Lectures obligatoires de la mécanique quantique Lectures # 1 :

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1 Lectures obligatoires de la mécanique quantique Lectures # 1 : Titre : Eléments de Physique moderne. Référence : RASOANAIVO, R-Y. (2007). Eléments de Physique Moderne. Ecole Normale Supérieure. Université d Antananarivo. Madagascar Résumé : Ce cours traite les découvertes expérimentales qui ont mené à des nouveaux concepts de physique. En particulier, le déplacement de Wien, l effet photoélectrique, l effet Compton, la diffraction des électrons y sont décrits en détail. Le postulat de Planck sur la quantification de la radiation et l idée d Einstein qui a permis de comprendre l effet photoélectrique sont particulièrement discutés. Justification : La lecture de ce cours devrait permettre aux apprenants et apprenantes de découvrir la limite de la mécanique classique et de comprendre le nouveau concept introduit par la mécanique quantique à savoir la quantification de l énergie de radiation, E = hν, et le comportement ondulatoire des particules telles que les électrons.

2 La théorie de Bohr 1. Modèle de Bohr Le modèle de Bohr vise un double objectif : expliquer le spectre de l atome d hydrogène. justifier le modèle nucléaire de l atome proposé par Rutherford. La théorie de Bohr de l atome est fondée sur les postulats suivants : Dans un atome, chaque électron suit une orbite circulaire de rayon r n bien défini, avec une énergie bien définie E n, n étant un nombre entier positif indiquant l état physique de l atome. (n = 1, 2, 3,.) Lors d une transition d un état à un autre, un atome absorbe ou émet une radiation de fréquence ν telle que :, [1] La valeur du moment angulaire d un électron sur une orbite de r n, défini par L = mv r, est donnée par :, [2] n est le même nombre entier défini auparavant 2. Atome d hydrogène Le plus simple des atomes est l atome d hydrogène. C est aussi l atome le plus étudié donc le plus connu. Notre objectif est de déterminer les grandeurs physiques associées aux états physiques de l atome d hydrogène, à savoir l énergie, le moment angulaire, le rayon de l orbite et la vitesse de l électron. Une approche semi classique sera adoptée : L électron qui gravite autour du proton est soumis à une force de Coulomb attractive d intensité :, r est le rayon de l orbite Figure 1 : Modèle de Bohr L électron est en mouvement circulaire uniforme, donc sa vitesse se déduit de la relation :

3 Ce qui donne : [3] De plus, l énergie de l électron E est la somme de l énergie cinétique E c et l énergie potentielle E p : E = E c + E p, telle que : et D où : [4] Maintenant, selon l hypothèse de Louis de Broglie, la longueur d onde associée à l électron est égale à λ = h / mv. L onde en question est une onde stationnaire telle que la longueur de l orbite, c est-à-dire sa circonférence, doit être égale au multiple entier de la longueur d onde λ : d où le moment angulaire de l électron est égal à : [5] En outre, les équations [3] et [5] nous permettent d écrire : [6] De plus, selon [5], [7] Finalement, à partir de [4] et [7] on peut déduire : [8] Ces résultats signifient que : Toutes les grandeurs physiques associées à l état physique de l atome ont des valeurs discrètes, on dit qu elles sont quantifiées. Le nombre entier n est appelé nombre quantique principal : n = 1, 2, 3 L atome d hydrogène admet une infinité d états possibles spécifiés par la valeur de n. n = 1 correspond à l état fondamental et les valeurs n > 1 correspondent aux états excités de l atome d hydrogène. Au fur et à mesure que n augmente, le rayon de l orbite augmente, mais la vitesse et l énergie diminuent Pour avoir les valeurs numériques de ces grandeurs, il faut remplacer toutes les constantes par leurs valeurs respectives. On doit trouver :

4 ; ; Cependant les unités habituellement utilisées en physique atomique sont résumées dans le tableau suivant: Unités de longueur: L Angström : 1 = m Le nanomètre : 1nm = 10-9 m Le micromètre : 1µm = 10-6 m Unité d énergie 1 ev = x J Les nouveaux résultats s écrivent : ; [9] Quelques chiffres : Etat fondamental (n = 1) Premier état excité (n = 2) Deuxième état excité (n = 3) Vitesse (m / s ) x x x10 6 Rayon de l orbite (A) Energie (ev) Figure 2 : Orbites et énergies de l atome de Bohr

5 3. Emission de transition Selon la théorie de Bohr, lorsque l électron passe d un état d énergie E n à un état d énergie E n, n < n, l atome émet une radiation. L énergie du photon émis est égale à la différence d énergies entre les deux états impliqués: Exemple : Un atome d hydrogène effectue une transition de son premier état excité vers son état fondamental. Calculer : a) l énergie du photon émis; b) la fréquence et la longueur d onde de la radiation émise. [10] Réponse : a) L énergie de l état initial de l atome est E 2 = ev L énergie de l état fondamental est E 1 = ev Donc, l énergie du photon émis est : E ν = E 2 E 1 = ( ) = ev b) La fréquence de la radiation émise est : Figure 3 : Emission d un photon La longueur d onde de la radiation : Notons que : 1. Il existe des formules standard pour déterminer la longueur d onde de la radiation émise par un atome : Si on remplace les constantes par leurs valeurs respectives, obtient le résultat suivant : R est la constante de Rydberg qui a pour valeur : R = x10 7 m Les états stationnaires d un atome sont souvent illustrés par un diagramme de niveaux d énergie. Des flèches indiquent les différentes transitions possibles, de l état initial vers l état final :

6 E n (ev) n 0-0,54-0, ,51 Série de Paschen 3-3,39 Série de Balmer 2-13,58 Série de Lyman 1 Figure 4 : Diagramme des niveaux d énergie de l atome d hydrogène Des transitions observées expérimentalement sont représentées dans ce diagramme, à savoir : la série de Lyman, la série de Balmer et la série de Paschen. La longueur d onde de la série de Lyman : La longueur d onde de la série de Balmer : La longueur d onde de la série de Paschen :

7 4. Les Hydrogènoïdes Les hydrogènoïdes sont des ions à un électron seulement, comme l atome d hélium ionisé, l atome de lithium doublement ionisé, etc Ces ions ont une structure similaire à celle de l hydrogène, mais ils ont un nombre de protons plus important. Les résultats obtenus pour l atome d hydrogène sont donc applicables à ces ions à condition qu on remplace la charge du proton e par Ze, Z étant le nombre de protons dans le noyau de l atome ionisé. Par exemple, les énergies des états stationnaires des hydrogènoïdes sont donnés par : Energies : Pour le cas de : Z = 2, on a : Pour les cas de ; Z = 3, on a : 5. Conclusion La théorie de Bohr sur l atome d hydrogène donne des résultats conformes aux observations expérimentales. Toutefois, elle ne peut pas être appliquée aux atomes à plusieurs électrons, car elle ne tient pas des interactions entre les électrons. En outre, l électron dans l atome d hydrogène doit être décrit par une fonction d onde dont le carré du module donne la densité de probabilité de présence de l électron. Le fait que l électron de l atome d hydrogène suit une orbite de rayon bien défini, dans la théorie de Bohr, contredit cette notion de probabilité.

8 L atome selon la théorie de Schrödinger 1. Formulation Selon le formalisme de Schrödinger, la fonction d onde associée à un système quantique satisfait l équation : [11] Dans le modèle de l atome d hydrogène qui sera adopté, o Le vecteur repère la position de l électron par rapport au proton o par le vecteur est la densité de probabilité de présence de l électron à la position indiquée o l énergie potentielle V décrit l interaction coulombienne entre le proton et l électron qui dépend uniquement de la distance séparant les deux particules: [12] Figure 5 : Coordonnées sphériques Le système admet une symétrie sphérique, donc la position de l électron est mieux décrite par les coordonnées sphériques ( r, θ, φ ). L équation de Schrödinger doit être exprimée en fonction de ces coordonnées : [13]

9 où [14] L équation [13] est une équation aux dérivées partielles impliquant trois variables indépendantes ( r, θ, φ ). La méthode mathématique adéquate à mettre en œuvre est la méthode de séparation des variables. Généralement, on pose : [15] dans laquelle la fonction est appelée «fonction harmonique sphérique» qui dépend de deux nombres entiers l et m tels que: o l est un entier positif et représente la valeur du moment orbital de l électron o m est un entier défini par m = l, l 1, l 2,.., - l Ce sont des fonctions orthonormées qui satisfont l équation : [16] Par conséquent, si on substitue [15] dans [13] et après arrangement des termes, on doit obtenir l équation radiale : [17] Il s agit d une équation différentielle de second ordre dont la solution va dépendre de deux paramètres : l énergie E et le moment orbital l. De plus, la fonction U l ( r ) doit obéir aux conditions limites suivantes : [18] Ces deux conditions signifient que l électron ne doit ni coïncider avec le proton ni se détacher du proton. 2. Etats stationnaires de l atome L équation [17] décrit une particule dans un puits de potentiel : La fonction W (r ), appelée «potentiel effectif», admet un minimum pour une certaine valeur de r et selon la valeur de l. L énergie E à déterminer est négative. ( voir Figure- 6 )

10 Figure 6 : Potentiel effectif W( r ) L équation [17] peut se mettre sous la forme : [19] dans laquelle on a posé : La résolution de l équation [19] avec les conditions [18] conduit aux résultats suivants : o Fonction radiale :, [20] Où : F n,l ( ρ ) est un polynôme de degré (n-1),, n = 1, 2, 3,. Et la valeur de l indice l est limitée par la valeur de n : l = 0, 1,., n-1 o Energie :, [21] Finalement, la fonction d onde associée à l électron de l atome d hydrogène d écrit [22] Les équations [21] et [22], définissent les états stationnaires de l électron dans l atome d hydrogène. En effet, d après [22], les états stationnaires sont caractérisés par trois nombres quantiques, à savoir n, l, m : o n définit l énergie qui est la même que celle qui est obtenue avec la théorie de Bohr o l est le moment orbital qui est un nombre entier variant de 0 à n-1 o m est nombre entier variant de l à l : m = l, l-1, l-2,.,- l

11 Généralement, on utilise la notation spectroscopique pour désigner ces états stationnaires. Les tableaux ci-après illustrent bien ces résultats : Tableau des états stationnaires de l atome d hydrogène n E n l Notation m g l g n 1 E 1 0 s s E p s p E d Les deux dernières colonnes indiquent respectivement les dégénérescences de chaque niveau d énergie. : g l = 2l+1 et g n = n 2. 0 Diagramme d énergie de l atome d hydrogène l=0 l=1 l=2 l=3 E 3 s p d E 2 s p E 1 s

12 Chaque niveau d énergie de l atome d hydrogène est donc dégénéré sauf l état fondamental, c est-à-dire, à chaque niveau d énergie correspondent plusieurs états physiques possibles. 3. Quelques exemples des fonctions d onde La fonction d onde de l atome d hydrogène est donnée par le produit de deux types de fonctions : une fonction qui est uniquement fonction des angles θ et φ, et une autre qui est fonction de la distance r. Exemples : o n =1 : l = 0 et m = 0 : ; o n = 2 : l = 1 et m = 1,0,-1 : ; l=0 et m =0 : ; 4. Distributions de probabilité Donc, la probabilité de présence de l électron dans un élement de volume dv est aussi égale au produit des deux types de probabilité : = distribution de probabilité angulaire, parfois appelée orbitale = distribution de probabilité radiale

13 4.1 Distributions radiales P n,l ( r ) n = 1 et l =0 n = 2 et l =0 n = 2 et l =1 Figure 7 : Distributions radiales pour n = 1 et n = 2

14 4.2 Distributions angulaires : P l,m (θ,φ) z θ z z + O l = 0 et m = 0 l = 1 et m = 1 l = 1 et m = 0 Figure 8 : Distributions angulaires pour les moments angulaires l = 0 et l = 1 4. Conclusion La théorie de Schrödinger donne le même résultat que la théorie de Bohr en ce qui concerne l énergie de l atome d hydrogène. Par contre, deux grandes différences sont à noter. Selon la théorie de Schrödinger : Chaque niveau d énergie de l atome est dégénéré, à l exception de l état fondamental La position de l électron n est pas bien définie. On ne connaît que la probabilité de présence de l électron, d où la notion de nuage électronique. Figure 9 : Nuage électronique entourant le proton dans un atome d hydrogène

15 Principes de la Mécanique Quantique L objectif est d expliquer les différents principes qui constituent la base du formalisme de la mécanique quantique. Dans un premier temps, on va revoir rapidement quelques éléments de l algèbre linéaire ; ensuite, on va énumérer quelques postulats de la mécanique quantique sans aller dans les détails mathématiques. 1. Eléments d algèbre linéaire : 1.1 Espace L 2 Dans tout ce qui va suivre, on va se placer dans un espace vectoriel normé, L 2, des fonctions de carré sommable définies sur un domaine Ω ; l espace est muni d un produit scalaire, c est-à-dire : Pour toutes fonctions, on a : Produit scalaire : Carré de la norme d une fonction : est la complexe conjuguée de On dit que deux fonctions sont orthogonales si leur produit scalaire est nul : ou Si on désigne par {, n = 1,2,., } un système de fonctions linéairement indépendantes constituant la base orthonormée de L 2, toute fonction F(x) de L 2 peut s écrire sous la forme : Les constantes c n sont les composantes de F(x) suivant :

16 1.2 Opérateurs Quelques définitions Un opérateur A sur L 2 est défini par :. Un opérateur A est linéaire si : sont éléments du corps complexe C. L opérateur adjoint de A, noté A, est défini par : Un opérateur est hermitique si : c est-à-dire : A = A ; on dit aussi que A est self adjoint Commutateur Le commutateur de deux opérateurs A et B, noté par [A, B], est défini par : [A, B] = AB - BA donc il s agit aussi d un opérateur. Deux opérateurs sont commutatifs si leur commutateur est nul : [A, B] = 0 Quelques identités utiles : [A, B] = - [A, B] ; [A, B+C] = [A, B] + [A, C] ; [A, BC] = [A, B]C + B[A, C] Equation à valeurs propres d un opérateur L équation à valeurs propres d un opérateur A s écrit : où sont respectivement la valeur propre et la fonction propre de A Généralement, l équation à valeurs propres d un opérateur admet plusieurs solutions :, i = 1,2,.L ensemble des valeurs propres α i est appelé le spectre de A. Pour un opérateur hermitique A : o les valeurs propres sont réelles o les fonctions propres sont orthogonales.

17 2 Postulats de la mécanique quantique Postulat 1: En mécanique quantique, on associe à une grandeur physique A classique un opérateur linéaire et hermitique A, dont les valeurs propres sont les valeurs possibles de la grandeur classique en question. Grandeur physique classique Opérateur linéaire et hermitique Valeurs de la grandeur classique Valeurs propres En particulier, Grandeur physique classique Opérateur linéaire et hermitique Position Quantité de mouvement Energie cinétique Energie potentielle est un opérateur différentiel qui s exprime en coordonnées cartésiennes: L opérateur ainsi défini est appelé «observable». Postulat 2 : Quand on mesure une grandeur physique d un système, comme la position, la quantité de mouvement, l énergie, etc., la valeur obtenue doit être une des valeurs propres de l opérateur associé à cette grandeur ; de plus, la fonction propre correspondante décrit l état physique dans lequel se trouve le système lors de la mesure. Dans le cas de l énergie, les valeurs de l énergie d un système sont les valeurs propres E n de l hamiltonien H et les états du système sont décrits par les fonctions propres correspondantes φ n :

18 Ceci n est autre que l équation de Schrödinger Postulat 3 : Si l état exact d un système n est pas connu lors d une mesure, le principe de superposition d états permet d écrire : Les fonctions représentent les différents états possibles du système. Les constantes c n ont la signification suivante : est la probabilité de trouver le système dans l état Postulat 4 : La valeur moyenne d une grandeur mesurée A est définie par : décrit l état du système. Notons que cette quantité est réelle pour un opérateur hermitique. Exemples : Valeur moyenne de la position : Valeur moyenne de la quantité de mouvement : Valeur moyenne de l énergie cinétique : Postulat 5 : Deux observables non commutatives ou incompatibles ne peuvent pas être mesurées simultanément avec précision. L erreur commise sur le résultat de la mesure d une observable A est donnée par l incertitude Δa définie par :

19 Si, on peut toujours écrire, C étant un opérateur hermitique. Selon le principe de Heisenberg, les incertitudes de mesure sur les deux observables obéissent l inégalité suivante : Exemple : Les observables position x et quantité de mouvement p satisfont la relation de commutation : ; donc elles ne sont pas compatibles d où :

20 Lectures # 2 : Titre : Introduction á la Mécanique ondulatoire. Référence : RASOANAIVO, R-Y. (2007). Introduction à la Mécanique ondulatoire. Ecole Normale Supérieure. Université d Antananarivo. Madagascar Résumé : Ce cours décrit les premiers concepts de la mécanique quantique, en particulier la notion de l onde de Louis de Broglie et la dualité «onde- corpuscule». La comparaison de la diffraction de la lumière avec celle des électrons fait apparaître la similarité entre le comportement d une onde et celui d une particule. En outre, le principe de Heisenberg est introduit pour marquer la différence entre la mécanique classique et la mécanique quantique. Justification : La lecture de ce cours est indispensable dans la mesure où ceci constitue un pas important qui fait passer de la mécanique classique vers la mécanique quantique. Equation de Schrödinger 1. Etablissement de l équation de Schrödinger Considérons une particule de masse m qui se déplace suivant l axe x Ox avec une vitesse v. Selon l hypothèse de de Broglie, à une telle particule est associée une onde de longueur d onde :, p est la quantité de mouvement de la particule p = m v Cette longueur d onde est aussi liée au vecteur d onde par : Ce qui donne la relation : Si on se réfère à la théorie de Maxwell, l élongation d une onde monochromatique de pulsation ω et de vecteur d onde peut se mettre sous la forme : [1] La pulsation ω est liée à la fréquence de l onde par ω = 2π ; l énergie du photon de l onde peut s écrire. Ainsi, l équation [1] peut aussi se mettre sous la forme : On constate alors que : [2]

21 Si on utilise la relation entre la quantité de mouvement et l énergie cinétique E c :, on obtient, après arrangement des termes : [3] En outre, la dérivée par rapport au temps de [2] donne : [4] Finalement, si on suppose que l énergie E représente l énergie totale de la particule, c est-à-dire que E = E c + V(x), V(x) étant l énergie potentielle de la particule, on obtient : En tenant compte de [4], il vient : [5] C est l équation de Schrödinger pour une particule qui se déplace dans un champ de potentiel V(x). Contrairement à l équation de propagation d une onde élastique ou d une onde électromagnétique, l équation contient une dérivée première par rapport au temps 2. Signification et Propriétés d une fonction d onde La particularité de la mécanique ondulatoire de Schrödinger réside sur le fait que la fonction d onde ψ( x, t ) n est pas une quantité mesurable au laboratoire comme le champ électrique d une onde électromagnétique. En fait, la signification de la fonction d onde associée à une particule est purement statistique : le carré du module de la fonction d onde représente la densité de probabilité de présence de la particule telle que : Probabilité de trouver la particule dans l intervalle dx Ainsi [6] c est-à-dire que la présence de la particule dans l intervalle] -, [ est un événement certain.

22 Par ailleurs, les propriétés mathématiques de la fonction d onde ψ( x, t ) découlent essentiellement de cette signification statistique : 1. L équation [6] exprime que la fonction ψ(x, t ) doit être normalisable. C est l équation qu il faut utiliser pour déterminer la norme d une fonction d onde 2. ψ(x, t) doit avoir une valeur unique en chaque point de l espace. 3. ψ(x, t) doit être une fonction continue dans son domaine de définition Les conditions 2. et 3.sont dictées par le fait que chaque point de l espace doit être associé à une et une seule probabilité de présence. 3. Etats stationnaires Conformément à l équation [2], la dépendance temporelle de ψ(x, t) est de la forme : [7] La substitution de [7] dans [5], permet d établir l équation pour φ E (x) : [8] L équation [8], parfois appelée équation de Schrödinger indépendante du temps, permet de déterminer la fonction φ E (x). De plus, l énergie E apparaît comme un paramètre dont va dépendre la solution. Le couple (φ E (x), E), donnée par [8], définit ce qu on appelle l état stationnaire du système étudié. C est un état à énergie bien définie et qui n évolue pas dans le temps, c est-à-dire que si le système se trouve dans un état stationnaire, il y reste indéfiniment. Généralement, un système quantique admet plusieurs états stationnaires. La combinaison linéaire de ces états représente un état quelconque du système. C est le principe de superposition d états : [9] Les constantes c n sont définies par : c n 2 = probabilité de trouver le système dans l état stationnaire défini par φ n (x) tel que :

23 4. Paquet d ondes Supposons que l équation [8] admet une infinité de solutions discrètes (E n, φ n ). Dans ce cas la solution de l équation [5] s écrit : [10] Puisqu elle est formée de la combinaison linéaire des ondes stationnaires, on l appelle «paquets d ondes». En outre, l équation [8] peut admettre une solution non discrète (E, φ E ) dans laquelle l énergie E peut avoir toutes les valeurs dans un domaine de définition Ω. Dans ce cas, le paquet d ondes s exprime ainsi : [11] La somme discrète de [10] devient tout simplement une somme continue. Caractéristiques d un paquet d ondes : Vitesse de phase : La vitesse de phase d un paquet est définie par : Pour une particule d énergie cinétique E = ½ mv 2, on a v Φ = v / 2, donc la vitesse de phase est différente de la vitesse de la particule. En fait, la vitesse n est pas une quantité physique mesurable. En outre, si on utilise les relations :, où ω et k sont respectivement la pulsation et le module du vecteur d onde, on obtient la relation suivante : Vitesse de groupe : La vitesse de groupe est définie par : Prenons le cas ci dessus où E = ½ mv 2 = p 2 /2m, on a, c est-à-dire, la vitesse de groupe correspond à la vitesse de la particule. De plus, une autre expression la vitesse de groupe est donné par :

24 Amplitude et étalement : Généralement, un paquet d ondes admet un maximum et un étalement Δx qui correspondent à la région de la plus grande probabilité de présence de la particule. Ce paquet se déplace avec une vitesse égale à la vitesse de groupe v g (voir figure ci dessous). v g Δx Applications 1. Particule libre Une particule est dite libre si elle ne subit aucune force dans son environnement. Donc son énergie E est donnée tout simplement l énergie cinétique. Ainsi l équation de Schrödinger correspondante s écrit : ou bien Cette équation a deux solutions possibles de telle manière que la solution générale est : où l on a utilisé l indice k au lieu de E. Les constantes A et B sont des constantes d intégration. Ces deux solutions représentent deux états stationnaires de la particule libre d énergie cinétique E. En effet, si on pose, les solutions particulières de [7] s écrivent: représente une onde plane qui progresse dans le sens croissant ou positif des x représente une onde plane qui progresse dans le sens décroissant ou négatif des x

25 Ψ k (x,t) x Ψ -k (x,t) x Par ailleurs, la densité de probabilité de présence d une particule libre est donnée par : ce qui signifie que la probabilité de trouver une particule libre en chaque intervalle élémentaire dx de l espace est la même partout. On dit que la particule est complètement délocalisée. 2. Système lié Une particule dont le mouvement est limité dans une région de dimension finie est un système lié. C est le cas, par exemple, d un électron dans un atome; la force attractive de Coulomb ne permet pas à l électron de se déplacer loin de l atome. Cette situation se traduit par une condition aux limites du type : Ce qui signifie que la probabilité de trouver la particule à l infini est nulle. Il va s en suivre que les solutions de l équation [8] sont de nature discrète : (E n, φ n (x)), n étant tout simplement un nombre entier. Exemple : Détermination des états stationnaires d une particule dans un puits de profondeur infinie V(x) = 0 pour x Є] 0, a] ; V(x) = pour x > a et pour x 0 Solution : Le problème est donc de résoudre l équation [8] dans laquelle V(x) est donné : V(x) O a x

26 La probabilité de présence d une particule dans une région où le potentiel est égal à l infini est nulle. Donc, les fonctions d onde dans les régions x < 0 et x > a sont nulles. La seule région à considérer dans ce problème est l intervalle 0 < x < a où le potentiel est nul. Par conséquent les états stationnaires de la particule sont donnés par la solution de l équation : Cette équation peut aussi s écrire : Elle admet deux solutions linéairement indépendantes : sin(kx) et cos(kx); donc, la solution générale est donnée par la combinaison linéaire de ces deux solutions:, A et B sont des constantes arbitraires En outre, la fonction φ(x) doit être nulle aux points x = 0 et x = a en vertu de la continuité de la fonction d onde. Ce qui donne : φ(x) = A sin(kx) avec ka = nπ, n étant un nombre entier, n = 1, 2, 3,.. Il en résulte : La fonction d onde stationnaire est : L énergie d un état stationnaire : Avec n = 1, 2, 3,, Donc, la particule possède une infinité d états stationnaires. Chaque état stationnaire a une énergie bien définie E n. Celui qui correspond à n = 1 est l état fondamental de la particule, les autres sont les états excités. De plus, la constante de normalisation A n est déterminée à l aide de :, et on doit trouver : Ainsi, la fonction d onde normalisée s écrit : La figure ci-dessous présente le diagramme d énergie de cette particule : E 4 E 3 E 2

27 Les traits en rouge sont les niveaux d énergie de la particule dans le puits. La différence entre deux niveaux successifs dépend de la valeur de n : ΔE = (2n+1) E 1 La distance entre deux états successifs augmente à mesure que n augmente. De plus, quelques exemples des fonctions d ondes stationnaires sont représentés dans la figure ci dessous : La courbe noire est la fonction d onde de l état fondamental de la particule. Elle admet un maximum à la position a/2, c est-à-dire, à l état fondamental la probabilité de trouver la particule aux environs de x = a/2 est maximale. Par contre, dans son premier état excité (courbe rouge), les probabilités de trouver la particule à la position x = a/4 et x =3a/4 sont identiques, c est-à-dire il devient plus difficile de localiser la particule.

28 Système non lié Cette catégorie de problème concerne l étude du mouvement d une particule dans un champ de potentiel réel. Le problème est d évaluer l effet d une force d attraction ou d une force de répulsion sur la «propagation» d une particule. Les grandeurs pertinentes à déterminer sont : a. la différence de phase entre l onde incidente et l onde diffusée, c est-à-dire l onde transmise ou réfléchie b. l amplitude de l onde diffusée connaissant l amplitude de l onde incidente Ces quantités généralement dépendent de l énergie incidente et des différents paramètres du potentiel, notamment son intensité et sa portée. L équation de Schrödinger [8] nous permet de les calculer. Exemple : Détermination des coefficients de transmission T et de réflexion R de la diffusion d une particule d énergie E par un potentiel escalier V(x) donné par V(x) = 0 pour x < 0 et V(x) = V o pour x > 0, avec V o < E Solution La figure ci-dessous présente la position du problème : V o E x O x Lorsque le potentiel présente une discontinuité, il faut adopter la technique suivante pour résoudre l équation [8] : Diviser le domaine d intégration en différentes régions où le potentiel est continu Déterminer la fonction d onde dans chaque région Dans ce cas, le domaine d intégration est divisé en deux régions : région I : x<0 où V(x) = 0 région II : x> 0 où V(x) = V o. Région I : x<0, V(x) = 0

29 L équation [8] s écrit : Cette équation admet comme solution : A est l amplitude de l onde incidente et B l amplitude de l onde réfléchie Région II : x>0, V(x) = V o L équation [8] s écrit : Cette équation admet comme solution : C est l amplitude de l onde transmise et D l amplitude de l onde se propageant dans le sens des x décroissants. Puisque la région II ne contient qu une onde transmise, on doit poser D = 0. Le résultat final est : Pour établir la relation entre A et C ou A et B, on doit appliquer la condition de continuité de la fonction d onde, de même que sa dérivée, au point de discontinuité du potentiel, c est-à-dire au point x = 0 : Ce qui donne : et Notons que : L amplitude l onde transmise C n est jamais nulle, contrairement à la prévision de la théorie classique selon laquelle la particule ne peut pas réfléchir car E > V o. Par contre, si l énergie de la particule incidente est très grande par rapport à la hauteur de la barrière, E >> V o, alors α k donc C A et B 0. La particule se déplace comme si la force de répulsion n existait pas. Finalement, la fonction d onde associée à la particule s écrit:

30 Par ailleurs, le coefficient de transmission T et le coefficient de réflexion R sont définis comme suit : ; La loi de conservation de particules implique que : R + T = 1. C est toujours le cas lorsque le potentiel est réel. De plus, le flux de particules monocinétiques se déplaçant avec une vitesse v, le flux est défini par une quantité vectorielle dont le sens indique la direction des particules: est le vecteur vitesse des particules et ρ la densité de probabilité de présence des particules Dans le problème considéré ici, on a : Le flux incident est : Le flux incident est : Le flux transmis est : Donc, les coefficients T et R sont respectivement donnés par : Les modules des vitesses sont : Or : k r = k α, donc les résultats finaux sont : On peut sans difficulté vérifier que R + T = 1. Notons aussi que, si E >> V o, α k et T s approche de l unité.

31 Lectures # 3 : Référence : RASOANAIVO, R-Y. (2007). Mécanique ondulatoire de Schrödinger. Ecole Normale Supérieure. Université d Antananarivo. Madagascar Résumé : Ce cours aborde la mécanique ondulatoire de Schrödinger. Quelques exemples de solution de l équation de Schrödinger sont présentés pour des systèmes quantiques simples. On insiste sur les propriétés d une fonction d onde et sa signification. Justification : C est la partie la plus importante de ce module. Les apprenants et les apprenantes apprennent à manipuler un nouveau formalisme. Equation de Schrödinger 1 Etablissement de l équation de Schrödinger Considérons une particule de masse m qui se déplace suivant l axe x Ox avec une vitesse v. Selon l hypothèse de de Broglie, à une telle particule est associée une onde de longueur d onde :, p est la quantité de mouvement de la particule p = m v Cette longueur d onde est aussi liée au vecteur d onde par : Ce qui donne la relation : Si on se réfère à la théorie de Maxwell, l élongation d une onde monochromatique de pulsation ω et de vecteur d onde peut se mettre sous la forme : [1] La pulsation ω est liée à la fréquence de l onde par ω = 2π ; l énergie du photon de l onde peut s écrire. Ainsi, l équation [1] peut aussi se mettre sous la forme : On constate alors que : [2]

32 Si on utilise la relation entre la quantité de mouvement et l énergie cinétique E c :, on obtient, après arrangement des termes : [3] En outre, la dérivée par rapport au temps de [2] donne : [4] Finalement, si on suppose que l énergie E représente l énergie totale de la particule, c est-à-dire que E = E c + V(x), V(x) étant l énergie potentielle de la particule, on obtient : En tenant compte de [4], il vient : [5] C est l équation de Schrödinger pour une particule qui se déplace dans un champ de potentiel V(x). Contrairement à l équation de propagation d une onde élastique ou d une onde électromagnétique, l équation contient une dérivée première par rapport au temps 2 Signification et Propriétés d une fonction d onde La particularité de la mécanique ondulatoire de Schrödinger réside sur le fait que la fonction d onde ψ( x, t ) n est pas une quantité mesurable au laboratoire comme le champ électrique d une onde électromagnétique. En fait, la signification de la fonction d onde associée à une particule est purement statistique : le carré du module de la fonction d onde représente la densité de probabilité de présence de la particule telle que : Probabilité de trouver la particule dans l intervalle dx Ainsi [6] c est-à-dire que la présence de la particule dans l intervalle] -, [ est un événement certain. Par ailleurs, les propriétés mathématiques de la fonction d onde ψ( x, t ) découlent essentiellement de cette signification statistique :

33 a. L équation [6] exprime que la fonction ψ(x, t ) doit être normalisable. C est l équation qu il faut utiliser pour déterminer la norme d une fonction d onde b. ψ(x, t) doit avoir une valeur unique en chaque point de l espace. c. ψ(x, t) doit être une fonction continue dans son domaine de définition Les conditions 2. et 3.sont dictées par le fait que chaque point de l espace doit être associé à une et une seule probabilité de présence. 3 Etats stationnaires Conformément à l équation [2], la dépendance temporelle de ψ(x, t) est de la forme : [7] La substitution de [7] dans [5], permet d établir l équation pour φ E (x) : [8] L équation [8], parfois appelée équation de Schrödinger indépendante du temps, permet de déterminer la fonction φ E (x). De plus, l énergie E apparaît comme un paramètre dont va dépendre la solution. Le couple (φ E (x), E), donnée par [8], définit ce qu on appelle l état stationnaire du système étudié. C est un état à énergie bien définie et qui n évolue pas dans le temps, c est-à-dire que si le système se trouve dans un état stationnaire, il y reste indéfiniment. Généralement, un système quantique admet plusieurs états stationnaires. La combinaison linéaire de ces états représente un état quelconque du système. C est le principe de superposition d états : [9] Les constantes c n sont définies par : c n 2 = probabilité de trouver le système dans l état stationnaire défini par φ n (x) tel que :

34 4 Paquet d ondes Supposons que l équation [8] admet une infinité de solutions discrètes (E n, φ n ). Dans ce cas la solution de l équation [5] s écrit : [10] Puisqu elle est formée de la combinaison linéaire des ondes stationnaires, on l appelle «paquets d ondes». En outre, l équation [8] peut admettre une solution non discrète (E, φ E ) dans laquelle l énergie E peut avoir toutes les valeurs dans un domaine de définition Ω. Dans ce cas, le paquet d ondes s exprime ainsi : [11] La somme discrète de [10] devient tout simplement une somme continue. Caractéristiques d un paquet d ondes : Vitesse de phase : La vitesse de phase d un paquet est définie par : Pour une particule d énergie cinétique E = ½ mv 2, on a v Φ = v / 2, donc la vitesse de phase est différente de la vitesse de la particule. En fait, la vitesse n est pas une quantité physique mesurable. En outre, si on utilise les relations :, où ω et k sont respectivement la pulsation et le module du vecteur d onde, on obtient la relation suivante : Vitesse de groupe : La vitesse de groupe est définie par : Prenons le cas ci dessus où E = ½ mv 2 = p 2 /2m, on a, c est-à-dire, la vitesse de groupe correspond à la vitesse de la particule. De plus, une autre expression la vitesse de groupe est donné par : Amplitude et étalement :

35 Généralement, un paque d ondes admet un maximum et un étalement Δx qui correspondent à la région de la plus grande probabilité de présence de la particule. Ce paquet se déplace avec une vitesse égale à la vitesse de groupe v g (voir figure ci dessous). v g Δx Applications 5 Particule libre Une particule est dite libre si elle ne subit aucune force dans son environnement. Donc son énergie E est donnée tout simplement l énergie cinétique. Ainsi l équation de Schrödinger correspondante s écrit : ou bien Cette équation a deux solutions possibles de telle manière que la solution générale est : où l on a utilisé l indice k au lieu de E. Les constantes A et B sont des constantes d intégration. Ces deux solutions représentent deux états stationnaires de la particule libre d énergie cinétique E. En effet, si on pose, les solutions particulières de [7] s écrivent: représente une onde plane qui progresse dans le sens croissant ou positif des x représente une onde plane qui progresse dans le sens décroissant ou négatif des x Ψ k (x,t) Ψ -k (x,t)

36 x x Par ailleurs, la densité de probabilité de présence d une particule libre est donnée par : ce qui signifie que la probabilité de trouver une particule libre en chaque intervalle élémentaire dx de l espace est la même partout. On dit que la particule est complètement délocalisée. 6 Système lié Une particule dont le mouvement est limité dans une région de dimension finie est un système lié. C est le cas, par exemple, d un électron dans un atome; la force attractive de Coulomb ne permet pas à l électron de se déplacer loin de l atome. Cette situation se traduit par une condition aux limites du type : Ce qui signifie que la probabilité de trouver la particule à l infini est nulle. Il va s en suivre que les solutions de l équation [8] sont de nature discrète : (E n, φ n (x)), n étant tout simplement un nombre entier. Exemple : Détermination des états stationnaires d une particule dans un puits de profondeur infinie V(x) = 0 pour x Є] 0, a] ; V(x) = pour x > a et pour x 0 Solution : Le problème est donc de résoudre l équation [8] dans laquelle V(x) est donné : V(x) O a x

37 La probabilité de présence d une particule dans une région où le potentiel est égal à l infini est nulle. Donc, les fonctions d onde dans les régions x < 0 et x > a sont nulles. La seule région à considérer dans ce problème est l intervalle 0 < x < a où le potentiel est nul. Par conséquent les états stationnaires de la particule sont donnés par la solution de l équation : Cette équation peut aussi s écrire : Elle admet deux solutions linéairement indépendantes : sin(kx) et cos(kx); donc, la solution générale est donnée par la combinaison linéaire de ces deux solutions:, A et B sont des constantes arbitraires En outre, la fonction φ(x) doit être nulle aux points x = 0 et x = a en vertu de la continuité de la fonction d onde. Ce qui donne : φ(x) = A sin(kx) avec ka = nπ, n étant un nombre entier, n = 1, 2, 3,.. Il en résulte : La fonction d onde stationnaire est : L énergie d un état stationnaire : Avec n = 1, 2,3,, Donc, la particule possède une infinité d états stationnaires. Chaque état stationnaire a une énergie bien définie E n. Celui qui correspond à n = 1 est l état fondamental de la particule, les autres sont les états excités. De plus, la constante de normalisation A n est déterminée à l aide de :, et on doit trouver : Ainsi, la fonction d onde normalisée s écrit : La figure ci-dessous présente le diagramme d énergie de cette particule : E 4 E 3 E 2

38 Les traits en rouge sont les niveaux d énergie de la particule dans le puits. La différence entre deux niveaux successifs dépend de la valeur de n : ΔE = (2n+1) E 1 La distance entre deux états successifs augmente à mesure que n augmente. De plus, quelques exemples des fonctions d ondes stationnaires sont représentés dans la figure ci dessous : La courbe noire est la fonction d onde de l état fondamental de la particule. Elle admet un maximum à la position a/2, c est-à-dire, à l état fondamental la probabilité de trouver la particule aux environs de x = a/2 est maximale. Par contre, dans son premier état excité (courbe rouge), les probabilités de trouver la particule à la position x = a/4 et x =3a/4 sont identiques, c est-à-dire il devient plus difficile de localiser la particule.

39 Système non lié Cette catégorie de problème concerne l étude du mouvement d une particule dans un champ de potentiel réel. Le problème est d évaluer l effet d une force d attraction ou d une force de répulsion sur la «propagation» d une particule. Les grandeurs pertinentes à déterminer sont : a. la différence de phase entre l onde incidente et l onde diffusée, c est-à-dire l onde transmise ou réfléchie b. l amplitude de l onde diffusée connaissant l amplitude de l onde incidente Ces quantités généralement dépendent de l énergie incidente et des différents paramètres du potentiel, notamment son intensité et sa portée. L équation de Schrödinger [8] nous permet de les calculer. Exemple : Détermination des coefficients de transmission T et de réflexion R de la diffusion d une particule d énergie E par un potentiel escalier V(x) donné par V(x) = 0 pour x < 0 et V(x) = V o pour x > 0, avec V o < E Solution La figure ci-dessous présente la position du problème : V o E x O x Lorsque le potentiel présente une discontinuité, il faut adopter la technique suivante pour résoudre l équation [8] : Diviser le domaine d intégration en différentes régions où le potentiel est continu Déterminer la fonction d onde dans chaque région Dans ce cas, le domaine d intégration est divisé en deux régions : région I : x<0 où V(x) = 0 région II : x> 0 où V(x) = V o. Région I : x<0, V(x) = 0

40 L équation [8] s écrit : Cette équation admet comme solution : A est l amplitude de l onde incidente et B l amplitude de l onde réfléchie Région II : x>0, V(x) = V o L équation [8] s écrit : Cette équation admet comme solution : C est l amplitude de l onde transmise et D l amplitude de l onde se propageant dans le sens des x décroissants. Puisque la région II ne contient qu une onde transmise, on doit poser D = 0. Le résultat final est : Pour établir la relation entre A et C ou A et B, on doit appliquer la condition de continuité de la fonction d onde, de même que sa dérivée, au point de discontinuité du potentiel, c est-à-dire au point x = 0 : Ce qui donne : et Notons que : L amplitude l onde transmise C n est jamais nulle, contrairement à la prévision de la théorie classique selon laquelle la particule ne peut pas réfléchir car E > V o. Par contre, si l énergie de la particule incidente est très grande par rapport à la hauteur de la barrière, E >> V o, alors α k donc C A et B 0. La particule se déplace comme si la force de répulsion n existait pas. Finalement, la fonction d onde associée à la particule s écrit:

41 Par ailleurs, le coefficient de transmission T et le coefficient de réflexion R sont définis comme suit : ; La loi de conservation de particules implique que : R + T = 1. C est toujours le cas lorsque le potentiel est réel. De plus, le flux de particules monocinétiques se déplaçant avec une vitesse v, le flux est défini par une quantité vectorielle dont le sens indique la direction des particules: est le vecteur vitesse des particules et ρ la densité de probabilité de présence des particules Dans le problème considéré ici, on a : Le flux incident est : Le flux incident est : Le flux transmis est : Donc, les coefficients T et R sont respectivement donnés par : Les modules des vitesses sont : Or : k r = k α, donc les résultats finaux sont : On peut sans difficulté vérifier que R + T = 1. Notons aussi que, si E >> V o, α k et T s approche de l unité.

42 Lectures # 4: Titre : Problèmes liés aux conditions initiales et aux conditions aux limites Référence : RASOANAIVO, R-Y. (2007). Problèmes aux conditions initiales et aux conditions aux limites. Ecole Normale Supérieure. Université d Antananarivo. Madagascar Résumé : Il s agit d un cours de mathématiques appliquées à la physique qui traite particulièrement l étude d un système dynamique linéaire. En effet, l évolution temporelle de la plupart des systèmes physiques obéit à une «équation de mouvement» linéaire. Généralement, le problème est de déterminer l état d un système à chaque instant t, connaissant son état à l instant initial t = 0. De plus, ce cours traite aussi les problèmes aux conditions aux limites. On donne des exemples de résolutions des équations différentielles linéaires du second ordre dont les valeurs de la solution sont connues aux deux extrémités de l espace d intégration. Justification : Ce cours est indispensable car, d une part, le problème de Schrödinger est un problème à condition initiale, et l étude des systèmes simples, comme la détermination des états stationnaires d une particule dans une boîte, est un problème aux conditions aux limites. Problèmes aux conditions initiales L objectif est de rappeler l étude de l évolution d un système dynamique linéaire qu on rencontre fréquemment en physique, et particulièrement en Mécanique Quantique. 1. Description du problème Le problème considéré ici concerne l évolution de l état physique d un système dynamique régie par une équation différentielle du second ordre à coefficients constants. Un exemple typique est le mouvement d une particule de masse m animé d une certaine vitesse. L état physique d un tel système est complètement défini si on connaît sa position x(t) et sa vitesse v(t) à chaque instant t. Notons par S( t ) l état du système à l instant t : S( t ) = [ x(t), v(t)] Le problème aux conditions initiales s énonce ainsi :

43 «Déterminer l état S( t ) d un système à chaque instant t sachant que son état à l instant initial t o, S( t o ), est connue» Le problème est résolu si on arrive à déterminer une relation entre S( t ) et S( t o ) : S( t ) = U(t, t o ) S ( t o ) U( t, t o ) est un objet mathématique caractéristique de l évolution du système étudié. 2. Exemple Enoncé La position d une particule à chaque instant,x(t), obéit à l équation différentielle : x ( t ) + ω 2 x( t ) = 0, avec x( t o ) = x o et x ( t o ) = v o Déterminer x(t) et v(t) Solution : L équation différentielle admet deux solutions linéairement indépendantes : sin(ωt) et cos(ωt). Donc la solution générale s écrit : x(t) = A sin(ωt) + B cos(ωt) [1] v(t) = A ω cos(ωt) - B ω sin(ωt) A et B sont deux constantes arbitraires qui peuvent être déterminées à l aide des conditions initiales. x o = A sin(ωt o ) + B cos(ωt o ) v o = A ω cos(ωt o ) - B ω sin(ωt o ) C est un système d équations non homogènes qui permettent de déterminer les deux coefficients A et B. Le système peut s écrire sous une forme matricielle : Le déterminant de la matrice est différent de zéro Δ = - ω 0, donc le système admet toujours une solution. On doit trouver : Lorsque A et B sont substitués dans le système d équations [1], on a : Il vient :

44 Ce résultat nous montre qu effectivement l état du système S(t) peut être déduit de l état initial S(t o ) par un opérateur ou une matrice U( t, t o ) : Notons que le temps initial t o est très souvent égalisé à zéro. La théorie qui vient d être développée est identique à celle de la mécanique ondulatoire de Schrödinger dans laquelle la fonction d onde de l état d un système à chaque instant t, Ψ(x,t), est reliée à la fonction d onde de son état initial Ψ(x,t o ). Problèmes aux conditions aux limites La modélisation d un système physique aboutit très souvent à cette catégorie de problèmes. On les rencontre en électrostatique, en mécanique ondulatoire classique, en acoustique, et dans des divers problèmes d ingénieur. L objectif est de rappeler la procédure de résolution d un problème aux conditions aux limites sans toutefois entrer dans les détails 1 Position du problème Le problème est de déterminer l expression d une grandeur F(x) qui est fonction d un paramètre x, sachant les valeurs de F(x) et/ou de sa dérivée sont connues aux deux limites du domaine de définition du paramètre x. De plus, F(x) satisfait une équation différentielle du second ordre. Enoncé : Déterminer F(x) sachant que, pour x Є [a,b] : F (x) + k 2 F(x) = 0, avec F(a) = 0 et F(b) =0 Solution : L équation différentielle admet deux solutions linéairement indépendantes : sin(kx) et cos(kx). Donc la solution générale est : F(x) = A sin(kx) + B cos(kx), A et B sont des constantes arbitraires à déterminer. Appliquons les conditions aux limites données dans l énoncé : F(a) = 0 donne : A sink(a) + B cos(ka) = 0 d où B = - A tan(ka)

45 Avant d appliquer la deuxième condition, il faut écrire la nouvelle expression de F(x) satisfaisant la première condition : F(x) = A sin[k(x-a)], où l on a posé A = A/cos(ka) F(b) = 0 donne : A sin[k( b - a) ] = 0 Puisque (b a) est différent de zéro, on doit avoir le résultat suivant :, n = 1,2,3 Finalement : La solution dépend d un nombre entier n, c est-à-dire que la grandeur physique F(x) possède une infinité d expressions possibles. Equation de propagation Dans ce type de problème, nous avons affaire à une fonction à deux variables indépendantes x et t., F(x,t) qui satisfait une équation aux dérivées partielles comme l équation de Schrödinger dépendante du temps. L objectif est de rappeler la méthode mathématique habituellement utilisée dans ce cas. 1. Description du problème La fonction F(x,t) représente l élongation de l onde qui se déplace avec une vitesse c et satisfait l équation : [1] Selon le cas qui se présente, F(x,t) doit satisfaire des conditions relatives à la fois aux variables t et x. Toutefois, nous allons d abord résoudre l équation sans tenir compte de ces conditions. 2. Méthode de séparation des variables La technique habituelle utilisée pour déterminer la solution de [1] est de séparer cette équation en deux autres équations différentielles respectivement en t et en x. Pour cela, on pose l hypothèse : F(x,t) = X(x) T(t). [2] Les équations pour X(x) et pour T(t) s obtiennent en substituant [2] dans [1] :

46 En divisant les deux membres par X(x)T(t), on obtient : [3] L égalité de cette équation [3] a de sens seulement si chaque membre est égal à une constante arbitraire α. La nature de cette constante dépend du type de solution qu on voudrait avoir. Deux cas peuvent se présenter : α > 0 et α < 0 : Cas où α > 0 : Posons α = k 2, il vient : [4] L équation en t doit donner la dépendance temporelle de l élongation de l onde, or la solution obtenue à partir de cette équation est une fonction réelle en t :, où l on a posé ω = k c Ce type de solution n a pas une signification physique, et de plus l équation [1] décrit une onde progressive non atténuée dans le temps. En somme, le choix de la constante α n est pas adéquate. Cas où α < 0 Posons α = -k 2, il vient : Cette fois-ci la solution s écrit : [5] Où l on toujours posé : ω = k c La dépendance temporelle de F(x, t) est donnée par T(t). On a deux choix possibles :. Finalement, l élongation de l onde progressive cherchée est : [6] ou Les deux solutions sont valides. Tout dépend de la dépendance temporelle choisie.