I) Deux propriétés importantes Propriété 1 Si A est multiple de B et B est un multiple de n, alors A est un multiple de n.

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1 Extrait de cours de maths de 5e Chapitre 1 : Arithmétique Définition 1. Multiples et diviseurs Si, dans une division de D par d, le reste est nul, alors on dit que D est un multiple de d, que d est un diviseur de D. Montrer que A est multiple de n, c est trouver un nombre entier k tel que A = k n Par exemple, dans la division euclidienne de 54 par 6, le quotient euclidien est égal à 9 et le reste est égal à 0 : 54 = 6 9 On dit que 54 est divisible par est un multiple de 6 et 6 est un diviseur de 54. On notera une subtile différence de vocabulaire entre "le diviseur dans une division euclidienne" et "un diviseur d'un nombre". Par exemple, dans la division euclidienne de 54 par 7, le reste est 5. Donc 7 n'est pas un diviseur de 54, mais 7 est le diviseur dans cette division euclidienne. Si 54 = 6 9, on a aussi 54 = est divisible par est un multiple de 9 et 9 est un diviseur de 54. En général, dès que l on connaît un diviseur, on en connaît deux. I) Deux propriétés importantes Propriété 1 Si A est multiple de B et B est un multiple de n, alors A est un multiple de n. En effet, si A est un multiple de B, alors il existe un nombre k tel que A = k B et si B est un multiple de n, alors il existe un nombre k tel que B = k n. Alors A = k B = (k k ) n Par exemple : Tous les multiples de 9 sont des multiples de 3 car 9 est un multiple de 3. Et cela signifie également que si un nombre n est pas multiple de 3, il ne peut pas être multiple de 6, de 9, (d aucun multiple de 3) Tous les multiples de 10 sont des multiples de 2 et de = 3 17 donc tous les multiples de 51 sont des multiples de 3 et de 17.

2 Ce qui ne signifie pas, bien entendu que tous les multiples de 3 sont des multiples de 51. Mais que si un nombre n est pas multiple de 3, il ne peut pas être multiple de 51. Propriété 2 Si A et B sont deux multiples de n, alors : A + B est multiple de n ; A B est multiple de n. (si A >B) A étant un multiple de n, il existe un nombre entier k tel que A = k n. B étant un multiple de n, il existe un nombre entier k tel que B = k n. A + B = k n + k n et A B = k n k n En application de la règle de distributivité : A + B = (k + k ) n et A B = (k k ) n Ce sont deux multiples de n. Pour reconnaître un multiple d un nombre n, il suffit souvent de lui soustraire des multiples simples de n. Par exemple, pour savoir si est un multiple de 7 : On peut décomposer = et 35 sont des multiples simples de 7. Poser la question «5 735 est-il un multiple de 7?» est donc équivalent à poser la question «5 000 est-il un multiple de 7?» Et il est assez rapide de prouver que n est pas un multiple de 7. II) Rappels de critères de divisibilité connus Par 2 : le chiffre des unités est un nombre pair. Par 4 : le nombre formé par les deux derniers chiffres est un multiple de 4. Tout nombre de plus de deux chiffres pour être décomposé en deux nombres : un nombre de centaines et un nombre plus petit que 100. Le nombre de centaines est toujours multiple de 4, car k 100 = (k 25) 4. Et la question porte donc sur ce qui reste quand on soustrait les centaines. Par exemple = ( ) + 38 ( ) est multiple de 4 mais 38 n est pas multiple de 4 donc n est pas multiple de 4. Par 5 : Le chiffre des unités est 0 ou 5. Par 3 et par 9 : On calcule la somme réduite des nombres formés par chacun des chiffres jusqu à obtenir un nombre d un seul chiffre. - Si cette somme est 9, alors le nombre est un multiple de 9 (et donc de 3). - Si cette somme est 3 ou 6, le nombre est multiple de 3 mais pas de 9. Par exemple : 1) Pour : la somme réduite est : = = 3 Donc est un multiple de 3 mais pas de 9. 2) Pour : = = 9 Donc est un multiple de 9 et de 3. 3) Pour : = = 5 Donc n est pas un multiple de 3 et donc pas de 9.

3 III) Divisibilité par 11 Pour reconnaître un multiple de 11 : on classe les chiffres en deux catégories, les chiffres de rang impair (le premier, le troisième, le cinquième, etc.) et les chiffres de rang pair (le deuxième, le quatrième, etc.). On calcule les sommes des nombres formés par ces deux catégories de chiffres. On calcule enfin la différence de ces deux sommes. Si le résultat obtenu est un multiple de 11 (0 ou 11 ou 22, etc.), alors le nombre étudié est un multiple de 11. Par exemple : Chiffres de rang impair 8 et 0 Somme des chiffres de rang impair 8 Chiffres de rang pair 2 et 6 Somme des chiffres de rang pair 8 Différence des deux sommes 8 8 = 0 Conclusion : est un multiple de 11 Autre exemple : Chiffres de rang impair 1, 5 et 3 Somme des chiffres de rang impair 9 Chiffres de rang pair 4, 7 et 2 Somme des chiffres de rang pair 13 Différence des deux sommes 13 9 = 4 Conclusion n'est pas un multiple de 11 IV) D'autres critères de divisibilité On peut parfois combiner deux règles de divisibilité pour en établir de nouvelles. Par 6 : 6 est le produit de 2 et 3. Pour qu'un nombre soit un multiple de 6, il faut donc qu'il soit à la fois un multiple de 2 et un multiple de 3. On peut utiliser les deux règles de divisibilité par 2 et par 3 pour mettre au point une règle de divisibilité par 6 : Si le chiffre des unités est un nombre pair et si la somme des nombres formés par chacun des chiffres est un multiple de 3, alors le nombre est un multiple de 6. Par 10 Le nombre doit être divisible par 2 et par 5. Le chiffre des unités ne peut être que 0 ou 5 et doit être un nombre pair. Ce ne peut donc être que 0. Par 15 Le nombre doit être divisible par 3 et par 5. Le chiffre des unités ne peut être que 0 ou 5 et la somme des nombres formés par chacun des chiffres doit être un multiple de 3. Par 18 Le nombre doit être divisible par 2 et par 9. Le chiffre des unités doit être un nombre pair et la somme des nombres formés par chacun des chiffres doit être un multiple de 9.

4 Exercices a) Exercice 1 a) Dans la division euclidienne par 7, le reste est 3 et le quotient est 15. Quel est ce nombre? b) Dans la division euclidienne par 5, le reste est 2 et le quotient est 23. De quel nombre s'agit-il? c) Dans la division euclidienne par 9, le reste est 4 et le quotient est 8. De quel nombre s'agit-il? d) Dans la division euclidienne par 6, le quotient est 13. Quels sont les nombres possibles? Donner les différentes possibilités. b) Exercice 2 Recopier et compléter les égalités suivantes : 25 = = = 2 = 6 = = 27 = 9 48 = 4 = = = = 4 c) Exercice 3 a) Montrer que et 486 sont deux multiples de 9. b) Calculer à partir de ces deux nombres deux autres multiples de 9. d) Exercice 4 Recopier et compléter les phrases suivantes avec les mots corrects : a) 77 est un de 7 et de 11. b) 1, 2, et 4 sont les seuls de 4. c) 35 est par 5 car 5 est le chiffre des unités. d) Si a est par b, alors b est un de a et a est un de b. e) Exercice 5 Placer les nombres de 1 à 9 ou de 1 à 16 selon la taille du tableau. En bout de ligne ou de colonne figure le produit des 3 ou 4 nombres de la ligne ou de la colonne

5 f) Exercice 6 a) Vérifier que : = 624. En déduire, sans poser d opération, que 4 et 13 sont des diviseurs de 624. b) L entier 13 est-il un diviseur de ? c) L entier 12 est-il un diviseur de ( )? g) Exercice 7 Pour chaque nombre proposé, dire s il est ou non multiple de 2, 3, 4, 6, 5, 9, 11, 12, 15 et 18. On pourra présenter les réponses en tableau h) Exercice 8 Pour chaque nombre proposé, dire s il est ou non multiple de 2, 3, 4, 6, 5, 9, 11, 12, 15 et 18. On pourra présenter les réponses en tableau i) Exercice 9 Pour chaque nombre proposé, dire s il est ou non multiple de 2, 3, 4, 6, 5, 9, 11, 12, 15 et 18. On pourra présenter les réponses en tableau j) Exercice 10 1) Trouver la valeur du chiffre manquant représenté par un carré dans le nombre entier 1 42 pour qu il soit divisible par 3 et 5. 2) Avec les chiffres 1, 5 et 8, composer un nombre de trois chiffres divisible par 2 et par 7. 5) Quel est le plus grand entier divisible par 2, par 3 et par 5 dont l écriture comporte exactement quatre chiffres tous différents? 6) Quel est le plus petit entier divisible par 9, non divisible par 2, non divisible par 5, dont l écriture comporte trois chiffres tous différents? 7) Parmi les entiers : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9, trouver ceux qui ont un ou plusieurs multiples s écrivant uniquement avec le chiffre 1. k) Exercice 11 Teddy Strai a laissé le code à 9 chiffres de son coffre à l'intérieur du coffre. Il se souvient cependant que ce code ne contient pas de 0, que les chiffres sont tous différents, et qu'à partir de la gauche : Le nombre formé des deux premiers chiffres est pair. Le nombre formé des 2 ème et 3 ème chiffres est un multiple de 3. Le nombre formé des 3 ème et 4 ème chiffres est un multiple de 4. Le nombre formé des 4 ème et 5 ème chiffres est un multiple de 5. Et ainsi de suite jusqu'au nombre formé par les 8 ème et 9 ème chiffres qui est un multiple de 9. Avec ces renseignements, on trouve deux possibilités. Lesquelles?

6 l) Exercice 12 Divisibilité par 7 : La méthode et un exemple On barre le chiffre des unités et on retire son double au nombre restant. Le nouveau nombre obtenu est-il un multiple de 7? Si oui, alors le nombre initial l'est aussi. Si non, alors le nombre initial ne l'est pas non plus. Si on ne sait pas conclure, on recommence avec ce nombre ce que l'on a fait précédemment. Une présentation pratique des calculs Pour le nombre n'est pas un multiple de 7, donc non plus. Pour des nombres de 3 chiffres Le calcul peut se faire de tête : 301 : 30 2 = 28. Multiple de : = 29. Pas multiple de : = 28. Multiple de : 62 4 = 58. Pas multiple de : 97 6 = = 7. Multiple de : = 23. Pas multiple de = On recommence : = 392 On recommence : 39 4 = 35. C'est un multiple de 7, donc est un multiple de 7. Exercer la méthode pour les nombres suivants : Quel raccourci de méthode lorsque le nombre se termine par des 0? La méthode est-elle vraiment utile pour des nombres comme : ? m) Exercice 13 Divisibilité par 13; La méthode et un exemple On barre le chiffre des unités et on ajoute son quadruple au nombre restant. Le nouveau nombre obtenu est-il un multiple de 13? Si oui, alors le nombre initial l'est aussi. Si non, alors le nombre initial ne l'est pas non plus. Si on ne sait pas conclure, on recommence avec ce nombre ce que l'on a fait précédemment. Une présentation pratique des calculs = 351 On recommence : = 39 C'est un multiple de 13, donc aussi.

7 Pour le nombre n'est pas un multiple de 13, donc non plus. Pour des nombres de 3 chiffres Le calcul peut se faire de tête : 436 : = 67. Pas multiple de : = 77. Pas multiple de : = 39. Multiple de : = 69. Pas multiple de : = 117 = Multiple de : = 71. Pas multiple de 13. Exercer la méthode pour les nombres suivants : n) Exercice 14 Divisibilité par 17; La méthode et un exemple On barre le chiffre des unités et on retire son quintuple au nombre restant. Le nouveau nombre obtenu est-il un multiple de 17? Si oui, alors le nombre initial l'est aussi. Si non, alors le nombre initial ne l'est pas non plus = On recommence : = 102 On recommence : = 0. C'est un multiple de 17, donc est Si on ne sait pas conclure, on un multiple de 17. recommence avec ce nombre ce que l'on a fait précédemment. Une présentation pratique des calculs. Pour le nombre n'est pas un multiple de 17, donc non plus. Pour des nombres de 3 chiffres Le calcul peut se faire de tête :

8 657 : = 30. Pas multiple de : = 17. Multiple de : = 17. Multiple de : = 87. Pas multiple de 17 Cela suppose de connaître la table des 17 jusqu'à 5 17 Exercer la méthode pour les nombres suivants : o) Exercice 15 a) Calculer : b) Montrer que est un multiple de 325 ; En déduire, que 13, 77 et 143 sont des diviseurs de c) Proposer d autres nombres de six chiffres divisibles par 13, 77 et 143. abcd est l écriture décimale du nombre : a b c 10 + d 1 d) Démontrer que est un diviseur de tout entier du type : abcabc e) En déduire que 91 est un diviseur de tout entier du type : abcabc p) Exercice Soit n un entier non nul. Donner une écriture littérale de l entier «qui le suit», puis de l entier «qui le précède». 2. Démontrer que la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de La somme de quatre entiers consécutifs est-elle un multiple de 4? 4. La somme de cinq entiers consécutifs est-elle un multiple de 5? 5. Peut-on imaginer une généralisation? q) Exercice 17 Terminologie : Examiner la parité d un nombre entier naturel, c est déterminer s il est pair ou impair. 1) Donner l écriture littérale d un nombre pair, puis celle d un nombre impair. 2) Étudier la parité de la somme de deux entiers a et b (a > b) lorsque : a et b sont tous les deux pairs ; a et b sont tous les deux impairs ; a est impair et b est pair. 3) Étudier la parité du produit de deux entiers a et b lorsque : a et b sont tous les deux pairs ; a et b sont tous les deux impairs ; a est impair et b est pair. r) Exercice 18 a) Quel est le chiffre des unités de chacun des nombres 3 1 ;3 2, 3 3 ; 3 4, 3 5, 3 6, 3 7? b) Comment trouve-t-on le chiffre des unités de la puissance suivante (3 8 ) sans avoir besoin de calculer l'écriture décimale de ce nombre? c) Quel est le chiffre des unités de 3 50? de ? d) Quel est le chiffre des unités du nombre 9 50?

9 Définition 2. Nombres premiers On appelle nombre premier un nombre qui a exactement deux diviseurs qui sont 1 et lui-même. C'est à dire qu'un nombre qui a plus de deux diviseurs n'est pas premier. Par exemple, le nombre 8 est divisible par 1, 2, 4, et 8, donc ce n'est pas un nombre premier. Le nombre 1 est un cas particulier : il est divisible par 1, il est divisible par lui-même, mais puisque c'est le même nombre il n'a donc qu'un seul diviseur. Il n'est pas premier. De même 0 n'est pas un nombre premier car on peut le diviser par tous les nombres autres que 0. Il a une infinité de diviseurs. Dès qu'un nombre est multiple d'un autre, il ne peut pas être premier. Par exemple, 24 est un multiple de 6 (entre autres), il est donc divisible par 6, il n'est pas premier. Le mot "premier" est utilisé pour signifier qu'il est le premier d'une liste de multiples. Et qu'à partir de ces nombres premiers, on peut reconstituer (par la liste de leurs multiples) la suite de tous les nombres entiers. (en y ajoutant les nombres 0 et 1 qui ne sont pas premiers). Voyons ce que cela donne pour le nombre inférieurs à 100 : Commençons par le premier nombre premier : 2 et dressons la liste de ces multiples : etc. Le nombre suivant (c'est 3) est un nombre premier; ajoutons la liste de ces multiples Le nombre suivant (c'est 5) est un nombre premier; ajoutons la liste de ces multiples. Beaucoup de ces multiples figurent déjà dans le liste. Le premier que l'on ajoute est le nombre 25 (5 5, le carré de 5).

10 Le nombre suivant (c'est 7) est un nombre premier; ses 6 premiers multiples figurent déjà dans la liste car ils sont multiples de 6 entiers qui le précèdent. Le premier que l'on ajoute est le nombre 49 (7 7, le carré de 7) Le nombre suivant (c'est 11) est un nombre premier; ses 10 premiers multiples figurent déjà dans la liste. Le premier que l'on pourrait ajouter à la liste est son carré 121 = 11 11, mais il est plus grand que 100. On comprend donc que les cases vides ne contiennent plus que des nombres premiers I) Autre recherche des nombres premiers On aurait pu procéder à l'inverse : dans un tableau, on place tous les entiers inférieurs à 100. On a vu que 0 et 1 ne sont pas premiers. Rayons-les. Ensuite apparaît 2. Il est divisible par 1 et 2. Il est premier, je le conserve. Je sais que tous les multiples de 2 ne sont pas premiers car 2 est un de leurs diviseurs. Je les raye tous. Puis je m'intéresse au nombre suivant 3. Il est premier car il n'a pas encore été rayé. Je conserve et je raye tous ses multiples. Et je passe au suivant 5, je raye tous ses multiples et ainsi de suite pour l'ensemble du tableau. Et ainsi de suite. On pourrait continuer ainsi très longtemps, on trouverait des nombres premiers de temps en temps. Il n'y a pas de règle particulière pour prévoir qu'un nombre sera ou non premier. Le seul moyen de le savoir est de rechercher ses éventuels diviseurs. II) Déterminer si un nombre est ou non premier : Tout nombre qui n'est pas premier est multiple d'au moins un nombre premier. Donc, si un nombre n'a pas de diviseur premier, c'est un nombre premier est-il un nombre premier? Cherchons parmi les nombres premiers, les diviseurs possibles de 3 233

11 En appliquant les critères de divisibilité, on constate que n'est pas divisible par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7, ni par 11. Tentons maintenant de diviser par 13. Le quotient n'est pas entier. Il vaut un peu plus que 248. Ce que nous écrirons q 248, Si on divise par le quotient , , , , , 37 87, 41 78, 43 75, 47 68, 53 = n'est donc pas un nombre premier : = est-il un nombre premier? Cherchons parmi les nombres premiers, les diviseurs possibles de 673 En appliquant les critères de divisibilité, on constate que 673 n'est pas divisible par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7, ni par 11. Tentons maintenant de diviser 673 par 13. Le quotient n'est pas entier. Si on divise 673 par le quotient 13 51, 17 39, 19 35, 23 29, 29 23, On peut s'arrêter lorsque le quotient est inférieur au diviseur, car pour une valeur supérieure à 29, le quotient est inférieur à 23. Si l'on trouvait un diviseur supérieur à 29, on en aurait un autre (le quotient) qui, lui, serait inférieur à 23. Ce qui est impossible car on les a tous essayés. On en conclut que 673 est un nombre premier. III) Décomposition en produit de facteurs premiers Terminologie : Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, c'est l'écrire sous la forme d'un produit non effectué dans lequel tous les facteurs sont des nombres premiers. Exemple : La décomposition du nombre 54 en produit de facteurs premiers est Méthode de recherche de la décomposition en produit de facteurs premiers: On doit avoir en tête la liste des nombres premiers par ordre croissant : 2, 3, 5, 7, 11,. On utilise souvent une présentation en colonne qui est pratique, qu'il ne faut pas confondre avec un calcul de quotient habituel parce qu'elle utilise des quotients, mais il n'y a pas de reste dans tous ces problèmes de diviseurs.

12 Exemple : La décomposition du nombre 770 en produit de facteurs premiers: ce nombre est divisible par: et le quotient est: est un diviseur de 770, donc on calcule le quotient (385), que l'on reporte sous n'est pas divisible par 2, on passe au nombre premier suivant, qui est 3. Mais 385 n'est pas divisible par 3. On passe au nombre premier suivant qui est 5. On calcule le quotient de 385 par 5 (77), que l'on reporte sous n'est pas divisible par 5. On passe au nombre premier suivant qui est 7. On calcule le quotient de 77 par 7 (11), que l'on reporte sous est un nombre premier, il n'est plus divisible que par lui-même. On obtient dans la colonne de droite tous les facteurs de la décomposition du nombre 770 en produit de facteurs premiers. On peut donc écrire : 770 = La décomposition d'un nombre en produit de facteurs premiers est toujours unique. On veillera à bien écrire tous les facteurs dans l'ordre croissant.

13 Exercices s) Exercice 19 Décomposer tous les nombres non premiers de 4 à 50. t) Exercice 20 Pour bien des nombres, la méthode présentée pour la décomposition est un peu longue et pas toujours utile. On peut procéder par étapes en se servant des tables de multiplication et des critères de divisibilité. Exemple Décomposition du nombre 52 en produit de facteurs premiers: On sait que 52 est divisible par 2. On a donc 52 = 2 26 On sait que 26 est divisible par 2. On a donc 52 = Et ainsi on a obtenu la décomposition. De cette manière décomposer les nombres suivants en produits de facteurs premiers: u) Exercice 21 Les produits ne sont pas à calculer. Ils ne contiennent pas que des facteurs premiers. Il faut donc les exprimer tous sous la forme de produits de facteurs premiers. On rangera les facteurs dans l'ordre croissant v) Exercice 22 En utilisant la méthode, décomposer les nombres suivants en produits de facteurs premiers w) Exercice 23 Montrer, sans les effectuer, que les produits A et B suivants sont égaux : A = ; B = x) Exercice 24 On considère le produit P des six premiers nombres premiers : P = Montrer que les douze nombres consécutifs P + 2 ; P + 3 ; P + 4 ; P + 5 ; P + 6 ; P + 7 ; P + 8 ; P + 9 ; P + 10 ; P + 11 ; P + 12 et P + 13 ne sont pas des nombres premiers.

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