Flexion simple. y f G. M fz

Transcription

1 Chapitre 5 ELTAEF aher & BEN NEJA anel Flexion simple. Définition : Une poutre est sollicitée à la flexion si le torseur associé aux efforts de cohésion de la partie de la poutre sur la partie 1, peut se réduire en G, barcentre de la section droite (s) à une résultante contenue dans le plan de smétrie et un moment perpendiculaire à ce dernier, telle que : = /1 G coh G T f G 0 T G Remarques : Si T=0, on sera en flexion pure et si T 0, on sera en flexion simple. L effort tranchant donne naissance à des contraintes tangentielles. Le moment fléchissant donne naissance à des contraintes normales.. oment quadratique d une section :.1. Définition : Le moment quadratique d une section par rapport à un axe contenu dans son plan est par définition : A.U ELTAEF aher & BEN NEJA anel Page 1

2 SET De Sousse Génie écanique L1S1 Oz S ( S) ds et ( z S) z ds S O S S Soit z O ( S) ds Donc O Oz O. S Avec Oz : moment quadratique de (S) par rapport à (O, z ) en mm 4. O : oment quadratique de (S) par rapport à (O, ) en mm 4. O : oment quadratique polaire par rapport à (O, x ) en mm 4. : distance du point à l axe (O, z ) en mm z : distance du point à l axe (O, ) en mm : Distance O en (mm). S ou ds : Élément de surface entourant le point en mm. oments quadratiques de quelques formes particulières :.. Théorème de Hugens : o G S. d A.U ELTAEF aher & BEN NEJA anel Page

3 SET De Sousse Génie écanique L1S1.3. Décomposition en élément simple : Soit un sstème (E) de centre de gravité G composé de n solides (Si) de centre de gravité Gi alors on peut écrire dans le plan O, Y, Z : GY... 1 GY GY 3GY ngy Et GZ Avec... 1 GZ GY GZ 3GZ ngz : moment quadratique de (E) par rapport à G, Y : oment quadratique de (Si) par rapport à G, Y igy : oment quadratique de (E) par rapport à G, Z GZ : oment quadratique de (Si) par rapport à G, Z igz Exemple : On donne : 35 AG BC=EF=10 mm, AF=100 mm et CD=50 mm 15 Calculer les moments quadratiques GY et GZ. A.U ELTAEF aher & BEN NEJA anel Page 3

4 SET De Sousse Génie écanique L1S1. Etude des contraintes normales : par : En un point quelconque, de la section droite (S), la contrainte normale est définie Avec : : contrainte normale en due à la flexion. : oment quadratique de la section (S) par rapport à l axe (G, z ). : oment fléchissant selon l axe (G, z ). : ordonnée du point. En un point le plus éloigné de l axe (G, z ), on peut écrire : f f GZ On pose V : ordonnée du point le plus éloigné de l axe (G, z ). GZ V : odule de flexion de la section droite (S). A.U ELTAEF aher & BEN NEJA anel Page 4

5 SET De Sousse Génie écanique L1S1 Répartition des contraintes dans une section droite : Remarque : On remplace une poutre pleine par un empilage de plaques et on charge l ensemble ainsi formé. On constate qu il se produit un décalage entre les diverses couches. l est bien évident que ce décalage ne peut pas se produire sur la poutre pleine. Cet empêchement donne naissance à des contraintes tangentielles. V. Condition de résistance : Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale due à la flexion doit rester inférieure à la résistance pratique à l extension. On définit la résistance pratique à l extension Rpe Re par le rapport suivant : R pe. s Avec Re: résistance élastique à l extension (Pa). Rpe : résistance pratique à l extension (Pa). s : cœfficient de sécurité. D'où, la condition de résistance est : R pe R pe V. Concentration de contraintes : Tout changement brusque de section (rainure, gorge, épaulement) entraîne une concentration de contrainte (la répartition des contraintes n est plus linéaire). Dans ce cas la condition de résistance devient : eff K t th R pe A.U ELTAEF aher & BEN NEJA anel Page 5

6 SET De Sousse Génie écanique L1S1 Avec eff : contrainte effective (Pa). th : Contrainte théorique sans concentration de contrainte (Pa) Kt : coefficient de concentration de contrainte relative à la flexion. Kt est donné par des abaques ou des tableaux (Voir annexes C). V. Condition de rigidité : V.1. Déformée : On appelle déformée, la courbe de la ligne moenne après déformation. A tout point C d abscisse Xc, correspond une ordonnée c représentant la distance du point C avant déformation au point C après déformation. Cette ordonnée c s appelle la flèche en C. On remarque que l équation de la déformée est en fonction de l abscisse x : = f(x). On note par et respectivement les dérivées première et secondaire de la déformée (x). On peut calculer la flèche à partir de l équation de la déformée par double intégration de l équation du moment fléchissant. L équation de la déformée est : E.. " (x) = (x). Avec : E : module d élasticité longitudinal (Pa). : oment quadratique de la section (S) par rapport à l axe (G, z ). (mm 4 ). : oment de flexion dans la section (S) selon l axe (G, z ). (N.mm). A.U ELTAEF aher & BEN NEJA anel Page 6

7 SET De Sousse Génie écanique L1S1 V.. Condition de la flèche imale : On calcule la flèche imale et on vérifie ensuite que cette flèche reste inférieure à une valeur limite f lim imposée par le tpe de construction ou les contraintes technologiques. Soit alors : f lim. Exemple de la flèche limite f lim : ( l : longueur de la poutre). l f lim 500 l f lim 1000 Poutres de bâtiments Poutres de ponts roulants Remarque : Ne pas confondre la flèche en un point dans l équation de la déformée avec la distance d un point à l axe (G, z ) dans l expression de la contrainte en un point. Les efforts tranchants donnent naissance à des contraintes tangentielles qui sont généralement négligeables devant les contraintes normales. V. éthodes de calculs en flexion : l existe deux méthodes de calculs en flexion : Le calcul de vérification. Le calcul de détermination. Organigramme du calcul de vérification : A.U ELTAEF aher & BEN NEJA anel Page 7

8 SET De Sousse Génie écanique L1S1 Organigramme du calcul de détermination : Calcul de résistance : R pe Calcul de détermination : f lim on connaît : Le moment le matériau (R e et R pe) on connaît : Le moment les dimensions transversales on connaît : le matériau donc R e et R pe les dimensions transversales on connaît : l effort F le matériau (module E) la longueur l et f lim on connaît : l effort T les dimensions transversales la longueur l et f lim on connaît : le matériau (module E) les dimensions transversales la longueur l et f lim on calcule : les dimensions transversales Rpe R pe D où d ou b et h on calcule : R pe puis R e Rpe On choisit le matériau on calcule : Le moment de flexion qui peut supporter l organe R pe On détermine on calcule : les dimensions transversales on calcule : le module (E) On choisit le matériau on calcule : L effort qui peut supporter l organe F? On détermine F A.U ELTAEF aher & BEN NEJA anel Page 8

9 SET De Sousse Génie écanique L1S1 Exercices d application Exercice 1 : (Extrait examen 015) On considère une poutre (1) de section constante reposant sur deux appuis situés respectivement en O et A (Voir figure). Le plan O, x, est un plan de smétrie pour la poutre (1) et pour les forces qui lui sont appliquées. La poutre (1) a une section rectangulaire de largeur b et de hauteur h. On adopte un coefficient de sécurité s = 3.5. L action mécanique exercée sur la poutre (1) est modélisée en B par : /1 B F 100( N) 0 On donne : b=30 mm, h=60 mm L=000 mm 1. Déterminer les réactions aux points O et A?. Déterminer les équations de l effort tranchant T et du moment de flexion le long de la poutre (1)? Construire les diagrammes correspondants? 3. Déterminer la valeur et la position de T et de? 4. Déterminer la flèche B au point B? 5. Si Cette poutre est en acier E36 de résistance élastique d extension Re = 40 Pa et de module de Young E =.10 5 Pa. Vérifier dans ce cas la condition de résistance et conclure? Exercice : Une poutre (1) de longueur L=500 mm, est encastrée à son extrémité O avec un solide rigide (). A l autre extrémité A de (1), on applique une force F=1000 N et incliné d un angle α = 30 avec l horizontal. (Voir figure). 1. Le torseur des actions mécaniques de () sur (1) est de la forme : A.U ELTAEF aher & BEN NEJA anel Page 9

10 SET De Sousse Génie écanique L1S1 B /1 Tel que dans un repère R O, x,, z o R on a : B 0 x B B Et 0 0 Calculer les actions Bx, B et?. Tracer les diagrammes des efforts de cohésion N, T et de la poutre (1)? 3. Déterminer les valeurs imales des efforts de cohésion N et? 4. On néglige lors du dimensionnement l effet de l effort tranchant T, et on considère que la poutre (1) est de section circulaire de diamètre d. On donne Rpe=100 Pa : résistance pratique admissible du matériau de (1). a. Calculer le diamètre minimal d1 si la poutre est sollicitée seulement à la traction? b. Calculer le diamètre minimal d si la poutre est sollicitée seulement à la flexion? 5. Déduire le diamètre adéquat d de la poutre (1)? Exercice 3 : (Extrait examen 01) On considère une poutre (1) de section constante en liaison d encastrement en O avec le bâti (0) et libre de l autre extrémité A (Voir figure). Le plan O, x, est un plan de smétrie pour la poutre (1) et pour les forces qui lui sont appliquées. La poutre (1) a une section rectangulaire de largeur b=5 mm et de hauteur h=100mm. Cette poutre est soumise aux actions mécaniques extérieures suivantes : F (N) et F 800 (N) 1. Déterminer les inconnus de la liaison encastrement au point O. A.U ELTAEF aher & BEN NEJA anel Page 10

11 SET De Sousse Génie écanique L1S1. Déterminer les équations de l effort tranchant T et du moment de flexion le long de la poutre (1). Construire les diagrammes correspondants. 3. Déterminer la valeur et la position de T et de. 4. Déterminer les contraintes normales et tangentielles et de x. x 5. Déterminer l équation de la flèche en fonction de l abscisse x. 6. Déduire la valeur et la position de la flèche imale. A.U ELTAEF aher & BEN NEJA anel Page 11

12 SET De Sousse Génie écanique L1S1 A.U ELTAEF aher & BEN NEJA anel Page 1