Cours S10 : Filtrage linéaire (COURS + EXERCICES)

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1 PROGRAMME DE COLLES DE PHYSIQUE Semaine 14 du 29 Janvier au 2 Février 2018 Cours S10 : Filtrage linéaire (COURS + EXERCICES) I. Quadripôle linéaire et filtrage II. Étude complète de filtres linéaires passifs (A MAITRISER!!) Filtre passe-bas d'ordre 1 Exemples de quadripôles : quadripôle RC ou quadripôle LR Pulsation de coupure / Comportement pseudo intégrateur en HF / Filtre passe-haut d'ordre 1 Exemples de quadripôles : quadripôle CR ou quadripôle RL Pulsation de coupure / Comportement pseudo dérivateur en BF / Étude du Gabarit d'un filtre passe haut d'ordre 1 Filtre passe-bas d'ordre 2 Exemples de quadripôles : quadripôle RLC ou mise en cascade de deux filtres RC Lors du tracé du diagramme réel, il faut tenir compte du phénomène de résonance aux bornes du condensateur qui ne se produit uniquement pour Q 1 2 Filtre passe-bande d'ordre 2 Exemples de quadripôles : quadripôle CLR ou filtre de Wien Lors du tracé du diagramme réel, il faut tenir compte de la valeur du facteur de qualité (tracés effectués pour Q = 0,1 puis Q = 10)

2 III. Action d'un filtre linéaire sur un signal d'entrée périodique (A MAITRISER!!) 1) Caractéristiques d'un signal périodique Exemples d'un signal sinusoïdal et d'un signal créneau de rapport cyclique α. Définition de la valeur moyenne d'un signal T-périodique : cas du signal sinusoïdal et du signal créneau, interprétation graphique Définition de la valeur efficace d'un signal T-périodique : cas du signal sinusoïdal et du signal créneau, lien avec les appareils de mesure et la puissance consommée par un dipôle 2) Décomposition en série de Fourier d'un signal périodique Série de Fourier : «Tout signal e(t) T-périodique peut s'écrire comme une somme de signaux sinusoïdaux de pulsation nω, constituant sa décomposition en série de Fourier : e(t)=e 0 + (a n cos(nω t)+b n sin(nωt )) n=1 Définition des coefficients de Fourier e 0, a n et b n. On distingue le fondamental des harmoniques de rang n et on distingue le cas des signaux pairs et impairs. Le lemme de Lebesgue nous permet de retrouver que les coefficients de Fourier a n et b n tendent vers zéro quand n + Spectre de Fourier des a n et b n : il s'agit de l'ensemble des coefficients de Fourier a n et b n que l'on représente graphiquement en fonction de la fréquence. Application : décomposition en série de Fourier d'un signal créneau impair. Le calcul est mené et on montre que la série ne contient que des harmoniques impairs. Synthèse harmonique : plus la somme partielle contient de termes, plus elle approche le signal s(t) de manière satisfaisante. Spectre d'amplitude et de phase : on réécrit s(t) pour faire apparaître les coefficients c n et φ n Valeur efficace et théorème de Parseval : le théorème de Parseval nous indique que l'énergie du signal est à la somme des énergies de chaque harmonique. Filtrage d'un signal périodique Exemples d'un signal sinusoïdal et d'un signal créneau de rapport cyclique α. 3) Filtrage d'un signal périodique Principe : par linéarité du filtre, le principe de superposition permet d'écrire le signal de sortie sous la forme : s(t)=e 0. G(0)+ (c n. G(n ω)cos(n ω t +Φ(n ω)+ϕ(n ω))) n=1 Mise en évidence expérimentale : action d'un filtre passe-bas sur un signal électrique (analyse des graphes temporels et des spectres de Fourier et mise en évidence des caractères moyenneur et intégrateur)

3 Capacités exigibles Cours S10 : Filtrage linéaire Établir le gabarit d un filtre en fonction du cahier des charges. Expliciter les conditions d utilisation d un filtre afin de l utiliser comme moyenneur, intégrateur ou dérivateur. Comprendre l intérêt, pour garantir leur fonctionnement lors de mises en cascade, de réaliser des filtres de tension de faible impédance de sortie et forte impédance d entrée. Savoir montrer que la fonction de transfert équivalente pour des quadripôles montés en cascade n'est pas le produit des fonctions de transfert en sortie ouverte individuelle. Savoir mener une étude complète des filtres RC, CR, RLC et CLR. Savoir réinvestir la méthode d'étude d'un filtre sur un quadripôle inconnu (mise en cascade de filtres, ADSL ) Savoir définir la valeur moyenne d'un signal T-périodique et la calculer dans le cas du signal sinusoïdal et du signal créneau. Savoir définir la valeur efficace d'un signal T-périodique et la calculer dans le cas du signal sinusoïdal et du signal créneau. Savoir présenter la décomposition d'un signal périodique en une somme de fonctions sinusoïdales. Savoir que le carré de la valeur efficace d un signal périodique est la somme des carrés des valeurs efficaces de ses harmoniques : théorème de Parseval. Savoir modéliser et étudier l'action d'un filtre linéaire sur un signal périodique. Savoir analyser et interpréter des graphes temporels et des spectres pour mettre en évidence l'action d'un filtre (passe-bas, moyenneur, intégrateur, etc...)

4 FICHE D'ÉVALUATION KHÔLLE PCSI Semaine 14 NOM : PRÉNOM : NOTE : Question de cours : Exercice(s) : Compétences transversales A B C D Commentaires S'approprier et analyser le problème Savoir réinvestir les résultats de cours dans de nouvelles situations Savoir faire preuve d'initiatives et de réactivité face aux indications fournies par l'examinateur Savoir présenter son travail : tableau organisé et soigné, communication claire et convaincante Savoir mener un calcul sans erreurs Compétences disciplinaires A B C D Commentaires Maîtriser les notions élémentaires du filtrage : Gains, diagrammes de Bode, gabarit... du filtre RC : comportement asymptotique / pulsation de coupure / comportement pseudo intégrateur en HF / du filtre CR : comportement asymptotique / pulsation de coupure / comportement pseudo dérivateur en BF / du filtre RLC : comportement asymptotique / S10 : Filtrage linéaire

5 du filtre CLR : comportement asymptotique / Savoir mener une étude d'un quadripôle inconnu en exercice Savoir définir la valeur moyenne/efficace d'un signal T-périodique et la calculer dans le cas du signal sinusoïdal et du signal créneau Savoir présenter la décomposition en série de Fourier d'un signal périodique Savoir énoncer le théorème de Parseval Savoir modéliser et étudier l'action d'un filtre linéaire sur un signal périodique Savoir analyser et interpréter des graphes temporels et des spectres pour mettre en évidence l'action d'un filtre A : acquis / B : en cours d'acquisition / C : insuffisant / D : non acquis / N : non évalué