prédilection pour l application des méthodes les plus variées de l Analyse ; les questions qu elle soulève sont très loin d être toutes résolues, et l intérêt qui s y attache est d autant plus soutenu qu elle constitue un des points de contacts les plus permanents et les plus fructueux entre les mathématiques et les sciences expérimentales : ces dernières y trouvent souvent une aide précieuse, et en échange lui fournissent constamment de nouveaux problèmes. Enfin, en 1977, Jean Dieudonné 4 développe encore le même thème : Depuis 300 ans, la théorie des équations différentielles n a cessé d être une des plus intensément étudiées de toutes les mathématiques ; pour attaquer les innombrables problèmes qu elles soulèvent, les méthodes les plus diverses ont été appliquées. ( ) Depuis le XVII e siècle, il n est guère de phénomènes dans lesquels certaines grandeurs varient continûment en fonction d un paramètre (très souvent le temps) qui n aient conduit à des problèmes concernant des équations différentielles, et ces problèmes ont été une source constante de stimulation pour la théorie mathématique de ces équations. Deux idées essentielles se dégagent de ces textes. D une part, ce sont les applications (mécanique céleste, physique mathématique ) qui font constamment surgir des problèmes conduisant à des équations différentielles ; d autre part, c est la volonté d intégrer ces équations différentielles qui entraîne, pour une large part, le développement des méthodes de l Analyse. Pourtant, l histoire de la théorie des équations différentielles a été relativement peu étudiée. Sans doute a-t-on exagérément développé une histoire de l Analyse centrée sur les fondements (notion de fonction, notion de limite ) et s appuyant principalement sur les grands traités didactiques (d Euler, de Cauchy )? Peut-être a-t-on parfois perdu de vue que c est 1 Quelques vues générales sur la théorie des équations différentielles, in Sur le développement depuis un siècle de quelques théories fondamentales de l analyse mathématique, Armand Colin, Paris, 1900, p Henri Poincaré et le problème des trois corps, Revue de métaphysique et de morale, 21, 1912, pp ; Œuvres de Jacques Hadamard, t. 4, Éditions du CNRS, Paris, 1968, p Fonctions d une variable réelle. Théorie élémentaire, Hermann, Paris, 1976, p. IV Panorama des mathématiques pures. Le choix bourbachique, Collection Discours de la méthode, Gauthier-Villars, Paris, p. 33 et p. 38.

4 4 Introduction générale pour construire les solutions d équations différentielles toujours plus générales que l on a dû élargir la notion de fonction et accepter de nouveaux modes de représentation (séries entières, séries de Fourier, intégrales dépendant d un paramètre )? Peut-être a-t-on trop négligé les problèmes au sein desquels les grands concepts de l Analyse se sont progressivement forgés avant de pouvoir faire l objet d une synthèse décontextualisée? À cet égard, il est symptomatique de constater que le 18 e siècle a beaucoup moins reçu les faveurs des historiens que le 19 e. Cela s explique assez bien si l on garde à l esprit qu au 18 e siècle, les mathématiques se sont développées de façon exubérante en restant proches de la mécanique et de la physique, et que la rigueur, loin d être absente des recherches de l époque, n y revêtait pas la forme qui nous est aujourd hui familière. Face à une telle situation, nous avons voulu présenter une contribution à l histoire de la théorie des équations différentielles, pensant que le thème serait idéal pour montrer le fonctionnement réel des mathématiques à partir de la résolution de problèmes. Plus précisément, après avoir pris connaissance des recherches déjà conduites dans ce domaine aussi vaste qu inexploré, nous avons choisi de nous pencher sur l histoire de l analyse numérique des équations différentielles ordinaires, de 1671 à Tout d abord, signalons que l expression analyse numérique doit être prise ici en son sens le plus noble : nous y voyons le point de rencontre mutuellement fructueux entre l analyse mathématique et le calcul numérique. Afin de mettre en évidence cette dualité, nous avons préféré, pour le titre de notre travail, l expression intégration approchée, qui a l avantage de rappeler que tout processus d approximation présente à la fois un caractère analytique et un caractère numérique, ainsi que nous le développerons longuement dans notre premier chapitre. Par ailleurs, pourquoi la période de référence ? D un côté, 1671, c est l année où Newton compose son traité sur les fluxions et les suites infinies, texte fascinant dans lequel on trouve la première tentative systématique pour exprimer la solution d une équation différentielle quelconque sous forme de série infinie afin, entre autres objectifs, d en permettre le calcul numérique. De l autre côté, 1914, c est le terme traditionnel que les historiens fixent au 19 e siècle mais c est aussi, en ce qui nous concerne, le moment précis où les immenses recherches balistiques engendrées par le premier puis le second conflit mondial font basculer l analyse numérique dans l époque moderne, en provoquant l automatisation des calculs et l apparition des calculateurs électroniques. Pour ce qui est de la méthode de travail, nous nous inscrivons dans la mouvance de l école française d histoire des mathématiques, représentée notamment par Christian Houzel. On pourrait résumer cette méthode en disant qu il s agit essentiellement d une étude au plus près des textes originaux, se traduisant par des analyses sobres et rigoureuses. Pour compléter la description, précisons quelques uns de nos choix : Nous faisons une histoire des mathématiques officielles, c est-à-dire celles qui se sont concrétisées par la publication d articles de revues et de monographies. Certes, il aurait été intéressant de rechercher aussi des textes inédits, des manuscrits, des lettres, des brouillons, etc., mais notre éloignement des fonds d archives nous a interdit d explorer cette voie. Par ailleurs, nous avons essayé d accorder un égal intérêt à tous les mathématiciens, grands ou moins grands, et à toutes les tentatives, y compris celles n ayant débouché sur rien d important à l époque contemporaine. Tout en nous gardant d une conception téléologique qui ne tendrait qu à déceler dans les théories anciennes l ébauche maladroite des théories actuelles, tout en rejetant une vision négatrice de l histoire qui chercherait à interpréter, voire réécrire les mathématiques d autrefois à la lumière de celles d aujourd hui, nous ne nous sommes pas interdit d employer, pour les besoins de certaines analyses, des concepts ou des formulations modernes, car nous pensons que les conséquences que les mathématiques des 18 e et 19 e siècles ont eues ou n ont pas eues sur celles du 20 e siècle font aussi partie de l histoire des mathématiques des 18 e et 19 e siècles.

5 Introduction générale 5 Nous sommes toujours retourné aux textes originaux, même dans les quelques cas où ils avaient déjà fait l objet d études historiques fouillées. Ces textes constituant notre matière première, il était naturel d en tirer de nombreuses citations. Nous donnons presque toujours les extraits retenus dans la langue où ils ont été écrits, accompagnés d une traduction française établie sous notre responsabilité et ayant une valeur purement indicative. Nous n avons cité directement des versions françaises que pour quelques textes de Leibniz et Newton. En effet, pour les écrits de Leibniz sur le calcul différentiel, on dispose d une traduction récente, sérieuse et incontestable de Marc Parmentier tandis que, en ce qui concerne Newton, les anciennes traductions du marquis de Buffon ou de Madame du Châtelet ont évidemment gardé une valeur historique intrinsèque. Pour les textes en français ancien, nous avons, sauf exception, modernisé l orthographe sans toucher à la ponctuation. Nous avons systématiquement cherché à comprendre les textes de l intérieur, ce qui signifie, pour des recherches à caractère mathématique, reconstituer le déroulement des formules et des calculs. Dans tous les cas, nous avons conservé les notations symboliques propres à chaque auteur, notations que l on doit considérer comme inséparables de l expression d une pensée originale. Plus profondément, nous avons refait une grande partie des calculs rencontrés, voire imaginé des calculs complémentaires à titre de vérification ou de prolongement. Cet exercice, parfois fastidieux, nous a semblé incontournable pour tenir compte d une belle réflexion de Maurice Loi 5 qui, sans doute, doit s appliquer tout autant à l historien des mathématiques qu au mathématicien : C est l expression algébrique, l équation du phénomène qui seule, souvent, permet de le penser, comme si l esprit acquérait des facultés nouvelles en la maniant, rendant possible le mouvement spirituel de découverte. Heureusement, les nombreux calculs nécessaires ont pu être effectués en un temps très raisonnable grâce au logiciel de calcul formel Mathematica 6. Nous avons accordé un grand soin à l établissement de la bibliographie. Notre expérience de chercheur isolé, en partie tributaire de la consultation à distance des documents, nous a fait sentir combien une référence imprécise ou erronée pouvait facilement devenir inutilisable. Théoriquement, les références bibliographiques devraient être établies selon la norme Z , publiée par l AFNOR en décembre Cependant, nous avons constaté qu aucun historien des sciences ne s y conformait strictement! Nous avons donc décidé d élaborer un compromis entre la norme officielle (parfois exagérément contraignante) et l usage majoritairement constaté dans notre secteur de recherche, l essentiel étant que toutes les informations nécessaires à la localisation d un document soient présentes. La bibliographie finale est la réunion des références citées au fil du texte dans les notes de bas de page ; en dehors d un tout petit nombre de cas particuliers, elle ne comprend que des documents que nous avons effectivement consultés et exploités. 5 Rigueur et ambiguïté, in Penser les mathématiques, Collection Points Sciences, Seuil, Paris, 1982, p Stephen Wolfram, Mathematica. A system for doing mathematics by computer, 2 e éd., Addison-Wesley, Redwood City, Californie, 1991.

6 6 Introduction générale