Méthodes de Décomposition de Domaine de Type Optimisation

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1 Méthodes de Décomposition de Domaine de Type Optimisation Jonas Koko LIMOS, Université Blaise Pascal CNRS FRE 2239 ISIMA, Campus des Cézeaux BP F63173 Aubière cedex, France 27 février 2007 Table des matières 1 Introduction 1 2 Problème Modèle 2 3 Méthode des multiplicateurs de Lagrange Sensibilité, gradient Algorithme Méthode des moindres carrés Adjoint, sensibilité et gradient Algorithme Discrétisation par éléments nis Le TP Lecture des maillages Stockage et assemblage des matrices Résolution des systèmes linéaires Parallélisation Introduction Les méthodes de décomposition de domaine ont connu un intérêt fulgurant des dernières années, en raison de leur implication évidente dans le calcul parallèle. Le principe est assez simple: on transforme un problème de grande taille en une suite de sous-problèmes découplés, de taille plus petite, qui peuvent être résolus en parallèle. L'ecacité des méthodes de décomposition de domaine est telle que même sur une architecture série, le gain de temps est considérable. 1

2 2 PROBLÈME MODÈLE 2 La littérature sur les méthodes de décomposition de domaine est trop énorme pour être citée ici de manière exhaustive. Le lecteur intéressé pourra consulter [5, 6]. Il existe une conférence annuelle sur les méthodes de décomposition de domaine et certains proceedings peuvent être télé-chargés gratuitement depuis Dans ce cours nous ne traitons que des méthodes de décomposition de domaine basées sur l'optimisation pour une raison assez simple: la convergence ne fait appel qu'à des notions de bases d'optimisation (convexité, coercivité). Ces méthodes on été introduites par [2] et on été largement reprises et améliorées depuis [1, 3, 4]. Les méthodes de décomposition de domaine basées sur l'optimisation sont des méthodes de type décomposition/coordination dont l'étape de coordination consiste à minimiser (ou maximiser) un critère. 2 Problème Modèle Soit Ω un domaine borné de R 2 de bord Γ. On considère le problème de Poisson u = f, dans Ω, (2.1) u = 0, sur Γ. (2.2) Le problème (2.1)-(2.2) admet une solution et une seule. Les méthodes de décomposition de domaine développées à partir du problème modèle (2.1)-(2.2) s'appliquent aussi, moyennant quelques modications mineures, aux problèmes suivants. Problème de Poisson généralisé: avec α 0 et ν > 0 des constantes. αu ν u = f, dans Ω, u = u D, sur Γ, Élasticité linéaire: Ω est un corps solide élastique bidimensionnel, de coecients de Lamé (réels strictement positifs) λ et µ. Le champ de déplacement u = (u 1, u 2 ), vérie σ(u) = f, dans Ω, u = u D, sur Γ, où σ est le tenseur des contraintes s'exerçant dans le solide avec ɛ(u) le tenseur des déformations σ(u) = λtr(ɛ(u))i 2 + 2µɛ(u), ɛ(u) = 1 2 ( u + ut ).

3 2 PROBLÈME MODÈLE 3 Introduisons l'espace vectoriel V = { v H 1 (Ω); v = 0 sur Γ }, et les notations a(u, v) = (f, v) = Ω Ω u v dx, fv dx. La formulation variationnelle du problème (2.1)-(2.2) est alors La fonctionnelle de l'énergie potentielle totale est u V ; a(u, v) = (f, v), v V. (2.3) J(v) = 1 a(v, v) (f, v), (2.4) 2 de sorte que (2.3) est l'équation d'euler-lagrange du problème de minimisation u V ; J(u) J(v), v V. (2.5) La fonctionnelle (2.4) étant convexe coercitive sur V, le problème de minimisation (2.5) (et donc l'équation variationnelle (2.3)) admet une solution unique. Partitionnons le domaine Ω en sous-domaines disjoints Ω 1 et Ω 2 comme illustré sur la Fig. 1. Notons Γ 12 l'interface entre les deux sous-domaines, i.e. Γ = Ω 1 Ω 2. La partition {Ω i } induit une partition {Γ i } sur Γ dénie par Γ 1 = Γ Ω 1, Γ 2 = Γ Ω 2. Ω 1 Γ 12 Ω 2 Fig. 1 Décomposition de Ω en deux sousdomaines disjoints Considérons les problèmes de Poisson découplés suivants (1 i 2) u i = f i, dans Ω i, (2.6) u i = 0, sur Γ i. (2.7)

4 2 PROBLÈME MODÈLE 4 On associe à (2.6)-(2.7), les conditions aux limites à l'interface Γ 12 u 1 = u 2, sur Γ 12, (2.8) u 1 = u 2, sur Γ 12, (2.9) n 1 n 2 où n i est la normale (unitaire) sortante à Ω i en Γ 12. La décomposition (2.6)-(2.9) est consistante, i.e. les problèmes (2.1)-(2.2) et (2.6)-(2.9) ont la même solution. Pour la suite on pose [u 12 ] = (u 1 u 2 ) Γ12, l'erreur de la solution à l'interface. Le principe des méthodes de décomposition de domaine est de résoudre itérativement (2.6)-(2.7) pour satisfaire (2.8)-(2.9) à la convergence. Dans le cas des méthodes de décomposition de domaine basées sur l'optimisation, les itérations se déroulent de manière à satisfaire un critère d'optimisation. Nous nous limitons ici aux méthodes de décomposition de domaine de type moindres carrés ou multiplicateurs de Lagrange. Dans la méthode des moindres carrés le critère à minimiser est la norme de l'erreur à l'interface [u 12 ]. Dans le cas de la méthode des multiplicateurs de Lagrange, c'est le multiplicateur de Lagrange associé à l'erreur à l'interface [u 12 ] qui est calculé à chaque itération. Pour la suite, nous introduisons les sous-espaces vectoriels V i = { v H 1 (Ω i ); v = 0 sur Γ i }, et les notations suivantes a i (v i, w i ) = (v i, w i ) Ωi = (v, w) Γ12 = v i w i dω; v i, w i V i (2.10) Ω i v i w i dω; v i, w i V i, Ω i vw dγ. S On pose u = (u 1, u 2 ) et V = V 1 V 2,. En tenant compte des notations ci-dessus, la fonctionnelle de l'énergie potentielle totale (2.4) devient J(v) = J 1 (v 1 ) + J 2 (v 2 ) où J i (v i ) = 1 2 a i(v i, v i ) (f i, v i ) Ωi, i = 1, 2.

5 3 MÉTHODE DES MULTIPLICATEURS DE LAGRANGE 5 3 Méthode des multiplicateurs de Lagrange Considérons le problème d'optimisation avec contrainte Trouver u = (u 1, u 2 ) V, tel que J 1 (u 1 ) + J 2 (u 2 ) J 1 (v 1 ) + J 2 (v 2 ), (v 1, v 2 ) V, (3.1) [u 12 ] = 0. (3.2) A priori, le problème (3.1)-(3.2) n'est pas équivalent à (2.1)-(2.2). En eet, il manque la condition sur la continuité des dérivées normales à travers Γ 12, i.e. (2.9). Cet obstacle sera levé en utilisant une méthode convenable pour résoudre (3.1)-(3.2). Introduisons le Lagrangien L du problème (3.1)-(3.2), déni sur V L 2 (Γ 12 ) par L(v, µ) = 2 J i (v i ) + (µ, [u 12 ]) Γ12, (3.3) i=1 où µ L 2 (S) est le multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte (3.2). Grâce à la convexité, le problème d'optimisation (3.1)-(3.2) est équivalent au problème de point-selle ou encore (u, λ) V L 2 (Γ 12 ); L(u, µ) L(u, λ) L(v, λ), (v, µ) V L 2 (Γ 12 ) max min L(u, λ). λ L 2 (Γ 12 ) u V En annulant les dérivées de L par rapport à u et λ, on obtient les équations qui caractérisent le point-selle (u, λ) de L a i (u i, v i ) = (f i, v i ) Ωi ε ij (λ, v i ) Γ12, v i V i, i = 1, 2 (3.4) (µ, [u 12 ]) Γ12 = 0, µ L 2 (Γ 12 ), (3.5) où ε ij représente le signe du sous-domaine Ω i avec ε ji = ε ij, i, j = 1, 2. Dans notre cas ε 12 = 1 et ε 21 = 1. Le principal avantage des équations (3.4)-(3.5) est que, pour λ connu, l'équation (3.4) est découplée. De l'équation (3.4), on déduit que u i = f i dans Ω i, u i n i = ε ij λ sur Γ 12, de sorte que λ = u 1 n 1 = u 2 n 2.

6 3 MÉTHODE DES MULTIPLICATEURS DE LAGRANGE 6 Le multiplicateur de Lagrange λ assure donc la continuité des dérivées normales à travers Γ 12. Supposons que u = u(λ) soit solution du problème découplé u i (λ) V i ; a i (u i (λ), v) = (f i, v) Ωi ε ij (λ, v) Γ12, v V i, i = 1, 2. (3.6) En posant v = u i (λ) dans (3.6) et en remplaçant dans (3.3), on obtient la fonctionnelle duale J (λ) := L(u(λ), λ) = 1 2 a(u i (λ), u i (λ)) 2 Comme les formes bilinéaires a i sont fortement convexes, alors la fonctionnelle J est fortement concave. Le problème de maximisation i=1 λ L 2 (Γ 12 ); J (λ) J (µ), µ L 2 (Γ 12 ), (3.7) admet donc une solution unique. La méthode de décomposition de domaine proposée dans cette section est basée sur la résolution du problème (3.7) par une méthode itérative de type Uzawa λ k+1 = λ k + t k µ k, (3.8) où µ k est une direction de montée de J, i.e. et t k le pas de déplacement. J (λ k ) λ µ k > Sensibilité, gradient Remarquons d'abord que l'application λ u(λ) est linéaire et continue et on a u(λ + tµ) = u(λ) + tw, (3.9) où w = (w 1, w 2 ) V est solution du problème de sensibilité (découplé) En eet, Si w i est solution de w i V i ; a i (w i, v) = ε ij (µ, v) Γ12, v V i, i = 1, 2. (3.10) a i (u i (λ + tµ) u i (λ), v i ) = ε ij (tµ, v i ) Γ12, v i V i. (3.11) a i (w i, v i ) = ε ij (µ, v i ) Γ12, v i V i, alors u i (λ + tµ) u i (λ) = tw i par unicité de la solution de (3.11) (la forme a i est coercitive sur V i ). Connaissant la variation de u par rapport à λ, on peut calculer la dérivée directionnelle de J, dans la direction µ J (λ) λ µ = 2 a i (u i, w i ). (3.12) i=1

7 3 MÉTHODE DES MULTIPLICATEURS DE LAGRANGE 7 Comme la fonctionnelle J est continûment diérentiable, son gradient J (λ) existe et doit vérier J (λ) µ = ( J (λ), µ) S. (3.13) λ En posant v = u i dans (3.10), on a que c'est-à-dire a i (w i, u i ) = ε ij (µ, u i ) Γ12, v V i, i = 1, 2, 2 a(w i, u i ) = (µ, [u 12 ]) Γ12. (3.14) i=1 En remplaçant (3.14) dans (3.12) et en considérant (3.13), on déduit que γ := J (λ) = [u 12 ], λ L 2 (Γ 12 ), (3.15) avec u = (u 1, u 2 ) V solution de (3.6). Avec le gradient de J, on peut maintenant construire une direction de montée. Comme J est quadratique convexe, la meilleure direction est la direction du gradient conjugué. A chaque itération k, la direction de montée du gradient conjugué est donnée par β k = γk 2 L 2 (Γ 12 ) γ k 1 2, (3.16) L 2 (Γ 12 ) µ k = γ k + β k µ k 1. (3.17) Il ne nous reste plus qu'à calculer le pas t k pour compléter l'itération (3.8). Le pas de déplacement t k est calculé de façon à maximiser la fonction (réelle d'une variable réelle) φ dénie par φ(t) = J (λ k + tµ k ). Comme J est fortement concave, il sut de résoudre l'équation linéaire en t (φ est quadratique) φ (t) = 0, i.e. 0 = φ (t) = λ J (λ k + tµ k ) µ k = ( J (λ k + tµ k ), µ) Γ12. (3.18) En utilisant (3.9) dans (3.15), l'équation (3.18) devient ([u k 12] + t[w k 12], µ k ) Γ12 = 0. Un calcul direct donne t k = ([uk 12 ], µk ) Γ12 ([w k 12 ], µk ) Γ12. (3.19)

8 3 MÉTHODE DES MULTIPLICATEURS DE LAGRANGE Algorithme On remplace la condition de Dirichlet homogène (2.2) par u = u D, sur Γ et on dénit V D i = { v H 1 (Ω i ); v = u D sur Γ i }, V D = V D 1 V D 2. Avec tous les éléments ci-dessus, nous pouvons maintenant donné l'algorithme de décomposition de domaine utilisant les multiplicateurs de Lagrange. Algorithme DDM/ML Itération k = 0. Initialisation: λ 0 donné Calculer u 0 = (u 0 1, u0 2 ) VD solution de Gradient initial : γ 0 = [u 0 12 ] Direction initiale : µ 0 = γ 0 a i (u 0 i, v) = (f i, v) Ωi ε ij (λ 0, v) Γ12, v V i, i = 1, 2. Itération k 0. On suppose λ k, u k, γ k et µ k connus Sensibilité: Calculer w k = (w1 k, wk 2 ) V solution de Pas de déplacement: a i (w k i, v) = ε ij (µ k, v) Γ12, v V i, i = 1, 2 Mise à jour des inconnues: t k = ([uk 12 ], µk ) Γ12 ([w k 12 ], µk ) Γ12 λ k+1 = λ k + t k µ k u k+1 i = u k i + t kw k i, i = 1, 2 Gradient: γ k+1 = [u k+1 12 ] Direction du gradient conjugué: β k = γk+1 2 L 2 (Γ 12 ) γ k 2 L 2 (Γ 12 ) µ k+1 = γ k+1 + β k µ k

9 4 MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS 9 On itère jusqu'à ce que la norme du gradient ait susamment diminué, i.e. γ k L 2 (Γ 12 ) γ 0 L 2 (Γ 12 ) < ε. La parallélisation de la méthode est immédiate, car les sous-problèmes à résoudre à chaque itération sont complètement découplés. 4 Méthode des moindres carrés Considérons maintenant les équations de Poisson découplées suivantes, avec des conditions aux limites mixtes DirichletNeumann, pour i = 1, 2, u i = f dans Ω i, (4.1) u i = 0 sur Γ i, (4.2) u i n i = λ sur Γ 12, (4.3) où n i est la normale unitaire sortante en Γ 12. La formulation variationnelle de (4.1)-(4.3) est alors donnée par u i V i ; a i (u i, v i ) = (f i, v i ) Ωi + ε ij (λ, v i ) Γ12, v i V i, i = 1, 2. (4.4) Un couple (u 1, u 2 ) solution de (4.4), i.e. de (4.1)-(4.3), n'est pas forcément solution du problème d'origine (2.1)-(2.2). Comme u = (u 1, u 2 ) dépend de λ, on choisit donc λ de sorte que u 1 soit le plus proche possible de u 2 à l'interface S. Ce qui revient à choisir λ qui minimise la fonctionnelle F (λ) = 1 [u 12 ] 2 ds. (4.5) 2 Γ 12 Il est clair que la fonctionnelle F admet au moins un minimum, à savoir λ = u n 1 Γ12 = u n 2 Γ12, où u est solution de (2.1)-(2.2). En prenant u 1 = u Ω1 et u 2 = u Ω2, on a bien F (λ) = 0. Mais pour éviter les complications, on ne va choisir que les λ qui sont de norme raisonnable. Donc au lieu de (4.5), on va minimiser la fonctionnelle régularisée 1 F δ (λ) = 1 [u] 2 dγ + δ 2 2 λ 2 L 2 (Γ 12 ), (4.6) S où δ > 0 est le paramètre de régularisation. La coercivité de F δ est évidente, puisqu'on a F δ (λ) δ 2 λ 2 L 2 (Γ 12 ), λ L2 (Γ 12 ). 1 On peut se passer de la régularisation, la démonstration de la coercivité est dans ce cas plus technique

10 4 MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS 10 Grâce à la coercivité, on montre l'existence d'une solution du problème d'optimisation max F δ(λ). (4.7) λ L 2 (Γ 12 ) On montre aussi la convergence de la solution de (4.7) vers la solution de (2.1)-(2.2) lorsque δ 0. La méthode de décomposition de domaine présentée dans cette section est basée sur la résolution de (4.7) par une méthode itérative de descente où µ k est une direction de descente de F δ. 4.1 Adjoint, sensibilité et gradient λ k+1 = λ k + t k µ k, Commençons par remarquer que (4.7) est en fait un problème de minimisation avec contraintes car dans (4.6) le couple u = (u 1, u 2 ) est solution de (4.4), ou encore (4.1)-(4.3). Soit z = (z 1, z 2 ) les multiplicateurs de Lagrange associé aux contraintes (4.4). Le Lagrangien du problème avec contraintes (4.7) est dénie par L(λ, z) = F δ (λ) a 1 (u 1, z 1 ) + (f, z 1 ) Ω1 + (λ, z 1 ) S a 2 (u 2, λ 2 ) + (f, z 2 ) Ω2 (λ, z 2 ) S (4.8) Les conditions nécessaires d'optimalité du premier ordre nous disent qu'une solution du problème avec contraintes (4.7) est (avec les multiplicateurs z 1 et z 2 ) point stationnaire du Lagrangien. En annulant les dérivées directionnelles de L par rapport à z i, on obtient les contraintes (4.4). En annulant les dérivées directionnelles de L par rapport à u i, on obtient le problème adjoint (découplé) z i V i ; a i (z i, v i ) = ε ij ([u 12 ], v i ) Γ12, v i V i, i = 1, 2. (4.9) Le système adjoint (4.9) nous servira plus tard pour calculer le gradient de F δ. Notons que la fonctionnelle (4.6) est convexe et quadratique et que les contraintes sont linéaires. Donc avec un algorithme du gradient conjugué, on doit pouvoir espérer une convergence quadratique. L'application qui à λ associe u i (λ) solution de (4.4) est linéaire et u(λ + tµ) = u(λ) + tw où w = (w 1, w 2 ) est solution du problème de sensibilité (découplé) w i V i ; a i (w i, v i ) = ε ij (µ, v i ) Γ12, v V i, (4.10) La dérivée directionnelle de la fonctionnelle (4.6) est alors donnée par λ F δ(λ) µ = ([u 12 ], [w 12 ]) Γ12 + δ(λ, µ) Γ12, µ L 2 (Γ 12 ), (4.11)

11 4 MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS 11 où [w 12 ] = (w 1 w 2 ) Γ12. Rappelons que le vecteur gradient F δ (λ) doit vérier F δ (λ) λ En posant v i = z i dans (4.10), on obtient µ = ( F δ (λ), µ) Γ12. a i (w i, z i ) = ε ij (µ, z i ) Γ12, i = 1, 2. Ce qui donne, en additionnant les deux équations, où [z 12 ] = (z 1 z 2 ) Γ12. En posant v i = w i dans (4.9), on obtient En sommant ces deux équations, il vient que a 1 (w 1, z 1 ) + a 2 (w 2, z 2 ) = (µ, [z 12 ]) S, (4.12) a i (z i, w i ) = ε ij ([u 12 ], w i ) Γ12, i = 1, 2. a 1 (w 1, z 1 ) + a 2 (w 2, z 2 ) = ([u 12 ], [w 12 ]) Γ12. (4.13) Les formes bilinéaires a 1 et a 2 étant symétriques, (4.12) et (4.13) impliquent que ([u 12 ], [w 12 ]) Γ12 = (µ, [z 12 ]) Γ12, µ L 2 (Γ 12 ). (4.14) Substituant (4.14) dans (4.11), on obtient que D'où on conclut que λ F δ(λ) µ = ([z 12 ] + δλ, µ) Γ12, µ L 2 (Γ 12 ). (4.15) γ := F δ (λ) = [z 12 ] + δλ. (4.16) Comme F δ est quadratique, la direction de descente idéale est la direction du gradient conjugué. A chaque itération k, la direction de descente du gradient conjugué (de Fletcher- Reeves) est donnée par β k = γk+1 2 L 2 (Γ 12 ) γ k 2, L 2 (Γ 12 ) µ k+1 = γ k+1 + β k µ k. La valeur optimale pour le pas de déplacement t k est calculée en minimisant la fonction réelle à variable réelle φ(t) = F δ (λ k + tµ k ), t > 0. (4.17)

12 4 MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS 12 Comme F δ est quadratique, un minimum de (4.17) est l'unique solution de l'équation linéaire φ (t) = λ F δ(λ k + tµ k ) µ k = 0. (4.18) En utilisant (4.11), l'équation (4.18) se réduit à ] [([w 12], k [w12]) k Γ12 + δ(µ k, µ k ) Γ12 t + ([u k 12], [w12]) k Γ12 + δ(λ k, µ k ) Γ12 = 0. On déduit alors que le pas de déplacement optimal est t k = ([uk 12 ], [wk 12 ]) Γ 12 + δ(λ k, µ k ) Γ12 [w12 k ] 2 L 2 (Γ 12 ) +δ λk 2. (4.19) L 2 (Γ 12 ) 4.2 Algorithme Avec les résultats cidessus, nous pouvons maintenant présenter l'algorithme descente pour générer une suite minimisante de (4.6). Algorithme DDM/LS Itération k = 0. Initialisation: λ 0, δ > 0 Calculer u 0 = (u 0 1, u0 2 ) VD solution de a i (u 0 i, v i ) = (f i, v i ) Ωi + ε ij (λ 0, v i ) Γ12, v V i, i = 1, 2. Calculer z 0 = (z1 0, z0 2 ) V solution de Gradient initial : γ 0 = [z 0 12 ] + δλ0 a i (z 0 i, v i ) = ε ij ([u 0 12], v i ) Γ12, v i V i, i = 1, 2. Direction initiale : µ 0 = γ 0 Itération k 0. On suppose λ k, u k, z k γ k et µ k connus Sensibilité: Calculer w k = (w1 k, wk 2 ) V solution de Pas de déplacement: a i (w k i, v i ) = ε ij (µ k, v i ) Γ12, v V i, i = 1, 2. Mise à jour: λ k+1 = λ k + t k µ k u k+1 i = u k i + t kwi k, i = 1, 2. t k = ([uk 12 ], µk ) Γ12 + δ(λ k, µ k ) Γ12 [w12 k ] 2 L 2 (Γ 12 ) +δ µk L 2 (Γ 12 )

13 4 MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS 13 Gradient: Calculer z k = (z1 k, zk 2 ) V solution de γ k+1 = [z k+1 12 ] + δλk+1 a i (z k+1 i, v i ) = ε ij ([u k+1 12 ], v i) Γ12, v V i, i = 1, 2. Direction du gradient conjugué: β k = γk+1 2 L 2 (Γ 12 ) γ k 2 L 2 (Γ 12 ) µ k+1 = γ k+1 + β k µ k On itère jusqu'à ce que la norme du gradient ait susamment diminué, i.e. γ k L 2 (Γ 12 ) γ 0 L 2 (Γ 12 ) On remarque qu'à chaque itération, on résout deux problèmes découplés: le problème adjoint et le problème de sensibilité. La parallélisation de la méthode est donc évidente. 4.3 Discrétisation par éléments nis On ne s'intéresse ici qu'à la méthode des multiplicateurs de Lagrange. On suppose que chaque sous-domaines Ω i est de forme polygonale de sorte qu'il peu être entièrement triangulé. Soit T ih une triangulation de Ω i. On dénit les espaces d'éléments nis < ε. V ih = { v C 0 (Ω i ); v T P 1 (T ) T T ih ; v = 0 sur Γ i } Vi, i = 1, 2, où P 1 (T ) est l'espace des polynômes de degré 1 sur le triangle T. La triangulation T h = T 1h T 2h induit sur Γ 12 une décomposition en segments I h. O dénit alors l'espace d'éléments nis Λ h = { g h C 0 (Γ 12 ); g h I P 1 (I) I I h } L 2 (Γ 12 ). Soit {φ j } les fonctions de bases (globales), linéaires par morceaux, de V ih. Pour u ih V ih on a u ih = φ j (x)u j i, x Ω ih, j où u j i est la valeur de u ih au n ud j du maillage,.e. u j i = u ih(x j ). Pour la formulation algébrique des problèmes discrets, nous introduisons les notations u i = {u ih (x j )} j, g i = {(f i, φ j ) Ωi } j, λ = {λ h (x j )} j, b(λ) = {(λ h, φ j ) Γ12 } j,

14 4 MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS 14 où l'indice i fait référence au sous-domaine. En utilisant la méthode d'intégration des trapèzes à l'interface Γ 12, on obtient b(λ) = Fλ, où F est une matrice diagonale. La discrétisation des formes bilinéaires donne les matrices A i = (a i (φ j, φ k )) j,k, i = 1, 2. Après la prise en compte des conditions aux limites, les matrices A i seront dénies positives. On peut maintenant donner l'algorithme discret. Algorithme DDM/ML Itération k = 0. Initialisation: λ 0 donné Résoudre Gradient initial : γ 0 = [u 0 12 ] A 1 u 0 1 = f 1 Fλ 0, A 2 u 0 2 = f 2 + Fλ 0. Direction initiale : µ 0 = γ 0 Itération k 0. On suppose λ k, u k i, γk et µ k connus Sensibilité: Résoudre Pas de déplacement: A 1 w k 1 = Fµ k, A 2 w k 2 = Fµ k. Mise à jour: λ k+1 = λ k + t k µ k u k+1 i = u k i + t kwi k, i = 1, 2. Gradient: γ k+1 = [u k+1 12 ] Direction du gradient conjugué: β k = (γk+1 ) Fγ k+1 (γ k ) Fγ k µ k+1 = γ k+1 + β k µ k t k = [uk 12 ] Fµ k [w k 12 ] Fµ k.

15 5 LE TP 15 On arrête l'algorithme lorsque (γ k ) T Fγ k (γ 0 ) T Fγ 0 < On note que les matrices utilisées ne varient pas au cours des itérations. On pourra donc faire une factorisation de Choleski, une fois pour toutes, dans l'étape d'initialisation. Les résolutions suivantes se réduisent alors à des simples substitutions. 5 Le TP Soit à résoudre u = f, dans Ω, u = 0, sur Γ. On choisit le domaine Ω = [0, 2] [0, 1] et le second membre est f(x, y) = 2y cos x cos(πy/2) + π(x 2) sin x sin(πy/2) ( ) π y(x 2) sin x cos(πy/2), (x, y) Ω. En principe 2 f est choisie de telle sorte que la solution exacte du problème de Poisson soit u ex = (x 2)y sin x cos(πy/2). Les sous-domaines sont Ω 1 = [0, 1] [0, 1] et Ω 2 = [1, 2] [0, 1]. 5.1 Lecture des maillages Soit ns le nombre de noeuds du maillage, nt le nombre de triangles et ni le nombre de noeuds à l'interface des deux sous-domaines. Les coordonnées des noeuds du maillage sont stockées dans p(1:2,1:ns) et les noeuds des triangles dans t(1:3,1:nt). Un tableau auxiliaire ref(1:ns) contient les références des noeuds, i.e. si ref(i)==0 alors le noeud i est un noeud interne, sinon c'est un noeud du bord. Les segments consécutifs de l'interface sont stockés dans le vecteur itf(1:ni). Alors le bout de code suivant lit un maillage.msh (ici dans le chier sdm1_177.msh). open(unit=1,file='sdm1_177.msh',status='old',action='read') read(1,*) ns,nt,ni allocate(t(3,nt))! allocation tab connectivite allocate(ref(ns))! allocation tab ref des noeuds allocate(p(2,ns))! allocation tab coord. des noeuds do i=1,ns 2 i.e. modulo les erreurs de dérivation

16 5 LE TP 16 read(1,*) p(1,i),p(2,i),ref(i) end do do i=1,nt read(1,*) (t(k,i), k=1,3)! lecture sommets des triangles end do read(1,*) ni allocate(itf(ni)) read(1,*) (itf(i),i=1,ni) close(1) 5.2 Stockage et assemblage des matrices Les matrices utilisées sont stockées en ligne de ciel (skyline) pour économiser l'espacemémoire. Les sous-routines organisant le stockage ligne de ciel sont rassemblées dans le chier sklstore.f90 (module msb_sklstore). La sous-routine sklstore initialise le vecteur de stockage des demi-largeurs de bande (tableau lband(1:ns)) et le vecteur des positions des éléments diagonaux (idiag(1:ns)). La position du dernier élément diagonal (i.e. a nn pour une matrice d'ordre n) donne la taille du vecteur de stockage ligne de ciel. La fonction posij(i,j,idiag,lband) renvoie l'indice ij de l'élément a ij dans le vecteur de stockage ligne de ciel. L'assemblage des matrices du Laplacien est réalisé dans la sous-routine laplacemat, dans le chier laplacemat.f90 (module msb_laplacemat). 5.3 Résolution des systèmes linéaires Les matrices sont dénies positives. On utilise donc la factorisation de Choleski (A = RR T ). La factorisation et/ou la résolution sont eectuées dans la sous-routine Choleski dans le chier choleski.f90 (module msb_choleski). 5.4 Parallélisation La parallélisation avec la librairie MPI est la plus adaptée surtout pour la décomposition de domaine avec un nombre quelconque de sous-domaine. Chaque sous-domaine Ω i est alloué à un processeur avec la description standard d'un problème d'éléments nis pour un seul domaine. Chaque processeur assemble et factorise la matrice associée à son sousdomaine. L'interface Γ 12 est traité comme un bord spécial sous condition de Neumann. Pour chaque processeur, les opérations non locales sont celles qui font intervenir les sauts à l'interface, par exemple pour calculer γ k = [u k 12 ]. Pour cela il sut d'échanger les valeurs de u k i de part et d'autre de l'interface: chaque processeur envoie sa contribution au processeur en charge du domaine voisin et reçoit sa contribution avant de calculer le saut. Pour réaliser ces opérations de manière ecace, il convient d'utiliser les fonctionalités topologiques de MPI. En dimension deux, avec une décomposition de domaine de type cartésienne (i.e. sous forme de grille) on utilise la routine mpi_cart_create pour attribuer à chaque processeur

17 RÉFÉRENCES 17 des coordonnées (ip,jp) corespondant au sous-domaine de la grille à traiter. De sorte que chaque processeur de coordonnées (ip,jp) puisse connaître les processeurs en charge des domaines voisins, à savoir (ip-1,jp), (ip+1,jp), (ip,jp-1) et (ip,jp+1). Après, il sut d'organiser les échanges non bloquants, entre processeurs traitant des sous-domaines voisins, avec la routine mpi_sendrecv. Références [1] Du Q. An optimization based nonoverlapping domain decomposition algorithms and their convergence. SIAM J. Numer. Anal., 39(3): , [2] Glowinski R, Periaux J. and Vinh Dinh Q. Domain decomposition methods for nonlinear problems in uid dynamics. Research Report RR-147, INRIA, [3] Gunzburger M.D. and Lee H.K. An optimization based domain decomposition method for the navier-stokes equations. SIAM J. Numer. Anal., 37(5): , [4] Gunzburger M.D., Peterson J. and Kwon H. An optimization based domain decomposition method for partial dierential equations. Comp. Math. Appl., 37:7793, [5] Meurant G. Computer Solution of Large Systems. Studies in Mathematics and its Applications. North Holland, [6] Quarteroni A. and Valli A. Domain Decomposition Methods for Partial Dierential Equations. Oxford University Press, 1999.