MATHÉMATIQUES I. Partie I - Définition d une suite

Transcription

1 Les parties II, III et IV sont relativement indépendantes Partie I - Définition d une suite ( ) n IN Dans cette partie, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 4 A, A,, A n sont n points tous distincts dans un plan Ces points sont, dans cet ordre, les sommets d un polygone convexe Autrement dit, en convenant que A n + = A la propriété suivante est vérifiée : pour tout côté A i A i + du polygone, tous les sommets du polygone autres que A i et A i + sont du même côté de la droite joignant A i à A i + On appelle diagonale du polygone tout segment joignant deux sommets non consécutifs On trace un certain nombre de ces diagonales de manière à découper le polygone en triangles Les diagonales utilisées ne doivent avoir, deux par deux, aucun point commun à l intérieur du polygone Pour n fixé, on note le nombre de découpages possibles du polygone Pour n = 4, par exemple, il y a deux découpages possibles, l un utilisant la diagonale A A 3 et l autre utilisant la diagonale A A 4, donc a 4 = IA - Ici, n = 5 Montrer que le triangle A A A 3 figure dans découpages possibles, le triangle A A A 4 dans un seul découpage et le triangle A A A 5 dans découpages possibles En déduire que a 5 = 5 IB - Ici, n = 6 Combien y-a-t-il de découpages possibles du polygone dans lesquels figurent le triangle A A A 3? le triangle A A A 4? le triangle A A A 5? le triangle A A A 6? Calculer a 6 IC - Justifier que a 7 = a 6 + a 5 + a 4 + a 5 + a 6 et que a 8 = a 7 + a 6 + a 5 a 4 + a 4 a 5 + a 6 + a 7 ID - Donner en la justifiant, une formule généralisant les précédentes et permettant, pour n 7, de calculer connaissant a 4,, Concours Centrale-Supélec 00 /6

2 IE - On convient que a = a 3 = Montrer que l on a, pour tout n supérieur ou égal à 3, n = a k + k k = IF - Écrire une procédure ou une fonction qui, recevant à l entrée la valeur de n, renvoie un tableau contenant les valeurs a,, Ce programme sera écrit dans le langage du logiciel de calcul formel connu du candidat, qui sera précisé sur la copie Il devra être accompagné de commentaires le rendant compréhensible par le correcteur Partie II - Expression de On se propose, dans cette partie, d expliciter l entier défini dans la première partie On convient que a 0 = a = 0 IIA - Montrer que l on a, pour tout n supérieur ou égal à 3, n + = a k + k k = IIB - Soit ( b n ) n IN une suite de réels tels que la série entière b n x n ait un rayon de convergence r non nul Pour x ] rr[,, on pose : gx ( ) = b n x n n = 0 IIB) Soit m fixé dans IN Montrer que, sur ] r, r[, la fonction h définie par hx ( ) = b m+ k x k est définie et continue k = IIB) En déduire que g admet, au voisinage de 0, un développement limité d ordre m Préciser la partie polynomiale de ce développement limité IIB3) Si p est un entier inférieur ou égal à m, quel est le coefficient de x p dans le développement limité d ordre m, au voisinage de 0, de la fonction xa g ( x)? ( g ( x) désigne le produit du réel gx ( ) par lui-même) Concours Centrale-Supélec 00 /6

3 Quel est le coefficient de dans le développement limité d ordre m de la fonction xa g ( x) xg( x) + x 3? IIC - On revient à la suite ( ) n IN On note R le rayon de convergence de la série entière x n et on utilise la fonction f définie sur ] R, + R [ par f( x) = x n k = 0 x p IIC) Que peut-on dire, si R n est pas nul, de l existence et de la valeur de f '( 0)? IIC) Dire pourquoi les résultats de IIB suggèrent qu on a peut-être, si R n est pas nul : x ] R, + R[, f ( x) xf ( x) + x 3 = 0 IIC3) Trouver un réel β, le plus grand possible, et une fonction h (que l on explicitera en résolvant une équation du second degré) définie et continue sur ] β, [, dérivable en 0 avec h' ( 0) = 0, tels que : x ] β, + β[, h ( x) xh( x) + x 3 = 0 IID - IID) Le réel α étant fixé, rappeler le développement en série entière de la fonction x a ( + x) α et son rayon de convergence IID) En déduire le développement en série entière de la fonction x a x On essaiera d écrire le coefficient de dans ce développement sous la forme d une fraction dont les deux termes seraient des produits d entiers IID3) Donner de hx ( ) une expression, valable pour x ] --,, sous forme de série entière x n IID4) En utilisant IIC3 et IIB3, montrer que, pour tout entier naturel n, le coefficient de x n dans le développement de hx ( ) en série entière est exactement égal à IIE - Déduire de tout ce qui précède une expression simple de, valable pour n tout entier n supérieur ou égal à, et utilisant le coefficient binomial C n 4 q p! On rappelle que, avec la convention 0! =, on a C p = q! ( p q)! n IIF - En déduire que, pour n supérieur ou égal à, l entier C n 4 est divisible par l entier n Concours Centrale-Supélec 00 3/6

4 Partie III - Équivalent de On se propose dans cette partie de déterminer un équivalent de l entier dans la première partie Pour n IN, on considère l intégrale I n = dt ( + t ) n défini IIIA - Établir l existence de I n pour n IN Calculer I 0 et I IIIB - IIIB) Montrer que ( I n ) est une suite décroissante IIIB) n + Montrer que I n + = I pour n + n n IN IIIB3) En déduire que I n + est équivalent à I n lorsque n IIIC - Montrer, en utilisant IIIB, que ( n + )I n I n + est une constante que l on explicitera En déduire un équivalent de I n lorsque n IIID - Pour n, calculer I n 4 puis exprimer au moyen de I n 4 En déduire un équivalent de lorsque n Partie IV - Étude d une fonction On se propose dans cette partie d étudier la fonction ϕ définie par n ϕ( x) = C n n 4 x n n = IVA - Montrer que : x ] -- ϕ x x,, ( ) = -- ( 4x) Étudier les variations et tracer le graphe de la restriction de ϕ à ] --, IVB - Soit n 0 IN, n 0 IVB) Soit x ]0, Montrer que 4 -- [ n 0 n C n n 4 x n x -- ( 4x) n = Concours Centrale-Supélec 00 4/6

5 IVB) En déduire que n 0 n C n n n -- 8 n = IVB3) ϕ est-elle définie pour x = --? est-elle définie pour x =? IVC - Conclure quant à l ensemble de définition de ϕ La fonction ϕ est-elle continue sur cet ensemble? Donner de ϕ( x) une expression simple valable pour tout x appartenant à l ensemble de définition IVD - IVD) Citer les théorèmes qui permettent de justifier la dérivabilité de la série entière définissant ϕ sur ] --,, d écrire comme somme d une série ϕ' ( x) entière que l on explicitera, et de donner le rayon de convergence de cette série IVD) Montrer que ϕ est solution, sur ] --,, de l équation différentielle ( E) linéaire du premier ordre x( 4x)y' ( x) ( 6x) yx ( ) = px ( ) ( E) où p est un polynôme du second degré que l on déterminera x IVD3) Vérifier que la fonction x a -- est solution de ( E) sur IR IVD4) Résoudre ( E) sur chacun des intervalles ], 0[ et ]0, 4 --[ IVD5) Vérifier que ϕ est la seule solution de ( E), de classe C sur ] --,, avec une dérivée nulle en 0 IVE - IVE) La fonction ϕ' est-elle bornée sur ] --,? IVE) La série entière égale à ϕ' ( x) pour x ] -- est-elle convergente pour?, x = -- 4 IVE3) On note n n x n = C Vérifier que l on a n n n x n > pour tout n x n + n En déduire lature de la série de terme général de la suite ( x n ) n IN ln( x n ) ln( x n + ) et lature Concours Centrale-Supélec 00 5/6

6 IVE4) La série entière égale à ϕ' ( x) pour x ] -- est-elle convergente pour?, x = -- 4 ϕ est-elle dérivable en ce point? FIN Concours Centrale-Supélec 00 6/6