Compatibilité ElectroMagnétique (CEM) Plan de l exposé Electromagnétisme (Equation de Maxwell)

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1 Plan de l exposé Electromagnétisme (Equation de Maxwell) 1 1. Grandeurs Electromagnétiques, 2. Equations de Maxwell, 3. Relations des milieux, 4. Conditions de passage d un milieu à autre 5. Loi de Gauss (Phénomène électrostatique) 6. Conservation de la charge électrique 7. Conservation du flux magnétique 8. Théorème d Ampère 9. Phénomène d induction loi de Faraday 1. Potentiel magnétique vecteur A et scalaire V 11. Electrostatique 12. Magnétostatique Loi de Biot et avart 13. Régime quasi stationnaire Champ proche 14. Propagation d ondes Champ lointain 15. Loi de Biot et avart 16. Champs créés par des circuits particuliers

2 Grandeurs électromagnétiques Dans tous les problèmes qui nécessitent la détermination du champ électromagnétique qui règne à chaque instant aux divers points d un système matériel, en particulier les problèmes relatifs à la propagation des ondes, on a à utiliser les équations de Maxwell et trouver les grandeurs locales suivantes : Un système de champs électrique E V m et magnétique A m Un système d'inductions électrique 2 A. s m Un champ vectoriel électrique densité de courant 2 A m Un champ scalaire électrique charge d'espace 3 C m J H D et magnétique T B 2 CEM: Electromagnétisme

3 Equations de Maxwell La loi de Faraday, le théorème d Ampère et le théorème de Gauss ont été réunis par James Clerk Maxwell ( ). Ce savant a été capable de donner les découvertes une formulation la plus complète de l électromagnétisme liant les grandeurs électriques et magnétiques dans les quatre équations aux dérivées partielles suivantes: D 1. Equation de Maxwell-Ampère : roth J B t 2. Equation de Maxwell-Faraday : rote t 3. Equation de Maxwell-Gauss : divd 4. Equation de Maxwell-flux : divb 3

4 Relations dans les milieux 4 Les grandeurs des champs vectoriels dépendent des propriétés du milieu où ils règnent. Pour compléter la description électromagnétique, il faut ajouter aux équations précédentes les équations de comportement des milieux. Milieu isolant, Milieu conducteur, Milieu magnétique, Milieu diélectrique.

5 Relations dans les milieux - Milieu conducteur et isolant - 5 Les grandeurs des champs vectoriels dépendent des propriétés du milieu où ils règnent. Pour compléter la description électromagnétique, il faut ajouter aux équations précédentes les équations de comportement des milieux. J E Milieu conducteur (loi d Ohm) : : Conductivité électrique [Ω.m] -1 1/ : Résistivité électrique [Ω.m] Milieu isolant ( = et R) : J U Pour une tension sinusoïdale et en notation complexe la loi se généralise : U ZI où Z est l impédance. RI

6 Relations dans les milieux - Milieu Magnétique - Milieu magnétique : H avec r r : Perméabilité magnétique relative du milieu [ H / m] Perméabilité magnétique du vide 6 Matériaux diamagnétiques : argent, cuivre, eau, or, plomb, z inc...), Paramagnétiques : air, aluminium, magnésium, pla tine... Ferromagnétiques : cobalt, fer, métal, nickel... Matériaux diamagnétiques et Paramagnétiques : Ferromagnétiques : ; ces matériaux canalise le champs magnétique r 1 r 1

7 Relations dans les milieux Milieu diélectrique : D avec r : Permittivité diélectrique appelée aussi constante diélectrique r : Permittivité diélectrique relative du milieu 2 1 c [ F / m] c m / s Permittivité diélectrique du vide : Vitesse de la lumière 7 Diélectrique Armatures

8 Conditions de passage d un milieu à autre Nous avons définies toutes les liaisons : source/champs, électrique/magnétique et caractéristiques du milieu. Il reste à définir les relations entre les grandeurs de deux milieux électriquement et magnétiquement différents. Pour cela, on intègre les équations de Maxwell entre deux points très voisins de part et d autre d une surface séparant ces deux milieux. E n B n B 2 n Milieu 2 (,, ) 8 E t B t urface de séparation ( s, J s ) B 1 Milieu1 (,, )

9 Conservation des champs 9 La conservation de la composante tangentielle du champ électrique : E 2 E1 n E t 2 Et1 La conservation de la composante normale de l induction magnétique : B2 B1 n B n 2 Bn 1 n Où est le vecteur normal à la surface de séparation dirigé du milieu 1 vers le milieu 2.

10 Discontinuité des champs La discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique due aux courants surfaciques (J) s ils existent: H 2 H1 n J n H t 2 H t1 J 1 Où Js est densité de courant sur la surface de séparation des deux milieux La discontinuité de la composante normale de l induction électrique due aux charges surfaciques (q) si elles existent: n D 2 D1 n q Dn2 Dn 1 q En2 En 1 Où est le vecteur normal à la surface de séparation dirigé du milieu 1 vers le milieu 2. q

11 Equ. M-G : Loi de Gauss (Phénomène électrostatique) dive dive En faisant l intégrale sur le volume des membres de l équation I.8 et en tenant compte des relations suivantes : d d Q Ed : Formule Nous aboutissons au théorème de Gauss : : Chaques d' Ostrogorski électriques Ed Le champ électrique est créé par les charges électriques, Les lignes de champs débutent par les charges positives et finisses par les charges négatives. Q 11

12 Equ. M-A : Conservation de la charge électrique D roth J t La divergence de l équation Maxwell-Ampère donne : divd div roth divj t Le premier membre est nul car la divergence du rotationnel est nulle. Le second terme du second membre peut être simplifié en faisant intervenir l équation de M-G ( divd ). divj t En faisant intervenir la loi d Ohm ( J E) et en tenant compte une autre fois de l équation M-G, on arrive à l équation de conservation de la charge électrique : t 12

13 Conservation du flux magnétique Equ. M-Flux : divb En faisant l intégrale sur le volume et en tenant compte de la formule d Ostrogradski, nous arrivons à : Elle exprime que : B d il n existe pas de charges magnétiques Les lignes de champs magnétiques n ont ni début ni fin. 13 B d B cos d

14 Equ. M-A : roth En introduisant : La relation magnétique : La relation diélectrique : Théorème d Ampère D J t H D dans l équation de M-A et elle devient : On applique l intégrale de surface: En tenant compte : Théorème d Ampère : rotb d C B dl E rotb J t rotb d I J d I D C B dl I I D J d «I» courant de conduction résultant du déplacement des charges électriques «I D» courant de déplacement, il résulte de la variation temporelle du champ électrique. Il est à l origine de l effet de propagation dans l air. Pour N spires : C E d t B dl NI E t NI d D 14

15 Phénomène d induction loi de Faraday B Equ. M-F : rote t De la même manière que précédemment, l intégrale de surface de l équation M-F donne la forme suivante : B E dl B ds B roteds ds C t t s s e e E dl C avec t B ds ( a) ( b) «e» est une force électromotrice induite (tension) est le flux magnétique à travers la surface. «I» courant de conduction résultant du déplacement des charges électriques «I D» courant de déplacement, il résulte de la variation temporelle du champ électrique. Il est à l origine de l effet de propagation dans l air. i 15

16 Potentiel magnétique vecteur A et scalaire V 16 De l équation M-G ( B ), on en déduit que : div B rota On dit que l induction magnétique B dérive d un potentiel magnétique vecteur A Cela vient du fait que : div( rota) i l on introduit la relation B rota dans l équation de M-F, il vient: B rote rota rote rote rota t t t A A A rote rot rot E E gradv t t t A oit : E gradv Dans le cas du régime permanent : E gradv t

17 Electrostatique 17 Phénomène magnétostatique nul Variations temporelle nulle 2. Equ. M-F : rote 3. Equ. M.-G : dive De l équa. 2. on a le théorème de Gauss : Champ électrique créé par des particules chargés et représente la solution du théorème de Gauss : Circulation : rote E gradv rot Energie potentiel électrostatique : W 1 2 qv 1 2 CV Ed 2 q car : grad On dit que le champ électrique E dérive d un potentiel V E 1 dq 2 4 r où C: capacité

18 Magnétostatique Loi de Biot et avart 18 Phénomène électrostatique nul Variations temporelle nulle 1. Equ. M-A : roth J 4. Equ. M.-G : divb De l équa. 1. on a le théorème d Ampère : B dl I C La solution du théorème d Ampère est donnée par la loi de Biot et avart : Idl u B 2 4 r l c

19 Champs créés par des circuits particuliers 19 Fil rectiligne infini : Fil rectiligne fini : pire circulaire de rayon R (An centre O) : pire circulaire de rayon R (En un point de son axe) : Bobine plate de N spire (bobines de HELMHOLTZ) : B N = N B o

20 Champs créés par des circuits particuliers 2 olénoïde infini : olénoïde fini : n : le nombre de spire par mettre

21 Régime quasi stationnaire Champ proche 21 En basses fréquences et/ou dans un milieu conducteur (Electrotechnique), l aspect propagation du champ électromagnétique est négligé : C est l approximation des états quasi stationnaires ou des régimes lentement variables ou champ proche. Les dimensions de la zone où règne le champ sont petites devant la longueur d onde (=C/f) (C représente la célérité de la lumière). Pour une fréquence de l ordre de 1MHz, la longueur d onde est de 3m ; ce qui justifie parfaitement l emploi de cette approximation dans l étude des dispositifs de dimensions usuelles. Les caractéristiques électriques du matériau permettent à leur tour de négliger les effets capacitifs des conducteurs.

22 Champ proche Propagation négligée L utilisation de cette approximation, revient à : Négliger le courant de déplacement ( J D D t ) devant le courant de conduction ( J E). Pour un matériau conducteur, cette condition est largement remplie. Pour s'en rendre compte, il suffit de calculer, dans le cas d une excitation sinusoïdale, le rapport entre ces deux courants. J J D C 2 f 22 Pour f = 1 MHz et = 1 6 (m) -1, ce rapport est de l ordre de

23 Champ proche Charges négligées L utilisation de cette approximation, revient aussi à : Négliger la charge d espace dans les conducteurs t La solution de l équation de conservation de la charge électrique : 23 t e =/ = 1-18 secondes; c est une constante de temps très faible. La charge d espace dans les conducteurs s atténue très rapidement par retour à la neutralité électrique. Il peut toutefois exister des charges électriques sur le pourtour du conducteur mais alors, celles-ci sont statiques et ne contribuent pas au phénomène d induction.

24 Champ lointain Création d ondes Electromagnétiques En électrostatique, sans charges électriques, il n y aura pas de champ électrique. En magnétostatique, sans courant électrique, il n y aura pas de champ magnétique. Dans les cas dynamiques où le champ électromagnétique (E, B) dépend du temps, le phénomène est autre. Une onde peut être créée soit : à partir des charges électriques créant E ensuite B, ou à partir des courants électriques créant B ensuite E. B J E B ource de Courant E B ource de charge E 24

25 Ondes Electromagnétiques Termes de couplage E 1. Equ. M-A : rotb J t 2. Equ. M-F : rote H t Terme de couplage électrique Terme de couplage magnétique 24

26 Ondes Electromagnétiques Courant comme source A partir des courants, d après la loi de Maxwell-Ampère, un courant électrique variable dans le temps, génère un champ magnétique variable. Ce champ créé à son tour, d après la loi de Maxwell-Faraday, un champ électrique variable. Ce champ électrique est bien créé sans qu il y ait de charges électriques. Il crée à son tour un champ magnétique variable, Et ainsi de suite. Maxwell-Ampère (dans le fil) Maxwell-Faraday J B E J rotb J B rote E rotb t E t Maxwell-Ampère (dans l air) 25

27 Ondes Electromagnétiques Charges électrique comme source A partir des charges électriques et d après la loi de Maxwell-Gauss, un champ électrique est créé. Ce dernier s il est variable, va créer un champ magnétique variable sous la loi de Maxwell-Ampère appliquée dans vide. Ce champ magnétique est bien créé sans qu il ait de courant électrique. Il créé à son tour, d après la loi de Maxwell-Faraday, un champ électrique variable. Et ainsi de suite. Maxwell-Ampère Maxwell-Gauss (dans l air) (dans le fil) J B E dive E E rotb B B t rote t Maxwell-Faraday 26

28 Ondes Electromagnétiques Généralisation Le champ électromagnétique acquiert une existante indépendante des charges et des courants. Initialement il est nécessaire d avoir des charges ou des courants pour créer une onde électromagnétique. A partir du moment où l onde est émise, son existence ne dépend plus des sources. Maxwell-Gauss Maxwell-Ampère Maxwell-Faraday (dans le fil) (dans le fil) B J B rote E dive J rotb J t ource de courant rotb E t Maxwell-Ampère (dans l air) Onde Electromagnétique ource de charge 27

29 Ondes Electromagnétiques Généralisation Le champ électromagnétique acquiert une existante indépendante des charges et des courants. Initialement il est nécessaire d avoir des charges ou des courants pour créer une onde électromagnétique. A partir du moment où l onde est émise, son existence ne dépend plus des sources. Maxwell-Gauss Maxwell-Ampère Maxwell-Faraday (dans le fil) (dans le fil) B J B rote E dive J rotb J t ource de courant rotb E t Maxwell-Ampère (dans l air) Onde Electromagnétique ource de charge 27

30 Remerciement